西部数学奥林匹克
目录
2001年西部数学奥林匹克 ...................................................................................................... 2
2002年西部数学奥林匹克 ...................................................................................................... 4
2003年西部数学奥林匹克 ...................................................................................................... 6
2004年西部数学奥林匹克 ...................................................................................................... 7
2005年西部数学奥林匹克 ...................................................................................................... 8
2006年西部数学奥林匹克 .................................................................................................... 10
2007年西部数学奥林匹克 .................................................................................................... 12
2008年西部数学奥林匹克 .................................................................................................... 14
2009年西部数学奥林匹克 .................................................................................................... 16
2010年西部数学奥林匹克 .................................................................................................... 18
2011年西部数学奥林匹克 .................................................................................................... 21
2012年西部数学奥林匹克 .................................................................................................... 23
西部数学奥林匹克
2001 年西部数学奥林匹克
1. 设数列{𝑥𝑛}满足𝑥1 = 12,𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛2𝑛2.证明:𝑥2001 < 1001.
(李伟固 供题)
2. 设 ABCD 是面积为 2 的长方形,P 为边 CD 上 的一点,Q 为△PAB
的内切圆与边 AB 的切点.乘积𝑃𝑃 ⋅ 𝑃𝑃的值随着长方形 ABCD 及点 P
的变化而变化,当𝑃𝑃 ⋅ 𝑃𝑃取最小值时,
(1) 证明:𝑃𝑃 ≥ 2𝑃𝐵;
(2) 求𝑃𝑄 ⋅ 𝑃𝑄的值.
(罗增儒 供题)
3. 设 n、m 是具有不同奇偶性的正整数,且 n>m.求所有的整数 x,
使得𝑥
2𝑛−1
𝑥2𝑚−1
是一个完全平方数.
(潘曾彪 供题)
4. 设𝑥、𝑦、𝑧为正实数,且𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥ 𝑥𝑦𝑧.求𝑥2+𝑦2+𝑧2
𝑥𝑦𝑧
的最小值.
(冯志刚 供题)
5. 求所有的实数 x,使得[𝑥3] = 4𝑥 + 3.这里[y]
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示不超过实数 y 的
最大整数.
(杨文鹏 供题)
6. P 为⊙O 外一点,过 P 作⊙O 的两条切线,切点分别为 A、B.设 Q
为 PO 与 AB 的交点,过 Q 作⊙O 的任意一条弦 CD.证明:△PAB 与
△PCD 有相同的内心.
(刘康宁 供题)
7. 求所有的实数𝑥 ∈ �0, 𝜋
2
�,使得(2 − 𝑠𝑠𝑠 2𝑥) 𝑠𝑠𝑠 �𝑥 + 𝜋
4
� = 1,并证
西部数学奥林匹克
明你的结论.
(李胜宏 供题)
8. 我们称𝑃1,𝑃2,⋯ ,𝑃𝑛为集合 A 的一个 n 分划,如果
(1) 𝑃1 ∪ 𝑃2 ∪ ⋯∪ 𝑃𝑛 = 𝑃;
(2) 𝑃𝑖 ∩ 𝑃𝑗 ≠ 𝛷, 1 ≤ 𝑠 < 𝑗 ≤ 𝑠.
求最小正整数 m,使得对𝑃 = {1,2,⋯ ,𝑚}的任意一个 14 分划
𝑃1,𝑃2,⋯ ,𝑃14,一定存在某个集合𝑃𝑖(1 ≤ 𝑠 ≤ 14),在𝑃𝑖中有两个元素
a、b 满足𝑏 < 𝑎 ≤ 4
3
𝑏.
(冷岗松 供题)
西部数学奥林匹克
2002 年西部数学奥林匹克
1. 求所有的正整数 n,使得𝑠4 − 4𝑠3 + 22𝑠2 − 36𝑠 + 18是一个完全
平方数.
2. 设 O 为锐角△ABC 的外心,P 为△AOB 内部一点,P 在△ABC 的三
边 BC、CA、AB 上的射影分别为 D、E、F.求证:以 FE、FD 为邻边
的平行四边形位于△ABC 内.
3. 考虑复平面上的正方形,它的 4 个顶点所对应的复数恰好是某个
整系数一元四次方程𝑥4 + 𝑝𝑥3 + 𝑞𝑥2 + 𝑟𝑥 + 𝑠 = 0的 4 个根.求这种正
方形面积的最小值.
