chap7参数估计

1 第七章 参数估计  点估计  估计量的评选准则  区间估计  正态总体均值与方差的区间估计  0-1分布参数的区间估计  单侧置信区间 2  参数估计是统计推断的主要内容之一  要想得到总体的精确分布一般是十分困难的 由第六章知道：只有在样本容量 n 充分大时，才可以 用经验分布函数去近似总体分布函数，但在实际问题中， 并不容许 n 很大。  有些实际问题只关心总体的某些数字特征，如期望、方差 等，通常把这些数字特征称为参数。这时，抽样的目的就 是为了了解这些未知的参数。 3 参数估计的概念 问题的提出：总体分布的类型已知，但它的某些参数却 未知，如二点分布 B(1, p)中的概率 p 未知；正态总体 ),( 2N 中 和 2 未知，或者总体分布类型未知但对其 分布的某些特征比如均值感兴趣。参数估计问题就是要 根据样本对这些未知参数作出估计。 4 参数估计的主要内容  点估计 指对总体分布中的参数，根据样本 ),,,( 21 nXXX  及样本值 ),,,( 21 nxxx  ，构造一个适当的统计量 1 2ˆ( , , , )nX X X  ，用其观察值 ),,,(ˆ 21 nxxx  作为未知参数的近似值，我们称 1 2ˆ( , , , )nX X X  为参数 的点估计量， ),,,(ˆ 21 nxxx  为参数的点估计值，在不至于混淆的 情况下，统称为点估计，记为 。  区间估计 指对总体中的一维参数，构造两个统计量： 1  = ),,,( 211 nXXXg  2  = ),,,( 212 nXXXg  使待估参数以较大的概率落在（ 1 ， 2 ）内，此时，称（ 1 ， 2 ） 为的区间估计。 5 7.1 点估计 例 1：设某总体 )(~ pX ，试由样本 ),,,( 21 nXXX  来估计参数。 例 2：设某总体 ),(~ 2NX ，试由样本 ),,,( 21 nXXX  来估计参数 2 ， 。 在上述二例中，参数的取值虽未知，但根据参数的性质和实际问 题，可以确定出参数的取值范围，把参数的取值范围称为参数空间，记 为。 如：例 1： = }0|{  例 2： = 2{( , ) | 0, }R     6 一、点估计问题 点估计问题就是构造一个适当的统计量，这里就涉及两 个问题 （1） 如何给出这个估计，即估计的方法问题 （2） 如何对不同的估计进行评价，即估计好坏的评判准则 本节介绍两种最常用的点估计方法：矩估计法和最大似然估 计法。 注意本课程中讨论的总体不是离散型的就是连续型的 7 二、矩估计法（英国统计学家皮尔逊(K.pearson)提出） 1.基本思想：（替换原则） 以样本矩替换相应的总体同阶矩，即以样本矩作为相应的总体同阶 矩的估计，这里的矩可以是原点矩也可以是中心矩； 以样本矩的函数替换相应的总体矩的同一函数，即以样本矩的函数 作为相应的总体矩的同一函数的估计。 注：在总体分布类型不知道的场合下也能对各种参数作出估计 8 2.具体做法： 假设 ),,,( 21 k  为总体 X 的待估参数（  ）， ),,,( 21 nXXX  是 来自 X 的一个样本， （1）计算总体分布的 i 阶原点矩 E(Xi)= ),,,( 21 ki   ，i=1,2,…,k，(k 个 参数则计算到 k 阶矩为止)； （2）列方程       )(),,,( )(),,,( )(),,,( 21 2 212 211 k kk k k XE XE XE        从中解出参数       ),,,( ),,,( ),,,( 21 2122 2111 kkk k k        然后用样本矩替换总体同阶矩，即为   kiXXX kii ,,2,1,,,ˆ 2     k ,,, 21  分别作为 k ,,, 21  的估计量，这种估计量称为矩估计量，矩估 计量的观察值称为矩估计值。 9 注：只要求掌握 1k 或者 2k 的情形，即待估的总体中有 1 个或 2个未知参数。 书例 3：设总体 X 的均值及方差 2 都存在但均未知，且有 2 >0，又设 ),,,( 21 nXXX  是来自总体 X 的一个样本，试求 , 2 的矩估计量。 