小学生数学总复习应用题专项归类讲解及训练(汇总)

小学数学经典典型种类应用题（方法、习题、解说）本资料汇总了以下30类典型应用题：（网上收集，若有相同，不是偶合）----HEREIS0071、归一问题11、行船问题21、方阵问题2、归总问题12、列车问题22、商品利润问题3、和差问题13、时钟问题23、存款利率问题4、和倍问题14、盈亏问题24、溶液浓度问题5、差倍问题15、工程问题25、构图布数问题6、倍比问题16、正反比率问题26、幻方问题7、相遇问题17、按比率分派27、抽屉原则问题8、追及问题18、百分数问题28、条约公倍问题9、植树问题19、“牛吃草”问题29、最值问题10、年纪问题20、鸡兔同笼问题30、列方程问题归一问题【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单调量），而后以单调量为标准，求出所要求的数目。这种应用题叫做归一问题。【数目关系】总量÷份数＝1份数目份数目×所占份数＝所求几份的数目另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数【解题思路和方法】先求出单调量，以单调量为标准，求出所要求的数目。例1买5支铅笔要0.6元钱，买相同的铅笔16支，需要多少钱？解（1）买1支铅笔多少钱？0.6÷5＝0.12（元）（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）列成综合算式0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）答：需要1.92元。例23台拖沓机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖沓机6天耕地多少公顷？解（1）1台拖沓机1天耕地多少公顷？90÷3÷3＝10（公顷）（2）5台拖沓机6天耕地多少公顷？10×5×6＝300（公顷）列成综合算式90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷）答：5台拖沓机6天耕地300公顷。例35辆汽车4次能够运送100吨钢材，假如用相同的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？解（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？100÷5÷4＝5（吨）（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？5×7＝35（吨）（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？105÷35＝3（次）列成综合算式105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）答：需要运3次。归总问题【含义】解题时，常常先找出“总数目”，而后再依据其他条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数目”是指货物的总价、几小时（几日）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总行程等。【数目关系】1份数目×份数＝总量总量÷1份数目＝份数总量÷另一份数＝另一每份数目【解题思路和方法】先求出总数目，再依据题意得出所求的数目。例1服饰厂本来做一套衣服用布3.2米，改良裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。本来做791套衣服的布，此刻能够做多少套？解（1）这批布总合有多少米？3.2×791＝2531.2（米）（2）此刻能够做多少套？2531.2÷2.8＝904（套）列成综合算式3.2×791÷2.8＝904（套）答：此刻能够做904套。例2小华每日读24页 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf ，12天读完了《红岩》一书。小明每日读页书，几日能够读完《红岩》？解（1）《红岩》这本书总合多少页？24×12＝288（页）（2）小明几日能够读完《红岩》？288÷36＝8（天）列成综合算式24×12÷36＝8（天）答：小明8天能够读完《红岩》。例3食堂运来一批蔬菜，原 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 每日吃50千克，30天慢慢花费完这批蔬菜。此后依据大家的建议，每日比原计划多吃10千克，这批蔬菜能够吃多少天？解（1）这批蔬菜共有多少千克？50×30＝1500（千克）（2）这批蔬菜能够吃多少天？1500÷（50＋10）＝25（天）列成综合算式50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天）答：这批蔬菜能够吃天。和差问题【含义】已知两个数目的和与差，求这两个数目各是多少，这种应用题叫和差问题。【数目关系】大数＝（和＋差）÷2小数＝（和－差）÷2【解题思路和方法】简单的题目能够直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。例1甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？解甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）答：甲班有52人，乙班有46人。例2长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。解长＝（18＋2）÷2＝10（厘米）宽＝（18－2）÷2＝8（厘米）长方形的面积＝10×8＝80（平方厘米）答：长方形的面积为80平方厘米。例3有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。解甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中能够看出甲比丙多（3230）＝2千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。例4甲乙两车本来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车本来各装苹果多少筐？解“从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是（14×2＋3），甲与乙的和是97，所以甲车筐数＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）乙车筐数＝97－64＝33（筐）答：甲车本来装苹果64筐，乙车本来装苹果33筐。和倍问题【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这种应用题叫做和倍问题。【数目关系】总和÷（几倍＋1）＝较小的数总和－较小的数＝较大的数较小的数×几倍＝较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例1果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？