null概率论与数理统计概率论与数理统计主讲教师:唐亚勇Email: yayongtang@scu.edu.cnnull概率论是研究什么的?概率论——研究随机现象并揭示其统计规律性的科学 序言答疑时间答疑时间时间:星期一、二、四晚7:00-9:00
地点:A224§1.1随机事件及运算
1.1.1.随机试验§1.1随机事件及运算
1.1.1.随机试验
随机试验的特点
1. 可在相同条件下重复进行;
2. 试验结果可能不止一个,且预知所有的可能结果;
3. 试验前无法确定会是哪种结果出现。第一章 随机事件及其概率null例1: 抛一枚硬币,分别用“H” 和“T”
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示出现正面和反面;
例2: 将一枚硬币连抛三次,考虑正反面出现的情况;
例3: 将一枚硬币连抛三次,考虑正面出现的次数;
例4: 掷一颗骰子,考虑可能出现的点数;
例5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数;
例6: 在一批灯泡中任取一只,测其寿命;
例7: 任选一人,记录他的身高和体重 。随机试验的例子1.1.2 样本空间及随机事件1.1.2 样本空间及随机事件 3.两个特殊事件: 必然事件S 、不可能事件. 6、由一个样本点ω组成的单点集称为一个基本事件,也记为ω. 1.定义 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”,
简称“事件”.记作A、B、C等2.基本事件和复合事件 4.样本空间:试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间,记为Ω; 5.样本点: 试验的每一个结果或样本空间的元素称为
一个样本点,记为ω. 1.事件的包含与相等 “A发生必导致B发生”, 记为AB
A=B AB且BA.
1.1.3. 事件之间关系及运算null2. 事件的和(并) “事件A与B至少有一个发生”,
记作AB2′ n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生,记作null3. 事件的积(交):A与B同时发生,记作 AB=AB3' n个事件A1, A2,…, An同时发生,记作 A1A2…An或null4.事件的差 :A-B称为A与B的差事件,表示“事件A发生而B不发生”思考:何时A-B=?何时A-B=A?注:A-B=A-ABnull5.互不相容(互斥)的事件:如果AB= ,则称A与B为互斥事件。
6. 对立(互逆)的事件:如果 AB= , 且AB= , 则称A与B为互逆事件。
如果A, B是任意两事件,则有null7. 完备事件组若事件 A1, A2, ……, An为两两互不相容的事件,
并且 ,事件间的运算的性质1、交换律:AB=BA,AB=BA
2、结合律:(AB)C=A(BC),
(AB)C=A(BC)
3、分配律:(AB)C=(AC)(BC),
(AB)C=(AC)(BC)则称 A1, A2, ……, An 构成Ω的一个完备事件组。null4、德·摩根(De Morgan)律(对偶律): null例:甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹,以
A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标,试用A、
B、C的运算关系表示下列事件:null解: (1)n个零件全为正品;
(2)至少有一个零件不是正品
(3)有且仅有一个零件不是正品。null例:设某射手对一目标接连进行三次射击,事件 Ai表示
该射手第i次击中目标(i=1,2,3)。试用事件的运算符号
表示下列事件:(1)前两次至少有一次击中;
(2)第二次未中;
(3)三次中至少有一次击中;
(4)三次全中;
(5)第三次中但第二次未中;
(6)前两次均未中;
(7)后两次中至少有一次未中;
(8)三次中至少有两次击中。1.2 .1 频率及其性质1.2 .1 频率及其性质§1.2 频率与概率频率的性质
(1) 0 fn(A) 1;
(2) fn(Ω)=1; fn( )=0.定义1.2.1: 事件A在n次重复试验中出现k次, 则称k 为事件A发生的频数, 比值k/n 称为事件A在n次重复 试验中出现的频率, 记为fn(A). 即 fn(A)= k/n.null 历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时,出现正反面的机会均等。
实验者 n nB fn(B)
德·摩根 2048 1061 0.5181
蒲丰 4040 2048 0.5069
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
维尼 30000 14994 0.4998(3) 可加性:设A1,A2,…,Ar 是r 个两两互不相容的事件,即AiAj= (ij), i,j=1,2,…r, 则有fn(A1A2...Ar)=fn(A1)+fn(A2)+….+fn(Ar).null实践证明: 当试验次数n增大时, fn(A) 稳定地在某一
常数p附近摆动, 且随n越大摆动幅度越小. 则称p为事
件A发生的概率, 记作P(A)=p.这样定义的概率称为概率的统计定义。注意这相当于在极限意义下的定义。1.2.2. 概率的公理化定义及其基本性质定义1.2.2 若是随机试验所对应的样本空间,对中的每一事件A, 规定一个实数P(A). 如果集合函数P(·)满足以下三个条件,则称P(A)为事件A发生的概率:
