材料力学_单祖辉_第三版课后答案_(第一章—第八章)

1第一章绪论1-2如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的总应力p＝120MPa，其方位角＝20°，试求该点处的正应力与切应力。 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1-2图解：总应力p与截面m-m的法线间的夹角为10203030所以，MPa2.11810cospMPa8.2010sinp1-3已知杆内横截面上的内力主矢FR与主矩M如图所示，且均位于x-y平面内。试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其大小。图中，C为截面形心。题1-3图解：2,RNSFFFMMyy1-4图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为max=100MPa，底边各点处的正应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其大小。图中，C为截面形心。2题1-4图解：由题图所示正应力分布可以看出，该杆横截面上存在轴力NF和弯矩zM，其大小分别为200kNN10002m)0400m100.0(Pa)10100(212156maxN..AσFmkN333mN10333m)1000(N)10200(6161)32(33NN...hFhhFMz1-5图a与b所示两个矩形微体，虚线表示其变形或位移后的情况，该二微体在A点处的切应变分别记为(A)a与(A)b，试确定其大小。题1-5图(a)解：(A)a=0(b)解：2)()(bA1-6板件变形如图中虚线所示。试求棱边AB与AD的平均正应变以及A点处直角BAD的切应变。题1-6图解：平均正应变为333av,1000.1m100.0m100.1AB33av,1000.2m100.0m102.0AD由转角rad1000.20.100mm102.033ADαrad1000.10.100mm101.033ABα得A点处直角BAD的切应变为rad1000.13ABADBADAαα1第二章轴向拉压应力与材料的力学性能2-1试画图示各杆的轴力图。题2-1图解：各杆的轴力图如图2-1所示。图2-12-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图a与b所示分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为q。题2-2图(a)解：由图2-2a(1)可知，qxqaxF2)(N轴力图如图2-2a(2)所示，2qaF2max,N图2-2a(b)解：由图2-2b(2)可知，qaFRqaFxFR1N)(22R2N2)()(qxqaaxqFxF轴力图如图2-2b(2)所示，qaFmaxN,图2-2b2-3图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm2，载荷F=50kN。试求图示斜截面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。题2-3图解：该拉杆横截面上的正应力为100MPaPa1000.1m10500N10508263－AFσ斜截面m-m的方位角，50α故有3MPa3.41)50(cosMPa100cos22ασσMPa2.49)100sin(MPa502sin2αστα杆内的最大正应力与最大切应力分别为MPa100maxσσMPa502maxστ2-5某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定材料的弹性模量E、比例极限p、屈服极限s、强度极限b与伸长率，并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料）。题2-5解：由题图可以近似确定所求各量。220GPaPa102200.001Pa10220ΔΔ96εσEMPa220pσ,MPa240sσMPa440bσ,%7.29δ该材料属于塑性材料。2-7一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。若杆径d=10mm，杆长l=200mm，杆端承受轴向拉力F=20kN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。4题2-6图解：255MPaPa1055.2m0.010πN102048223AFσ查上述εσ曲线，知此时的轴向应变为%39.00039.0ε轴向变形为mm780m108700390m)2000(Δ4....lεl拉力卸去后，有00364.0eε，00026.0pε故残留轴向变形为0.052mmm105.2000260(0.200m)Δ5p.lεl2-9图示含圆孔板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F=32kN，板宽b=100mm，板厚15mm，孔径d=20mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。