4. 设 n 为正整数,集合𝑃1,𝑃2,⋯ ,𝑃𝑛+1是集合{1,2,⋯ ,𝑠}的 n+1 个非
空子集.证明:存在{1,2,⋯ ,𝑠 + 1}的两个不交的非空子集{𝑠1, 𝑠2,⋯ , 𝑠𝑘}
和{𝑗1, 𝑗2,⋯ , 𝑗𝑚},使得𝑃𝑖1 ∪ 𝑃𝑖2 ∪ ⋯∪ 𝑃𝑖𝑘 = 𝑃𝑗1 ∪ 𝑃𝑗2 ∪ ⋯∪ 𝑃𝑗𝑚.
5. 在给定的梯形 ABCD 中,AD∥BC,E 是边 AB 上的动点,O1、O2
分别是△AED、△BEC 的外心.求证:O1O2的长为一定值.
6. 设𝑠(𝑠 ≥ 2)是给定的正整数,求所有整数组(𝑎1,𝑎2,⋯ , 𝑎𝑛)满足条
件:
(1) 𝑎1+𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛 ≥ 𝑠2;
(2) 𝑎12 + 𝑎22 + +𝑎𝑛2 ≤ 𝑠3 + 1.
7. 设 α、β为方程𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0的两个根,令𝑎𝑛 = 𝛼𝑛−𝛽𝑛𝛼−𝛽 ,𝑠 = 1,2,⋯.
(1) 证明:对任意正整数 n,有𝑎𝑛+2 = 𝑎𝑛+1+𝑎𝑛;
(2) 求所有正整数 a、b,𝑎 < 𝑏,满足对任意正整数 n,有 b 整除
𝑎𝑛 − 2𝑠𝑎𝑛.
西部数学奥林匹克
8. 设𝑆 = (𝑎1,𝑎2,⋯ ,𝑎𝑛)是一个由 0,1 组成的满足下述条件的最长的
数列:数列 S 中任意两个连续 5 项不同,即对任意1 ≤ 𝑠 < 𝑗 ≤ 𝑠 − 4,
𝑎𝑖 ,𝑎𝑖+1,𝑎𝑖+2, 𝑎𝑖+3, 𝑎𝑖+4与𝑎𝑗 ,𝑎𝑗+1,𝑎𝑗+2,𝑎𝑗+3,𝑎𝑗+4不相同.证明:数列 S
最前面的 4 项与最后面的 4 项相同.
西部数学奥林匹克
2003 年西部数学奥林匹克
1. 将1,2,3,4,5,6,7,8分别放在正方体的八个顶点上,使得每一个面上
的任意三个数之和均不小于 10.求每一个面上四个数之和的最小值.
2. 设 2n 个实数𝑎1,𝑎2,⋯ , 𝑎2𝑛满足条件∑ (𝑎𝑖+1 − 𝑎𝑖)2 = 12𝑛−1𝑖=1 .求(𝑎𝑛+1+𝑎𝑛+2 + ⋯+ 𝑎2𝑛) − (𝑎1+𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛)的最大值.
3. 设 n 为给定的正整数.求最小的正整数𝑢𝑛,满足:对每一个正整数
d,任意𝑢𝑛个连续的正奇数中能被 d 整除的数的个数不少于奇数1,3,5,⋯ ,2𝑠 − 1中能被 d 整除的数的个数.
4. 证明:若凸四边形 ABCD 内任意一点 P 到边 AB、BC、CD、DA
的距离之和为定值,则 ABCD 是平行四边形.
5. 已知数列{𝑎𝑛}满足:𝑎0 = 0,𝑎𝑛+1 = 𝑘𝑎𝑛 + �(𝑘2 − 1)𝑎𝑛2 + 1,𝑠 =0,1,2,⋯,其中 k 为给定的正整数.证明:数列{𝑎𝑛}的每一项都是整数,
且2𝑘|𝑎2𝑛,𝑠 = 0,1,2,⋯.
6. 凸四边形 ABCD 有内切圆,该内切圆切边 AB、BC、CD、DA 的
切点分别为 A1、B1、C1、D1,连结 A1B1、B1C1、C1D1、D1A1,点 E、
F、G、H 分别为 A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点.证明:四边形 EFGH
为矩形的充分必要条件是 A、B、C、D 四点共圆.