(1) 非负性:P(A)≥0;
(2) 规范性:P()=1;
(3) 可列可加性:设A1,A2,…, 是一列两两互不相容的事件, 即AiAj=(ij), i,j=1,2,…, 有
1.2.2. 概率的公理化定义及其基本性质null概率的基本性质
(1)P()=0 ; (3)单调性:若A B,
则P(A-B)=P(A) -P(B) , 且
P(A)≥P(B) ,从而P(A)≤ 1;(2) 有限可加性:设A1,A2,…An 是n个两两互不相容的事件, 即AiAj= (ij), i,j=1,2,…,n ,则有 P( A1 A2 … An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An);null(4)事件差 A、B是两个事件,则null(6) 加法公式:对任意两事件A、B,有
P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) (5) 互补性(7) 可分性:对任意两事件A、B,有 该公式可推广到任意n个事件A1,A2,…,An的情形: null例:设A,B为两个事件,且P(A)=0.6, P(B)=0.5, P(AB)=0.7. 解:null例:某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求从该市任选一人, (1)他至少订有一种报纸的概率;(2)他只订甲、乙两报的概率;(3)他只订乙报的概率。解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报null§1.3 等可能概型§1.3 等可能概型等可能概型是指在一次试验中,样本空间的每个
样本点被取到的可能性相等的随机试验类型,
这是一种最简单的概率类型。古典概型
几何概型null若某试验E满足
1.有限性:样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn};
2.等可能性:
P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn).
则称E为古典概型。
1.3.1 古典概型null定理1.3.1 在古典概型中,设样本空间Ω有n个样本点,A是Ω中事件且A中所含样本点个数为k,则事件A发生的概率为P(A)具有如下性质(1) 0 P(A)1;
(2) P()=1, P( )=0;
(3) 若AB=, 则P( A B )= P(A) +P(B).此定理的结果也称为概率的古典定义.null例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A表示至少有一个男孩,以B表示某个孩子是男孩, G表示某个孩子是女孩.N={BBB,BBG,BGB,GBB,BGG,GGB,GBG,GGG}N(A)={BBB,BBG,BGB,GBB,BGG,GGB,GBG}null加法原理:设完成一件事可有两种途径,第一种途径有n1种方法,第二种途径有n2种方法,则完成这件事共有n1+n2种方法.样本空间点数要以排列或组合计算复习:排列与组合的基本概念1、全部排列和组合
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
公式基于下列两条原理:乘法原理:设完成一件事需分两步,第一步有n1种方法,第二步有n2种方法,则完成这件事共有n1n2种方法.null(1)有重复排列:从含有n个元素的集合中随机
抽取k次,每次取一个,记录其结果后放回,
将记录结果排成一列,共有nk种排列方式.2、排列(2)无重复排列(选排列):从含有n个元素的
集合中随机抽取k 次,每次取一个,记录其结果
后不放回,将记录结果排成一列,共有Pnk=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)种排列方式.(3)全排列:从含有n个元素的集合中随机抽取n次,每次取一个,记录其结果后不放回,将记录结果排成一列,共有Pn=n!种排列方式.null(1)从含有n个元素的集合中随机抽取k个,共有种取法.3、组合(2)把n个元素随机地分成m组(n>m),要求第 i 组恰
有ni个 (i=1,…m),共有分法:种分法.null例:30名学生中有3名运动员,将这30名学生
平均分成3组,求:
(1)每组有一名运动员的概率;
(2)3名运动员集中在一个组的概率。
解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组.null一般地,把n个球随机地分成m组(n>m),要求第 i 组恰有ni个球(i=1,…m),共有分法:null习
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
:十个号码:1号,2号,……,10号,装于
一袋中,从其中任取三个,问大小在中间的号码
恰为5号的概率是多少?(只考虑大小关系)解:null更一般提法:一袋中装有n个球,其中n1个带
有号码“1”,n2个带有号码“2”,……,nk个
带有号码“k”,n1+n2+……nk=n。从此袋中任取
m个球,求恰有mi个带有号码“i”(i=1,2,……,k)
的概率,其中m1+m2+……mk=m.null麦克斯威尔—波尔茨曼质点运动问题设有m个质点,每一质点以等可能落于N(N>=m)
个盒子中的每一个盒 子里(设每一个盒子能容纳