题2-9图解：根据2.0m)100.0m/(020.0/bd查应力集中因数曲线,得42.2K根据δdbFσ)(n，nmaxσσK得564.5MPaPa1045.60.015m0.020)(0.100N103242.2)(723nmax＝－δdbKFKσσ2-10图示板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F=36kN，板宽b1=90mm，b2=60mm，板厚=10mm，孔径d=10mm，圆角半径R=12mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。题2-10图解：1.在圆孔处根据111100.090mm010.01.bd查圆孔应力集中因数曲线，得6.21K故有117MPaPa1017.1m010.0)010.0090.0(N10366.2)(82311n1max1－－δdbFKσKσ2．在圆角处根据1.50.060mm090.021bbdD2.00.060mm012.02bRdR查圆角应力集中因数曲线，得74.12K故有104MPaPa1004.10.010m0.060N103674.182322n2max2δbFKσKσ3.结论MPa117maxσ（在圆孔边缘处）2-14图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆的横截面面积均为A，许用应力均为[]，试确定载荷F的许用值[F]。6题2-14图解：先后以节点C与B为研究对象，求得各杆的轴力分别为FF2N1FFFN3N2根据强度条件，要求][2AF由此得2][][AF2-15图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为[]。若在节点B和C的位置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的值（即确定节点A的最佳位置）。题2-15图解：1.求各杆轴力设杆AB和BC的轴力分别为N1F和N2F，由节点B的平衡条件求得αFFαFFctansinN2N1，2.求重量最轻的值由强度条件得ασFAσFActan][]sin[21，7结构的总体积为)ctansin22(][ctan][cos]sin[2211αασFlασFlαlασFlAlAV由0ddαV得01cos32α由此得使结构体积最小或重量最轻的α值为4454optα2-16图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为[]。若节点A和C间的指定距离为l，为使结构重量最轻，试确定的最佳值。题2-16图解：1.求各杆轴力由于结构及受载左右对称，故有θFFFsin2N2N12.求的最佳值由强度条件可得θσFAA]sin[221结构总体积为θσFlθlθσFlAV]sin2[cos2]sin[211由0ddθV得0cos2θ由此得的最佳值为45optθ82-17图示杆件，承受轴向载荷F作用。已知许用应力[]＝120MPa，许用切应力[]＝90MPa，许用挤压应力[bs]＝240MPa，试从强度方面考虑，建立杆径d、墩头直径D及其高度h间的合理比值。题2-17图解：根据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷F的许用值分别为][4π][2tdF(a)][4)(π][bs22bdDF(b)][π][sdhF(c)理想的情况下，sbt][][][FFF在上述条件下，由式（a）与（c）以及式（a）与（b），分别得dh][4][dDbs][][1于是得1:][4][:][][1::bsdhD由此得1:333.0:225.1::dhD2-18图示摇臂，承受载荷F1与F2作用。已知载荷F1=50kN，F2=35.4kN，许用切应力[]=100MPa，许用挤压应力][bs=240MPa。试确定轴销B的直径d。9题2-18图解：1.求轴销处的支反力由平衡方程0xF与0yF，分别得kN25cos4521FFFBxkN25sin452FFBy由此得轴销处的总支反力为kN435kN252522.FB2.确定轴销的直径由轴销的剪切强度条件（这里是双面剪）][π22sτdFAFτB得m0150m10100104.352][263.τFdB由轴销的挤压强度条件][bsbbsσdFdFσB得m014750m102400100104.35][63bs..σδFdB结论：取轴销直径15mmm015.0d。2-19图示木榫接头，承受轴向载荷F=50kN作用，试求接头的剪切与挤压应力。题2-19图解：剪应力与挤压应力分别为MPa5)m100.0)(m100.0(N10503MPa5.12)m100.0)(m040.0(N10503bs102-20图示铆接接头，铆钉与板件的材料相同，许用应力[]=160MPa，许用切应力[]=120MPa，许用挤压应力[bs]=340MPa，载荷F=230kN。试校核接头的强度。题2-20图解：最大拉应力为MPa3.153)m)(010.0)(020.0170.0(N1023023max最大挤压与剪切应力则分别为MPa2300.010m)5(0.020m)(N102303bsMPa4.146π(0.020m)5N102304232-21图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷F=45kN作用。