高考全国甲卷：《理科数学》2020年考试真题与答案解析

高考全国甲卷：《理科数学》2020年考试真题与答案解析高考精品文档高考全国甲卷理科数学·2020年考试真题与答案解析同卷地区贵州省、四川省、云南省西藏自治区、广西自治区高考全国甲卷：《理科数学》2020年考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A{(x,y)|x,yN*,yx}，B{(x,y)|xy8}，则AB中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．6答案：C12．复数13i的虚部是（）3A．101B．101C．103D．10答案：D43．在一组样本数据中，1...

高考精品文档高考全国甲卷理科数学·2020年考试真题与答案解析同卷地区贵州省、四川省、云南省西藏自治区、广西自治区高考全国甲卷：《理科数学》2020年考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A{(x,y)|x,yN*,yx}，B{(x,y)|xy8}，则AB中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．6答案：C12．复数13i的虚部是（）3A．101B．101C．103D．10答案：D43．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4，且pi1，则下面四种情i1形中，对应样本的标准差最大的一组是（）-1-A．p1p40.1,p2p30.4B．p1p40.4,p2p30.1C．p1p40.2,p2p30.3D．p1p40.3,p2p30.2答案：B4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了KI(t)I(t)=某地区新冠肺炎累计确诊病例数（t的单位：天）的Logistic模型：1e0.23(t53)，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）(ln193)A．60B．63C．66D．69答案：C5．设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y22px(p0交于)D，E两点，若OD⊥O，则EC的焦点坐标为（）1(,0)A．41(,0)B．2C．(1,0)D．(2,0)答案：B-2-6．已知向量a，b满足|a|5，|b|6，ab6，则cosa,ab=（）31A．3519B．3517C．3519D．35答案：D27．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（）31A．91B．31C．22D．3答案：A8．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．6+42-3-B．4+42C．6+23D．4+23答案：Cπ9．已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（）4A．–2B．–1C．1D．2答案：D110．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（）5A．y=2x+11B．y=2x+21C．y=x+1211D．y=x+22答案：Dx2y211．设双曲线C：（1a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5．P是a2b2C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（）A．1-4-B．2C．4D．8答案：A544512．已知5<8，13<8．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A．a 说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每题12分，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，每题10分，考生根据要求作答。（一）必考题17．设数列{an}满足a1=3，．an13an4n（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；n（2）求数列{2an}的前n项和Sn。答案：（1）解答过程如下；a2=5，a3=7，猜想an=2n+1由已知可得；a(2n3)3[a(2n1)]a(2n1)3[a(2n1)]n1n，，nn1……a253(a13)。因为a1=3，所以an=2n+1。-6-（2）解答过程如下nn由（1）得2an=(2n+1)2，所以23nSn325272(2n1)2……①234n1从而2Sn325272(2n1)2……②①﹣②得：23nn1Sn32222222(2n1)2，n1所以Sn(2n1)22.18．某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：表：锻炼人次表空气质量等级[0，200]（200，400]（400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3-7-或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好nadbc2附：K2=，abcd)acbdP（K2≥k）0.05000.01000.0010k3.84106.63510.8280答案：（1）解答过程如下；由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09（2）解答过程如下；一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1(100203003550045)350100．（3）解答过程如下根据所给数据，可得2×2列联表：-8-人次≤400人次>400空气质量好3337空气质量不好228根据列联表得100(3382237)2K25.82055457030．由于5.820＞3.841，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．19．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E,F分别在棱DD1,BB1上，且2DEED1，BF2FB1．（1）证明：点C1在平面AEF内；（2）若AB2，AD1，AA13，求二面角AEFA1的正弦值．答案：x设AB=a，AD=b，AA1=c，如图，以C1为坐标原点，C1D1的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系C1xyz．-9-（1）证明过程如下；2111CFC(0,0,0)A(a,b,c)E(a,0,c)F(0,b,c)EA(0,b,c)CF(0,b,c)连结，则11，，3，3，3，13，得EAC1F．因此EA∥C1F，即A,E,F,C1四点共面，所以点C1在平面AEF内．（2）解答过程如下；A(2,1,3)E(2,0,2)F(0,1,1)由已知得，，，，A1(2,1,0)AE(0,1,1)，AF(2,0,2)，A1E(0,1,2)，A1F(2,0,1)．设n1(x,y,z)为平面AEF的法向量，n1AE0,yz0,n(1,1,1)则即2x2z0,可取1．n1AF0,设n2为平面A1EF的法向量，n2A1E0,则n2A1F0,1n(,2,1)同理可取22．n1n27因为cosn1,n2，|n1||n2|7-10-42所以二面角AEFA1的正弦值为．7x2y21520．已知椭圆C:1(0m5)的离心率为，A，B分别为的左、右顶点。25m24C（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP||BQ，|BPB，求△QAPQ的面积。答案：25m215（1）由题设可得，5425得m2，16x2y21所以C的方程为.252516（2）设P(xP,yP),Q(6,yQ)，根据对称性可设yQ0，由题意知yP0，1由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y(x5)，yQ22所以|BP|yP1yQ，|BQ|1yQ，因为|BP||BQ|，所以yP1，将yP1代入C的方程，解得xP3或.3由直线BP的方程得yQ2或8。所以点P,Q的坐标分别为.P1(3,1),Q1(6,2);P2(3,1),Q2(6,8)-11-1|PQ|10，直线PQ的方程为yx，1111310点A(5,0)到直线P1Q1的距离为，21105故△AP1Q1的面积为.10222710|PQ|130，直线PQ的方程为yx，222293130点A到直线P2Q2的距离为，2611305故△AP2Q2的面积为.13022625综上，△APQ的面积为.21121．设函数f(x)x3bxc，曲线yf(x)在点(，f())处的切线与y轴垂直。22（1）求b。（2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1。答案：（1）解答过程如下；133f(x)3x2bf()0b0b对f(x)求导可得：．有2，即4，故4．（2）解答过程如下；33f(x)x3xcf(x)3x2由（1）知4，4。11f(x)0xx令，解得2或.2-12-则f(x)与f(x)的情况如下表：111111(，)(，)(，+)x222222f(x)+0–0+11f(x)cc44111f(1)f()ccf(x)因为24，所以当4时，只有大于1的零点。111f(1)f()cc因为24，所以当4时，f（x）只有小于–1的零点。11c由题设可知44，11c=f(x)当4时，只有两个零点2和1。11c=f(x)当4时，只有两个零点–1和.2111111cf(x)x(1,)x(,)x(,1)当44时，有三个等点x1，x2，x3，且12，222，32．综上，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于1.（二）选考题请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。x2tt222．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数且t≠1），C与坐2y23tt标轴交于A、B两点．（1）求|AB|；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程。-13-答案：（1）解答过程如下；因为t≠1，由2tt20得t2，所以C与y轴的交点为（0，12）；由23tt20得t=2，所以C与x轴的交点为(4,0．故)|AB|41．0（2）解答过程如下；xy1由（1）可知，直线AB的直角坐标方程为412，将xcos，ysin代入，得直线AB的极坐标方程得：3cossin120．23．设a，b，c∈R，，。abc0abc1（1）证明：abbcca0；（2）用max{a,b,c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a,b,c}≥34。答案：（1）解答过程如下；由题设可知，a，b均不为零，11所以.abbcca[(abc)2(a2b2c2)](a2b2c2)022（2）解答过程如下；不妨设max{a，b，c}=a，因为abc1,a(bc)，所以a>0，b<0，c<0。(bc)2a3由bc，可得abc，故a34，44所以.max{a,b,c}34-14-

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