的质点数是没有限制的),求事件A=“某预先指定
的m个盒子各含有一个质点的概率”。解:1.3.2 几何概型1.3.2 几何概型1. 用计算机在[0,1]区间上任打出一个数x,
问x小于1/3的概率是多少?2. 随机地在单位圆内任掷一点M, 问M到原点
的距离小于1/2的概率是多少?null例:某电台每到整点均报时,某人早上醒来后打开
收音机,求他等待的时间不超过10分钟就能听到电
台报时的概率。定义1.3.1 设样本空间Ω是欧氏空间的一个区域,以m(Ω)
表示Ω的度量(一维为长度,二维为面积,三维为体积等). A
是Ω中一个可以度量的子集,定义为事件A发生的概率,称为几何概率.null例:某货运码头仅能容纳一船卸货,而甲、乙两船在
码头卸货时间分别为1小时和2小时。 设甲、乙两船在
24小时内随时可能到达,求它们中任何一船都不需等
待码头空出的概率。null(蒲丰投针问题)在平面画有等距为a(a > 0)的一些
平行线,向平面上随意的投掷一长为l (l < a)的针。试求
针与一平行线相交的概率P.解 令如上图所示,容易看出:nullnull这一结论在历史上曾被用来估计圆周率π的值,
同时也是现代统计学中最常使用的“随机模拟”
方法的发端。作法如下: 重复投针, 记录投针次数n和针与
平行线相交的次数k, 则π的近似值为§1.4 条件概率 袋中有十只球,其中九只白球,一只红球,十人依次从袋中各取一球(不放回),问
第一个人取得红球的概率是多少?
第二个人取得红球的概率是多少?§1.4 条件概率1.4.1 条件概率的定义null若已知第一个人取到的是白球,则
第二个人取到红球的概率是多少?已知事件B发生的条件下,事件A发生的概率
称为B条件下A的条件概率,记作P(A|B)若已知第一个人取到的是红球,则第二个人取到红球的概率又是多少?null例1 设袋中有3个白球,2个红球,现从袋中任意抽取两次,每次取一个,取后不放回,
(1)已知第一次取到红球,求第二次也取到红球的概率;
(2)求第二次取到红球的概率
(3)求两次均取到红球的概率设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球null显然,若事件A、B是古典概型的样本空间Ω中的两个事件,其中B含有nB个样本点,AB含有nAB个样本点,则称为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。 定义1.4.1: 设A、B是Ω中的两个事件, 且P(B)>0,
则 null条件概率是概率,满足概率的公理化定义的三个条件概率定义
若对随机试验E所对应的样本空间Ω 中的每一事件A,均赋以一实数P(A),集合函数P(A)满足条件:
P(A)≥0; (2) P(Ω)=1;
(3) 设A1,A2,…,是一列两两互不相容的事件,即AiAj=(ij), i, j=1, 2, …, 有
P( A1 A2 … )= P(A1) +P(A2)+….
则称P(A)为事件A的概率。null容易验证:(3) 设可列个事件A1,A2,A3…两两互不相
容, 则类似可以推出条件概率也满足概率的基本性质。null例:设一批产品中一、二、 三等品各占60%, 30%,
10%. 从中随意抽取一件,发现不是三等品. 求此
产品是一等品的概率。解:设Ai表示“取出的产品为i等品”,i=1,2,3. 则A1,
A2,A3两两互不相容。所求概率为null设A、BΩ , P(A)>0 ,P(B)>0,则 P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B). (1.4.3)
式(1.4.3)就称为事件A、B的概率乘法公式。 式(1.4.3)还可推广到三个事件的情形:
P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). (1.4.4)
一般地,有下列公式:
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An-1).
(1.4.5)1.4.2 乘法公式null例. 已知P(A)=0.6, P(C)= 0.2, P(AC)=0.1, 解:1.4.3 全概率公式与贝叶斯公式1.4.3 全概率公式与贝叶斯公式例.某厂使用甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的产品数量各占24%、30%、46%,且它们的合格率分别为 94%、96%、98%。若任取一件元件,问取到的是合格品的概率是多少?设B:取到一件合格品,
A1:取到的产品来自甲厂,
A2:取到的产品来自乙厂,
A3:取到的产品来自丙厂。null定义 事件组A1,A2,…,An (n可以为),称为样本空间Ω的一个划分或称为完备事件组,若满足A1A2……………AnBnull定理1.4.1(i)、设A1,…, An是Ω 的一个划分,且P(Ai)>0,(i=1,…,n),
则对任何事件B, 有 式(1.4.6)称为全概率公式。null定理1.4.1(ii) 若P(B)>0,则有式(1.4.7)称为贝叶斯(Bayes)公式。null例:商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1.某顾客选中一箱,从中任选4只检查,结果都是好的,便买下了这一箱.问这一箱含有一只次品的概率是多少?解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.