已知木杆的截面宽度b=250mm，沿木纹方向的许用拉应力[]=6MPa，许用挤压应力][bs=10MPa，许用切应力[]=1MPa。试确定钢板的尺寸与l以及木杆的高度h。题2-21图解：由拉伸强度条件][)2(σδhbFσ得0.030mm10625001045][263.σbFδh（a）由挤压强度条件11][2bsbsσbδFσ得mm9m0090m1010250.021045][263bs.σbFδ（b）由剪切强度条件][2τblFτ得mm90m0900m101250.021045][263.bFl取m009.0δ代入式（a），得48mmm0480m)009.02030.0(.h结论：取mm9δ，mm90l，mm48h。2-22图示接头，承受轴向载荷F作用。已知铆钉直径d=20mm，许用应力[]=160MPa，许用切应力[]=120MPa，许用挤压应力][bs=340MPa。板件与铆钉的材料相同。试计算接头的许用载荷。题2-22图解：1.考虑板件的拉伸强度由图2-22所示之轴力图可知，4/3N2N1FFFF，][)(1N11σδdbFAFσ432kNN104.32N10160015.0)02002000(][)(56.-.σδdbF][)2(432N22σδdbFAFσ512kNN105.12N10160015.0)040.0200.0(34][)2(3456σδdbF12图2-222.考虑铆钉的剪切强度8sFF][π842sτdFAFτ302kNN1002.3N101200200π2][π25622.τdF3．考虑铆钉的挤压强度][44bsbbsbdFdFFFkN408N1008.4N103400.0200.0154][456bsσdF结论：比较以上四个F值，得kN302][F2-23图a所示钢带AB，用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接，钢带承受轴向载荷F作用。已知载荷F=6kN，带宽b=40mm，带厚=2mm，铆钉直径d=8mm，孔的边距a=20mm，钢带材料的许用切应力[]=100MPa，许用挤压应力[bs]=300MPa，许用拉应力[]=160MPa。试校核钢带的强度。题2-23图解：1．钢带受力 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 13分析表明，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影，通过该面的形心时，通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。铆钉孔所受挤压力Fb等于铆钉剪切面上的剪力，因此，各铆钉孔边所受的挤压力Fb相同，钢带的受力如图b所示，挤压力则为N100.23N106333bFF孔表面的最大挤压应力为][MPa125Pa1025.1)m008.0)(m002.0(N100.2bs83bbsdF在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪（图b），切应力为][MPa25Pa105.2)m020.0)(m002.0(2N100.2273baF钢带的轴力图如图c所示。由图b与c可以看出，截面1-1削弱最严重，而截面2-2的轴力最大，因此，应对此二截面进行拉伸强度校核。截面1-1与2-2的正应力分别为MPa3.83m)002.0(m)008.02.040m03(N)106(2)23(231N11dbFAFMPa8.93m)002.0(m)008.0.040m0(N106)(32N22dbFAF1第三章轴向拉压变形3-2一外径D=60mm、内径d=20mm的空心圆截面杆，杆长l=400mm，两端承受轴向拉力F=200kN作用。若弹性模量E=80GPa，泊松比=0.30。试计算该杆外径的改变量D及体积改变量V。解：1.计算D由于EAFDDεEAFεΔ，故有0.0179mmm1079.1m020.00600(π1080060.01020030.04)(π4Δ5229322）.dDEFDEAFDDεD2.计算V变形后该杆的体积为)21()1)(1(])()[(4π)(222εεVεεAldεdDεDllAlV故有337393mm400m1000.4)3.021(m1080400.010200)21()2(ΔμEFlεεVVVV3-4图示螺栓，拧紧时产生l=0.10mm的轴向变形。已知：d1=8.0mm，d2=6.8mm，d3=7.0mm；l1=6.0mm，l2=29mm，l3=8mm；E=210GPa，[]=500MPa。试求预紧力F，并校核螺栓的强度。题3-4图解：1.求预紧力F各段轴力数值上均等于F，因此，)(π4)(Δ233222211332211dldldlEFAlAlAlEFl由此得2kN6518N108651N)007.0008.00068.0029.0008.0006.0(41010.010210π)(4Δπ422239233222211..dldldllEF2.校核螺栓的强度514MPaPa1014.5m00680πN1065.184π4822322minmax.dFAFσ此值虽然超过][σ，但超过的百分数仅为2.6％，在5％以内，故仍符合强度要求。3-5图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为1ε=4.0×10-4与2ε=2.0×10-4。