解析几何(教材)pdf

1解析几何的基本思想就是用代数方法来处理几何问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 .为了把代数运算引入到几何中,需要把空间结构代数化.为此需要引进向量的代数运算,通过向量引进坐标系.本讲义主要讨论向量的运算与空间解析几何的基本内容.§1向量及其线性运算1.向量概念向量是数学的基本概念之一，是空间解析几何的重要工具,它在许多与数学相关的学科中也是解决问题的有力工具.我们把既有大小，又有方向的量叫做向量或矢量.例如位移、速度、加速度、力、力矩等都是向量.而通常把只有大小的量叫做数量.在数学中，利用有向线段来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示向量.有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.以A为起点,B为终点的有向线段所表示的向量记作ABJJJG（图1）.有时用加箭头的字母或用粗体字母作为向量的记号，例如向量,,afWGJGJJG或向量a,f,W等.BA图1如果两个向量a和b的大小相等，且方向相同，就说a和b是相等的向量，记作ab.这就是说，经过平行移动后能完全重合的向量是相等的.注意,在数学中我们只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方.即向量可以自由地平行移动,且平移前后都代表相等的向量(同一个向量).由于向量起点的任意性，数学上称这种向量为自由向量.我们只讨论自由向量.向量的大小叫做向量的模或长度.向量,ABJJJGa的模依次记作|ABJJJG|与|a|.模是1的向量叫做单位向量.模是0的向量叫做零向量，记作0或0o.注意,零向量的起点和终点重合，零向量的方向可以看作是任意的.如果两个非零向量a和b的方向相同或者相反，就称两个向量共线也叫平行，记为//ab(共线或平行).由于零向量的方向是任意的，因此认为零向量与任2何向量都平行,记为0//oa.类似还有向量共面的概念.如果k个向量平行于同一个平面，就称这k个向量共面.此时若把它们的起点放在同一点，则k个终点和公共起点必在同一个平面上.2.向量的线性运算2.1向量的加减法设两个向量a和b，任取一点A，作ABJJJGa，再以B为起点，作BCJJJGb，连接AC（图2），那么向量ACJJJGc称为向量a与b的和，记作a+b，即ca+b.上述作出两向量之和的方法叫做向量相加的三角形法则.CDCa+bbba+bAaBAaB图2图3力学上有求合力的平行四边形法则，数学上也有向量相加的平行四边形法则.这就是：设向量a,b不平行，作ABADJJJGJJJGa,b，以AB、AD为边作一平行四边形ABCD，连接对角线AC（图3），显然,向量ACJJJG等于向量a与b的和a+b.向量的加法符合下列运算规律：(1)交换律a+b=b+a(2)结合律()()a+b+c=a+b+c这是因为，按向量加法的规定（三角形法则），从图3可见：ABBCAC�JJJGJJJGJJJGa+bcADDCAC�JJJGJJJGJJJGb+ac所以符合交换律，又如图4所示，先作a+b再加上c，即得和()a+b+c，如以a与b+c相加，则得同一结果，即符合结合律.3a+b+cca4a5b+ca3a+bsa2aba1图4图5由于向量加法符合交换律和结合律，故n个向量12n,,,"aaa相加可写成：��12n+"aaa，并按向量相加的三角形法则，可得n个向量相加的法则如下：使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作向量12n,,,"aaa，再以第一向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求的和.如图5，有���12345=+saaaaa设a为向量，与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量，记作�a.由此，规定两个向量b与a的差：=+()��baba，即把向量�a加到向量b上，便得b与a的差�ba（图6(a)）.�aBbbb�ab-aaOaA(a)(b)图6显然，任给向量ABJJJG及点O，有ABAOOBOBOA��JJJGJJJGJJJGJJJGJJJG，因此，若把向量a与b移到同一个点O，则从a的终点A向b的终点B所引向量便是向量b与a的差�ba（图6(b)）.特别地，当=ba时，有=+()=0��aaaa.4由三角形两边之和大于第三边的原理，有d�+abab及d�-abab其中等号在a与b同向或反向时成立.2.2数乘向量法规定实数O乘向量a是一个向量,记为Oa.它的模是OOaa.它的方向当0O!时与a相同，当0O�时与a相反.特别地，当0O时，0Oa，即Oa为零向量，这时它的方向是任意的.当1Or时,1(1)=,=��aaaa.数乘向量满足下列性质：(1)结合律()()()OPPOOPaaa；这是因为由数乘向量规定可知，向量(),(),()OPPOOPaaa、都是平行的向量，它们的指向也是相同的，且()()()OPPOOPOPaaaa，所以()()()OPPOOPaaa.(2)分配律()=OPOP��aaa；()=OOO��abab.这个规律同样可用数乘向量定义来证明，证明从略.注向量的加法及数乘统称为向量的线性运算.例1平行四边形ABCD中，设ABJJJGa，ACJJJGb.试用a和b表示向量MAJJJG、MBJJJG、MCJJJJG和MDJJJJG，这里M是平行四边形对角线的交点（图7）.DCMbAaB图7解由于平行四边形的对角线互相平分，所以2ACAM+JJJGJJJJGab=，()2+MA�JJJGab5于是1()2+MA�JJJGab；因为MCMA�JJJJGJJJG，所以1()2+MCJJJJGab.又2+BDMD�JJJGJJJJGab，所以1()2MD�JJJJGba，且1()2MBMD��JJJGJJJJGab.前面已经规定,模为1的向量叫单位向量.对于非零向量a，与它同方向的单位向量叫做向量的单位向量a,常记为0a或ae.