7. 设非负实数𝑥1、𝑥2、𝑥3、𝑥4、𝑥5满足∑
1
1+𝑥𝑖
= 15𝑖=1 .求证:
∑ 𝑥𝑖
4+𝑥𝑖
2
5
𝑖=1 ≤ 1.
8. 1650 个学生排成 22 行、75 列.已知其中任意两列处于同一行的两
个人中,性别相同的学生都不超过 11 对.证明:男生的人数不超过 928.
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2004 年西部数学奥林匹克
1. 求所有的整数 n,使得𝑠4 + 6𝑠3 + 11𝑠2 + 3𝑠 + 31是完全平方数.
2. 四边形 ABCD 为一凸四边形,I1、I2分别为△ABC、△DBC 的内心,
过点 I1、I2的直线分别交 AB、DC 于点 E、F,分别延长 AB、DC,它
们相交于点 P,且 PE=PF.求证:A、B、C、D 四点共圆.
3. 求所有的实数 k,使得不等式𝑎3 + 𝑏3+𝑐3 + 𝑑3 + 1 ≥ 𝑘(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 +
𝑑)对任意𝑎、𝑏、𝑐、𝑑 ∈ [−1, +∞)都成立.
4. 设𝑠 ∈ 𝑁+,用𝑑(𝑠)表示 n 的所有正约数的个数,𝜙(𝑠)表示1,2,⋯ ,𝑠
中与 n 互质的数的个数.求所有的非负整数 c,使得存在正整数 n,满
足𝑑(𝑠) + 𝜙(𝑠) = 𝑠 + 𝑐,且对这样的每一个 c,求出所有满足上式的
正整数 n.
5. 设数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 = 𝑎2 = 1,且𝑎𝑛+2 = 1𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛,𝑠 = 1,2,⋯.求𝑎2004.
6. 将𝑚 × 𝑠棋盘(由 m 行 n 列方格构成,𝑚 ≥ 3,𝑠 ≥ 3)的所有小方
格都染上红蓝两色之一.如果 2 个相邻(有公共变)的小方格异色,
则称这 2个小方格为 1个“
标准
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对”.设期盼中“标准对”的个数为 S.试问:
S 是奇数还是偶数有哪些方格的颜色确定?什么情况下 S 为奇数?什
么情况下 S 为偶数?说明理由.
7. 已知锐角△ABC 的三边长不全相等,周长为 l,P 是其内部一动点,
点 P 在边 BC、CA、AB 上的射影分别为 D、E、F.求证:2(𝑃𝐵 + 𝑃𝐷 +
𝐵𝐵) = 𝑙的充分必要条件是:点 P 在△ABC 的内心与外心的连线上.
8. 求证:对任意正实数 a、b、c,都有1 < 𝑎
√𝑎2+𝑏2
+ 𝑏
√𝑏2+𝑐2
+ 𝑐
√𝑐2+𝑎2
≤
3√2
2
.
西部数学奥林匹克
2005 年西部数学奥林匹克
1. 已知𝛼2005 + 𝛽2005可表示成以𝛼 + 𝛽、𝛼𝛽为变元的二元多项式.求
这个多项式的系数之和.
2. 如图 1,过圆外一点 P 作圆的两条切线 PA、PB,A、B 为切点,
再过点 P 作圆的一条割线分别与圆交于 C、D 两点,过切点 B 作 PA
的平行线分别交直线 AC、AD 于 E、F.求证:𝑃𝐵 = 𝑃𝐵.
图 1
3. 设𝑆 = {1,2,⋯ ,2005}.若 S 中任意 n 个两两互质的数组成的集合中
都至少有一个质数,试求 n 的最小值.
4. 已知实数𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛(𝑠 > 2)满足|∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 | > 1,|𝑥𝑖| ≤ 1(𝑠 =1,2,⋯ ,𝑠).求证:存在正整数 k,使得�∑ 𝑥𝑖𝑘𝑖=1 − ∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=𝑘+1 � ≤ 1
5. 如图 2,⊙O1、⊙O2交于 A、B 两点.过点 O1的直线 DC 交⊙O1
于点 D 且切⊙O2于点 C,CA 且⊙O1于点 A,⊙O1的弦 AE 与直线
DC 垂直.过点 A 作 AF 垂直于 DE,F 为垂足.求证:BD 平分线段 AF.
图 2
F
E
C
B
A
P
D
F
E
B
D
O
1
O
2
A
C
西部数学奥林匹克
6. 在等腰 Rt△ABC 中,𝐵𝑃 = 𝐵𝑃 = 1,P 是△ABC 边界上任意一点.