已知杆1与杆2的横截面面积A1=A2=200mm2，弹性模量E1=E2=200GPa。试确定载荷F及其方位角之值。题3-5图解：1.求各杆轴力16kNN1061N10200100.4102004649111N1.AεEF8kNN108N10200100.2102003649222N2AεEF2.确定F及θ之值由节点A的平衡方程0xF和0yF得0sin30sinsin30N1N2FθFF0coscos30cos30N2N1θFFF化简后，成为θFFFsin2N2N1(a)及3θFFFcos2)(3N2N1(b)联立求解方程(a)与(b)，得1925.010)816(310)816()(3tan33N2N1N2N1FFFFθ由此得9.1089.10θkN2.21N102.12N8910sin210)816(2sin43N2N1.θFFF3-6图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为，长度为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E。试计算板的轴向变形。题3-6图解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为xxbEFxxEAFllld)(d)(Δ00(a)由图可知，若自左向右取坐标x，则该截面的宽度为xlbbbxb121)(代入式(a)，于是得12120121ln)(d1ΔbbbbEδFlxxlbbbδEFll3-7图示杆件，长为l，横截面面积为A，材料密度为，弹性模量为E，试求自重下杆端截面B的位移。4题3-7图解：自截面B向上取坐标y，y处的轴力为gAyFN该处微段dy的轴向变形为yEgyyEAgAyΔyddd于是得截面B的位移为EglyyEgΔlCy2d20)(3-8图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F，并由作用于地桩的摩擦力所支持。设沿地桩单位长度的摩擦力为f，且f=ky2，式中，k为常数。已知地桩的横截面面积为A，弹性模量为E，埋入土中的长度为l。试求地桩的缩短量。题3-8图解：1.轴力分析摩擦力的合力为3dd302klykyyfFlly根据地桩的轴向平衡，Fkl33由此得33lFk（a）截面y处的轴力为3dd3020NkyykyyfFyy2.地桩缩短量计算截面y处微段dy的缩短量为5EAyFδddN积分得EAklyyEAkEAyFδll12d3d4030N将式(a)代入上式，于是得EAFlδ43-9图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为k，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。题3-9图解：载荷F作用后，刚性梁AB倾斜如图(见图3-9)。设钢丝绳中的轴力为NF，其总伸长为lΔ。图3-9以刚性梁为研究对象，由平衡方程0AM得)2()(NNbaFbaFaF由此得FFN由图3-9可以看出，)2(bay)2()(Δ21babaaΔΔlyy可见，lΔyΔ(b)根据k的定义，有6ykΔlkFΔN于是得kFkFΔyN3-10图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点A的水平与铅垂位移。题3-10图（a）解：利用截面法，求得各杆的轴力分别为（拉力）N2N1FFF（压力）2N4FF0N3F于是得各杆的变形分别为)(21伸长EAFlll)(2224伸长＝EAFlEAlFl03l如图3－10(1)所示，根据变形l1与l4确定节点B的新位置B’,然后，过该点作长为l+l2的垂线，并过其下端点作水平直线，与过A点的铅垂线相交于A’,此即结构变形后节点A的新位置。于是可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为0AxΔEAFlEAFlEAFlEAFllllΔAy2122222417图3-10（b）解：显然，杆1与杆2的轴力分别为（拉力）N1FF0N2F于是由图3－10(2)可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为EAFllΔAx1EAFllΔAy13-11图示桁架ABC，在节点B承受集中载荷F作用。杆1与杆2的弹性模量均为E，横截面面积分别为A1=320mm2与A2=2580mm2。试问在节点B和C的位置保持不变的条件下，为使节点B的铅垂位移最小，应取何值（即确定节点A的最佳位置）。题3-11图解：1.求各杆轴力由图3-11a得θFFθFFctansinN2N1，8图3-112.求变形和位移由图3-11b得2222N221211N11ctanΔsin22ΔEAθFlEAlFlθEAFlEAlFl＝，及)ctansinsin22(tanΔsinΔ221221AθθθAEFlθlθlΔBy3.求θ的最佳值由0d/dθΔBy，得0cscctan2sin2sin)sin2cossincos22(222221AθθθθθθθθA由此得0)cos31(cos22231θAθA将21AA与的已知数据代入并化简，得003125.4cos09375.12cos23θθ解此三次方程，舍去增根，得5649670cos.