解（1）杏树有多少棵？248÷（3＋1）＝62（棵）（2）桃树有多少棵？62×3＝186（棵）答：杏树有62棵，桃树有186棵。例2东西两个库房共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？解（1）西库存粮数＝480÷（1.4＋1）＝200（吨）（2）东库存粮数＝480－200＝280（吨）答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。例3甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每日从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几日后乙站车辆数是甲站的2倍？解每日从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每日从甲站开往乙站（28－24）辆。把几日此后甲站的车辆数看作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52＋32）就相当于（2＋1）倍，那么，几日此后甲站的车辆数减少为（52＋32）÷（2＋1）＝28（辆）所求天数为（52－28）÷（28－24）＝6（天）答：6天此后乙站车辆数是甲站的2倍。例4甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？解乙丙两数都与甲数有直接关系，所以把甲数作为1倍量。因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变为甲数的2倍；又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍；这时（170＋4－6）就相当于（1＋2＋3）倍。那么，甲数＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28乙数＝28×2－4＝52丙数＝28×3＋6＝90答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。差倍问题【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这种应用题叫做差倍问题。【数目关系】两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数较小的数×几倍＝较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例1果园里桃树的棵数是杏树的3倍，并且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？解（1）杏树有多少棵？124÷（3－1）＝62（棵）（2）桃树有多少棵？62×3＝186（棵）答：果园里杏树是62棵，桃树是棵。例2爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年纪是儿子年纪的4倍，求父子二人今年各是多少岁？解（1）儿子年纪＝27÷（4－1）＝9（岁）（2）爸爸年纪＝9×4＝36（岁）答：父子二人今年的年纪分别是36岁和9岁。例3商场改革经营管理方法后，本月盈余比上月盈余的2倍还多12万元，又知本月盈余比上月盈余多30万元，求这两个月盈余各是多少万元？解假如把上月盈余作为1倍量，则（30－12）万元就相当于上月盈利的（2－1）倍，所以上月盈余＝（30－12）÷（2－1）＝18（万元）本月盈余＝18＋30＝48（万元）答：上月盈余是18万元，本月盈利是48万元。例4粮库有94吨小麦和138吨玉米，假如每日运出小麦和玉米各是9吨，问几日后剩下的玉米是小麦的3倍？解因为每日运出的小麦和玉米的数目相等，所以剩下的数目差等于本来的数目差（138－94）。把几日后剩下的小麦看作1倍量，则几日后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相当于（3－1）倍，所以剩下的小麦数目＝（138－94）÷（3－1）＝22（吨）运出的小麦数目＝94－22＝72（吨）运粮的天数＝72÷9＝8（天）答：8天此后剩下的玉米是小麦的倍。倍比问题【含义】有两个已知的同类量，此中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这种应用题叫做倍比问题。【数目关系】总量÷一个数目＝倍数另一个数目×倍数＝另一总量【解题思路和方法】先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。例1100千克油菜籽能够榨油40千克，此刻有油菜籽3700千克，能够榨油多少？解（1）3700千克是100千克的多少倍？3700÷100＝37（倍）（2）能够榨油多少千克？40×37＝1480（千克）列成综合算式40×（3700÷100）＝1480（千克）答：能够榨油1480千克。例2今年植树节这日，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵？解（1）48000名是300名的多少倍？48000÷300＝160（倍）（2）共植树多少棵？400×160＝64000（棵）列成综合算式400×（48000÷300）＝64000（棵）答：全县48000名师生共植树64000棵。例3凤翔县今年苹果大丰产，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元？解（1）800亩是4亩的几倍？800÷4＝200（倍）（2）800亩收入多少元？11111×200＝2222200（元）（3）16000亩是800亩的几倍？16000÷800＝20（倍）（4）16000亩收入多少元？2222200×20＝44444000（元）答：全乡800亩果园共收入2222200元，全县16000亩果园共收入44444000元。相遇问题【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这种应用题叫做相遇问题。【数目关系】相遇时间＝总行程÷（甲速＋乙速）总行程＝（甲速＋乙速）×相遇时间【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例1南京到上海的水道长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？解392÷（28＋21）＝8（小时）答：经过8小时两船相遇。例2小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地址同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？解“第二次相遇”能够理解为二人跑了两圈。所以总行程为400×2相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。例3甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。解“两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的重点。