排列、组合、概率与统计基础知识与典型例题

排列、组合、概率与统计基础知识与典型例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 一、排列与组合 1．分类计数原理: 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 种不同的方法，在第2类办法中有 种不同的方法，……，在第n类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有N= n1+n2+n3+…+nM种不同的方法． 2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第一步有 种不同的方法,做第二步有 种不同的方法,……,做第n步有 种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1•n2•n3•…nM 种不同的方法． 注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。 3.⑴排列的定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. ⑵排列数的定义: 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数， 用符号 表示. 其中n，m∈ ，并且m≤n． ⑶排列数公式: 当m=n时，排列称为全排列，排列数为 = 记为n!, 且规定O!=1. 注： ; 4.⑴组合的定义: 从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. ⑵组合数的定义: 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号 表示. ⑶组合数公式: . 规定 ，其中m，n∈N+，m≤n. 注: 排列是“排成一排”，组合是“并成一组”, 前者有序而后者无序. ⑷组合数的两个性质: ① 从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的. ② 根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C ，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C 种，依分类原理有 . 5．解排列、组合题的基本策略与方法 (Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法： ①直接法; ②排除法; ③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”; ④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”. ⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则. ⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有 种， 个元素的全排列有 种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有 种排列方法. (Ⅱ)排列组合常见解题策略： ①特殊元素优先安排策略； ②合理分类与准确分步策略； ③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）； ④正难则反，等价转化策略； ⑤相邻问题插空处理策略； ⑥不相邻问题插空处理策略； ⑦定序问题除法处理策略； ⑧分排问题直排处理的策略； ⑨ “小集团”排列问题中先整体后局部的策略； ⑩构造模型的策略. 6.二项式定理: ⑴对于 ， ,这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做 的展开式. 注:展开式具有以下特点： 项数：共有 项； 系数：依次为组合数 且每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开. ⑵二项展开式的通项： 的展开式第r+1为 . ⑶二项式系数的性质. ①二项展开式中的 叫做二项式系数 ②在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； 即 ③二项展开式的中间项二项式系数最大 且当 时，二项系数是逐渐增大，当 时，二项式系数是逐渐减小的． (Ⅰ)当n是偶数时,中间项是第 项,它的二项式系数 最大; (Ⅱ)当n是奇数时,中间项为两项,即第 项和第 项,它们的二项式系数 最大. ④系数和：所有二项式系数的和： ;奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和: . ⑤ ⑷如何来求 展开式中含 的系数呢？其中 且 把 视为二项式，先找出含有 的项 ，另一方面在 中含有 的项为 ，故在 中含 的项为 .其系数为 . ⑸二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。 例1. 3个班分别从5 个景点中选择1处游览，不同的选法种数是( ) (A)5 (B)3 (C)A (D)C 例2. 5本不同的课外读物分给5位同学,每人一本,则不同的分配方法有( ) (A)20种 (B)60种 (C)120种 (D)100种 例3. 6个人排成一排，甲、乙、丙必须站在一起的排列种数为( ). (A) (B) (C) (D) 例4. 如果集合A={x│ ≤21}，则组成集合A的元素个数有( ). (A)1个 (B)3个 (C)6个 (D)7个 例5.如果 的展开式中各项系数之和为128,则展开式中 的系数是( ) (A)7 (B) (C)21 (D) 例6. 设(1+x) +(1+x) +…+(1+x) = a +a x+a x +…+a x 则a = ( ) (A) C (B) C (C) 2C (D) C 例7. 在 的展开式中， 的系数是( ) (A)-297 (B)-252 (C)297 (D)207 例8. 对于小于55的自然数，积(55-n)(56-n)……(68-n)(69-n)等于 ( ) (A)A (B)A (C)A (D)A 例9. 若(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+…+a8x8+a9x9，则a1+a2+…+a8的值为_______. 