极值点偏移

大话极值点偏移想必极值点不用说是什么东西了吧，但是——它怎么就偏移了呢？今儿个，我就给你上节课，这个极值点偏移呀，不难，但是比较有意思。先给上个图比划比划什么叫极值点偏移。翠花，上图——仨图里面x0都是极值点，没标y轴。看甲，两边对称，不偏移，2210xxx。再看乙，极值点左偏，2210xxx；丙，极值点右偏，2210xxx。其实就是比较2x0和x1+x2的大小关系。看出来了吧，发生极值点偏移时，极值点两侧一段区间内函数值增速或减速不同。下面咱看看这只“减毒病毒”长啥样。例2-1-1已知xxxfe)(。(I)求f(x)的单调区间和极值；(II)若g(x)与f(x)的图像关于直线x=1对称，求证：x>1时，f(x)>g(x)；(III)若对任意x1，x2∈R且x1≠x2，有f(x1)=f(x2)，求证：x1+x2>2。第一问不说了，(-∞,1)上单增，(1,+∞)上单减；e1)1()(fxf极大值，没有极小值。(II)问其实一画图特直观，看右边吧。当然了，我把纵坐标画得夸张了一点，为的是能看清楚点儿。看图好像是显然的，下面咱来证一下。走一个)()()(xgxfxF，实际上)2()(xfxg，因为对称嘛，所以)2()()(xfxfxF，这叫做对称化构造，)(xF叫做对称函数/*P.S.这个名词是我自己编的*/。下面的基本思路就是走)(xF单调，判正负，因为只从)(xF的解析式出发的话正负和单调都不太好判。求个导吧，xxxxxxxxxxxfxfxFe1e1)1(e1e1d)2(d)2(d)2(d)(')('22。1x时，xxee2，也就是xxe1e12，而且还01x，那0)('xF没得跑了。再判1x时)(xF正负，那不废话嘛，令x是1，肯定的x等于x2，)1(f跟)1(f难道不相等？0)1(F。0)(1xFx时。所以1x时f(x)>g(x)，这就证出来了。凡是这种对称化构造的，能让你做的肯定是在原来函数[这里是)(xf]的极值点处对称函数[这里是)(xF]取到了0，而且在极值点两边的两个区间上分别有自己的单调，而且各自有恒定的正负。强调一下，当本来的函数)(x在某一区间上正负不好判定时，常会使用求导利用单调性求最值判正负的 方法 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。比如说，求出来)(x最小值都是正的，那)(x肯定就恒正了。其实就是求导找最值。好好体会一下这个方法在第二问中的用法。前两问其实是在为(III)做铺垫呢，如果是真正的题，上来就会出第三问。看(III)。先不着急往下走呢，琢磨琢磨人家让证什么，2当然就是02x。我把其中一个拿到右边去变成即证212xx，你看它像不像(II)里面的x和x2？只是角标不一样，而且还差一个)(f/*P.S.其实差了不少，这你让我上哪儿蒙去……*/。题里还给了f(x1)=f(x2)，看来角标可以统一。要想再添上或去掉)(f，那就得考虑)(f的单调，(I)(II)的结论不就用上了嘛。但是注意，(II)的x0x1x22xx1x22xx0xx22x1x0甲乙丙图L2-112e1y=f(x)y=g(x)Oxy图L2-2条件有限制，你得先令一下1x和2x的范围和大小关系。反正我是习惯让角标大的那个值大，那就令211xx吧。咱现在是从要证的结论往回推，得写一堆“要证……需证……即证……”一类的东西，最后和已知条件或结论吻合，给他扔上去一个“证毕”，就好了。就是这个意思：要证x1+x2>2，需证212xx；单调递增时)(1xfx，即证)2()(21xfxf，即证)2()(22xfxf；由(II)可知1x时)2()(xfxf，又12x，)2()(22xfxf成立，故221xx成立，证毕。刚才全是反着来的，为的是能让你明白偏移是怎么回事，思路是什么。极值点偏移没什么难度，就是刚才的套路。行么？行的话，练一个，正着来一遍。跟2-1-1[学案2.11.4，P7，例6(1)]已知)(e)(Rxxxfx，若21xx，且)()(21xfxf，求证：221xx。