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《离散数学》几个典型的代数系统-2(环域格)

《离散数学》几个典型的代数系统-2(环域格)第六章几个典型的代数系统环的定义定义设是代数系统，+和·是二元运算.如果满足以下条件:（1）构成交换群（2）构成半群（3）·运算关于+运算适合分配律则称是一个环.6.2环与域环中的术语通常称+运算为环中的加法，·运算为环中的乘法.环中加法幺元记作0.对任何元素x，称x的加法逆元为负元，记作x.乘法幺元（如果存在）记作1.若x存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作x1.环中加法幺元0恰好是乘法的零元.6.2环与域理解一个集合，两种运算，六个条件：加法结合律加法交换律加法存在单位元（零元）加法存在逆元（副元）乘...

第六章几个典型的代数系统环的定义定义设是代数系统，+和·是二元运算.如果满足以下条件:（1）构成交换群（2）构成半群（3）·运算关于+运算适合分配律则称是一个环.6.2环与域环中的术语通常称+运算为环中的加法，·运算为环中的乘法.环中加法幺元记作0.对任何元素x，称x的加法逆元为负元，记作x.乘法幺元（如果存在）记作1.若x存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作x1.环中加法幺元0恰好是乘法的零元.6.2环与域理解一个集合，两种运算，六个条件：加法结合律加法交换律加法存在单位元（零元）加法存在逆元（副元）乘法存在结合律乘法对加法的分配律6.2环与域环的实例(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环Q，实数环R和复数环C.(2)n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环，称为n阶实矩阵环.(3)集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环.(4)设Zn＝{0,1,...,n－1}，和分别表示模n的加法和乘法，则构成环，称为模n的整数环.6.2环与域特殊的环定义设是环，(1)若环中乘法·适合交换律，则称R是交换环.(2)若环中乘法·存在幺元，则称R是含幺环.注：环中加法的单位元是乘法的零元。,,,（，分别是模n加法和乘法运算）都是交换环；不是交换环。,,,，都是含么环，么元分别为1，1，1，1，单位矩阵。6.2环与域零因子的定义与存在条件定义：设是环，若存在ab=0,且a0,b0,称a为R的左零因子，b为R的右零因子，环R不是无零因子环.若a,b∈R，ab=0a=0∨b=0，则称R是无零因子环.,,都是无零因子环；不一定是无零因子环，如n＝6时，有零因子2和3，但n＝5时是无零因子环。6.2环与域(4)若既是交换环、含幺环，也是无零因子环，则称R是整环.(5)环|R|>1,含幺和无零因子，且aR（a0，0是加法的单位元）有a-1R，则称R是除环.(5)若R为整环，|R|>1,且aR*=R-{0}，a-1R,则称R为域.既是整环又是除环，则是域。特殊环的实例(1)整数环Z、有理数环Q、实数环R、复数环C都是交换环、含幺环、无零因子环和整环.其中除Z之外都是域(2)令2Z={2z|z∈Z}，则<2Z,+,·>构成交换环和无零因子环.但不是含幺环和整环.(3)设nZ,n2,则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环.(4)构成环，它是交换环、含幺环，但不是无零因子环和整环.注意：对于一般的n,Zn是整环且是域n是素数.6.2环与域例题判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域.(1)A={a+bi|a,bQ},i2=1,运算为复数加法和乘法.(2)A={2z+1|zZ},运算为普通加法和乘法(3)A={2z|zZ},运算为普通加法和乘法(4)A={x|x≥0∧xZ},运算为普通加法和乘法.(5)，运算为普通加法和乘法解(2),(4),(5)不是环.为什么？(1)是环,是整环,也是域.