求𝑃𝑃 ⋅ 𝑃𝑃 ⋅ 𝑃𝐵的最大值.
7. 设正实数 a、b、c 满足𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1.证明: 10(𝑎3 + 𝑏3+𝑐3) − 9(𝑎5 + 𝑏5 + 𝑐5) ≥ 1.
8. 设 n 个新生汇总,任意 3 个人中有 2 个人互相认识,任意 4 个人
中有 2 个人互不任何.试求 n 的最大值.
西部数学奥林匹克
2006 年西部数学奥林匹克
1. 设𝑠(𝑠 ≥ 2)是给定的正整数,𝑎1,𝑎2,⋯ ,𝑎𝑛 ∈ (0,1).求
∑ �𝑎𝑖(1− 𝑎𝑖+1)6𝑛𝑖=1 的最大值,这里𝑎𝑛+1 = 𝑎1.
2. 求满足下述条件的最小正实数 k:对任意不小于 k 的 4 个互不相同
的实数 a、b、c、d,都存在 a、b、c、d 的一个排列 p、q、r、s,使
得方程(𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞)(𝑥2 + 𝑟𝑥 + 𝑠) = 0有 4 个互不相同的实数根.
3. 如图 1,在△ABC 中,∠𝑃𝑃𝐵 = 60°,过点 P 作△PBC 的外接圆⊙
O 的切线,与 CA 的延长线交于点 A.点 D、E 分别在线段 PA 和⊙O
上,使得∠𝐷𝑃𝐵 = 90°,PD=PE.连结 BE 与 PC 相交于点 F.已知 AF、
BP、CD 三线共点.
(1) 求证:BF 是∠𝑃𝑃𝐵的角平分线;
(2) 求𝑡𝑎𝑠 ∠𝑃𝐵𝑃的值.
图 1
4. 设正整数 a 不是完全平方数.求证:对每一个正整数 n,
𝑆𝑛 = �√𝑎� + �√𝑎�2 + ⋯+ �√𝑎�𝑛的值都是无理数.这里{𝑥} = 𝑥 − [𝑥],
其中,[𝑥]表示不超过 x 的最大整数.
5. 设𝑆 = �𝑠�𝑠 − 1,𝑠,𝑠 + 1 都可以表示为两个正整数的平方和�.证明:
若𝑠 ∈ 𝑆,则𝑠2 ∈ 𝑆.
F
E
A
P
O
B
C
D
西部数学奥林匹克
6. 如图 2,AB 是⊙O 的直径,C 为 AB 延长线上的一点,过点 C 作
⊙O 的割线,与⊙O 交于点 D、E,OF 是△BOD 的外接圆⊙O1的直
径,连结 CF 并延长交⊙O1于点 G.求证:O、A、E、G 四点共圆.
图 2
7. 设 k 是一个不小于 3 的正整数,θ是一个实数.证明:如果
𝑐𝑚𝑠(𝑘 − 1)𝜃和𝑐𝑚𝑠 𝑘𝜃都是有理数,那么,存在正整数𝑠(𝑠 > 𝑘),使得
𝑐𝑚𝑠(𝑠 − 1)𝜃和𝑐𝑚𝑠 𝑠𝜃都是有理数.
8. 给定正整数𝑠(𝑠 ≥ 2),求|𝑋|的最小值,使得对集合 X 的任意 n 个
二元子集𝑃1,𝑃2,⋯ ,𝑃𝑛,都存在集合 X 的一个子集 Y,满足:
(1)|𝑌| = 𝑠;
(2) 对𝑠 = 1,2,⋯ ,𝑠,都有|𝑌 ∩ 𝑃𝑖| ≤ 1.
这里,|𝑃|表示有限集合 A 的元素个数.
G
F
O
1
D
A
O
B
C
E
西部数学奥林匹克
2007 年西部数学奥林匹克
1. 已知𝑇 = {1,2,⋯ ,8}.对于𝑃 ⊆ 𝑇,𝑃 ≠ 𝛷,定义𝑆(𝑃)为 A 中所有元素
之和.问:T 有多少个非空子集 A,使得𝑆(𝑃)是 3 的倍数,但不是 5 的
倍数?