这里有0|1a|a|=|e.按照向量的数乘规定，0aa与0a(即a)的方向相同，a的模也相同.显然有公式:0a=aa或写成aa=|a|e.即向量a等于它的模与它的单位向量乘积.规定当0Oz时，1OOaa.，则的单位向量a公式为:0aaa,或aaea.这表示一个非零向量a除以它的模是同方向的单位向量0a.利用Oa与a共线(平行)，可得向量的共线定理.定理1设向量z0a.则，向量b与a共线的充要条件是：存在唯一的实数O，使Ob=a.(此定理也叫‘共线定理’).推论1//OOœ（共线）存在数，使bab=a.推论2两个向量a与b共线的充要条件是存在不全为0的数,kl使得0kl�Gab.证充分性是显然的，下面证明条件的必要性.设//ba，取Oba，当b与a同向时O取正值，当b与a反向时O取负值，即有Ob=a.这是因为此时b与Oa同向，且||||OOba=aaba.再证数O的唯一性.设Ob=a，又设Pb=a，两式相减，便得()0OP�a=，即0OP�a=.因0za，故0OP-，即OP.证毕.6定理1是建立数轴的理论依据.我们知道，给定一个点、一个方向及单位长度，就确定了一条数轴.由于一个单位向量既确定了方向，又确定了单位长度，因此，给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴.设点O及单位向量i确定了数轴Ox（图8）.1xOiPx图8对于轴上任一点P，对应一个向量OPJJJG，由于//OPJJJGi，根据定理1，必有唯一的实数x，使OPxJJJGi（实数x叫做有向线段OPJJJG的值），并且OPJJJG与实数x一一对应.于是有关系：点Pl向量OPxlJJJGi实数x.从而轴上的点P与实数x有一一对应的关系.据此，定义实数x为数轴上点P的坐标.由此可知，轴上点P的坐标为x的充要条件是OPxJJJGi.3.空间直角坐标系在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k，就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴，依次记为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们构成一个空间直角坐标系，称为Oxyz坐标或>@O;,,ijk坐标系（图9）.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正向通常符合右手 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf ，即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以2S角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，如图10.zzkOjyOyix图9图10三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标x7面.x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面，另两个由y轴及z轴和由z轴及x轴所确定的坐标面，分别叫做yOz面及zOx面.三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做一个卦限.含有x轴y轴与z轴正半轴的那个卦限叫做第一卦限，其他第二、第三、第四卦限，在xOy面的上方，按逆时针方向确定.第五至第八卦限，在xOy面的下方，由第一卦限之下的第五卦限，按逆时针方向确定，这八个卦限分别用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示（图11）.任给向量=ra，对应有点M，使OMJJJJGr,OMJJJJG叫做点M的向径.以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体RHMK-OPNQ.如图12所示，有OMOPPNNMOPOQOR����JJJJGJJJGJJJGJJJJGJJJGJJJGJJJGr设iJJJGOPx，jJJJGOQy，kJJJGORz，则OMxyzJJJJGri+j+k（向径公式）上式称为向量=ar的坐标分解式，xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.zzⅢⅡRKⅣⅠHMOyOQyⅦⅥPNⅧⅤxx图11图12显然，给定向量OMJJJJGr=，就确定了点M，进而确定了三个有序数()x,y,z；反之，给定三个有序数()x,y,z，也就确定了向量OMJJJJGr=与点M.于是点M、向量OMJJJJGr=与有序数组()x,y,z之间有一一对应关系:()MOMxyzx,y,zllJJJJGr=i+j+k.8据此，可把向量r记作:()OMx,y,zJJJJGr=(向量坐标公式).称有数组()x,y,z为向量r(在坐标系Oxyz中)的坐标；而且()x,y,z也称为点M的坐标，记作()Mx,y,z.这里,向量OMJJJJGr=称为点M关于原点O的向径.上述定义表明，一个点与该点的向径有相同的坐标.记号()x,y,z既表示点M，也表示向量OMJJJJG(向径).坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征.例如：如果点M在yOz面上，则0x=；同样，在zOx面上的点，0y=；在面xOy上的点，0z.如果点M在z轴上的点，则0x=y=.特别,原点O的坐标为(0,0,0)O.4.利用坐标作向量运算利用向量的坐标，可得向量的加减法以及向量的数乘法的运算如下：设123123(,,),(,,)OAaaaOBbbbJJJGJJJGab=即123123,aaabbb����aijkb=ijk.