该例题结果 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明：总体均值与方差的矩估计量的表达式不会因总体的 分布不同而异 书例 2：设(X1,X2,…,Xn)来自 X 的一个样本，且 X~U（a,b），求未知参 数 a,b 的矩估计。 10 3. 矩估计法的优缺点 矩法估计的优点：计算简单；不管总体服从什么分布，都能求出 总体矩的估计量； 矩法估计的缺点： (1)矩法估计有时会得到不合理的解（注意检查一下矩法估计得到 的参数估计是否落在参数空间中）； (2)总体分布的矩不一定存在，所以矩法估计不一定有解。如         x x xxfX 0 )(~ 2 11 (3)求矩法估计时，不同的做法会得到不同的解(通常规定，在求 矩法估计时要尽量使用低阶矩) 例：设 )(~ PX ，未知， ),,,( 21 nXXX  是 X 的一个样本，求  这样，就会给应用带来不便，为此，R.A.Fisher 提出了 改进的方法：最大似然估计法 12 三、最（极）大似然估计法：（R.A.Fisher 提出） 1.基本思想： 引例：设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有 99 个白球 和 1 个黑球，乙箱中有 1 个白球，99 个黑球。现随机地抽取 一箱并从中抽取一球，结果取得白球，问这球是从哪一个箱 子中取出的？ 试验条件对出现白球有利，从而推断出这球是从甲箱中 取出的，符合经验事实。“最像”就是“最大似然”。 13 最大似然估计法的基本思想： 一般说，事件A发生的概率与参数有关， 取值不同, 则P(A)也不同。因而应记事件A发生的概率为P(A|)。若A发生 了，则认为此时的值应是在中使P(A|)达到最大的那一个. 这就是最大似然思想。 使得取该样本值发生的可能性最大。 ˆ由样本的具体取值，选择参数θ的估计量 14 2. 似然函数和最大似然估计 若总体 X 的分布律为 ( ) ( ; )P X x p x   [或密度函数为 ( ; )if x  ]，其中 ),,,( 21 k  为待估参数（  ）。 设 ),,,( 21 nXXX  是来自总体 X 的一个样本， 1 2( , , , )nx x x 是相应于样本 的一样本值，易知：样本 ),,,( 21 nXXX  取到观测值 1 2( , , , )nx x x 的概率为 1 1 2 2 1 { , , , } ( ; ) n n n i i p P X x X x X x p x        ， 则概率 p 随的取值变化而变化，它是的函数，记为    n i in xpxxLL 1 1 );();,,()(   [或连续型时 1 2 1 ( ) ( , , , ) ( ; ) n n i i L L x x x f x     ]， 称为样本的似然函数（注意这里的 1 2, , , nx x x 是已知的样本值，它们都 是常数）。 15 最大似然方法就是固定样本观测值 1 2( , , )nx x x ，在取值 的可能范围内，挑选使似然函数 1 2( , , , ; )nL x x x  达到最大（从 而概率 p达到最大）的参数值ˆ作为参数的估计值，即 1 2 1 2 ˆ( , , , ; ) max ( , , , ; )n nL x x x L x x x   ， 这样得到的ˆ与样本值 1 2( , , )nx x x 有关，常记为 1 2 ˆ ( , , )nx x x  ，称之为参数的最大似然估计值，而相应的统计 量 1 2ˆ ( , , )nX X X  称为参数的最大似然估计量。这样将原来求参 数的最大似然估计值问题就转化为求似然函数 ( )L  的最大值 问题了。 