2. 如图 1,⊙O1、⊙O2交于点 C、D,过 D 的一条直线分别与⊙O1、
⊙O2交于点 A、B,点 P 在⊙O1的 AD 弧上,PD 与线段 AC 的延长
线交于点 M,点 Q 在⊙O2的 BD 弧上,QD 与线段 BC 的延长线交于
点 N,O 是△ABC 的外心.求证:𝑂𝐷 ⊥ 𝑀𝑁的充要条件为 P、Q、M、
N 四点共圆.
图 1
3. 设实数 a、b、c 满足𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3.求证: 1
5𝑎2−4𝑎+11
+ 1
5𝑏2−4𝑏+11
+
1
5𝑐2−4𝑐+11
≤
1
4
.
4. 设 O 是△ABC 内部一点.证明:存在正整数 p、q、r,使得|𝑝𝑂𝑃 + 𝑞𝑂𝑃 + 𝑟𝑂𝐵| < 1
2007
.
5. 是否存在三边长都为整数的三角形,满足以下条件:最短边长为
2007,且最大的角等于最小角的两倍?
M
N
O
B
C
D
O
1
O
2
A
P
Q
西部数学奥林匹克
6. 求所有的正整数 n,使得存在非零整数𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛, 𝑦,满足
�
𝑥1+𝑥2+⋯+ 𝑥𝑛 = 0,
𝑥1
2+𝑥22+⋯+ 𝑥𝑛2 = 𝑠𝑦2.
7. 设 P 是锐角△ABC 内一点,AP、BP、CP 分别与边 BC、CA、AB
交于点 D、E、F,已知△ 𝐷𝐵𝐵 ∼△ 𝑃𝑃𝐵.求证:P 是△ABC 的重心.
8. 将 n 枚白子与 n 枚黑子任意地放在一个圆周上.从某枚白子起,按
顺时针方向依次将白子标以1,2,⋯ ,𝑠.在从某枚黑子起,按逆时针方向
依次将黑子标以1,2,⋯ ,𝑠.证明:存在连续 n 枚棋子(不计黑白),它
们的标号组成的集合为{1,2,⋯ ,𝑠}.
西部数学奥林匹克
2008 年西部数学奥林匹克
1. 实数数列{𝑎𝑛}满足𝑎0 ≠ 0,1,𝑎1 = 1 − 𝑎0,𝑎𝑛+1 = 1 − 𝑎𝑛(1 −
𝑎𝑛)(𝑠 = 1,2,⋯ ).证明:对任意的正整数 n,都有𝑎0𝑎1 ⋯𝑎𝑛 � 1𝑎0 + 1𝑎1 +
⋯+ 1
𝑎𝑛
� = 1.
2. 如图 1,在△ABC 中,AB=AC,其内切圆⊙I 分别切边 BC、CA、
AB 于点 D、E、F,P 为弧 EF(不含点 D 的弧)上一点.设线段 BP
交⊙I 于另一点 Q,直线 EP、EQ 分别交 BC 于点 M、N.证明:
(1) P、F、B、M 四点共圆;
(2) 𝐸𝐸
𝐸𝐸
= 𝐵𝐵
𝐵𝐵
.
图 1
3. 设整数𝑚(𝑚 ≥ 2),𝑎1, 𝑎2,⋯ , 𝑎𝑚都是正整数.证明:存在无穷多个
正整数 n,使得数𝑎1 × 1𝑛 + 𝑎2 × 2𝑛 + ⋯+ 𝑎𝑚 × 𝑚𝑛都是合数.
4. 设整数𝑚(𝑚 ≥ 2),a 为正实数,b 为非零实数,数列{𝑥𝑛}定义如
下:𝑥1 = 𝑏, 𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛𝑚 + 𝑏(𝑠 = 1,2,⋯ ).证明:
(1) 当 b<0且m为偶数时,数列{𝑥𝑛}有界的充要条件是𝑎𝑏𝑚−1 ≥ −2;
(2) 当 b<0 且 m 为奇数,或 b>0 时,数列{𝑥𝑛}有界的充要条件是
𝑎𝑏𝑚−1 ≤
(𝑚−1)𝑚−1
𝑚𝑚
.
M
N
Q
E
F
I
D
B
C
A
P
西部数学奥林匹克
5. 在一直线上相邻的距离都等于 1 的四个点上各有一只青蛙,允许
任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上.证
明:无论跳动多少次后,四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不
能都等于 2008.
6. 设𝑥、𝑦、𝑧 ∈ (0,1),满足�1−𝑥
𝑦𝑧
+ �1−𝑦
𝑧𝑥
+ �1−𝑧
𝑥𝑦
= 2.求 xyz 的最大值.