利用向量加法的交换律和结合律，以及向量数乘法的结合律与分配律，有122233()()()ababab�����a+bijk，112233()()()ababab������abijk，123()()()aaaOOOO��aijk，(O为实数)，即112233(,,)ababab���a+b，112233(,,)ababab����ab，123(,).a,aaOOOOa由此可见，对向量进行加、减及与数乘，只需对向量的各个坐标进行相应的数量运算即可.定理1指出，当向量0za时，向量//ba相当于Oba，坐标式为123123(,,)(,,)bbbaaaOOœba，这也就相当于向量b与a对应的坐标成比例，可得：9312123//bbbaaaOœœbaba(平行共线定理).①例2求解未知元是向量的线性方程组53(2,1,2)32�­®�¯=(-1,1,-2)XYa,aXYb,b解如同解实数为未知元的方程组一样，可解得23-Xab，35-Yab.以a、b的坐标表示式代入，即得2(2,1,2)3(1,1,2)(7,1,10)----X，(11,2,16).�Y例3已知两点111(,,)Axyz和222(,,)Bxyz以及实数1Oz�，在直线AB上求点M，使OJJJJGJJJGAMMB(图13).解如图13所示,由于�JJJJGJJJJGJJJGAMOMOA，�JJJGJJJGJJJJGMBOBOM因此()OMOAOBOMO��JJJJGJJJGJJJGJJJJG从而得1OAOBOMOO��JJJGJJJGJJJJG(分点公式)以JJJGOA，JJJGOB的坐标（即点A，B的坐标）代入，即得OMJJJJG与M的坐标：121212,,111OOOOOO���§·¨¸���©¹JJJJGxxyyzzOM.定理2设O为固定点.则点M在直线AB上(共线)的充要条件是存在实数,kl使得,1OMkOAlOBkl��JJJJGJJJGJJJG且.证在分点公式中令1,11klOOO��即得必要性.充分性用定理1可得.①当123,,aaa有一个为零，如1230,,0aaaz，这时（*）式应理解为312223123230,bbbbbbaaaaaœ；当123,,aaa有两个为零，例如1230,0aaaz这时（*）式应理解为312121230,0.bbbbbaaaœ10zAMBOyx图13本例中的点M叫做有向线段JJJGAB的O分点.当1O时，得JJJGAB的中点公式2OAOBOM�JJJGJJJGJJJJG(中点公式)它的坐标为121212(,,)222xxyyzzOM���JJJJG,这也是点M的坐标.注通过本例，我们应注意以下两点：(1)由于点M与向径JJJJGOM有相同的坐标，因此，求点M的坐标，就是求JJJJGOM的坐标。(2)记号()x,y,z既可表示点M，又可表示向量JJJJGOM，在几何上点与向量是两个不同的概念，不可混淆.因此，看到记号()x,y,z时，须从上下文去认清它究竟表示点还是表示向量，当()x,y,z表示向量时，可对它进行运算；当()x,y,z表示点时，就不可进行运算.5.向量的模与方向角5.1向量的模与两点向量公式设向量()==x,y,zra，作rJJJJGOM，如图12所示，有r=��JJJJGJJJGJJJGJJJGOMOPOQOR，iJJJGOPx，jJJJGOQy，ORzJJJGk.按勾股定理可得222r=��OMOPOQOR由iJJJGOPx，jJJJGOQy，kJJJGORz，得OPx，OQy，ORz，于是得向量模长公式222=|xyz��JJJJG|r|OM|=(模公式).设有点111(,,)Axyz和点222(,,)Bxyz，则点A与点B间的距离AB就是向量JJJGAB11的模.利用公式ABOBOA�JJJGJJJGJJJG可得如下“两点向量公式”.222111(,,)(,,)ABOBOAxyzxyz��JJJGJJJGJJJG212121(,,)xxyyzz���JJJGAB(两点公式)（**）由此利用模公式得,AB两点的距离公式222212121||()()()ABABxxyyzz�����JJJG(两点模公式)注意两点公式212121(,,)ABxxyyzz���JJJG是很有用的坐标公式.例4在z轴上求与两点(4,1,7)A�和(3,5,2)B�等距离的点.解因为所求的点M在z轴上，所以设该点为(0,0,)zM，依题意有MAMB即222222(04)(01)(7)(30)(50)(2)zz�����������两边去根号，解得14z=9，所求的点为(0,0,).149M例5已知两点(4,0,5)A和(7,1,3)B，求与JJJGAB方向相同的单位向量e.解由两点公式知(74,10,35)(3,1,2)AB����JJJG，所以222||31(2)14AB���JJJG，由单位化公式得01(3,1,2).||14ABABAB�JJJGJJJGJJJGe=5.2方向角与方向余弦设有两个非零向量a、b，任取空间一点O.作aJJJGOA，bJJJGOB，规定不超过S的‘AOB（设MMS‘ddAOB.0）称为向量a和b的夹角（图14），记作m(,)Mab.若a和b中有一个是零向量，规定它们的夹角在0与S之间任意取值.求模，除去12类似地，可以规定向量与一个轴的夹角或空间两轴的夹角，不再赘述.zbBMyOMJEaAODNP图14图15x非零向量OMJJJJGr=与三条坐标轴的夹角D、E、J称为向量r的方向角(图15).设()x,y,zr=，由于x是有向线段JJJGOP的值，AMPOP，故cosrDxxOM同理可知cosrEy，cosrJz从而得单位向量公式(cos,cos,cos),,xyzDEJ§·¨¸¨¸©¹rrerrrr(cos,cos,cos)(,,).xyzDEJrr=rercos,cos,cosDEJ称为向量r的方向余弦.上式表明，以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量re.并由此可得余弦公式222coscoscos1.DEJ��例6已知1(2,2,2)M和2(1,3,0)M,求向量12MMJJJJJJG的模、方向余弦和方向角.解由两点公式12(12,32,02)MM���JJJJJJG(1,1,2)��；12MMJJJJJJG221122��；112cos,cos,cos222DEJ��；23,,.334SSSDEJ例7设点A位于第Ⅰ卦限，向径OAJJJG与x轴、y轴的夹角依次为3S和4S，且136OAJJJG，求点A的坐标.