《大学物理学》习题解答(第13章 稳恒磁场)(1)

第13章稳恒磁场【13.1】如题图所示的几种载流导线，在O点的磁感强度各为多少？(a)(b)(c)习题13－1图【13.1解】(a)RIRIB80241000，方向朝里。(b)RIRIB2200。(c)RIRIRIRIRIB4222122122100000，方向朝外。【13.2】有一边长为a的正方形回路，回路电流为I，求回路中心处的磁感强度。【13.2解】如图所示，正方形中心对每个边所张的角都为45°和135°，各个边在中心产生的磁感强度方向相同，故aIaIB002)135cos45(cos44。习题13－2图习题13－3图【13.3】以同样的导线联接成如图所示的立方形，在相对的两顶点A及C上接一电源。试求立方形中心的磁感强度B等于多少？【13.3解】由对称性可知，相对的两条棱在立方体中心产生的磁感强度相等而方向相反，故中心处的磁感强度为零。【13.4】如图所示，半径为R的半球上密绕有单层线圈，线圈平面彼此平行。设线圈的总匝数为N，通过线圈的电流为I，求球心处O的磁感强度。【13.4解】在半球上距球心y处取一个宽度为Rdθ的园环，其对球心的张角为θ，半径为r＝Rsinθ，包含的电流为d2d2/dNIRRNII，在球心处产生的磁感强度为dsind2sin2)(d2d2032202/32220RNINIRRyrIrB全部线圈在球心处产生的磁感强度可由积分求得：RNIRNIRNIBB44dsind002/020习题13－4图习题13－5图【13.5】如图所示，电流I沿着长度方向均匀地流过宽度为b的无限长导体薄板。试求在薄板的平面内，距板的一边为r的点P的磁感强度。【13.5解】在薄板中距P点为x处取一宽度为dx的窄条，窄条中的电流bxIIdddI在P点产生的磁感强度bxxIxIB2d2dd00电流I在P点产生的磁感强度rbrbIxbxIBBbrrln2d2d00B的方向垂直纸面朝里。【13.6】半径为R的圆盘均匀带有电荷q，圆盘绕过其中心且与盘面垂直的转轴以角速度ω旋转，求圆心O处的磁感应强度。【13.6解】取半径为r，宽度为dr的圆环，其上电荷为22d2d2dRrqrrrRqq当圆盘以角速度ω旋转时，此电荷形成的电流为：2dd2dRrrqqI而此电流在圆盘中心产生的磁感强度为：202002d2d2ddRrqrRrrqrIB整个圆盘在圆盘中心产生的磁感强度为：RRqRrqBB002022dd习题13－6图习题13－7图【13.7】如题图所示，载流长直导线的电流为I，试求通过矩形面积的磁通量。【13.7解】在矩形中距直导线为x处取一宽为dx、长为l的面积元dS,此处的磁感强度B与矩形平面垂直，大小为xIB20，通过面积元dS的磁通量为xxIl2ddd0SB，因此，1200ln22dd21ddIlxxIldd【13.8】已知1.0×10-5mm2的裸铜线允许通过50A电流而不致过热，电流在导线横截面上均匀分布。求：（1）导线内、外磁感强度的分布；（2）导线 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面的磁感强度。【13.8解】（1）设导线的半径为R，导线中电流密度为j。在导线内作一个半径为r的圆形回路，由安培环路定理有202rjrB，202022RIrrjrB。导线外有IrB02，rIB20。（2）令r＝R，代入数据得B＝5.6×10-3T。【13.9】一根很长的同轴电缆，由一半径为R1的圆柱形直导体和同轴导体圆筒组成。导体圆筒的内半径为R2，外半径为R3，圆柱形直导体和同轴导体圆筒中的电流大小均为I，方向相反，导体的磁性可不考虑。试计算以下各处的磁感强度：（1）r＜R1；（2）R1＜r＜R2；（3）R2＜r＜R3；（4）r＞R3。【13.9解】分别在圆柱形直导体内，圆柱形直导体和同轴导体圆筒之间，同轴导体圆筒内及同轴导体圆筒之外作半径为r的圆形回路，利用安培环路定理可得)(,2,212102210RrRIrBrRIrB)(,2,22100RrRrIBIrB)(,2,])()([2322223223022232220RrRRRrRrIBRRRrIIrB)(,0,023RrBrB习题13－9图习题13－10图【13.10】如题图所示，N匝线圈均匀密绕在截面为长方形的中空骨架上，求通入电流I后环内外磁场的分布。