B0, B1, B2分别表示每箱含0,1,2只次品已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1由Bayes公式:null例:12个乒乓球都是新球,每次比赛时取出3个用完后
放回去. 求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率.解 设事件 Ai、Bi、Ci 分别表示第一、二、三次比赛时取
到i个新球(i=0,1,2,3) . 显然, A0 = A1 = A2= , A3= ,并且B0, B1, B2, B3 构成一个完备事件组,从而有 §1.5 事件的独立性
1.5.1 独立性 两个事件的独立§1.5 事件的独立性
1.5.1 独立性 两个事件的独立一般地有是否有例:10件产品中有4件正品,连续取两次,每次取一件,
作有放回抽样。设B、A分别表示第一、二次取得正品,则P(A)=0.4,P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.4,故有P(A)=P(A|B).换言之,有P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B).null1)如果事件A 与 B 相互独立,而且定义: 设A、B是两事件,若
P(AB)=P(A)P(B)
则称事件A与B相互独立。事件独立性的性质:同理,如果2)必然事件Ω与任意随机事件A相互独立;
不可能事件与任意随机事件A相互独立。null3)若随机事件 A 与 B 相互独立,则也相互独立.仅证左边:右边:null例:(不独立事件的例子)袋中有 a 只黑球,b 只白球.每次从中取出一球,取后不放回.令:
A={ 第一次取出白球 }, B={ 第二次取出白球 },
则所以,多个事件的独立多个事件的独立定义、若三个事件A、B、C满足:
(1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C),
P(BC)=P(B)P(C),
则称事件A、B、C两两独立;若在此基础上还满足:
(2) P(ABC)=P(A)P(B)P(C),
则称事件A、B、C相互独立。null定义:设A1,A2,…,An(n>=2)是n个事件,如果
对其中任意两个事件Ai,Aj ,有
P(AiAj)= P(Ai)P(Aj)
则称这n个事件两两独立。定义:设A1,A2,…,An(n>=2)是n个事件,如果两者有何联系和区别?则称n个事件A1,A2,…,An相互独立。null例. 把一个均匀的正四面体每个面分别标上号1,2,3,4, 再抛掷
两次, 观察与桌面重合的一面的标号. 设A表示“第一次出现
偶数”,B表示“第二次出现奇数”,C表示“两次同奇或同偶”.
问A、B、C是哪种独立关系?即A、B、C三个事件两两独立. 而故即它们不互相独立.N=16,N(A)=N(B)=N(C)=8, N(AB)=N(AC)=N(BC)=4.null例: 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹,三人击中目标
的概率分别为0.3、0.5、0.7,求目标上仅中一弹的概率。解:以A1、 A2 、 A3分别表示甲、乙、丙命中目标,B表示目标
仅中一弹, 则显然互不相容,所以又A1、 A2 、 A3 互相独立,所以1.5.2、事件独立性的应用1.5.2、事件独立性的应用1、加法公式的简化:若事件A1,A2,…,An相互独立, 则 2、乘法公式的简化:若事件A1,A2,…,An相互独立,
则null(2) 并联系统3、在可靠性理论上的应用(1) 串联系统null本章由五个概念(随机试验、事件、概率、条件概率、独立性),四个公式(加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式)和两个概型(古典概型、几何概型)组成第一章 小结典型题分析例1:在110这10个自然数中任取一数,求
(1)取到的数能被2或3整除的概率,
(2)取到的数既不能被2也不能被3整除的概率,
(3)取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。解:设A—取到的数能被2整除;
B—取到的数能被3整除故典型题分析null例2:任意将10本
书
关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf
放在书架上,其中有两套书,一套
3卷,一套4卷,求一列事件的概率:3卷一套的放在一起;
4卷一套的放在一起;
两套各自放在一起;
两套至少有一套在一起;
两套各自在一起,且按
卷次排好。null例3:(配对问题)从n双不同的鞋子中任取2r(2r
练习
飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习
:如下图,1、2、3、4、5表示继电器触点, 假设每
个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立,
求L至R是通路的概率。思路:找一个完备事件组,将复杂事件化为简单事件后,
利用全概率公式。null设A表示L至R为通路,Ai表示第i个继电器通,i=1,2,…5由全概率公式