解,34SSDE.由公式222coscoscos1DEJ��，得222121cos1224J§·§·��¨¸¨¸¨¸©¹©¹，1cos2J.(因为A点在第Ⅰ卦限，cos0J!)121(cos,cos,cos)6,,(3,32,3)222OAOADEJ§·¨¸¨¸©¹JJJGJJJG这也就是点A的坐标.5.3向量在轴上的投影如果撇开y轴和z轴，单独考虑x轴与向量OMJJJJGr的关系，那么从图15可见，过点M作与x轴垂直的平面，此平面与x轴的交点即是点P.作出点P，即得r在x轴上的分向量OPxJJJGi，便得向量在x轴上的坐标cosxDr.MMOe'Mu图16一般地，设点O及单位向量e确定u轴（图16）.任给向量r，作OMJJJJGr，再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点'M（点'M叫作点M在u轴上的投影），则向量OMJJJJG称作向量r在u轴上的分向量.设'OMOJJJJJGe，则数O称为向量r在u轴上的投影，记作PrjuOr=或()uOr.特别注意，投影()uOr是一个数值.按此定义，向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标xa、ya、za就是a在三条坐标轴上的投影，即xxaPrja，yyaPrja，zzaPrja可记为123(),(),()xxyyzzaaaaaaaaa.向量的投影具有下列性质：（设M为向量a与u轴的夹角）性质1()||cosuMaa（即cosuPrjMa=a）；14性质2()()()uuu�a+bab（即()uuuPrjPrjPrj�a+bab）；性质3()()uuOOaa.例8设立方体的一条对角线为OM，一条棱为OA，且OAa.求OAJJJG在OMJJJJG方向上的投影()OMOAJJJJGJJJG①.解如图17所示，记MOA=M‘，有M1cos3OAOMM,由投影公式得()cos3OMaOAOAMJJJJGJJJGJJJGOA图17习题11.求平行于向量(6,7,6)�a的单位向量.2.把ABC'的BC边五等分.设分点依次为1234,,,DDDD，再把各点与点A连接.试以ABJJJGc、BCJJJGa表示向量1DAJJJJG、2DAJJJJG、3DAJJJJG和4DAJJJJG.3.已知两点1(0,1,2)M和2(1,1,0)M�.试用坐标表示向量12MMJJJJJJG及122MM�JJJJJJG.4.在直角坐标系中指出下列各点所在的卦限：(1,2,3),(2,3,4),(2,3,4).ABC����5.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有何特征？指出点(0,4,3)A，(3,4,0)B的位置.6.求点(,,)Pabc关于（1）各坐标面；（2）坐标原点的对称点的坐标.7.自点(,,)Pabc分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.求点P到各坐标轴的距离.8.一边长为a的立方体放置在xOy面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x轴和y轴上，求它各顶点的坐标.9.证明三点(4,1,9),(10,1,6),(2,4,3)AB�是等腰直角三角形的顶点.①向量r在向量(0)aa≠的方向上的投影()ar是指r在一条与a同方向的轴上的投影.（～，～，～）／114，5，81510.设两点1(4,2,1)M和2(3,0,2)M.计算向量12MMJJJJJJG的模、方向余弦和方向角.11.设向量的方向余弦分别满足(1)cos0D；(2)cos1E；(3)coscos0DE，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？12．设向量r的模是4，它与轴u的夹角是60D，求r在轴u上的投影.13．一向量的终点在点(2,1,7)B�，它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4，-4和7.求这向量的起点A的坐标与ABJJJG的坐标.14.设M是线段AB的中点，证明对任意一点O，有中点公式2OAOBOM�JJJGJJJGJJJJG.15.利用向量的数乘与中点公式证明:平行四边形的对角线互相平分.§2向量的内积外积与混合积1.向量的内积设一物体在常力F作用下沿直线从点1M移动到2M.12MMJJJJJJGs=表示位移.由物理学知道，力F所作的功为cosWTFs，T为F与s的夹角(图18).F2MbTT1Ma图18图19从这个例子可引出两个向量a,b的内积(点积)运算.定义设向量a和b的夹角为T,规定a与b的内积为||||cosT<abab.向量a和b的内积也叫做点积或数量积.注内积ab<运算的结果是一个数（图19）.据此定义，上述问题中的功W是力F与位移s的内积:Fs<W.若0az，向量b在a方向上的投影记为()ab，()||cosTabb.16同理当0bz时也有a在b上的投影()||cosTbaa由内积定义得投影公式：||();||()<<ababababba或();()||||<<abababbaab.定理（垂直条件）向量a与b垂直：0Aœ<abab①.这是因为如果0ab<，由于0az，0bz，所以cos0T，2ST，即abA；反之，若abA，则2ST，cos0T，于是cos0ababT<.注零向量的方向是任意的，可认为零向量与任何向量都垂直：0AGb.内积有下列运算规律：(1)交换律abba<<(2)结合律()()OO<<abab，O为数(3)分配律()<<<a+bcac+bc因为当0c时，(3)式显然成立；当0cz时，由投影公式与投影性质得()||()<ca+bcca+b，()()()��cccabab.可知()||()||()�<cca+bccacbac+bc<<.