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的行程是（3×2）千米，所以，相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时）两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米）答：两地距离是千米。追及问题【含义】两个运动物体在不一样地址同时出发（或许在同一地址而不是同时出发，或许在不一样地址又不是同时出发）作同向运动，在后边的，行进速度要快些，在前方的，行进速度较慢些，在一准时间以内，后边的追上前方的物体。这种应用题就叫做追及问题。【数目关系】追实时间＝追及行程÷（迅速－慢速）追及行程＝（迅速－慢速）×追实时间【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例1好马每日走120千米，劣马每日走75千米，劣马先走12天，好马几日能追上劣马？解（1）劣马先走12天能走多少千米？75×12＝900（千米）（2）好马几日追上劣马？900÷（120－75）＝20（天）列成综合算式75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）答：好马20天能追上劣马。例2小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地址同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500200）米，要知小亮的速度，须知追实时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是（500－200）÷［40×（500÷200）］＝300÷100＝3（米）答：小亮的速度是每秒3米。例3我人民解放军追击一股逃跑的仇敌，仇敌在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在夜晚22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时能够追上仇敌？解仇敌逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）小时，这段时间仇敌逃跑的行程是［10×（22－6）］千米，甲乙两地相距60千米。由此推知追实时间＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）＝220÷20＝11（小时）答：解放军在11小时后能够追上仇敌。例4一辆客车从甲站开往乙站，每小时行乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点站的距离。48千米；一辆货车同时从16千米处相遇，求甲乙两解这道题能够由相遇问题转变为追及问题来解决。从题中可知客车落伍于货车（16×2）千米，客车追上货车的时间就是前方所说的相遇时间，这个时间为16×2÷（48－40）＝4（小时）所以两站间的距离为（48＋40）×4＝352（千米）列成综合算式（48＋40）×［16×2÷（48－40）］＝88×4＝352（千米）答：甲乙两站的距离是352千米。例5兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘掉带课本，立刻沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？解要求距离，速度已知，所以重点是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180×2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90－60）米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为180×2÷（90－60）＝12（分钟）家离学校的距离为90×12－180＝900（米）答：家离学校有900米远。例6孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现腕表慢了10分钟，所以立刻跑步行进，到学校恰巧准时上课。此后算了一下，假如孙亮从家一开始就跑步，可比本来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。解腕表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟，假如按原速走下去，就要迟到（10－5）分钟，后段行程跑步恰准时到学校，说明后段行程跑比走少用了（10－5）分钟。假如从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行1千米，跑步比步行少用［9－（10－5）］分钟。所以步行1千米所用时间为1÷［9－（10－5）］0.25（小时）＝15（分钟）跑步1千米所用时间为15－［9－（10－5）］＝11（分钟）跑步速度为每小时1÷11／60＝5.5（千米）答：孙亮跑步速度为每小时5.5千米。植树问题【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知此中的两个量，要求第三个量，这种应用题叫做植树问题。【数目关系】线形植树棵数＝距离÷棵距＋1环形植树棵数＝距离÷棵距方形植树棵数＝距离÷棵距－4三角形植树棵数＝距离÷棵距－3面积植树棵数＝面积÷（棵距×行距）【解题思路和方法】先弄清楚植树问题的种类，而后能够利用公式。例1一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）答：一共要栽69棵垂柳。例2一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？解400÷4＝100（棵）答：一共能栽棵白杨树。例3一个正方形的体育场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共能够安装多少个照明灯？解220×4÷8－4＝110－4＝106（个）答：一共能够安装106个照明灯。例4给一个面积为96平方米的住所铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问起码需要多少块地板砖？解96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（块）答：起码需要块地板砖。例5一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共能够安装多少盏路灯？解（1）桥的一边有多少个电杆？500÷50＋1＝11（个）（2）桥的两边有多少个电杆？11×2＝22（个）（3）大桥两边可安装多少盏路灯？22×2＝44（盏）答：大桥两边一共能够安装44盏路灯。年纪问题【含义】这种问题是依据题目的内容而得名，它的主要特色是两人的年纪差不变，可是，两人年纪之间的倍数关系跟着年纪的增添在发生变化。【数目关系】年纪问题常常与和差、和倍、差倍问题有着亲密联系，特别与差倍问题的解题思路是一致的，重要紧抓住“年纪差不变”这个特色。【解题思路和方法】能够利用“差倍问题”的解题思路和方法。