【13.10解】在圆环内外分别作半径为r的圆形回路，由安培定理可得)(,0,02)(,2,2)(,0,0200brBrBbrarNIBNIrBarBrB【13.11】有两无限大平行载流平面，它们的电流方向相同，在平面内与电流垂直的方向上，单位宽度里的电流为j。求：（1）两载流平面之间的磁感强度；（2）两面之外空间的磁感强度。【13.11解】无限大载流平面在其左右两侧所产生的磁感强度大小均为B＝μ0j/2，但方向相反。设在平面左边kB20j，右边则为kB20j。当有两个电流方向相同的平行平面时，由场的迭加原理可得（1）两平面之间，是处在一个平面的左边而另一个平面的右边，故02200kkBjj合。（2）在两平面之外，是同在两个平面的左边或右边，故kkkBjjj00022合，或kkkBjjj00022合。【13.12】一个电子射入B＝(0.2i＋0.5j)T的非均匀磁场中，当电子速度为v＝5×106jm·s-1时，求电子所受的力。【13.12解】N106.12.0105106.113619kkBFve【13.13】速率为1.0×106的电子进入一均匀磁场，其速度方向与磁场方向垂直。已知电子在磁场中作半径为0.1m的圆周运动，求磁感强度的大小和电子旋转的角速度。【13.13解】由eBmRv得T107.55eRvmB，电子旋转的角速度1-7srad10Rv。【13.14】测定离子质量的质谱仪如图所示，离子源S产生质量为m，电荷为q的离子。离子的初速很小，可看作静止，经电势差U加速后进入磁感强度为B的均匀磁场，并沿一半圆形轨道到达离入口x处的感光底板上。试证明离子的质量为228xUqBm。【13.14证】由电子动能qUm221v可得电子速度mqU/2v，代入圆形轨道的半径公式qBmxv2即可解出UqxBm822，证毕。【13.15】已知地面上空某处地磁场的磁感强度B＝0.4×10－4T，方向向北。若宇宙射线中有一速率v＝5.0×107m·s－1的质子垂直地通过该处，求：（1）洛伦兹力的方向；（2）洛伦兹力的大小，并与质子受到的地球引力相比较。【13.15解】（1）质子的速度方向垂直向下，且带正电荷，故由Bv的方向知道其受到的洛伦兹力方向朝东。（2）洛伦兹力N102.390sin16qvBFm，而质子所受的万有引力N1064.126mgG，两者之比约为1.95×1010。【13.16】显像管中的电子水平地由南向北运动，能量为1.2×104eV；地球磁场的垂直分量B⊥＝5.5×10－5T，方向向下。试求：（l）电子束偏转方向；（2）电子束在显像管内通过20cm到达屏面时光点的偏转距习题13－14图离。【13.16解】（1）注意电子带负电，由洛伦兹力公式BFvq可判断出电子受力向东，故电子束向东偏转。（2）由电子作圆周运动的半径m71.62eBmEeBmRkv和轨迹可得其向东偏转距离为m1098.2322yRRx【13.17解】利用霍耳元件可以测量磁感强度，设一霍耳元件用金属材料制成，其厚度为0.15mm，载流子数密度为1024m－3，将霍耳元件放入待测磁场中，测得霍耳电压为42μV，通过电流为10mA。求待测磁场的磁感强度。【13.17解】由霍耳电压的公式可得T1.0IdnqUBH。【13.18】如题图所示，无限长直导线通入电流I1，半径为R的圆环通入电流I2，直导线和圆环共面如图放置，求圆环受到的作用力。【13.18解】由对称性 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可知，左右对称的两段电流元所受的竖直方向的力互相抵消，水平方向的力则相迭加。在圆环上取一段电流元I2dl，它到圆心的连线与水平方向的夹角为θ，受到安培力的水平方向分量为2dcoscos2dcosdd2101022IIRIRIlBIF整个圆环受到的力为21020210d2dIIIIFF，方向向右。