推论(1)2||<aaa；(2)222||()()||||2rrr�r<<ababababab注为方便可引入“平方记号”22||<aaaa.例1试用向量证明三角形的余弦定理.证设+ABC中，T‘BCA=（图20），BCa，CAb，ABc，要证2222c=a+b-abcosθ.记aJJJGCB，bJJJGCA，cJJJGAB，则有c=a-b从而2||()()2����<<<<<cccababaabbabAm222cos(,)��abababcb由||||||a,b,cabc，及m(,)Tab，BaC得222c=a+b2abcosθ�.图20①如果向量a与b的夹角2ST，就称向量a与b互相垂直，记作abA.17下面我们来推导点积的坐标式.设123123,aaabbb����aijkbijk.由于i,j,k互相垂直，所以0ijjkki<<<，0jikjik<<<123123()()����<<abaiajakbibjbk111213ababab<<<ii+ij+ik+212223ababab<<<ji+jj+jk+313233ababab<<<ki+kj+kk由于i,j,k的模均为1，所以1iijjkk<<<.因而得112233ababab��<ab.由于cosababT<.所以有夹角公式cosababT<.把,ab的坐标代入上式，可得夹角坐标公式112233222222123123cosabababaaabbbT������.例2已知三点(1,1,1)M、(2,2,1)A和(2,1,2)B，求‘AMB.解作向量JJJGMA及JJJGMB，‘AMB就是向量JJJGMA及JJJGMB的夹角，这里，��1,1,0JJJGMA，��1,0,1JJJGMB，从而111001u�u�uJJJGJJJG<MAMB=1；2221102��JJJGMA；2221012��JJJGMB.代入向量夹角余弦公式，11cos222uJJJGJJJG<JJJGJJJGMAMBAMBMAMA∠，3S‘AMB.v（a）图21（b）nASA分解成基向量再化简18例3设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为（常向量）v.设n为垂直于S的单位向量,图21(a).计算单位时间内经过这区域流向n所指一侧的液体的质量P(液体的密度为U).解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为v的斜柱体（图21(b)），这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v与n的夹角T，所以以这柱体的高为cosvT，体积为cosvvnT<AA.从而，单位时间内经过这个区域流向n所指向一侧的液体的质量为vnU<P=A.2.向量的外积在研究物体转动问题时，不但要考虑这物体所受的力，还要分析这些力所产生的力矩.例如，设O为一根杠杆L的支点.有一个力F作用于这杠杆上P点处.F与JJJGOP的夹角为T（图22）.由力学规定，力F对支点O的力矩是一向量M，它的模为sinMFFTJJJGOQOPFFTOPLPQM=FuJJJGOP图22图23而M的方向垂直于JJJGOP与F所决定的平面，M的指向是按右手规则从JJJGOP以不超过S的角转到F来确定的，即当右手的四个手指从JJJGOP以不超过S的角转向F握拳时，大拇指的指向就是M的指向（图23）.这种由两个已知向量按上面的规则来确定另一个向量的情况，在其他力学和物理问题中也会遇到，从而可以抽象出两个向量的外积（叉积）概念.定义两个向量a与b的外积（也叫向量积或叉积）记作uab,它是一个向量c=abu，满足：(1)模||sinTu|ab|a|b|，其中T为a，b的夹角19(2)()()uAuAaba,abb（uab既垂直于a又垂直于b），且uab的方向按右手规则由a转向b来确定（图24）.b因此上面的力矩M等于JJJGOP与F的外积，M=FuJJJGOP由外积的定义可以推得：(1)0ouaaa这是因为夹角0T，所以2sin00aaau.c=abu图24(2)0//uœabab.这是因为如果0uGab，且0,0zzab，故必有sin0T，于是0T或S，即//ab；反之，//ab，那么0T或S，于是sin0T，从而0abu，即0uGab.注零向量与任何向量都平行0//Gb.外积符合下列运算规律（证明从略）：(1)反交换律baabu�u；(2)结合律()()()OOOuuuab=abab.(3)分配律()�uuuabcac+bc.下面推导外积的坐标表示式.设123aaa��a=ijk，123bbb��b=ijk，利用0ii=jj=kkuuu，ij=ku、jkiu、kiju，ji=ku�、kjiu�、ikju�，可得11121()()()2332332ababababababu�����abijk.为了帮助记忆，利用行列式，上式可写成131322aaabbbuijkab，或写31313131,,()2222aaaaaabbbbbb§·u� ¨¸©¹ab=例4设(2,1,1),(1,1,2)��a=b，计算abu.解21153112ijkabijku����，或记分解成基向量再化简2031313131,,(1,5,3).2222aaaaaabbbbbb§·u���¨¸©¹ab=例5已知三角形ABC的顶点分别是(1,2,3),(3,4,5),(2,4,7)ABC求三角形ABC的面积.解根据向量积的定义，可知三角形ABC的面积为11sin22‘u+JJJGJJJGJJJGJJJGABCSABACA=ABAC由于(2,2,2)ABJJJG，(1,2,4)ACJJJG，因此462(4,6,2).ABACu���JJJGJJJGijk222114(6)214.22ABCSABACu���+JJJGJJJG例6设刚体以等角速度Z绕l轴旋转，计算刚体上一点M的线速度.解刚体绕l轴旋转时，我们可以用在l轴上的一个向量Z表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它们的方向由右手规则定出：即以右手握住l轴，当右手的四个手指的弯曲方向与刚体的旋转方向一致时，拇指的指向就是Z的方向（图25）.