圆锥曲线几何性质总汇

..圆锥曲线的几何性质一、椭圆的几何性质x2y2（以+=1（a﹥b﹥0）为例）a2b2y1、⊿ABF的周长为4a(定值)2 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：由椭圆的定义AAFAF2a12AFAFBFBF4aFoBFBF2a1212x12FB2即C4aABF22、焦点⊿PFF中：12（1）S=b2tan⊿PF1F22y（2）（S）=bc⊿PF1F2max（3）当P在短轴上时，∠FPF最大12P证明：（1）在AFF中1222FoPFPF4c21∵cos12x2PFPFF12∴2PFPFcosPFPF22PFPF4c21212122b2∴PFPF121cos12b2∴Ssinb2cos1tanPFF1221cos21（2）（S）=2chbc⊿PF1F2max2maxPF2PF24c2aex2aex24c24a24c2（3cos120012PFPF2a2e2x222a22e2x212000a22c2当x=0时cos有最小值即∠FPF最大0a212y3、过点F作⊿PFF的∠P的外角平分线的垂线，垂足为M，112则M的轨迹是x2+y2=a2MP证明：延长FM交FP于F，连接OM12Fox由已知有PFFPM为FF中点F11..11∴OMFF=PFPF=a22212所以M的轨迹方程为x2y2a24、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2内切y证明：取PF的中点M，连接OM。令圆M的直径PF，半径为r11P111∵OM=PF2aPFaPFar222121ox∴圆M与圆O内切FF∴以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2内切y5、任一焦点⊿PFF的内切圆圆心为I，连结PI延长交长轴于R，12P则∣IR∣：∣IP∣=eI证明：证明：连接FI,FI由三角形内角角平分线性质有12oxFRFIRFRFRFRFR2c1∵1212ePIPFPFPFPF2a1212IR∴ePI6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。yA证明：令Ax,y,Bx,y到准线的距离为d,d112212以为直径的圆的圆心为M到准线的距离为d。oxAFedFF∵21AFBFeddBBFed2212221AB2ReddRedd122121∵ddd212∵0e1∴Rd∴以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离7、A为椭圆内一定点，P在椭圆上，则：..（∣PA∣+∣PF∣）max=2a+∣AF∣21（∣PA∣+∣PF∣）min=2a-∣AF∣21证明：连接AP,AF,PF11y∵APPFAP2aPF2aAPPF211P∵AFAPPFAFA111Fo1·x∴2aAFAPPF2aAFF121P∴（∣PA∣+∣PF∣）max=2a+∣AF∣21（∣PA∣+∣PF∣）min=2a-∣AF∣218、A为椭圆内一定点，P是椭圆上的动点，则yPF（∣PA∣+2）min=A到右准线的距离eA证明：设到右准线的距离d,由椭圆的第二定义有·xoFPFPFeddePF∴（∣PA∣+2）min=PAd=A到右准线的距离.emin9、焦点⊿PFF的旁心在直线x=±a上。12☉证明：令I与⊿PFF三边所在的直线相切于M、N、A12∵PMPNFNFA22yMPFPNFMP∴11IFFFNFAN1221ox∵FMFAFFA211∴PFPNFFFN1122∵FNFA22∴PFPNFNFFFNFA121222∵FNFA22∴2a2c2FA2∴acFA即为椭圆顶点。2..∴焦点⊿PFF的旁心在直线x=±a上1210、P是椭圆上任意一点，PF的延长线交右准线于E，K是准线2上另一任意点，连结PK交椭圆于Q，则KF平分∠EFQ22证明：令P,Q到准线的距离为d,dy12PFE2edPFQFPFd12221FQFddQFdPFPKx2e12222odQFQKF22KdPKQ1PdQK2由三角形外角平分线性质定理有KF平分∠EFQ22y112a11、(定值)AFBFb2B证明：令Ax,y,Bx,y1122Fxo当AB的斜率存在时，设直线AB方程为ykxcAykxc∵x2y2b2x2a2(k2x22k2cxc2k2)a2b20a2b2(b2a2k2)x22a2k2cxa2k2c2a2b202a2k2ca2k2c2a2b2∴xxxx12b2a2k212b2a2k2AFaex11112aexx∴112BFaexAFBFaexaexa2aexxe2xx21212122a2k2cc2a2k2c2ae2a222222=bakabak2a2k2ca2k2c2a2b22a2k2cca2k2c2a2b2a2aee2a2ae()2b2a2k2b2a2k2b2a2k2ab2a2k22a3k22ab22ak2c22ak2a2c22ab22ak22aa4k2a2b22a2k2c2c4k2b2c2k2b4a2b2b2c2k2b2a2c2..2ak212ab2k21b211aa2a当AB的斜率存在时，AFBFb2b2b2112a∴(定值)AFBFb2y12、AB是椭圆的任意一弦，P是AB中点，Ab2则KK（定值）BPABOPFxa2o证明：令Ax,y,Bx,y，Px,y112200xxyy则12x12y2020x2y2111a2b2xx.xxyy.yy∵121212120x2y2a2b2221a2b2yyb2xx1212xxa2yy1212yyy∵k12，k0ABxxOPx1201b2∴kABka2OPb2∴kkABOPa213、椭圆的短轴端点为B、B，P是椭圆上任一点，连结BP、BP分别1212交长轴于N、M两点，则有∣OM∣*∣ON∣=a2证明：B0,b,B0,b,Nx0,