P.S.我又不傻，分明是刚才的题嘛！没事，再套路一遍，你好好算算。看好啦，下面是正常的解题步骤。解：),()(定义域为xf，xxxfe1)('；令0)('xf，则1x。10)('xxf时，10)('xxf时，且0)('xf不连续。)1,()(在xf上单调递增，在)1(，上单调递减。设)2()()(xfxfxF，211xx，则x-2e1e1)('xxxFxxxxe1e1)1(21x时0)('xF，0)1()(),1[minFxF上，1x时0)(xF，即)2()(xfxf；02x，)2()(22xfxf；)()(21xfxf，)2()(21xfxf；又11x，)1,()(在xf上单调递增，212xx，即221xx，证毕。行不？可以的话，来看下一个。刚才是21xx加和型的，下面看一个21xx乘积型的。例2-1-2[学案2.11.4，P7，例6(2)]若xxxaxxfln)(2恰有两个不同的极值点21xx和：(1)求a的取值范围；(2)求证：221exx下面的我就不写详细过程了，只说思路，过程都差不多和[跟2-1-1]一样，往上套就行。不废话了，看这个。一眼一看就知道(1)是个零点个数问题。上来没啥想法，求导呗，)('xf……不对，没考虑定义域！看见ln你不觉得心里痒痒么？真数大于0呀！写的时候，“解”字儿后面紧跟着的就应该是“定义域是……”。冒号？好吧，“解”字后面还有个冒号。那好吧。来，回来，写完了定义域再求导。在这儿，定义域),0(D，xaxxaxxfln2ln112)('，令)('xf0，参变分离，xxa2ln有两个零点。但是得注意，解出来以后得检验一下这俩零点是不都是)('xf变号时的零点，因为)('xf0的根不一定是极值点，比如3)(xxf。参变分离完了以后不就该按需构造了么，令xxxg2ln)(，然后走)(xg的单调和最值，)e,0(上)(xg增，),e(上减，所以e21)e()(maxgxg。所以a的取值范围就是e21,了？不怕有挖坑的，就怕有非得往坑里跳的。切记小心有渐近线的情况！翠花，来，给上个图。你不是想要找直线ay和曲线)(xgy有俩交点的时候对应a的取值范围么？看图你就明白了，得让x值取个极限，试试)(xg的值是趋近于某个值还是一直减到去了。a要是取到，那可就白瞎了。写的时候，卷子上不要画图，说不清楚。你就提一句“x趋近于0时)(xg趋近于，x趋近于时)(xg趋近于0”就行，然后下结论，a的取值范围是e21,0。(2)的话，咱可以多说几个方法。不过开始套路之前，得先处理一下。直接用)(xf做极值点偏移，反正我是不想那么干，因为一直带着个参数a，求出来的极值点里还得带着个a，不确定。人家让证大于，万一你做出来的是个21xx小于一堆含a的式子可就惨了。就算也整出来大于什么什么a了，也还得放缩，备不住这一堆放缩的时候出现了大于小于号口对口尖对尖的情况，到不了e2上，那就白瞎了。不过，倒是也没准儿能放过去。但是这样的话一是麻烦，二来还有风险。所以，碰见解析式里有参数的，先参变分离（当然没法分离的或是变量太多的另说），或是叫消参，研究右边那个函数的单调和极值最值。所以，这个题先设xxxg2ln)(。恰好上一问咱碰到这个函数了。图L2-3O12e1y=g(x)xyey=aI、对称化构造前面是21xx乘积，后面是e2，看来e是)(xg的极值点。还是延续刚才的套路，管他对称化构造是什么几何意义呢，你就设xgxgxG2e)()(，别多想，往下算，肯定没问题。222222e2eln1e2ln1)('xxxxxxG，整理以后这个)('xG不是别人，就是22e2121)ln1(xx，特整齐（băn•seng），是不？嗨呀，看着麻烦，运算量其实不大。下面再套路去就行了，ex时0)('xG，0)(xG。正好(1)里咱就得到)(xg的单调性了，再加上显然)()(21xgxg，很快就证出来了。不详细说了，行不？