7. 设 n 为给定的正整数.求最大的正整数 k,使得存在三个由非负整
数组成的 k 元集𝑃 = {𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑘},𝑃 = {𝑦1,𝑦2,⋯ ,𝑦𝑘},𝐵 ={𝑧1, 𝑧2,⋯ , 𝑧𝑘}满足对任意的𝑗(1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘),都有𝑥𝑗+𝑦𝑗 + 𝑧𝑗 = 𝑠.
8. 设P为正 n边形𝑃1𝑃2 ⋯𝑃𝑛内的任意一点,直线𝑃𝑖𝑃(𝑠 = 1,2,⋯𝑠)交
正 n 边形𝑃1𝑃2 ⋯𝑃𝑛的边界于另一点𝑃𝑖.证明:∑ 𝑃𝑃𝑖𝑛𝑖=1 ≥ ∑ 𝑃𝑃𝑖𝑛𝑖=1 .
西部数学奥林匹克
2009 年西部数学奥林匹克
1. 设 M 是一个由实数集 R 去掉有限个元素后得到的集合.证明:对
任意正整数 n,都存在 n 次多项式 f(x),使得 f(x)的所有系数及 n 个实
根都属于 M.
2. 给定整数𝑠 ≥ 3.求最小的正整数 k,使得存在一个 k 元集合 A 和 n
个两两不同的实数𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛,满足
𝑥1+𝑥2, 𝑥2 + 𝑥3,⋯ , 𝑥𝑛−1+𝑥𝑛, 𝑥𝑛 + 𝑥1均属于 A.
3. 设 H 为锐角△ABC 的垂心,D 为边 BC 的中点.过点 H 的直线分别
交边 AB、AC 于点 F、E,使得 AE=AF,射线 DH 与△ABC 的外接圆
交于点 P.求证:P、A、E、F 四点共圆.
4. 求证:对任意给定的正整数 k,总存在无穷多个正整数 n,使得2𝑛+3𝑛 − 1, 2𝑛+3𝑛 − 2,⋯ , 2𝑛+3𝑛 − 𝑘均为合数.
5. 设数列{𝑥𝑛}满足𝑥1 ∈ {5,7}及当𝑘 ≥ 1时,有𝑥𝑘+1 ∈ {5𝑥𝑘 , 7𝑥𝑘}.试确
定𝑥2009的末两位数字的所有可能值.
6. 如图 1,设 D 是锐角△ABC 的边 BC 上一点,以线段 BD 为直径的
圆分别交直线 AB、AD 于点 X、P(异于点 B、D),以线段 CD 为直
径的元分别交直线 AC、AD 于点 Y、Q(异于点 C、D).过点 A 作直
线 PX、QY 的垂线,垂足分别为 M、N.求证△ 𝑃𝑀𝑁 ∼△ 𝑃𝑃𝐵的充分必
要条件是直线 AD 过△ABC 的外心.
西部数学奥林匹克
图 1
7. 有𝑠(𝑠 > 12)个人参加某次数学邀请赛,试卷由十五道填空题组成,
每答对一题得 1 分,不答或答错得 0 分.
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
每一种可能的得分情况
发现:只要其中任意 12 个人得分之和不少于 36 分,则这 n 个人中至
少有 3 个人答对了至少三道同样的题.求 n 的最小可能值.
8. 实数𝑎1,𝑎2,⋯ ,𝑎𝑛(𝑠 ≥ 3)满足𝑎1+𝑎2 + ⋯+𝑎𝑛 = 0,且2𝑎𝑘 ≤
𝑎𝑘−1 + 𝑎𝑘+1(𝑘 = 2,3,⋯ ,𝑠 − 1).求最小的𝜆(𝑠),使得对所有的
𝑘 ∈ {1,2,⋯𝑠},都有|𝑎𝑘| ≤ 𝜆(𝑠) ⋅ 𝑚𝑎𝑥{|𝑎1|, |𝑎𝑛|}.
N
M
Y
Q
P
X
A
B
C
D
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2010 年西部数学奥林匹克
1. 设 m、k 为给定的非负整数,𝑝 = 22𝑚 + 1为质数.求证:
(1) 22𝑚+1𝑝𝑘 ≡ 1(𝑚𝑚𝑑 𝑝𝑘+1);
(2) 满足同余方程2𝑛 ≡ 1(𝑚𝑚𝑑𝑝𝑘+1) 的最小正整数 n 为2𝑚+1𝑝𝑘.