设点M到旋转轴l的距离为a再在l轴上任取一点O做向量r=JJJJGOM，并以T表示Z与r的夹角，那么sinrTa=.Z设线速度为v，那么由物理学上线速度与角速度的关系可知，v的大小为aMvsinvωωrTa.Trv的方向垂直于过M点与l轴的平面，即v垂直于Z与rO又v的指向使{}r,vZ�符合右手规则，因此有lvωru.图253.向量的混合积设已知三个向量a，b和c.如果先作向量a和b的叉积abu，再作内积()u<abc，这样得到的数量叫做三向量a、b、c的混合积，记作[].a,b,c设123123123(,,),(,,),(,,)aaabbbcccab=c=，21因为231312231312,,aaaaaabbbbbb§·u�¨¸©¹ab，再按两向量数量积的坐标式，得>@��abcabcu<231312123231312aaaaaacccbbbbbb��可写成3阶行列式（混合积公式）>@123123123().aaabbbcccu<abcabc注向量的混合积有下述几何意义：混合积>@()u<abcabc是这样一个数，它的绝对值等于以向量a,b,c为棱的平行六面体的体积.如果{}a,b,c组成右手系（即c的指向按右手规则从a转向b来确定），则混合积是正数；若{}a,b,c组成左手系，则混合积是负数.事实上，设aJJJGOA，bJJJGOB，cJJJGOC.叉积ab=fu是一个向量，它的模等于以a和b为边的平行四边形的面积，它的方向垂直于这平行四边形的平面，且当{}a,b,c组成右手系时，向量f与向量c朝着这平面的同侧（图26）；ab=fu1CCDBOAD图26当{}a,b,c组成左手系时，f与向量c朝着这平面的异侧.所以，如设f与c的夹角为D，那么当{}a,b,c组成右手系时，D为锐角；当{}a,b,c组成左手系时，D为钝角.由于>@()cosDuu<abcabcabc，所以当{}a,b,c成右手系时，>@abc为正；当{}a,b,c成左手系时，>@abc为负.22又向量a,b,c为棱的平行六面体的底面积等于abu，它的高h等于向量c在向量f上的投影的绝对值，即Prj|||cos|fh=||Dcc，所以平行六面体的体积为>@cosabcabcDuV=Ah=.例7已知不在一个平面上的四点：111222333(),(),()Ax,y,zBx,y,zCx,y,z与444()Dx,y,z.求四面体ABCD的体积TV.解由立体几何可知，四面体的体积TV等于以向量JJJGAB，JJJGAC和JJJGAD为棱的平行六面体的体积的六分之一.因而1,,6TVABACADªº¬¼JJJGJJJGJJJG由于212121(,,)ABxxyyzz���JJJG313131(,,)ACxxyyzz���JJJG，414141(,,)ADxxyyzz���JJJG，所以21212131313141414116���r������TxxyyzzVxxyyzzxxyyzz.习题21.设32,2aijkbijk����求(1)ab<,2uab与()u<abb;(2)uab与b的夹角2.设a、b、c为单位向量，且满足0abc��，求abbcca��<<<.3.设(1,1,2),(3,3,1),(3,1,3)�ABC，求与ABJJJG，BCJJJG同时垂直的单位向量.4.(1)求(4,3,4)�a在向量(2,2,1)b上的投影;(2)求a,b的夹角余弦.5.设(3,5,2),(2,1,4)�ab，求数O与t的关系，使得tO�ab与z轴垂直.6.已知,,abcGGG互相垂直,且1,2,3,abcGGG求sabc��GGGG的长度.7.设23,3aijkbijk����和2cij�,计算()�uabb与()u<abc238.已知3ik�JJJGOA，3jk�JJJGOB，求三角形+OAB的面积.9.已知向量123123123(,,),(,,),(,,)aaabbbcccab=c=.(1)利用混合积的几何意义证明三向量a,b,c共面的充要条件是：1231231230aaabbbccc(2)利用行列式性质证明()()()uuu<<<abcbcacab10.证明:2222||()||||abababu�xGGGGGG与||||||ababdGGGG<.11.用向量证明不等式222222123123112233����t��aaabbbababab其中1a，2a，3a，1b，2b，3b为任意实数，并指出等号成立的条件.§3曲面及其方程1.曲面方程的概念如同在平面解析几何中把平面曲线当作动点的轨迹一样，在空间解析几何中，任何曲面都看作点的轨迹.在这样的意义下，如果曲面S与三元方程()0Fx,y,z（1）有下述关系：（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程（1）；（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程（1），那么，方程（1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程（1）的图形（图28）.图28图29例1建立球心在点0000(,,)Mxyz,半径为R的球面的方程.24解设(,,)Mxyz是球面上的任一点（图29）,那么0MMR.由于2220000()()()��MMx-xy-yz-z，所以222000()()()��x-xy-yz-zR或2222000()()()��x-xy-yz-zR（2）这就是球面上点的坐标所满足的方程.而不在球面上的点的坐标都不满足这方程.所以方程（2）就是以0000(,,)Mxyz为球心,R为半径的球面方程.如果球心在原点，那么0000xyz，从而球面方程为2222��xyzR例2设有点(1,2,3)A和(2,1,4)B�，求线段AB的垂直平分面的方程.解由题意知，所求的平面就是与A和B等距离的点的轨迹，设(,,)Mxyz为所求平面上的任一点，由于AM=BM所以222222(1)(2)(3)(2)(1)(4)�����x-y-z-x-yz-等式两边平方，便得26270x-y+z-.