II、换元其实如果上来第一眼看见乘积你怕没法处理，也没关系，因为——ln可以帮咱把乘积拆成加和，也就即证2lnln21xx。令11lnxt，22lnxt，也即1e1tx，2e2tx，然后换回去。注意，卡新元范围！之前我令210xex的话，那就应该211tt。代入新元，不是别人，正是21ee21tttta。设tttge)(，你看g是谁，眼熟不？再往下，刚才那个题怎么做，这儿就怎么做。行不？上面三个题/*P.S.严格来说是两个*/都是正常的对称化构造法，一般的题这么做肯定行。但是——非得这样做不可么？未必。下面介绍一个东西——代换法。代换法又分为差值代换法和比值代换法，不过出发点都是减元。减元问题有两种思路，一种是找到1x和2x的关系，统一到其中一个变量上；另一种是统一到中间参数上，或是题目里给的一个参数，或是自己设的一个与1x和2x存在某种关系的参数，比如像设21xxt呀，21xxt呀，21xxt呀一类的，具体问题具体分析看设成什么更合适。当然，这里的减元只是极值点偏移里面用到的，以后还会有一个小专题专门讲减元问题，在[例2-2]系列。下面，咱就以[跟2-1-1]为例（我下面写成[例2-1-3]），说说减元怎么用。我再把题抄一遍过来吧，省得来回翻页了。例2-1-3[学案2.11.4，P7，例6(1)]已知)(e)(Rxxxfx，若21xx，且)()(21xfxf，求证：221xx。看见21ee21xxxxa，让证221xx，第一想法是把变量都统一到1x或到2x上，但是你发现光凭一个21ee21xxxx换不过来，因为这是一个超越方程，现在不会解。那就只能统一到一个中间的参数t上去了。当然，先令211xx。t和1x、2x到底取什么样的关系最合适，等会试试。先尽可能化简，尽量让1x和2x挨在一起。其实咱最期待出现的应该是齐次式，对吧，这样所有的1x、2x就都能很方便地换元成中间参量t了。齐次式是个什么意思呢？就是这个感觉的，比如化成了21121e1xxxx，直接设21xxt就好了，具体的等会再说。但是这个只能化成21e21xxxx，左边比值右边差值。也没关系，先换掉差值和比值其中一个，等会儿看看能不能让两者互化。于是，就有了下面差值和比值两种代换方法。I、差值代换那就设21xxt，再次强调，卡新元范围！因为咱之前是让211xx，所以0t，1e0t。往里代，将变量逐个替换，先替换掉1x，也就是把21xtx代回到21e21xxxx，也就有了txxte22。心想着，这玩意不错哈，为嘛？因为这个式子 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 2x完全可以用t 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示出来，解出来1e2ttx。那1x也就等于2xt1ettt。一看这个，乐得鼻涕泡都出来了，1x和2x真的都能用中间参量t表示了！也就是说，下面就该求证21e2ttt了。一看这个式子，肯定非求导解决不了。但是——求导的话，要是只有一个te在分母上还好算，但是这儿分母上是1et，求导麻烦。所以，尽量避开指数加减一个因式在分母上的情形。当然，像这类优化运算的方法还有哪些，以后再具体说。不让1et在分母上，就把它乘过去。但是注意新元范围，et-1<0，不等号变号！化简以后是即证02e2etttt，然后研究左边的函数。设2e2e)(tttttg，就等着判它正负呢。前一阵我刚说过，直接从原解析式出发不好判的时候用什么来着？对，求导找单调最值！1)1(ee21)1(e)('tttgttt。)('tg正负还是不好判，怎么办？没关系，再导一次！tttge)(''，这个简单。因为0t，所以)(''tg恒负，)('tg单减，然后去找)('tg的最值。但是注意，t的值取不到0，所以)('tg的最值可能不存在，但是)('tg的值域有临界，可以求。所以这个时候你应该说“t趋近于0时，)('tg趋近于0，)('tg恒正”。最小值都已经是0了，况且最小值还取不到，那肯定整个都是正的了。