例1爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年纪是亮亮的几倍？明年呢？解35÷5＝7（倍）（35+1）÷（5+1）＝6（倍）答：今年爸爸的年纪是亮亮的7倍，明年爸爸的年纪是亮亮的6倍。例2母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年纪是女儿的4倍？解（1）母亲比女儿的年纪大多少岁？37－7＝30（岁）（2）几年后母亲的年纪是女儿的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）列成综合算式（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。例33年前父子的年纪和是49岁，今年父亲的年纪是儿子年纪的4倍，父子今年各多少岁？解今年父子的年纪和应当比3年前增添（3×2）岁，今年二人的年纪和为49＋3×2＝55（岁）把今年儿子年纪作为1倍量，则今年父子年纪和相当于（4＋1）倍，所以，今年儿子年纪为55÷（4＋1）＝11（岁）今年父亲年纪为11×4＝44（岁）答：今年父亲年纪是44岁，儿子年纪是11岁。例4甲对乙说：“当我的年纪以前是你此刻的年纪时，你才4岁”。乙对甲说：“当我的年纪未来是你此刻的年纪时，你将61岁”。求甲乙此刻的年纪各是多少？解这里波及到三个年份：过去某一年、今年、未来某一年。列表剖析：过去某一年今年未来某一年甲□岁△岁61岁乙4岁□岁△岁表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示同一个数。因为两个人的年纪差总相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应当比4大3个年纪差，所以二人年纪差为（61－4）÷3＝19（岁）甲今年的年纪为△＝61－19＝42（岁）乙今年的年纪为□＝42－19＝23（岁）答：甲今年的年纪是42岁，乙今年的年纪是23岁。行船问题【含义】行船问题也就是与航行有关的问题。解答这种问题要弄清船速与水速，船速是船只自己航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺流航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。【数目关系】（顺流速度＋逆水速度）÷2＝船速（顺流速度－逆水速度）÷2＝水速顺流速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2逆水速＝船速×2－顺流速＝顺流速－水速×2【解题思路和方法】大部分状况能够直接利用数目关系的公式。例1一只船顺流行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段行程需用几小时？解由条件知，顺流速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时320÷8－15＝25（千米）船的逆水速为25－15＝10（千米）船逆水行这段行程的时间为320÷10＝32（小时）答：这只船逆水行这段行程需用小时。例2甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行相同一段距离需15小时，返回原地需多少时间？解由题意得甲船速＋水速＝360÷10＝36甲船速－水速＝360÷18＝20可见（36－20）相当于水速的2倍，所以，水速为每小时（36－20）÷2＝8（千米）又因为，乙船速－水速＝360÷15，所以，乙船速为360÷15＋8＝32（千米）乙船顺流速为32＋8＝40（千米）所以，乙船顺流航行360千米需要360÷40＝9（小时）答：乙船返回原地需要9小时。例3一架飞机飞翔在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机顶风飞翔3小时抵达，顺风飞回需要几小时？解这道题能够依据流水问题来解答。（1）两城相距多少千米？（576－24）×3＝1656（千米）（2）顺风飞回需要多少小时？1656÷（576＋24）＝2.76（小时）列成综合算式［（576－24）×3］÷（576＋24）2.76（小时）答：飞机顺风飞回需要2.76小时。列车问题【含义】这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。【数目关系】火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速火车追及：追实时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速）火车相遇：相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）【解题思路和方法】大部分状况能够直接利用数目关系的公式。例1一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度经过大桥，从车头开上桥到车尾走开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？解火车3分钟所行的行程，就是桥长与火车车身长度的和。（1）火车3分钟行多少米？900×3＝2700（米）（2）这列火车长多少米？2700－2400＝300（米）列成综合算式900×3－2400＝300（米）答：这列火车长300米。例2一列长200米的火车以每秒8米的速度经过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米？解火车过桥所用的时间是2分5秒＝125秒，所走的行程是（8×125）米，这段行程就是（200米＋桥长），所以，桥长为8×125－200＝800（米）答：大桥的长度是800米。例3一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后边追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？解从追上到追过，快车比慢车要多行（225＋140）米，而快车比慢车每秒多行（22－17）米，所以，所求的时间为（225＋140）÷（22－17）＝73（秒）答：需要73秒。例4一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身边驶过需要多少时间？解假如把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。150÷（22＋3）＝6（秒）答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。例5一列火车穿越一条长2000米的地道用了88秒，以相同的速度经过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？解车速和车长都没有变，但经过地道和大桥所用的时间不一样，是因为隧道比大桥长。可知火车在（88－58）秒的时间行家驶了（2000－1250）米的行程，所以，火车的车速为每秒（2000－1250）÷（88－58）＝25（米）从而可知，车长和桥长的和为（25×58）米，所以，车长为25×58－1250＝200（米）答：这列火车的车速是每秒25米，车身长200米。