二、概率 1.随机事件及其概率: ⑴必然事件:在一定的条件下必然要发生的事件,叫做必然事件. ⑵不可能事件: 在一定的条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件. ⑶随机事件: 在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件. ⑷随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率 总是接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件 的概率,记作 . ⑸概率从数量上反映了一个事件的可能性的大小,它的取值范围是 ,必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0. 2.等可能事件的概率: ⑴基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件. ⑵等可能事件的概率:如果一次试验由 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是 ,如果某个事件 包含的结果有 个,那么事件 的概率为 . 3.⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)， 推广： . ⑵对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. ①对立事件的概率和等于1： . ②互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件. 从集合的角度看，由事件A的对立事件 所含的结果组成的集合，是全集I中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 4. 相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件. 注: 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件. ⑴两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 证明：设甲试验共有N1种等可能的不同结果，其中属于A发生的结果有m1种，乙试验共有N2种等可能的不同结果，其中属于B发生的结果有m2种，由于事件A与B相互独立，N1，m1与N2，m2之间是相互没有影响的，那么，甲、乙两试验的结果搭配在一起，总共有N1·N2种不同的搭配，显然这些搭配都是具有等可能性的.另外，考察属于事件AB的试验结果，显然，凡属于A的任何一种试验的结果同属于B的任何一种乙试验的结果的搭配，都表示A与B同时发生，即属于事件AB，这种结果总共有m1·m2种.因此得： P(AB)＝ ＝ · , ∴ P(AB)＝P(A)P(B) 注:当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件. ⑵推广:如果事件 相互独立,那么 ⑶独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率： .(注:此式为二项式[(1-P)+P]n展开式的第k+1项.) 注: ①一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与 与B， 与 也都相互独立. ②对任何两个事件都有 例11. 10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是( ) (A) (B) (C) (D) 例12. 2006年6月7日,甲地下雨的概率是0.15，乙地下雨的概率是0.12.假定在这天两地是否下雨相互之间没有影响,那么甲、乙都不下雨的概率是( ) (A) 0.102 (B) 0.132 (C) 0.748 (D) 0.982 例13. 从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是( ) (A) (B) (C) (D) 例14. 袋中有红球、黄球、白球各1个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件中概率是 的是( ) (A)颜色全相同 (B)颜色不全相同 (C)颜色全不同 (D)颜色无红色 例15. 袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2球，在下列事件中：(1)恰有1个白球和恰有2个白球；(2)至少有1个白球和全是白球；(3)至少有1个白球和至少有1个黑球；(4)至少有1个白球和全是黑球。是对立事件的为( ) (A) (1) (B) (2) (C) (3) (D) (4) 例16. 甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是了( ) (A) (B) (C) (D) 例17. 某班有50名学生，其中 15人选修A课程，另外35人选修B课程．从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的概率是 ．(结果用分数表示) 例18. 某商场开展促销抽奖活动，摇出的中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的每位顾客从0～9这10个号码中任意抽出六个组成一组，若顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇出的号码相同(不计顺序)即可得奖，则中奖的概率是________．(用数字作答) 例19. 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序号是__ (写出所有正确结论的序号). 例20. A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子（x、y、z≥0，且 ），B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为A胜，异色时为B胜. （1）用x、y、z表示B胜的概率； （2）当A如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？ 三、随机变量与统计 1.