实际上你脑子里就是令0t，求的0)0(g，只不过0取不到。这也就算出来)(tg在)0,(上单增了。所以再来一个趋近，t趋近于0时，)(tg趋近于0，)(tg恒负，还是刚才看最值正负结合单调定整个函数正负的思想。这也就说明02e2etttt在0t时成立，最后再给它扔上去个“证毕”就完了。II、比值代换不是已经得到21e21xxxx了么，刚才是换的差值，现在咱换比值。设21xxu……不对，刚才只令了11x，差值法里不碍事，但是这儿不行，万一1x不是正的呢？其实没关系，为嘛？刚才根据题意写出来的21ee21xxxx就已经说明了1x和2x要么都正要么都负，又因为0x时xxe单调，0x时xxe有拐弯，所以1x和2x只能同正，也就是2110xx。这段分析过程最好以列表的形式写在 试卷 云南省高中会考试卷哪里下载南京英语小升初试卷下载电路下试卷下载上海试卷下载口算试卷下载 上。那就没问题了，新元范围10u，然后21uxx，代回到21e21xxxx，)1(x221eeuxxu，就又能出来那个“鼻涕泡”的式子了，解出来1ln2uux，所以即证222xtx，通分以后，即证2ln11uuu，还挺整齐（我打赌，believeitornot，等会儿你还会见到这个式子）。直接研究uuuln11这个函数？你要舍得死，我就舍得埋！ln前面还乘着一堆东西呢，要想求导求导一直求到没ln了，不正道地求上几次导是出不来的，那可就一条道跑到黑了！为了简化运算，应该将ln孤立出来，不让ln前面再乘因式。化简一下，出来即证01)1(2lnuuu，化简时注意u-1<0。然后设1)1(2ln)(uuuuh，证)(uh恒负，这就跟刚才差值代换处理)(tg的方法类似了，我不细说了，就带着算算，行不？求导吧，22)1()1()('uuuuh，这玩意好，恒正，不用求二次导就能判正负了！再来一句趋近，u趋近于1时)(uh趋近于0，所以(0,1)上)(uh恒负，即01)1(2lnuuu，证毕。天哪，终于把换元法说完了。要不再唠5块钱的？也行，唠点儿什么呢？行，说点稍微深一点的东西吧。这货叫做——对数不等式！听这名字就很高大上，肯定特别好吃！看看，它就是这个样子滴——),(2lnln212121212121xxxxxxxxxxxx且R左边是几何平均值，右边是算术平均值，中间是对数平均值。这个式子会不会和几何意义有关系，我还真不知道，你知道有那么回事就行，可以以后探究。不过现在咱都是用代数方法计算和证明。这个，有的题里就能直接或间接套，小题可以直接用，大题先证后用，用哪半边看情况。下面咱来证证。其实哈，这就是个典型的减元问题。好吧，还是习惯上令210xx，然后算。先证左半边吧。为了别出负数，我证121221lnlnxxxxxx，换下角标。即证211212lnlnxxxxxx，左边=12lnxx，右边=2112xxxx，不错，齐次！为了不让它带根号，我令12xxt，简化运算嘛。于是1t，左边=ttln2)ln(2，即证ttt1ln2，即证01ln2ttt。设ttttg1ln2)(，找单调极值最值，求导呗。112)('2tttg，好嘛，跟自摸了似的，高兴坏了，)('tg是完全平方！1t，011)('2ttg没的说，)(tg单减，0)(lim1tgt，所以)(tg恒负，即01ln2ttt，证毕。还是那两个玩意——减元，求导利用单调性求最值判正负，这半天来回就这点东西。右半边一样，还是这俩玩意。乘过去以后，即证212121)(2lnlnxxxxxx。左边就是21lnxx，右边上下同除2x，弄出来这东西，不是别人，就是这货——0112ln212121xxxxxx！我换一下，即证——01)1(2lnttt！眼熟不？在哪见过？下面怎么做你就看上面[例2-1-3]的比值代换法就行，我不啰嗦了，行不？行了，具体怎么用我就不多说了，以后咱见着题再说。下面该讲[例2-2]系列了，减元专题。还有哪些更好玩的东西，咱们下期揭晓。下期的事咱们下期再聊，HAIC祝你开学愉快！