16 3、求最大似然估计的步骤（具体做法） (1)写出似然函数L的表达式 如果X是离散型随机变量，分布律为P(X=k)，则    n i ixXPL 1 )( 如果X是连续型随机变量，密度函数为f(x)，则    n i ixfL 1 )( 17 (2)在内求出使得似然函数L达到最大的参数的估计值 一般地，先将似然函数取对数lnL，然后令lnL关于 θ1 ,θ2 ,…,θm的偏导数为0，得方程组              0ln 0ln 0ln 2 1 m L L L     从中解出 m ˆ,,ˆ,ˆ 21  ①很多情况下，巳然函数关于参数可微，则可以利用导数的 方法求最大值 ②若似然函数关于参数不可微，需另寻他法 18 书例 4：设 ),1(~ pBX ， p 为未知参数， 1 2( , , , )nx x x 是一个样本 值，求参数 p的最大似然估计。 书例 5：设 ),(~ 2NX ，， 2 未知， ),,,( 21 nXXX  为 X 的一个样 本， ),,,( 21 nxxx  是 ),,,( 21 nXXX  的一个样本值，求， 2 的最大似 然估计值及相应的估计量。 例：设     其它0 01)(~  xxfX ，其中 0 未知， ),,,( 21 nxxx  是一个 样本值，求的最大似然估计。 书例 6：设 ~ [ , ]X U a b ，a, b 未知， ),,,( 21 nxxx  是一个样本值， 求 a, b 的最大似然估计 19 4. 最大似然估计量的性质： 设的函数 )(uu  ，  ，具有单值反函数 )(u  。又 设ˆ是 X 的密度函数 );( xf [或分布列 ( ; )p x  ]（形式已知）中 参数的最大似然估计，则 )ˆ(ˆ  u 是 )(u 的最大似然估计 例：设 ),(~ 2NX ，， 2 未知， ),,,( 21 nXXX  为 X 的一个样 本， ),,,( 21 nxxx  是 ),,,( 21 nXXX  的一个样本值，求 的最大似 然估计。 20 7.3 估计量的评选 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 同一参数可能具有多种估计量。原则上讲其中任何统计 量都可以作为未知参数的估计量，那么采用哪一个估计量为 好呢？ 判断估计量好坏的标准是：有无系统偏差；波动性的大 小；伴随样本容量的增大是否是越来越精确，这就是估计的 无偏性，有效性和相合性。 21 无偏性：无偏性：估计量的数学期望等于被估计的总体估计量的数学期望等于被估计的总体 参数参数 PP( ( X X )) XX CCCAAA  无偏无偏无偏 有偏有偏有偏 22 AA BB  中位数的抽样分布中位数的抽样分布 均值的抽样分布均值的抽样分布 XX PP((X X )) 有效性：有效性：一个方差较小的无偏估计量称为一个更一个方差较小的无偏估计量称为一个更 有效的估计量。如，与其他估计量相比有效的估计量。如，与其他估计量相比 样本均值是一个更有效的估计量样本均值是一个更有效的估计量 23 一致性：一致性：随着样本容量的增大，估计量越来越接随着样本容量的增大，估计量越来越接 近被估计的总体参数近被估计的总体参数 AA BB 较小的样本容量较小的样本容量 较大的样本容量较大的样本容量  PP((X X )) XX 24 定义: 设    （ nXXX ,,, 21  ）是未知参数的估计量，若 )( E 存 在，且对  有 )( E =，则称 是的无偏估计量，称 具 有无偏性。 书例 1：设总体 X 的 k 阶中心矩 )1()(  kXEm kk 存在， ),,,( 21 nXXX  是 X 的一个样本， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：不论 X 服从什么分布，    n i k ik Xn A 1 1 是 km 的无偏估计。 一、无偏性 25 例：设总体 X 的 2)(,)(   XDXE 都存在，且 02  ，若 2, 均 为未知，则 2 的估计量    n i i XXn 1 22 )(1ˆ 是无偏的吗？若不是， 请修正。 书例 2：设总体 X 密度为 1 0 ( ; ) 0 x e x f x       其它 ，其中 0 为未 知，又 ),,,( 21 nXXX  是 X 的一样本，则 X 和 }],,,[min{ 21 nXXXnnZ  都是的无偏估计。 