随机试验: ⑴试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验. ⑵如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量,如果随机变量可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. 注:若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型 随机变量. 2. 离散型随机变量：设离散型随机变量ξ可能取的值为： ξ取每一个值 的概率 ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. … … P … … 有性质① ； ② . 3. 称 为 的数学期望或平均数、均值. 数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 注: 随机变量 的数学期望： 4. 方差、标准差： 当已知随机变量 的分布列为 时，则称 为 的方差. 显然 ，故 为 的根方差或标准差.随机变量 的方差与标准差都反映了随机变量 取值的稳定与波动，集中与离散的程度. 越小，稳定性越高，波动越小. 注:⑴随机变量 的方差 .（a、b均为常数） ⑵期望与方差的转化： 5. 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是： [其中 ] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下： 0 1 … … P 我们称这样的随机变量 服从二项分布，记作 ～B（n,p），其中n，p为参数，并记 . 注:对二项分布 有 , 6. 几何分布: 在独立重复试验中一次随机试验中某事件发生的概率是 ,该事件第一次发生时所做试验的次数 是一个取值为正整数的离散型随机变量. “ ”表示在第 次独立重复试验时事件第一次发生. 于是得到随机变量 的概率分布如下: ( ) 1 2 3 则称这样的随机变量 服从几何分布,并记 ,其中 , . 注：如果随机变量 服从几何分布即 , 则 . 7.常用的抽样方法有：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种. 类 别 共同点 不同点 联 系 适用范围 简单随 机抽样 抽样过程中每个个体被抽取的概率相等 从总体中逐个抽取 是后两种方法的基础 总体个数较少 系统 抽样 将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取 在超始部分抽样时用简单随机抽样 总体个数较多 分层 抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 8.总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,样本容量越大,估计越准确.将总体与随机变量沟通后,就可以用概率的知识研究统计问题. ⑴当总体中的个体取不同值很少时,其频率分布表由所取的样本的不同值及相应的频率来表示,其几何表示就是相应的条形图. ⑵当总体中的个体取不同值较多时,对其频率分布的研究要用到整理样本数据的知识,列出分组区间和各区间内取值的频数和频率,其几何表示就是相应的频率分布直方图. ⑶累积频率分布是从另一个角度反映了一组数据分布的情况,因此在频率分布表中常增设一列累积频率,而且常在频率分布直方图下面画出累积频率分布图. ⑷频率分布将随着样本容量的增大而更加接近总体分布,当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时,则频率分布直方图趋近于总体密度曲线时,相应的累积频率分布图也会趋近于一条光滑曲线,即累积分布曲线. ⑸生产过程中的质量控制图: 通过生产过程中的质量控制图,了解统计中假设检验的基本思想,明确正态总体及其概率密度函数的概率,掌握正态曲线的性质及其应用,并了解 “小概率事件”的概念和它在一次试验中不可能发生的思想. 9. 正态分布.（基本不列入考试范围） (Ⅰ)密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量 ，如图位于x轴上方的曲线叫 的密度曲线，以其作为图像的函数 叫做 的密度函数, 则 落在任一区间 内的概率等于它与x轴和直线 与直线 所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分）.由于“ ”是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1. (Ⅱ)正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为： . （ 为常数，且 ），称 服从参数为 的正态分布，用 ～ 表示. 的表达式可简记为 ，它的密度曲线简称为正态曲线. ⑴正态分布的期望与方差：若 ～ ，则 的期望与方差分别为： . ⑵正态曲线的性质. ①曲线在x轴上方，与x轴不相交. ②曲线关于直线 对称. ③当 时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线. ④当 ＜ 时，曲线上升；当 ＞ 时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近. ⑤当 一定时，曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. (Ⅲ).⑴标准正态分布：如果随机变量 的概率函数为 ，则称 服从标准正态分布. 即 ～ 有 ， 求出，而P（a＜ ≤b）的计算则是 . 注意：当标准正态分布的 的x取0时， 有 当 的x取大于0的数时， 有 .比如 则 必然小于0，如图. ⑵正态分布与标准正态分布间的关系： 若 ～ 则ξ的分布函数常用 表示， 且有 . 注:一般正态分布 ,均可化为标准正态总体 来进行研究. 若 ,只需作变换 ,就可使 ,∴有公式 . ∴若 ,则 = (Ⅳ) ⑴“3 ”原则. 假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布 .②确定一次试验中的取值 是否落入范围 .③做出判断：如果 ，接受统计假设. 如果 ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设. ⑵“3 ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布 则 ξ落在 内的概率为99.7％ 亦即落在 之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即 不服从正态分布）. 