(靳 平 供题)
2. 如图 1,已知 AB 是⊙O 的直径,C、D 是圆周上异于点 A、B 且
在 AB 同侧的两点,分别过点 C、D 作圆的切线,它们交于点 E,线
段 AD 与 BC 的交点为 F,直线 EF 与 AB 交于点 M.求证:E、C、M、
D 四点共圆.
图 1
(刘诗雄 供题)
3. 求所有的正整数 n,使得集合{1,2,⋯ ,𝑠}有 n 个两两不同的三元子
集𝑃1,𝑃2,⋯ ,𝑃𝑛,满足对任意的𝑘(1 ≤ 𝑠 < 𝑗 ≤ 𝑠),都有�𝑃𝑖 ∩ 𝑃𝑗� ≠ 1.
(冯志刚 供题)
4. 设非负实数𝑎1,𝑎2,⋯ ,𝑎𝑛与𝑏1, 𝑏2,⋯ , 𝑏𝑛满足以下条件:
(1) ∑ 𝑎𝑖+𝑏𝑖𝑛𝑖=1 = 1;
(2) ∑ 𝑠(𝑎𝑖 − 𝑏𝑖)𝑛𝑖=1 = 0;
(3) ∑ 𝑠2(𝑎𝑖 + 𝑏𝑖)𝑛𝑖=1 = 10.
西部数学奥林匹克
求证:对任意的𝑘(1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑠),都有𝑚𝑎𝑥{𝑎𝑘, 𝑏𝑘} ≤ 1010+𝑘2.
(李胜宏 供题)
5. 设 k 为大于 1 的整数,数列{𝑎𝑛}定义如下:𝑎0 = 0,𝑎1 = 1,𝑎𝑛+1 =
𝑘𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1(𝑠 = 1,2,⋯ ).
求所以满足如下条件的 k:存在非负整数𝑙、𝑚(𝑙 ≠ 𝑚),及正整数 p、
q,使得𝑎𝑙 + 𝑘𝑎𝑝 = 𝑎𝑚 + 𝑘𝑎𝑞.
(熊 斌 供题)
6. 如图 2,在△ABC 中,∠𝑃𝐵𝑃 = 90°,以 B 为圆心、BC 为半径作圆,
点 D 在边 AC 上,直线 DE 切⊙B 于点 E,过点 C 垂直于 AB 的直线
于直线 BE 交于点 F,AF 与 DE 交于点 G,作 AH∥BG 于 DE 交于点
H.求证 GE=GH.
图 2
(边红平 供题)
7. 有𝑠(𝑠 ≥ 3)名选手参加乒乓球比赛,每两名选手之间恰比赛一场
且没有平局.若选手 A 的手下败将不都是 B 的手下败将,则称 A 不亚
于 B.试求所有可能的 n,使得存在一种比赛结果,其中每一名选手都
不亚于其他任何一名选手.
(李秋生 供题)
H
G
F
E
B
A
C
D
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8. 求所有的整数 k,使得存在正整数 a 和 b,满足𝑏+1
𝑎
+ 𝑎+1
𝑏
= 𝑘.
(陈永高 供题)
西部数学奥林匹克
2011 年西部数学奥林匹克
1. 已知0 < 𝑥、𝑦 < 1.求 𝑥𝑦(1−𝑥−𝑦)(𝑥+𝑦)(1−𝑥)(1−𝑦)的最大值.
2. 设集合满足:𝑀 ⊆ {1,2,⋯ ,2011}在 M 的任意三个元素中都可以找
到两个元素 a、b,使得𝑎|𝑏或𝑏|𝑎.求|𝑀|的最大值(|𝑀|表示集合 M 的
元素个数).
3. 给定整数𝑠 ≥ 2.
(1) 证明:可以将集合 {1,2,⋯ ,𝑠} 的左右子集适当地排列为
𝑃1,𝑃2,⋯ ,𝑃2𝑛,使得𝑃𝑖与𝑃𝑖+1(𝑠 = 1,2, , 2𝑛,且𝑃2𝑛+1 = 𝑃1)的元素个数
恰相差 1.
(2) 对于满足(1)中条件的子集𝑃1,𝑃2,⋯ ,𝑃2𝑛,求∑ (−1)𝑖𝑆(𝑃𝑖)2𝑛𝑖=1 的所
以可能值,其中,𝑆(𝑃𝑖) = ∑ 𝑥𝑥∈𝐴𝑖 , 𝑆(∅) = 0.