26 二、有效性 定义: 设   11  （ nXXX ,,, 21  ）与   22  （ nXXX ,,, 21  ）都是的无 偏估计量，若有 )()( 21    DD ，则称  21  比 有效。若对  的无偏估 计 都有： )()( 0    DD ，则称  0 为的最小方差无偏估计。 书例 3：前面书例 2中，哪一个估计量更有效？ 27 三、 一致性（相合性） 定义：设 是的估计量，若对 0 ，有 1}|{|lim  pn ，则 称 是的一致性估计量。 例：设 X 是总体X的样本均值，记总体期望 )(XE ，则 Xˆ 是总体期望的一致估计量。 例：设 为 的无偏估计量，若 则 为 的一致估计量 0)ˆ(lim  Dn 28 7.4 区间估计 问题： 用点估计的方法得到的估计值不一定是参数的真 值，即使与真值相等也无法肯定这种相等（因为总体参数本身 是未知的），也就是说，由点估计得到的参数估计值没有给出 它与真值之间的可靠程度，在实际应用中往往还需要知道参数 的估计值落在其真值附近的一个范围。 • 置信区间的定义 • 置信区间的构造步骤 29 多勒总公司创立于多勒总公司创立于19391939年，是织物类批发公司在年，是织物类批发公司在2323个个 州经营州经营20002000多家连锁店。公司以低廉的普通价格销售多家连锁店。公司以低廉的普通价格销售 非耐用的纺织品和保健，美容，卫生用品，主要服务非耐用的纺织品和保健，美容，卫生用品，主要服务 于中低收入阶层。于中低收入阶层。 因为在经营中有大约因为在经营中有大约1700017000种不同的产品存货，所以多种不同的产品存货，所以多 勒总公司决定采取勒总公司决定采取LIFO(LIFO(后进先出后进先出))法对存货进行计法对存货进行计 价，这种方法将现行成本与当期收入相配比，因而使价，这种方法将现行成本与当期收入相配比，因而使 基本价格的变化对损益的影响达到最小。基本价格的变化对损益的影响达到最小。 另外，后进先出法减少了净收益，也就减少了通货膨另外，后进先出法减少了净收益，也就减少了通货膨 胀期间的所得税。因此，销售收入可以给公司带来可胀期间的所得税。因此，销售收入可以给公司带来可 自由支配的现金，这就允许公司用现行成本购置存货自由支配的现金，这就允许公司用现行成本购置存货 Dollar General CorporationDollar General Corporation 多勒总公司多勒总公司应用举例 应用举例 30 会计实务需要在后进先出存货计价法下编制后进先出会计实务需要在后进先出存货计价法下编制后进先出 指数。例如，如果后进先出指数是指数。例如，如果后进先出指数是11．．048048，则说明在，则说明在 现行成本法下，由于最近一年内通货膨胀的影响，公现行成本法下，由于最近一年内通货膨胀的影响，公 司存货的价值增加了司存货的价值增加了44．．88％。％。 后进先出指数的编制要求年末有存货的每种产品都要后进先出指数的编制要求年末有存货的每种产品都要 按照当期年末和上一年末的成本计价。为了避免计算按照当期年末和上一年末的成本计价。为了避免计算 20002000多个零售店的各种产品存货价值的麻烦，该公司多个零售店的各种产品存货价值的麻烦，该公司 从从100100个零售店和个零售店和33个仓库随机抽取个仓库随机抽取800800种产品作为样种产品作为样 本本..年末对被抽取的年末对被抽取的800800种产品进行实地盘存。种产品进行实地盘存。 然后，会计人员提供编制后进先出指数所需要的当年然后，会计人员提供编制后进先出指数所需要的当年 年末和上一年年末成本价格。最近一年，后进先出指年末和上一年年末成本价格。最近一年，后进先出指 数是数是11．．034034。。 31 但是，这个指数只是后进先出指数总体的一个样本但是，这个指数只是后进先出指数总体的一个样本 估计，所以需要有关这个估计精确度的陈述。根据估计，所以需要有关这个估计精确度的陈述。