(3)是环,不是整环和域.6.2环与域环的性质定理设是环，则(1)a∈R，a·0=0·a=0 证明：a·0＝a·(0+0)=a·0+a·0,由消去律a·0＝0(2)a,b∈R，(a)·b=a·(b)=a·b证明：(a)·b＋a·b=(-a+a)·b=0·b=0,反之：a·b＋(a)·b＝0，故(a)·b的加法逆元是ab。(3)a,b∈R，(a)(b)=ab证明：(a)(b)=-(a(-b))=-(-(ab))=ab(4)a,b,c∈R，a(bc)=abac，(bc)a=baca6.2环与域环中的运算环中加法的交换律、结合律；乘法的结合律；乘法对加法的分配律.例在环中计算(a+b)3,(ab)2解(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+ba+ab+b2)(a+b)=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3(ab)2=(ab)(ab)=a2baab+b2注：在初等代数中的加法和乘法运算都是在实数域中进行，乘法可交换6.2环与域格的定义定义设是偏序集，如果x,y≼S，{x,y}都有最小上界和最大下界，则称S关于偏序≼构成一个格。由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求{x,y}的最小上界和最大下界看成x与y的二元运算∨和∧，即x∨y和x∧y分别表示x与y的最小上界和最大下界.注意：这里出现的∨和∧符号只代表格中的运算，而不再有其他的含义. 6.3格与布尔代数格的实例例设n是正整数，Sn是n的正因子的集合.D为整除关系，则偏序集构成格.x,y∈Sn，x∨y是lcm(x,y)，即x与y的最小公倍数.x∧y是gcd(x,y)，即x与y的最大公约数.下图给出了格，和.6.3格与布尔代数例判断下列偏序集是否构成格，并说明理由.(1)，其中P(B)是集合B的幂集.(2)，其中Z是整数集，≤为小于等于关系.(3)偏序集的哈斯图分别在下图给出.格的实例（续）解(1)是格.称为B的幂集格.(2)是格.(3)都不是格.6.3格与布尔代数格的性质：对偶原理定义设f是含有格中元素以及符号=,≼,≽,∨和∧的命题.令f*是将f中的≼替换成≽,≽替换成≼,∨替换成∧,∧替换成∨所得到的命题.称f*为f的对偶命题.例如,在格中：f是(a∨b)∧c≼c,f*是(a∧b)∨c≽c.格的对偶原理：设f是含格中元素以及符号=,≼,≽,∨和∧等的命题.若f对一切格为真,则f的对偶命题f*也对一切格为真. 例如,若对一切格L都有a,b∈L,a∧b≼a，那么对一切格L都有a,b∈L,a∨b≽a6.3格与布尔代数格的性质：算律定理设是格,则运算∨和∧适合交换律、结合律、幂等律和吸收律,即(1)a,b∈L有a∨b=b∨a,a∧b=b∧a(2)a,b,c∈L有(a∨b)∨c=a∨(b∨c),(a∧b)∧c=a∧(b∧c)(3)a∈L有a∨a=a,a∧a=a(4)a,b∈L有a∨(a∧b)=a,a∧(a∨b)=a6.3格与布尔代数算律的证明证(1)交换律.a∨b是{a,b}的最小上界b∨a是{b,a}的最小上界{a,b}={b,a}a∨b=b∨a.由对偶原理,a∧b=b∧a得证.6.3格与布尔代数算律的证明（续）(2)结合律.由最小上界的定义有(a∨b)∨c≽a∨b≽a(I)(a∨b)∨c≽a∨b≽b(II)(a∨b)∨c≽c(III)由式(II)和(III)有(a∨b)∨c≽b∨c(IV)由式(I)和(IV)有(a∨b)∨c≽a∨(b∨c).同理可证(a∨b)∨c≼a∨(b∨c).根据偏序的反对称性得到(a∨b)∨c=a∨(b∨c).由对偶原理,(a∧b)∧c=a∧(b∧c)得证.算律的证明（续）(3)幂等律.显然a≼a∨a,又由a≼a得a∨a≼a.由反对称性a∨a=a.用对偶原理,a∧a=a得证. (4)吸收律.显然有a∨(a∧b)≽a(V)由a≼a,a∧b≼a可得a∨(a∧b)≼a(VI)由式(V)和(VI)可得a∨(a∧b)=a根据对偶原理,a∧(a∨b)=a得证.6.2环与域格作为代数系统的定义定理设是具有两个二元运算的代数系统,若对于∗和运算适合交换律、结合律、吸收律,则可以适当定义S中的偏序≼,使得构成格,且a,b∈S有a∧b=a∗b,a∨b=a∘b.根据定理,可以给出格的另一个等价定义. 定义设是代数系统,∗和∘是二元运算,如果∗和∘运算满足交换律、结合律和吸收律,则构成格.