这个方程就是所求平面的方程.在空间解析几何中关于曲面，有下列两个基本问题：（1）已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程；（2）已知坐标x，y和z间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面的形状.下面举一个由已知方程研究它所表示的曲面的例子.例3方程222240���xyzx+y=表示怎样的曲面？解通过配方，原方程可以改写成222(1)(2)5��x-y+z由此可知原方程表示球心在点0(1,2,0)M�、半径为5R=的球面.2.旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴.25设在yOz坐标面上有一已知曲线C，它的方z程为：M111(0yz),,M()0fy,zC把这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为Oy轴的旋转曲面（图30），它的方程可以求得如下：x图30设111(0)M,y,z为曲线C上的任一点则有11()0fy,z(3)当曲线C绕z轴旋转时，点1M绕z轴转到另一点(,,)Mxyz，这时1z=z保持不变，且点M到z轴的距离为221�d=xyy.将1z=z，221r�yxy代入(3)式，有22(,)0fxyzr�(4)这就是旋转曲面的方程.由此可知在曲线C的方程(,)0fyz中将y改成22r�xy，便得C绕z轴旋转所成的旋转曲面方程.同理，曲线C绕y轴旋转所成的旋转面的方程为22()0fy,xzr�.(5)例4直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫做圆锥面.两直线的交点叫做圆锥面的顶点，两直线的夹角z02SDD§·��¨¸©¹叫做圆锥面的半顶角.试建立顶点在坐标原点O，旋转轴为z轴，半顶角为D的圆��Mx,y,z锥面（图31）的方程.Oy解在yOz坐标面上，直线L的方程为xcotDz=y，（6）因为旋转轴为z轴，所以只要将方程（6）中的图31y改成22r�xy，便得到这圆锥面的方程：22cotDr�z=xy可写222()2z=axy�，cotDa=.（7）111(0)M,y,z26例5将xz面上双曲线2221�2xzac分别绕z轴和x轴旋绕，求旋转面的方程.解绕z轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面（图32），它的方程为zzyyOxOx图32图33222221��xyzac.绕x轴旋转所成的旋转面叫做旋转双叶双曲面（图33），它的方程为222221��xyzac.3.柱面先讨论一个具体的例子：方程222�xyR表示怎样的曲面？解222�xyR在xOy面上表示圆心在原点半径为R的圆C.在空间直角坐标系中，这方程不含竖坐标z，即不论点的竖坐标z怎样，只要它的前两个坐标x和y能满足方程，那么这些点就在曲面上.可知若直线l通过xOy面内圆c上一点(0)Mx,y,，且平行于z轴，则l在这曲面上，因此，这曲面可以看作是由平行于z轴的直线l沿xOy面上的圆C移动而形成的.这曲面叫做圆柱面(图34),xOy面上的圆C叫做它的准线，这平行于z轴的直线l叫做它的母线.zzyOyOxx图34图35222�xyR22yx27一般地，平行于定直线0l并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面，定曲线C叫做柱面的准线，动直线L叫做柱面的母线.上面我们看到，不含z的方程222�xyR在空间直角坐标系中表示圆柱面，它的母线平行于z轴，它的准线是xOy面上的圆222�xyR.类似地，方程22yx表示母线平行于z轴的柱面，它的准线是xOy面上的抛物线22yx，该柱面叫做抛物柱面（图35）.又如，方程0x-y=表示母线平行于z轴的柱面，其准线是xOy面上的直线0x-y=，所以它是过z轴的平面（图36）.zz0x-y=��0Fx,y=OyOCyxx图36图37一般地，只含x、y而缺z的方程��0Fx,y=在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线是xOy面上的曲线C：()0Fx,y=（图37）.类似可知，只含x、z而缺y的方程()0Gx,z=和只含y、z而缺x的方程()0Hy,z=分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面.例如，方程0x-z=表示母线平行于y轴的柱面，其准线是xOz面上的直线0x-z=，所以它是过y轴的平面（图38）.0x-z=Oyx图384.二次曲面28与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，我们把三元二次方程()0Fx,y,z=所表示的曲面称为二次曲面.而把平面称为一次曲面.二次曲面有九种，适当选取空间直角坐标系，可得它们的标准方程.（1）椭圆锥面22222�xyzab以垂直z轴的平面z=t截此面，当0zt时，得平面z=t上的椭圆22221()()xyatbt�.当t变化时，上式表示一族长短轴比例不变的椭圆，当t从大到小并变为0时，这族椭圆从大到小并缩为一点.综合上述讨论，可得椭圆锥面（1）的形状如（图39）所示.平面z=t与曲面()0Fx,y,z=的交线称为截痕.通过图39截痕的变化来了解曲面形状的方法称为截痕法.我们还可以用伸缩变形的方法来得出椭圆锥面（1）的形状.先说明xOy平面上的图形伸缩变形的方法.在xOy平面上，把点()Mx,y变为点()'Mx,yO，从而把点M的轨迹C变为点'M的轨迹'C，称为把图像C沿y轴方向伸缩O倍变成图形'C.假如C为曲线()0Fx,y，点11()Mx,yC，点M变为点22()'Mx,y，其中21xx，21Oyy，即12xx，112yyO�，因点MC，有11()0Fx,y，故122()0Fx,yO�，因此点22()'Mx,y的轨迹'C的方程为1()0Fx,yO�.