4. 如图 1,AB、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦,AB 与 CD 交于
点 E,⊙I 内切⊙O 于点 F,且分别与弦 AB、CD 切于点 G、H.过点
O 的直线 l 分别于 AB、CD 交于点 P、Q,使得 EP=EQ,直线 EF 于
直线 l 交于点 M.证明:过点 M 且与 AB 平行的直线是⊙O 的切线.
图 1
5. 是否存在奇数𝑠(𝑠 ≥ 3)及 n 个互不相同的质数𝑝1,𝑝2,⋯ , 𝑝𝑛,使得
𝑝𝑖 + 𝑝𝑖+1(𝑠 = 1,2,⋯ ,𝑠,𝑝𝑛+1 = 𝑝1)都是完全平方数?请证明你的结论.
l
M
P
Q
C
D
H
B
A
G
E
O
F
I
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6. 设 𝑎、𝑏、𝑐 > 0 . 证 明 : (𝑎−𝑏)2(𝑐+𝑎)(𝑐+𝑏) + (𝑏−𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑐) + (𝑐−𝑎)2(𝑏+𝑐)(𝑏+𝑎) ≥(𝑎−𝑏)2
𝑎2+𝑏2+𝑐2
.
7. 在△ABC 中,𝑃𝑃 > 𝑃𝐵内切圆⊙I 与边 BC、CA、AB 分别切于点 D、
E、F,M 是边 BC 的中点,𝑃𝐻 ⊥ 𝑃𝐵于点 H,∠𝑃𝑃𝐵的平分线 AI 分别
与直线 DE、DF 交于点 K、L.证明:M、L、H、K 四点共圆.
8. 求所有的整数对(𝑎, 𝑏),使得对任意的正整数 n 都有𝑠|(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛+1).
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1. 求最小的正整数𝑚,使得对任意大于 3的质数 𝑝,都有:105|9𝑝2 − 29𝑝 + 𝑚.
2. 证明:在正2𝑠 − 1边形(𝑠 ≥ 3)的顶点中,任意取出𝑠个点,其中
必有3个点,以它们为顶点的三角形为等腰三角形。
3. 设𝐵是一个给定的𝑠元集合,𝑃1,𝑃2,⋯ ,𝑃𝑘是𝐵的𝑘个两两不同的非
空子集,满足:对任意的1 ≤ 𝑠 < 𝑗 ≤ 𝑘,要么𝑃𝑖与𝑃𝑗的交集为空集,
要么𝑃𝑖与𝑃𝑗中的一个是另一个的子集,求𝑘的最大值。
4. 已知点𝑃为锐角△𝑃𝑃𝐵内部任意一点,点𝐵,𝐵分别为𝑃在边𝑃𝐵,𝑃𝑃
上的射影,𝑃𝑃,𝐵𝑃的延长线分别交△𝑃𝑃𝐵的外接圆于点𝑃1,𝐵1。设△
𝑃𝑃𝐵的外接圆和内切圆的半径分别为𝑅和𝑟,求证:
𝐸𝐸
𝐵1𝐶1
≥
𝑟
𝑅
,并确定
等号成立时点𝑃的位置。
5. 在锐角△𝑃𝑃𝐵中,𝐻是垂心,𝑂是外心(𝑃,𝐻,𝑂三点不共线),点𝐷是𝑃
在边𝑃𝐵上的射影,线段𝑃𝑂的中垂线交直线𝑃𝐵于点𝐵。求证:线段𝑂𝐻的
中点在△𝑃𝐷𝐵的外接圆上。
6. 设数列{𝑎𝑛}满足𝑎0 = 12 ,𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛22012 ,𝑠 = 0,1,⋯,,求整数𝑘,
使得𝑎𝑘 < 1 < 𝑎𝑘+1。
7. 一张𝑠 × 𝑠的方格表,称有公共边的方格是相邻的,开始时每个方
格中都写着+1,对方格表进行一次操作是指:任取其中一个方格,
不改变这个方格中的数,而将所有与这个方格相邻的方格中的数都改
变符号。求所有的正整数𝑠 ≥ 2,使得可以经过有限次操作,将所有
方格中的数都变为−1。
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求所有的质数𝑝,使得存在无穷多个正整数𝑠,满足𝑝|𝑠𝑛+1 + (𝑠 + 1)𝑛。
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