分配格定义定义设是格,若a,b,c∈L,有a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)则称L为分配格.注意：以上条件互为充分必要条件这两个等式中只要有一条成立，另一条一定成立.在证明L为分配格时,只须证明其中的一个等式即可.分配格的定义（续）L1和L2是分配格,L3和L4不是分配格.在L3中,b∧(c∨d)=b，(b∧c)∨(b∧d)=a在L4中,c∨(b∧d)=c，(c∨b)∧(c∨d)=d称L3为钻石格,L4为五角格.分配格的判定（续）解L1,L2和L3都不是分配格.{a,b,c,d,e}是L1的子格,并且同构于钻石格；{a,b,c,e,f}是L2的子格,并且同构于五角格；{a,c,b,e,f}是L3的子格,也同构于钻石格.例说明图中的格是否为分配格,为什么？全上界与全下界定义设L是格,若存在a∈L使得x∈L有a≼x,则称a为L的全下界；若存在b∈L使得x∈L有x≼b,则称b为L的全上界. 说明：格L若存在全下界或全上界,一定是惟一的.一般将格L的全下界记为0,全上界记为1.有界格定义及其性质定义设L是格,若L存在全下界和全上界,则称L为有界格,全下界记为0，全上界记为1.有界格L记为.注意：有限格L={a1,a2,…,an}是有界格,a1∧a2∧…∧an是L的全下界,a1∨a2∨…∨an是全上界.0是关于∧运算的零元,∨运算的单位元.1是关于∨运算的零元,∧运算的单位元. 对于涉及有界格的命题,如果其中含有全下界0或全上界1,求其对偶命题时,必须将0与1互换.补元的定义定义设是有界格,a∈L,若存在b∈L使得a∧b=0和a∨b=1成立,则称b是a的补元.注意：若b是a的补元,那么a也是b的补元.a和b互为补元.实例:求补元解：L1中a,c互补,b没补元.L2中a,d互补,b,c互补.L3中a,e互补,b的补元是c和d,c的补元是b和d,d的补元是b和c. L4中的a,e互补,b的补元是c和d,c的补元是b,d的补元是b.有界分配格中补元惟一性定理设是有界分配格.若L中元素a存在补元,则存在惟一的补元. 证假设b,c是a的补元,则有a∨c=1,a∧c=0,a∨b=1,a∧b=0从而得到a∨c=a∨b,a∧c=a∧b,由于L是分配格,b=c.有补格的定义定义设是有界格,若L中所有元素都有补元存在,则称L为有补格.例如,下图中的L2,L3和L4是有补格,L1不是有补格.布尔代数的定义定义如果一个格是有补分配格,则称它为布尔格或布尔代数.在布尔代数中，如果一个元素存在补元,则是惟一的.可以把求补元的运算看作是布尔代数中的一元运算.布尔代数标记为,其中’为求补运算布尔代数的实例例设S110={1,2,5,10,11,22,55,110}是110的正因子集合.gcd表示求最大公约数的运算lcm表示求最小公倍数的运算.则是否构成布尔代数？布尔代数的等价定义定义设是代数系统,∗和∘是二元运算.若∗和∘运算满足交换律、结合律、幂等律、吸收律,即(1)a,b∈B有a∗b=b∗a,a∘b=b∘a(2)a,b,c∈B有a∗(b∘c)=(a∗b)∘(a∗c), a∘(b∗c)=(a∘b)∗(a∘c) (3)即存在0,1∈B,使得a∈B有a∗1=a,a∘0=a(4)a∈B,存在a∈B使得a∗a=0,a∘a=1则称是一个布尔代数.可以证明，布尔代数的两种定义是等价的.布尔代数的性质定理设是布尔代数,则(1)a∈B,(a)=a.(2)a,b∈B,(a∧b)=a∨b,(a∨b)=a∧b（德摩根律）注意：德摩根律对有限个元素也是正确的. 证明证(1)(a)是a的补元.a是a的补元.由补元惟一性得(a)=a.(2)对任意a,b∈B有(a∧b)∨(a∨b)=(a∨a∨b)∧(b∨a∨b)=(1∨b)∧(a∨1)=1∧1=1,(a∧b)∧(a∨b)=(a∧b∧a)∨(a∧b∧b)=(0∧b)∨(a∧0)=0∨0=0.所以a∨b是a∧b的补元,根据补元惟一性可得(a∧b)=a∨b.同理可证(a∨b)=a∧b.有限布尔代数的表示定理定理设L是有限布尔代数，则L含有2n个元素(nN)，且L与同构，其中S是一个n元集合.结论：含有2n个元素的布尔代数在同构意义下只有一个.

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