θ由此得θ的最佳值为6.55optθ3-12图示桁架，承受载荷F作用。设各杆的长度为l，横截面面积均为A，材料的应力应变关系为n=B，其中n与B为由试验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。9题3-12图解：两杆的轴力均为cos2NFF轴向变形则均为BlAFlBllnncos2于是得节点C的铅垂位移为1cos2cosnnnnCyBAlFlΔ3-13图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在梁的中点C承受集中载荷F作用。已知载荷F=20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量E=200GPa，梁长l=1000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。题3-13图解：1.求各杆轴力由0xF，得0N2F由0yF，得kN102N3N1FFF102．求各杆变形0Δ2l34-693N11Δ0.50mmm105.0m1010010200000.11010ΔlEAlFl3．求中点C的位移由图3-13易知，图3-13)(mm50.0Δ)(mm50.0Δ11lΔlΔyx，3-14图a所示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试求节点B与C间的相对位移B/C。题3-14图解：1.内力与变形分析利用截面法，求得各杆的轴力分别为（拉力）24N3N2N1NFFFFF（压力）5NFF于是得各杆得变形分别为11)(24321伸长EAFlllll)(225缩短EAFlEAlFl2.位移分析如图b所示，过d与g分别作杆2与杆3的平行线，并分别与节点C的铅垂线相交于e与h，然后，在de与gh延长线取线段l3与l2，并在其端点m与n分别作垂线，得交点C’，即为节点C的新位置。可以看出，EAFlEAFlEAFllliC'CiΔCB2222222222235/3-15如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求载荷作用点沿载荷作用方向的位移。题3-15图(a)解：各杆编号示如图3-15a，各杆轴力依次为FFFFFF212222N3N2N1，，该桁架的应变能为)4122(2)4122221(212222312NEAlFlFlFEAEAlFViiiε图3-1512依据能量守恒定律，εVFΔ2最后得EAFlEAlFFΔ4)122()4122(222)((b)解：各杆编号示如图b列表计算如下：iiFNiliilF2N1FllF220l03FllF24FllF25F2l2lF222lF2)22(3于是，5122N2)223(2iiiεEAlFEAlFV依据能量守恒定律，εVFΔ2可得)()223(EAFlΔ3-16图示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求节点B与C间的相对位移B/C。题3-16图解：依据题意，列表计算如下：13iiFNiliilF2N12/2Fl22/lF22/2Fl22/lF32/2Fl22/lF42/2Fl22/lF5Fl2lF22lF2)22(由表中结果可得EAlFEAlFViiiε2)22(22512N依据VW得EAFlΔCB)22(/)(3-17图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为，长度为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E，试用能量法计算板的轴向变形。题3-17图解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为xxbEFxxEAFVlld)(2d)(202N02N(a)由图可知，若自左向右取坐标x，则该截面的宽度为xlbbbxb121)(将上式代入式（a）,并考虑到FFN,于是得1212212120ln)(2d21bbbbEδlFxxlbbbδFEVlε设板的轴向变形为l，则根据能量守恒定律可知，εVlF2Δ14或12122ln)(22ΔbbbbEδlFlF由此得1212ln)(ΔbbbbEδFll3-19图示各杆，承受集中载荷F或均布载荷q作用。各杆各截面的的拉压刚度均为EA，试求支反力与最大轴力。题3-19图(a)解：杆的受力如图3-19a(1)所示，平衡方程为0,0BxAxxFFFFF一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。图3-19aAC，CD与DB段的轴力分别为2,,3N2N1NFFFFFFFFAxAxAx由于杆的总长不变，故补充方程为02EAaFFEAaFFEAaFlAxAxAx得0FFAx由此得FFAx15FFFFAxBx2杆的轴力图如3-19a(2)所示，最大轴力为FFmaxN,(b)解：杆的受力如图3-19b(1)所示，平衡方程为0,0BxAxxFFqaF一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。