根据 样本结果，边际误差是样本结果，边际误差是00．．006006。。 因此，区间因此，区间[1[1．．028028，，1.040]1.040]提供了后进先出指数总提供了后进先出指数总 体的体的9595％的置信区间估计。这个精确度被认为很好。％的置信区间估计。这个精确度被认为很好。 Problem SolvingProblem Solving 解决 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 解决方案 32 一、置信区间的概念 定义:设总体 X 的分布函数 );( xF 含有一个未知参数，对于给定的  )10(   ，若由样本 ),,( 21 nXXX  确定的两个统计量 ),,,(ˆˆ 2111 nXXX   和 ),,,(ˆˆ 2122 nXXX   满足：     1),,,(ˆˆ),,,(ˆˆ 21222111 nn XXXXXXP  则称 )ˆ,ˆ( 21  为的置信度为 1 的置信区间， 1 称为置信度或置信水 平， 1ˆ 称为双侧置信区间的置信下限， 2ˆ 称为置信上限。 注：当X是连续型随机变量时，对于给定的，总能按  1 2ˆ ˆ 1P        求 出置信区间。 当X是离散型随机变量时，对于给定的，常常找不到（ 1 ， 2 ） 使得  1 2ˆ ˆ 1P        ，此时我们去找区间（ 1 ， 2 ）使得  1 2ˆ ˆP     至少 为 1 ，且尽可能接近 1 。 33 例：设总体 )1,(~ NX ,为未知, ),,( 21 nXXX  是来自 X 的一 个样本,求的置信度为 1 的置信区间. 注意：置信区间的解释 34 从此例中我们发现随机变量Z在区间的构造中起着 关键的作用，它具有下述特点： (1) Z是待估参数μ和统计量 (2)不含其它未知参数； (3)服从与未知参数无关的已知分布。 的函数；X 35 二、构造置信区间的步骤 36 7.5 正态总体均值和方差的区间估计 37 例: 已知某批灯泡的寿命X(单位:小时)~N(μ,σ2)，现从这批灯泡 中抽取10个，测得寿命分别为 1050,1100,1080,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200 若α=0.05，求μ的置信区间(1)σ2=8，(2)未知。 书 38 39 书 40 41 42 书 书 43 44 45 7.6 （0-1）分布参数的区间估计 书例: 设自一批大批产品的100个样品中，一级品为60个，要 求这批产品的一级品率p的0.95的置信区间。 46 7.7 单侧置信区间 47 例：求该例中方差的单侧置信区间 48 书 49 设总体X~U[1,]，>1，未知， (X1 ,X2 ,…,Xn )是总体X的一 个样本， (1)求的矩估计和最大似然估计； (2)上述两个估计是否为无偏估计量，若不是，请修正为无 偏估计量； (3)问在(2)中的两个无偏估计量哪一个更有效？ 练习 第七章 参数估计 幻灯片编号 2 幻灯片编号 3 参数估计的主要内容 7.1 点估计 幻灯片编号 6 幻灯片编号 7 幻灯片编号 8 幻灯片编号 9 幻灯片编号 10 幻灯片编号 11 幻灯片编号 12 幻灯片编号 13 幻灯片编号 14 幻灯片编号 15 幻灯片编号 16 幻灯片编号 17 幻灯片编号 18 幻灯片编号 19 7.3 估计量的评选标准 幻灯片编号 21 幻灯片编号 22 幻灯片编号 23 幻灯片编号 24 幻灯片编号 25 二、有效性 三、 一致性（相合性） 7.4 区间估计 幻灯片编号 29 幻灯片编号 30 幻灯片编号 31 一、置信区间的概念 幻灯片编号 33 幻灯片编号 34 二、构造置信区间的步骤 7.5 正态总体均值和方差的区间估计 幻灯片编号 37 幻灯片编号 38 幻灯片编号 39 幻灯片编号 40 幻灯片编号 41 幻灯片编号 42 幻灯片编号 43 幻灯片编号 44 7.6 （0-1）分布参数的区间估计 7.7 单侧置信区间 幻灯片编号 47 幻灯片编号 48 幻灯片编号 49