例如把圆222�xya沿y轴方向伸缩ba倍，就变为椭圆22221�xyab（图40）.aMb'MOax图4029(2)椭球面2222221��xyzabc把xOz面上的椭圆22221�xzac绕z轴旋转，所得曲面称为旋转椭球面，其方程为222221��xyzac.再把旋转椭球面沿y轴方向伸缩ba倍，便得椭球面（2）的形状如图41所示.zy当a=b=c时方程（2）成为2222��xyza，这是球心在原点半径为a的球面.显然，球面是旋转椭圆球面的特殊情形，旋转椭球面是椭球面的特殊x情形.把球面2222��xyza沿z轴方向伸缩图41ca倍，即得旋转椭球面222221��xyzac；再沿y轴方向伸缩ba倍，即得椭球面（2）.（3）单叶双曲面2222221��xyzabc把xOz面上的双曲线22221�xzac绕z轴旋转，得旋转单叶双曲面222221��xyzac（图32）.把此曲面沿y轴方向伸缩ba倍，得单叶双曲面（3）.（4）双叶双曲面2222221��xyzabc把xOz面上的双曲线22221�xzac绕x轴旋转，得旋转双叶双曲面222221�xy+zac（图33）.把此曲面沿y轴方向伸缩bc倍，即得双叶双曲面（4）.30（5）椭圆抛物面2222�xyzabz把xz面上的抛物线22xza绕z轴旋转，所得曲面叫做旋转抛物面，如图42所示.把此旋转曲面xy沿y轴方向伸缩ba倍，即得椭圆抛物面（5）.图42（6）双曲抛物面2222�xyzab双曲抛物面又称马鞍面，可用截痕法来讨论它的形状.用平面x=t截此曲面，得截痕l为平面x=t上的抛物线：2222ytzba��，此抛物线开口朝下，其顶点为x=t，0y=，22tz=a.当t变化时，l的位置只作上下平移，而l的顶点的轨迹L为平面0y=上的抛物线22z=ax.因此以l为母线，L为准线，母线l的顶点在准线L上滑动，且母线平行移动，这样得到的曲面便是双曲抛物面（6），如图43.还有三种二次曲面是以三种二图43次曲线为准线的柱面22221�xyab，22221�xyab，2x=ay，依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面.柱面的形状在第三目中已经讨论过，这里不再赘述.习题31.一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离，求这动点的轨迹方程.2.方程2222420����x+yzxyz=表示什么曲面？3.将xOy坐标面上双曲线224936xy=�分别绕x轴及y轴旋转，求所生成的旋转曲面方程.4.指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形：31（1）2x=；（2）224x+y=；（3）221x-y=.5.说明下列旋转曲面是怎样形成的：（1）2221x-y-z=；（2）22214��yxz；（3）222()za=x+y�.6.指出下列旋转面的母线和旋转轴：(1)222()zxy�；(2)2223()zxy�.7.画出下列方程所表示的曲面：（1）22244x+y-z=；（2）22244��xyz.§4空间曲线及其方程1.空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线.设()0Fx,y,z和()0Gx,y,z是两个曲面的方程，它们的交线为C（图44）.因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组()0()0.Fx,y,zGx,y,z­®¯（1）方程组（1）叫做空间曲线C的一般方程.例1方程组221,236x+y=x+z=­®¯表示怎样的曲线？解方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面；方程组中第二个方程表示一个平面.方程组就表示上述平面与圆柱面的交线，如图45所示.zz1S2SOOxyy图44x图45例2下列方程组表示怎样的曲线？32222222,22­��°®§·§·��°¨¸¨¸©¹©¹¯z=axyaaxyz解方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O，半径为a的上半球面.第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面，它的准线是xOy面上的y圆，这圆的圆心在点,02§·¨¸©¹a，半径为2a.方程组x图46就表示上述半球面与圆柱面的交线，如图46所示.2.空间曲线的参数方程空间曲线C上动点(,,)Mxyz的坐标也可用参数写成参数t的函数：(),(),().x=xty=ytz=zt（2）随着t的变动可得曲线C上的全部点.方程（2）叫做空间曲线的参数方程.例3如果空间一点M在圆柱面222x+y=a上以角速度Z绕z轴旋转，同时又以线速度Q沿z轴的正方向上升（其中Z,Q都是常数），那么点M构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程.解取时间t为参数.设当0t=时，动点位于x轴上的一点(00)Aa,,处.经过时间t，动点A运动到(,,)Mxyz（图47）.记M在xOy面上的投影为'M，'M的坐标为(,,0)xy.由于动点在圆柱面上以角速度Z绕z轴旋转，经过时间t得，Z‘'AOMt.从而zcoscosZ‘''x=OMAOMatsinsinZ‘''y=OMAOMat由于动点同时以线速度Q沿z轴的正方向上升，Mh所以xA'My'z=MM=νt.图4733因此螺旋线的参数方程为cos,sin,.ZZ­°®°¯x=aty=atz=νt也可以用其他变量作参数；例如令TZt，则螺旋线的参数方程可写为cos,sin,.TTT­°®°¯x=ay=az=b这里QZb=，而参数为T.螺旋线有一个重要性质：当T从0T变到0TD�时，z轴由0Tb变成0TD�bb.这说明当'OM转过角D时，M点沿螺旋线上升了高度Db，即上升的高度与'OM转过的角度成正比.特别是当'OM转过一周，即2DS时，M点就上升固定的高度2Shb.这个高度2Shb在工程技术上叫做螺距.曲面的参数方程曲面的参数方程通