图3-19bAC与CB段的轴力分别为,2N1NqxFFFFAxAx由于杆的总长不变，故补充方程为0d10xqxFEAEAaFlaAxAx得02212qaaFEAAx由此得4qaFAx43qaFqaFAxBx杆的轴力图如3-19b(2)所示，最大轴力为43maxNqaF3-20图示结构，杆1与杆2的横截面面积相同，弹性模量均为E，梁BC为刚体，载荷F=20kN，许用拉应力[t]=160MPa,许用压应力[c]=110MPa，试确定各杆的横截面面积。16题3-20图解：容易看出，在载荷F作用下，杆2伸长，杆1缩短，且轴向变形相同，故FN2为拉力，FN1为压力，且大小相同，即N1N2FF以刚性梁BC为研究对象，铰支点为矩心，由平衡方程02,0N1N2aFaFaFM由上述二方程，解得FFFN1N2根据强度条件，2463cN11m10818.1Pa10110N1020][FA2463tN22m1025.1Pa10160N1020][FA取221mm182AA3-21图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度相同，试求各杆轴力。题3-21图17(a)解：此为一度静不定桁架。设ABF,N以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆AB为研究对象，由0yF，得FFFABBC,N,N(a)后取节点A为研究对象，由0xF和0yF依次得到AGADFF,N,N(b)及ABADFF,N,Ncos452(c)在节点A处有变形协调关系（节点A铅垂向下）ADADABBCllllΔ2cos45ΔΔΔ(d)物理关系为AGADADABABBCBClEAlFlEAlFlEAlFlΔ2ΔΔΔ,N,N,N，，(e)将式(e)代入式(d)，化简后得ADABBCFFF,N,N,N2)(d联解方程(c)(a)，和)(d，得FFBC22,N（拉），FFAB222,N（压），FFFAGADN212,N,（拉）(b)解：此为一度静不定问题。考虑小轮A的平衡，由0yF，得0sin451NFF由此得FF21N在F作用下，小轮A沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，0Δ2l，故有02NFN1F的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。3-22图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为[1]=40MPa，[2]=60MPa，[3]=120MPa，弹性模量分别为E1=160GPa，E2=100GPa，18E3=200GPa。若载荷F=160kN，A1=A2=2A3，试确定各杆的横截面面积。题3-22图解：此为一度静不定结构。节点C处的受力图和变形图分别示如图3-22a和b。图3-22由图a可得平衡方程N21N230FFFx，(a)FFFFyN3N2210，(b)由图b得变形协调方程为321Δsin30Δctan30Δlll(c)根据胡克定律，有331N3333N33321N2222N22311N1111N113Δ3Δ2ΔAElFAElFlAElFAElFlAElFAElFl，，)d(将式(d)代入式(c)，化简后得补充方程为N3N2N183215FFF)c('联解方程(a)，(b)和(c’)，并代入数据，得kN6.22N1F(压)，kN1.26N2F（拉），kN9.146N3F（拉）根据强度要求，计算各杆横截面面积如下：2242631N11mm565m1065.5m1040106.22][σFA2242632N22mm435m1035.4m1060101.26][σFA192232633N33mm1224m10224.1m10120109.146][σFA根据题意要求，最后取2321mm24502AAA3-23图a所示支架，由刚体ABC并经由铰链A、杆1与杆2固定在墙上，刚体在C点处承受铅垂载荷F作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同，分别为l=100mm，A=100mm2，E=200GPa。设由千分表测得C点的铅垂位移ymm，试确定载荷F与各杆轴力。题3-23图解：1.求解静不定在载荷F作用下，刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的变形与受力如图b所示。显然，本问题具有一度静不定。由平衡方程0AM，得02N2N1FFF(a)由变形图中可以看出，变形协调条件为212ll(b)根据胡克定律，EAlFlEAlFlN22N11Δ,Δ(c)将上述关系式代入式（b），得补充方程为N2N12FF联立求解平衡方程（a）与上述补充方程，得52,54N2N1FFFF(d)2.由位移y确定载荷F与各杆轴力变形后，C点位移至C’(CC’AC)（图b），且直线AC与AB具有相同的角位移，因此，20C点的总位移为112'llABACCC又由于y2由此得yl1将式（c）与（d）的第一式代入上式，于是得N10875.1m)10(1004)m10075.0)(m10100)(Pa10200(545433269lEAFy并从而得N105.7,N105.13N24N1FF3-24图示钢杆，横截面面积A=2500mm2，弹性模量E=210GPa，轴向载荷F=200kN。试在下列两种情况下确定杆端的支反力。(a)间隙=0.6mm；(b)间隙=0.3mm。