时钟问题【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。【数目关系】分针的速度是时针的12倍，两者的速度差为11/12。往常按追及问题来对待，也能够按差倍问题来计算。【解题思路和方法】变通为“追及问题”后能够直接利用公式。例1从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？解钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格。每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以分针追上时针的时间为20÷（1－1/12）≈22（分）答：再经过22分钟时针正好与分针重合。例2四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？解钟面上有60格，它的1/4是15格，因此两针成直角的时候相差15格（包含分针在时针的前或后15格两种状况）。四点整的时候，分针在时针后（5×4）格，假如分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4－15）格，假如分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4＋15）格。再依据1分钟分针比时针多走（1－1/12）格就能够求出二针成直角的时间。（5×4－15）÷（1－1/12）≈6（分）（5×4＋15）÷（1－1/12）≈38（分）答：4点06分及4点38分时两针成直角。例3六点与七点之间什么时候时针与分针重合？解六点整的时候，分针在时针后（5×6）格，分针要与时针重合，就得追上时针。这其实是一个追及问题。（5×6）÷（1－1/12）≈33（分）答：6点33分的时候分针与时针重合。盈亏问题【含义】依据必定的人数，分派必定的物件，在两次分派中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物件数，这种应用题叫做盈亏问题。【数目关系】一般地说，在两次分派中，假如一次盈，一次亏，则有：参加分派总人数＝（盈＋亏）÷分派差假如两次都盈或都亏，则有：参加分派总人数＝（大盈－小盈）÷分派差参加分派总人数＝（大亏－小亏）÷分派差【解题思路和方法】大部分状况能够直接利用数目关系的公式。例1给少儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？解依据“参加分派的总人数＝（盈＋亏）÷分派差”的数目关系：（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）（2）有多少个苹果？3×12＋11＝47（个）答：有小朋友12人，有47个苹果。例2修一条公路，假如每日修260米，修完整长就得延伸8天；假如每日修300米，修完整长仍得延伸4天。这条路全长多少米？解题中原定达成任务的天数，就相当于“参加分派的总人数”，依据“参加分派的总人数＝（大亏－小亏）÷分派差”的数目关系，能够得悉原定达成任务的天数为（260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）这条路全长为300×（22＋4）＝7800（米）答：这条路全长7800米。例3学校组织春游，假如每辆车坐40人，就余下30人；假如每辆车坐45人，就恰巧坐完。问有多少车？多少人？解本题中的车辆数就相当于“参加分派的总人数”，于是就有（1）有多少车？（30－0）÷（45－40）＝6（辆）（2）有多少人？40×6＋30＝270（人）答：有6辆车，有270人。工程问题【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这种问题在已知条件中，常常不给出工作量的详细数目，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条沟渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。【数目关系】解答工程问题的重点是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内达成工作总量的几分之几），从而就能够依据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量＝工作效率×工作时间工作时间＝工作量÷工作效率工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）【解题思路和方法】变通后能够利用上述数目关系的公式。例1一项工程，甲队独自做需要10天达成，乙队独自做需要15天达成，此刻两队合作，需要几日达成？解题中的“一项工程”是工作总量，因为没有给出这项工程的详细数目，所以，把此项工程看作单位“1”。因为甲队独做需10天达成，那么每日达成这项工程的1/10；乙队独自做需15天达成，每日达成这项工程的1/15；两队合做，每日能够达成这项工程的（1/10＋1/15）。由此能够列出算式：1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）答：两队合做需要天达成。例2一批部件，甲独做6小时达成，乙独做8小时达成。此刻两人合做，达成任务时甲比乙多做24个，求这批部件共有多少个？解设总工作量为1，则甲每小时达成1/6，乙每小时达成1/8，甲比乙每小时多达成（1/6－1/8），二人合做时每小时达成（1/6＋1/8）。因为二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小时，这个时间内，甲比乙多做24个部件，所以（1）每小时甲比乙多做多少部件？24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（个）（2）这批部件共有多少个？7÷（1/6－1/8）＝168（个）答：这批部件共有168个。解二上边这道题还能够用另一种方法计算：两人合做，达成任务时甲乙的工作量之比为由此可知，甲比乙多达成总工作量的4－31/6/∶1/8＝4∶34＋3＝1/7所以，这批部件共有24÷1/7＝168（个）例3一件工作，甲独做12小时达成，乙独做10小时达成，丙独做15小时达成。此刻甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？解一定先求出各人每小时的工作效率。假如能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，所以，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，比如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是60÷12＝560÷10＝660÷15＝4所以余下的工作量由乙丙合做还需要（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时）答：还需要5小时才能达成。例4一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个相同粗细的进水管。