习题13－18图习题13－19图【13.19】如题图所示，一个半径为R的圆形线圈，通有电流I，放在磁感强度为B的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，试求线圈受到的对于轴OO′的力矩。【13.19解】线圈的磁矩IRISm2当线圈平面与磁场平行时，线圈受到的力矩为IBRmBM290sin【13.20】如题图所示，长直导线载有电流I1＝30A，矩形回路载有电流I2＝20A，试计算作用在矩形回路上的合力。已知d＝0.01m，b＝0.08m，l＝0.12m。【13.20解】线框上、下两边受到的安培力大小相等，方向相反，抵消为零。左、右两边受到的安培力方向相反，大小分别为)(2,2210210bdlIIFdlIIF右左故合力大小为N1028.1)(223210210bdlIIdlIIFFF右左合力的方向朝左。习题13－20图习题13－21图【13.21】如题图所示，一通有电流为I1的无限长直导线和一通有电流为I2的直角三角形回路共面，θ＝60°，求回路各边所受的力及穿过回路的磁通量。【13.21解】设竖直边、水平边和斜边受到的力分别为F1、F2和F3，由安培定律得)(23)(260tan21010221babIIbaIbIlBIFabaIIllaIIlBIFbbln2d)(2d2100210022abaIIllaIIlBIFbblnd)60cos(2d321060cos/021060cos/02在距直导线x取一平行于导线的窄条，其高为（x－a）tan60°，宽度为dx，通过此窄条的磁通量为xxaIxaxxId123d60tan)(2dd1010SB通过整个三角形回路的磁通量为abaabIxxaIbaaln23d123d1010【13.22】设氢原子的电子以轨道角动量L＝h/2π绕质子作圆周运动，圆周半径为a0＝5.29×10－11m，求质子所在处的磁感强度。h＝6.63×10－34J·s为普朗克常量。【13.22解】由题意，质子的角动量2/0hamv，可解出02mahv，电子运动时等效为一个圆电流，其大小为20204/2maheaeIv此电流在圆心处旌的磁感强度为T5.1282302000maheaIB。【13.23】如题图所示，一根长直同轴电缆，内、外导体之间充满磁介质，磁介质的相对磁导率为μr（μr＜1），导体的磁化可以略去不计．电缆沿轴向有稳恒电流I通过，内外导体上电流的方向相反．求空间各区域内的磁感强度和磁化强度。习题13－23图【13.23解】取与电缆轴线同心的圆形回路L，由磁介质中的安培环路定理LdCIlH可解出空间各区域的磁场强度：rIHIrHRrRRIrHRIrrHRr2,2：2,2：212121210,02：)(2)(,)(2：32223223222322232HrHRrRRrrRIHRRRrIIrHRrR再由公式HBr0和HMr)1(即可得0,0：0,)(2)(1)：(2)1(,2：0,21)：(322232230320212101MBRrMRRrrRIBRrRrIMrIBRrRMRIrBRrrrrr【13.24】设长L＝0.05m，截面积S＝1×10-3m2的铁棒中所有铁原子的磁偶极矩都沿轴向整齐排列，且每个铁原子的磁偶极矩m0＝18×10－23A·m2，求（1）铁棒的磁偶极矩；（2）如果要使铁棒与磁感强度B0＝15T的外磁场正交，需用多大的力矩？设铁的密度ρ＝7.8×103kg·m－3，铁的摩尔质量M0＝5.585×10-2kg·mol－1．【13.24解】（1）铁原子的数密度0AMNn式中NA为阿伏伽德罗常数。此铁棒中的原子总数为0AMSLNnVN铁棒的磁偶极矩为所有原子的磁矩之和，20mA58.7Nmm（2）铁棒与磁场正交时所需的力矩即铁棒所受的磁力矩N4.1190sin0mBM【13.25】将磁导率μ＝50×10－4Wb·Α－1·m－1的铁磁质做成一个细圆环，环上密绕线圈，单位长度匝数n=500，形成有铁心的螺绕环。当线圈中电流I＝8A时，计算环内B和H的大小。【13.25解】由磁介质中的安培环路定理LCdIlH可求出环内磁场强度的大小为-13mA104nIH环内磁感强度的大小为T20HB