题3-24图解：当杆右端不存在约束时，在载荷F作用下，杆右端截面的轴向位移为mm57.0)m102500)(Pa10210()m5.1)(N10200(2693EAFaF当间隙=0.6mm时，由于F，仅在杆C端存在支反力，其值则为kN200FFCx当间隙=0.3mm时，由于F，杆两端将存在支反力，杆的受力如图3-24所示。图3-24杆的平衡方程为210CxBxFFF补充方程为EAaFEAFaBx2由此得kN5.47)m5.1(2)m102500)(Pa10210)(m0003.0(2N10200222693aEAFFBx而C端的支反力则为kN5.152kN5.47kN200BxCxFFF3-25图示两端固定的等截面杆AB，杆长为l。在非均匀加热的条件下，距A端x处的温度增量为22/lxTTB，式中的BT为杆件B端的温度增量。材料的弹性模量与线膨胀系数分别为E与l。试求杆件横截面上的应力。题3-25图解：1.求温度增高引起的杆件伸长此为一度静不定问题。假如将B端约束解除掉，则在x处的杆微段xd就会因温升而有一个微伸长xlxTαxTαlBlldΔdΔ)d(Δ22t全杆伸长为3ΔdΔΔ022tlTαxlxTαlBllBl2．求约束反力设固定端的约束反力为F，杆件因F作用而引起的缩短量为EAFlEAlFlFNΔ由变形协调条件tΔΔllF22可得3Δ3ΔBlBlTEAαlTαlEAF3．求杆件横截面上的应力3ΔNBlTEαAFAFσ3-26图示桁架，杆BC的实际长度比 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 尺寸稍短，误差为。如使杆端B与节点G强制地连接在一起，试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为EA。题3-26图解：此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号1~5。由强制装配容易判断，杆1~3受拉，杆4和5受压。装配后节点G和C的受力图分别示如图3-26a和b。图3-26根据平衡条件，由图a可得N3N2N1FFF(a)由图b可得N4N4N3N5N43cos302FFFFF，(b)变形协调关系为(参看原题图)341Δcos30Δcos60ΔlllΔ(c)依据胡克定律，有EAlFliiiNΔ)5~1(i(d)将式(d)代入式(c)，得补充方程23EAlFEAlFEAlFΔN3N4N13322(e)联立求解补充方程(e)、平衡方程(a)与(b)，最后得ΔlEAFΔlEAF23)233(,23)329(N4N3即ΔlEAFFFGEGDBC23)329(,N,N,N（拉）ΔlEAFFCECD23)233(N,N,（压）3-27图a所示钢螺栓，其外套一长度为l的套管。已知螺栓与套管的横截面面积分别为Ab与At，弹性模量分别为Eb与Et，螺栓的螺距为p。现将螺母旋紧1/5圈，试求螺栓与套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。题3-27图解：首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽l处旋转1/5圈，即旋进=p/5的距离。然后，再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺栓将受拉，而套管则受压。设螺栓所受拉力为FNb，伸长为lb，套管所受压力为FNt，缩短为lt，则由图b与c可知，平衡方程为0NtNbFF(a)而变形协调方程则为tbll利用胡克定律，得补充方程为ttNtbbNbEAlFEAlF(b)最后，联立求解平衡方程（a）与补充方程（b），得螺栓与套管所受之力即预紧力为kEAlFFF1bbNtNbN0式中，24ttbbEAEAk3-28图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管组成，二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高40℃，试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为Es=200GPa与Ec=100GPa，线膨胀系数分别为sl=12.5×10-6℃-1与cl=16×10-6℃-1。题3-28图解：设温度升高T时钢杆和铜管自由伸长量分别为Tsδ和Tcδ，由于二者被铆钉连在一起，变形要一致，即变形协调条件为cTcsTsΔΔlδlδ或写成TsTccsΔΔδδll这里，伸长量sΔl和缩短量cΔl均设为正值。引入物理关系，得TlααAElFAElFllΔ)(scccNcssNs将静力平衡条件FFFNcNs代入上式，得TααAEAEAEAEFll)Δ(scccssccss注意到每个铆钉有两个剪切面，故其切应力为)(2)Δ(2ccssscccssSAEAEATααAEAEAFAFτll由此得59.3MPaPa1093.5)]m030.0050.0(10100030.010200[010.02N4010)5.1216)(030.0050.0(10100030.010200722292926229293-29图示结构，杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA，梁BD为刚体，试在下列两25种情况下，画变形图，建立补充方程。