当翻开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当翻开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；此刻要用2小时将水池注满，起码要翻开多少个进水管？解注（排）水问题是一类特别的工程问题。往水池灌水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差恰巧是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只需设某一个量为单位1，其他两个量即可由条件推出。我们设每个相同的进水管每小时灌水量为1，则4个进水管5小时灌水量为（1×4×5），2个进水管15小时灌水量为（1×2×15），从而可知每小时的排水量为（1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知一池水的总工作量为1×4×5－1×5＝15又因为在2小时内，每个进水管的灌水量为1×2，所以，2小时内注满一池水起码需要多少个进水管？（15＋1×2）÷（1×2）＝8.5≈9（个）答：起码需要9个进水管。正反比率问题【含义】两种有关系的量，一种量变化，另一种量也跟着变化，假如这两种量中相对应的两个数的比的比值必定（即商必定），那么这两种量就叫做成正比率的量，它们的关系叫做正比率关系。正比率应用题是正比率意义和解比率等知识的综合运用。两种有关系的量，一种量变化，另一种量也跟着变化，假如这两种量中相对应的两个数的积必定，这两种量就叫做成反比率的量，它们的关系叫做反比率关系。反比率应用题是反比率的意义和解比率等知识的综合运用。【数目关系】判断正比率或反比率关系是解这种应用题的重点。很多典型应用题都能够转变为正反比率问题去解决，并且比较简捷。【解题思路和方法】解决这种问题的重要方法是：把分率（倍数）转变为比，应用比和比率的性质去解应用题。正反比率问题与前方讲过的倍比问题基本近似。例1修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变为未修的1/2，求这条公路总长是多少米？解由条件知，公路总长不变。原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12比较以上两式可知，把总长度看作12份，则300米相当于（4－3）份，从而知公路总长为300÷（4－3）×12＝3600（米）答：这条公路总长3600米。例2张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟能够做几道应用题？解做题效率必定，做题数目与做题时间成正比率关系设91分钟能够做X应用题则有28∶4＝91∶X28X＝91×4X＝91×4÷28X＝13答：91分钟能够做道应用题。例3孙亮看《十万个为何》这本书，每日看24页，15天看完，假如每日看36页，几日就能够看完？解书的页数必定，每日看的页数与需要的天数成反比率关系设X天能够看完，就有24∶36＝X∶1536X＝24×15X＝10答：10天就能够看完。例4一个大矩形被分红六个小矩形，此中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。A225036B16解由面积÷宽＝长可知，当长一准时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等。所以，A∶36＝20∶1625∶B＝20∶16解这两个比率，得A＝45B＝20所以，大矩形面积为45＋36＋25＋20＋20＋16＝162答：大矩形的面积是162按比率分派问题【含义】所谓按比率分派，就是把一个数依据必定的比分红若干份。这种题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反应各部分占总数目的份数，另一种是直接给出份数。【数目关系】从条件看，已知总量和几个部重量的比；从问题看，求几个部重量各是多少。总份数＝比的前后项之和【解题思路和方法】先把各部重量的比转变为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再依据求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部重量的值。例1学校把植树560棵的任务按人数分派给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？解总份数为47＋48＋45＝140一班植树560×47/140＝188（棵）二班植树560×48/140＝192（棵）三班植树560×45/140＝180（棵）答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、棵。例2用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米？解3＋4＋5＝1260×3/12＝15（厘米）60×4/12＝20（厘米）60×5/12＝25（厘米）答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、厘米。例3以前有个牧民，临死前留下遗嘱，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不准把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。解假如用总数乘以分率的方法解答，明显得不到切合题意的整数解。假如用按比率分派的方法解，则很简单获取1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶29＋6＋2＝1717×9/17＝917×6/17＝617×2/17＝2答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。例4某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人？人数80人一共多少人？对应的份数12－88＋12＋21解80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）答：三个车间一共820人。百分数问题【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特别的分数。分数常常能够通分、约分，而百分数则无需；分数既能够表示“率”，也能够表示“量”，而百分数只好表示“率”；分数的分子、分母一定是自然数，而百分数的分子能够是小数；百分数有一个特意的记号“%”。在实质中和常用到“百分点”这个观点，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。【数目关系】掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：百分数＝比较量÷标准量标准量＝比较量÷百分数【解题思路和方法】一般有三种基本种类：（1）求一个数是另一个数的百分之几；（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。例1库房里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？