Px,y,Mx0121002BPx,yb,BMx,b∴20022BPx,yb,BNx,by10011∵由于B、P、M共线B22PxoNM..xybbx∴00x0xb2yb20∵由于PFcx,y,PFcx,y、P、N共线100200xybbx∴00x0xb1yb10x2b2x2b2∴OMON00ABy2b2y2b200x2y2x2b2y2b2x2∵00100a20a2b2a2b2b2y20∴OMONa214、椭圆的长轴端点为A、A，P是椭圆上任一点，12连结AP、AP并延长，交一准线于N、M两点，y12则M、N与对应准线的焦点张角为900MPa2a2证明：令M,y,N,y,Px,y，Aa,0c1c2001A2xAoFAa,01N2APxa,y,APxa,y,100200∴a2a2AMa,y,ANa,y1c12c2∵由于A、P、M共线1a2y(a)xay0c∴00ya2y1xaa10c∵由于A,P,N共线2a2y(a)xay0c∴00ya2y2xaa20ca2a2y(a)y(a)0c0cy2a4a2c2∴yy012xaxax2a2c2000x2y2y2b2∵0010a2b2x2a2a20..b2a4a2c2b4∴yy12a2c2c2a2FMc,yc1b4∵FMFNyya2c212FNc,yc2∴FMFN0∴M、N与对应准线的焦点张角为90015、过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦AB过y该准线对应的焦点。AMa2证明：设M,yc0Foa2xxcyyB则AB的方程为01a2b2xyy即01必过点c,0cb216、椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。xxyy证明：设Px,y，则过P点的切线l：001，直线l的法线x交轴于Q00a2b2xy直线l的法向量为：n0,0a2b2∵PFcx,y,PFcx,ym100200yP∴PF2c2x2y22cx2000lF2b2x2c2x22cxb20Fox00a21a4c2x22a2cxa2cx2000a2a2a2cx2同理PF201a2cxx2y2cxx2b2x2a2cx∵nPF00000b2001a2b2a2a2a2..a2cx同理nPF02a2a2cx0nPFa21∴cosFPQ22PFna2cxn2n0a2a2cx0nPFa21cosFPQ22PFna2cxn2n0a2∴FPQFPQ12即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。x2y2二、双曲线的几何性质（均以1a,b0为例：）a2b2P（1）焦点三角形面积：Sb2cot2•F•F12（1）(2)、过作∠FPF的内角平行线的重线垂足M的轨迹是x2y2a212yPx•F•F12M（2）(3)、以焦半径为直径作圆长的焦半径为直径作圆与x2y2a2内切，小的圆与x2y2a2外切。yPxFF12..y(4)、以焦点为直径作圆与该焦点对应准线相交AxFF12B(4)(5)、焦点⊿PFF的内切圆心横生标为±a即与实轴的切点一定是实轴端点12yPIxF1F2(5)1（6）焦点弦为直径的圆被相应准线截得圆弧所对的圆心角为定值∠MCN＝2arccoseyBMCxF1F2NyA(7)、A为双曲线内一定点P为双曲线上动点=PA+PF＝AF－2a(6)2min1APxFF12(7)..1(8)、如图：A为双曲线内一定点，P是双曲线上的动点，PA＋PF等于A到右准线的距离e2minyPABxFF12(8)（9）、焦点到渐近线的距离等于byPxFF12(9)ya2b2(10)、双曲线上的任上点到两渐近线的距离之积等于定值c2APxFF1B2(10)b2y（11）、P是弦AB中点K．K＝定值ABopa2PBAOxFF12(11)..1（12）、P为双线上任一点过P点作两渐近线的平行线与渐近线围成的平行四边形面积等于定值ab2yMPOxFF12N(12)(13)、过P的切线平分∠FPF（光学性质）即经过一焦点的光线被双曲线反射，反射光线的下长线过另一焦点12yP12•Fx•F21M（13）（14）双曲线与渐近线把平面分成5部分yx2y2x2y2双曲线上的点1渐近线上的点0①a2b2a2b2③②③xx2y2x2y2F②F区域①的点1区域②的点112a2b2a2b2①(14)..x2y2区域③的点01a2b2过渐近线上的点（除中心）只能作一条切线，过中心无切线，没有与两支都相切的切线过区域①的点作切线分别b在两支上，过区域③的点作切线切点在同一支上，过区域②的点没切线，双曲线的切线斜率k，区域①、②的a点可作弦的中点，中心是任意过中心的弦的中点，渐近线上（除中心），双曲线上，区域③的点不可能是弦中点x2y2（15）直线L与双曲线的渐近线1交于A、B两点，与双曲线交于C、D两点，则AC=BDa2b2yBDACxFF12(15)三、抛物线的几何性质均以抛物线y22pxp0为例(1)如图：A为抛物线内一定点，P是抛物线上的动点，PA＋PF等于A到准线的距离minyPAxFX=-P/2(2)过抛物线y22pxp0焦点F作弦AB，其中A（x,y）,B（x,y）则有：1122①yyp212p2②xxy124A③ABxxp12xFB..④AB2pmin112⑤AFBFpp⑥以AB为直径的圆与准线l:x相切2（3）过抛物线y22pxp0顶点作任意互相垂直的弦OA、OB，则弦AB必过定点（2p,0）；反之亦成立，即过定点（2p,0）作直线交抛物线于A、B两点，则有OA垂直OByAxB（4）过抛物线y22pxp0焦点F作直线交抛物线于P、Q两点，弦PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于PQyR，则FR2PxRFQ..（5）过抛物线y22pxp0H上任一点P（X,Y）的切线方程为yypxx0000