(1)若杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短，误差为；(2)若杆1的温度升高T，材料的热膨胀系数为l。题3-29图(1)解：如图3-29(1)a所示，当杆2未与刚性杆BD连接时，下端点位于D，即DD。当杆2与刚性杆BD连接后，下端点铅垂位移至D，同时，杆1的下端点则铅垂位移至C。过C作直线C’e垂直于杆1的轴线，显然1ΔlCe，即代表杆1的弹性变形，同时，2ΔlDD，即代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(1)b所示。图3-29(1)可以看出，CCDD2即变形协调条件为12Δ22Δll而补充方程则为0412EAlFEAlF或0412lEAFF(2)解：如图3-29(2)a所示，当杆1未与刚性杆BD连接时，由于其温度升高，下端点位于C，即TlCClΔ2。当杆1与刚性杆BD连接后，下端点C铅垂位移至C，而杆2的下端点D则铅垂位移至D。过C作直线C’e垂直于直线CC，显然，1ΔlCe即代表杆126的弹性变形，同时，2ΔlDD，代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(2)b所示。图3-29(2)可以看出，CCDD2故变形协调条件为12ΔΔ222ΔlTlll而补充方程则为EAlFTlEAlFl2Δ22212或0Δ4412TEAFFl3-30图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A，E与[]，试确定该桁架的许用载荷[F]。为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度l变为Δl。试问当为何值时许用载荷最大，其值[F]max为何。题3-30图解:此为一度静不定问题。节点C处的受力及变形示如图3-30a和b。27图3-30由图a得平衡方程为FFFFFN3N1N2N1cos302，(a)由图b得变形协调条件为cos30ΔΔ31ll(b)依据胡克定律,有EAlFliiiNΔ)321(,,i(c)将式(c)代入式(b)，化简后得补充方程为N1N334FF(b’)将方程(b’)与方程(a)联解，得N1N3N2N133443343FFFFFF，][)334(4N3maxσAFAFσ由此得4])[334(][,4])[334(AFAF为了提高][F值，可将杆3做长，由图b得变形协调条件为cos30ΔΔ13lΔl式中，13ll与均为受载后的伸长，依题意，有了后，应使三根杆同时达到][σ，即lEσΔlEσ3]4[][由此得ElσElσΔ3][][)134(此时，各杆的强度均充分发挥出来，故有AAAF])[31(][)cos30]([2][max1第四章扭转4-5一受扭薄壁圆管，外径D=42mm，内径d=40mm，扭力偶矩M=500N•m，切变模量G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算管表面纵线的倾斜角。解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为mm122mm5.20)22(210dDdDR，于是，该圆管横截面上的扭转切应力为189.4MPaPa10894.1m001.00.02052πN500π282220RT依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为MPa4.189ττ该圆管表面纵线的倾斜角为rad102.53rad1075104.189396Gτ4-7试证明，在线弹性范围内，且当R0/≥10时，薄壁圆管的扭转切应力公式的最大误差不超过4.53%。解：薄壁圆管的扭转切应力公式为δRTτ20π2设βδR/0，按上述公式计算的扭转切应力为3220π2π2δβTδRTτ(a)按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径分别为δRDδRd0022，极惯性矩为)4(2π])2()2[(32π)(32π2200404044pδRδRδRδRdDI由此得)14(π)12()2()4(π)2(23022000pmaxTRRRTδRITτ(b)比较式(a)与式(b)，得)12(214)12()14(ππ222332maxTTττ当100R时，9548.0)1102(10211042max2可见，当10/0δR时，按薄壁圆管的扭转切应力公式计算τ的最大误差不超过4.53％。4-8图a所示受扭圆截面轴，材料的曲线如图b所示，并可用mC/1表示，式中的C与m为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式，并画横截面上的切应力分布图。题4-8图解：所研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到xdd(a)根据题设，轴横截面上距圆心为ρ处的切应力为mρxCτ/1)dd((b)由静力学可知，AmmmAρTAρxCAd)dd(d/)1(/1(c)取径向宽度为ρd的环形微面积作为Ad，即ρρAdπ2d(d)将式(d)代入式(c)，得2/0/)12(/1d)dd(π2dmmmTρρxC由此得mmmdCTx/)13(/1)2m(π2