解（1）用去的占720÷（720＋6480）＝10%（2）剩下的占6480÷（720＋6480）＝90%答：用去了10%，剩下90%。例2红旗化工厂有男员工420人，女员工525人，男员工人数比女员工少百分之几？解本题中女员工人数为标准量，男员工比女员工少的人数是比较量所以（525－420）÷525＝0.2＝20%或许1－420÷525＝0.2＝20%答：男员工人数比女员工少20%。例3红旗化工厂有男员工420人，女员工525人，女员工比男职工人数多百分之几？解本题中以男员工人数为标准量，女员工比男员工多的人数为比较量，所以（525－420）÷420＝0.25＝25%或许525÷420－1＝0.25＝25%答：女员工人数比男员工多25%。例4红旗化工厂有男员工420人，有女员工525人，男、女员工各占全厂员工总数的百分之几？解（1）男员工占420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%（2）女员工占525÷（420＋525）＝0.556＝55.6%答：男员工占全厂员工总数的44.4%，女员工占55.6%。例5百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很宽泛，常有的百分率有：增添率＝增添数÷本来基数×100%合格率＝合格产品数÷产品总数×100%出勤率＝实质出勤人数÷应出勤人数×100%出勤率＝实质出勤天数÷应出勤天数×100%缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100%抽芽率＝抽芽种子数÷试验种子总数×100%成活率＝成活棵数÷栽种总棵数×100%出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100%出油率＝油的重量÷油料重量×100%废品率＝废品数目÷所有产品数目×100%命中率＝命中次数÷总次数×100%烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%及格率＝及格人数÷参加考试人数×100%“牛吃草”问题【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这种问题的特色在于要考虑草边吃边长这个要素。【数目关系】草总量＝原有草量＋草每日生长量×天数【解题思路和方法】解这种题的重点是求出草每日的生长量。例1一块草地，10头牛20天能够把草吃完，15头牛10天能够把草吃完。问多少头牛5天能够把草吃完？解草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每日生长量×天数。求“多少头牛5天能够把草吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每日吃草量为1，按以下步骤解答：（1）求草每日的生长量因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以1×10×20＝原有草量＋20天内生长量同理1×15×10＝原有草量＋10天内生长量由此可知（20－10）天内草的生长量为1×10×20－1×15×10＝50所以，草每日的生长量为50÷（20－10）＝5（2）求原有草量原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100（3）求5天内草总量5天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125（4）求多少头牛5天吃完草因为每头牛每日吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。所以5天吃完草需要牛的头数125÷5＝25（头）答：需要5头牛5天可以把草吃完。例2一只船有一个破绽，水以均匀速度进入船内，发现破绽时已经进了一些水。假若有12个人淘水，3小时能够淘完；假如只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时能够淘完？解这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不一样的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：（1）求每小时进水量因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量所以，（10－3）小时内的进水量为1×5×10－1×12×3＝14所以，每小时的进水量为14÷（10－3）＝2（2）求淘水前原有水量原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30（3）求17人几小时淘完17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实质上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是30÷（17－2）＝2（小时）答：17人小时能够淘完水。鸡兔同笼问题【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。【数目关系】第一鸡兔同笼问题：假定全都是鸡，则有兔数＝（实质脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）假定全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数－实质脚数）÷（4－2）第二鸡兔同笼问题：假定全都是鸡，则有兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（42）假定全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（42）【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假定法，能够先假定都是鸡，也能够假定都是兔。假如先假定都是鸡，而后以兔换鸡；假如先假定都是兔，而后以鸡换兔。这种问题也叫置换问题。经过先假定，再置换，使问题获取解决。例1长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你认真算一算，多少兔子多少鸡？解假定35只全为兔，则鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）兔数＝35－23＝12（只）也能够先假定35只全为鸡，则兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）鸡数＝35－12＝23（只）答：有鸡23只，有兔12只。例22亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？解本题其实是面目一新的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（12）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假定16亩全都是菠菜，则有白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）答：白菜地有10亩。例3李老师用69元给学校买作业本和日志本共45本，作业本每本3.20元，日志本每本0.70元。问作业本和日志本各买了多少本？解本题能够变通为“鸡兔同笼”问题。假定45本全都是日志本，则有作业本数＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）日志本数＝45－15＝30（本）答：作业本有15本，日志本有30本。例4（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多只，问鸡与兔各多少只？解假定100只全都是鸡，则有兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）鸡数＝100－20＝80（只）答：有鸡80只，有兔20只。例5有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？解假定全为大和尚，则共吃馍（3×100）个，比实质多吃（3×100－100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，所以我们在保证和尚总数100不变的状况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（3－1/3）个。所以，共有小和尚（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）共有大和尚100－75＝25（人）答：共有大和尚25人，有小和尚75人。方阵问题【含义】将若干人或物依必定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这种问题就叫做方阵问题。【数目关系】（1）方阵每边人数与周围人数的关系：周围人数＝（每边人数－1）4每边人数＝周围人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边人数）内边人数＝外边人数－层数×2（3）若将空心方阵分红四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化许多，其解答方法应依据详细状况确立。例1在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？解22×22＝484（人）答：参加体操表演的同学一共有人。例2有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。解10－（10－3×2）＝84（人）答：全方阵84人。例3有一队学生，排成一此中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人？解（1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）（2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）答：这队学生共人。例4一堆棋子，摆列成正方形，剩余4棋子，若正方形纵横两个方向各增添一层，则缺乏9只棋子，问有棋子多少个？解（1）纵横方向各增添一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）（2）纵横增添一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）（3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）答：棋子有40只。例5有一个三角形树林，极点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下边一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树？解第一种方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）第二种方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）答：这个三角形树林一共有15棵树。方阵问题【含义】将若干人或物依必定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这种问题就叫做方阵问题。【数目关系】（1）方阵每边人数与周围人数的关系：周围人数＝（每边人数－1）4每边人数＝周围人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边人数）内边人数＝外边人数－层数×2（3）若将空心方阵分红四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化许多，其解答方法应依据详细状况确立。例1在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？解22×22＝484（人）答：参加体操表演的同学一共有人。例2有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。解10－（10－3×2）＝84（人）答：全方阵84人。例3有一队学生，排成一此中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人？解（1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）（2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）（3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）答：这队学生共人。例4一堆棋子，摆列成正方形，剩余4棋子，若正方形纵横两个方向各增添一层，则缺乏9只棋子，问有棋子多少个？解（1）纵横方向各增添一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）（2）纵横增添一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）（3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）答：棋子有40只。例5有一个三角形树林，极点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下边一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树？解第一种方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）第二种方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）答：这个三角形树林一共有15棵树。商品利润问题【含义】这是一种在生产经营中常常碰到的问题，包含成本、利润、利润率和损失、损失率等方面的问题。【数目关系】利润＝售价－进货价利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%售价＝进货价×（