10. 线性回归: （基本不列入考试范围） 回归分析是研究两个或两个以上变量之间相关关系的一种统计方法。 严格说来，相关关系分为两种，对两个自变量来说，如果它们都是随机的，称它们为相关关系；如果其中一个是可以控制的，非随机的，另一个是随机的，称这种关系为回归关系。 由一个非随机的变量来估计或预测另一个随机变量的观测值，所建立的数学模型及进行的统计分析，称为一元回归分析，如果这个数学模型是线性的则称为一元线性回归分析。 尽管具有相关性的变量间的关系不确定，但可以通过大量试验来找出它们之间的统计规律性，然后用一个函数关系近似地描述它们，而且这个函数是线性的，则称它为线性回归函数。实际上在用相关系数判定出变量之间线性相关后，一般能用很多条直线来近似地表示x与y这两个变量间的线性关系，因此存在一条最合适的直线，这条直线用著名的“最小二乘法”可以求解，课本的阅读材料就是“最小二乘法”的运用。 散点图:表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图. 例21. 对于一组数据 (i=1，2，3，…，n)，如果将它们改变为 ＋c(i=1，2，3，…，n)，其中c≠0，则下面结论中正确的是( ) (A)平均数与方差均不变 (B)平均数变了，而方差保持不变 (C)平均数不变，而方差变了 (D)平均数与方差均发生了变化 例22. 已知 的分布列为（如表所示）, 且设 ，则 的期望值是（　） (A) 　 (B) 　 (C)1　　　(D) 例23. 设随机变量ξ的概率分布列为 P(ξ=i)= 则a的值是( ) 例24. 已知 ，E =8，D =1.6，则n与p的值分别为（ ） (A)10和0.8 (B)20和0.4 (C)10和0.2 (D)100和0.8 例25. 从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，“每次抽取一个个体时任一个体a被抽到的概率”与“在整个抽样过程中个体a被抽到的概率”为（ ） (A)均为 (B)均为 (C)第一个为 ，第二个为 (D)第一个为 ，第二个为 例26. ①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．I．随机抽样法；Ⅱ．分层抽样法．上述两问题和两方法配对正确的是（　） (A)①配I，②配Ⅱ (B)①配Ⅱ，②配 (C)①配I，②配I　(D)①配Ⅱ，②配Ⅱ 例27. 某校高中生有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采取分层抽样法抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为( ) (A)15，5，25 (B)15，15，15 (C)10，5，30 (D)15，10，20 例28. 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_________.(用数字作答) 例29. 右图是一个容量为200的样本的频率分布直方图， 请根据图形中的数据填空： ⑴样本数据落在范围 的频率为 ； ⑵样本数据落在范围 的频数为 ； 例30. 抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时， 就说这次试验成功. （Ⅰ）求一次试验中成功的概率； （Ⅱ）求在4次试验中成功次数ξ的概率分布列及ξ的数学期望与方差. 参考答案 例1.A 例2.C 例3.D 例4.C 例5.C 例6.B 例7.D 例8.B 例9.510 例10. 解：⑴如图1，先对a1部分种植，有3种不同的种法，再对a2、a3种植， 因为a2、a3与a1不同颜色，a2、a3也不同。 所以S（3）=3×2=6（种）。 如图2，S（4）=3×2×2×2－S（3）=18（种）。 ⑵如图3，圆环分为n等份，对a1有3种不同的种法， 对a2、a3、…、an都有两种不同的种法， 但这样的种法只能保证a1与ai（i=2、3、……、n－1）不同颜色， 但不能保证a1与an不同颜色. 于是一类是an与a1不同色的种法，这是符合要求的种法，记为 种. 另一类是an与a1同色的种法，这时可以把an与a1看成一部分， 这样的种法相当于对n－1部分符合要求的种法，记为 . 共有3×2n－1种种法.这样就有 . 即 ， 则数列 是首项为 公比为－1的等比数列. 则 由⑴知： ，∴ .∴ . 答：符合要求的不同种法有 例11.D 例12.C 例13.C 例14.B 例15.D 例16.B 例17. 例18. 例19. ①，③ 例20. 解：（1）显然A胜与B胜为对立事件，A胜分为三个基本事件： ①A1：“A、B均取红球”； ②A2：“A、B均取白球”； ③A3：“A、B均取黄球”. （2）由（1）知 ， 于是 ， 即A在箱中只放6个红球时，获胜概率最大，其值为 例21.B 例22.A 例23.B 例24.A 例25.D 例26.B 例27.D 例28. 1.2 例29. 0.32 , 72 例30. 本小题主要考查概率及其基础知识和运算能力. 解（Ⅰ）一次实验中，设事件A表示“试验成功”， 则 （Ⅱ）依题意得： _1200049886.unknown _1200053234.unknown _1200056305.unknown _1200056710.unknown _1200072100.unknown _1200074895.unknown _1200084004.unknown _1200090638.unknown _1200090647.unknown _1200086788.unknown _1200090612.unknown _1200086787.unknown _1200082768.unknown _1200082774.unknown _1200082778.unknown _1200082762.unknown _1200073922.unknown _1200074034.unknown _1200074035.unknown _1200074033.unknown _1200072106.unknown _1200067255.unknown _1200067310.unknown _1200071377.unknown _1200067290.unknown _1200056759.unknown _1200057098.unknown _1200067236.unknown _1200056864.unknown _1200056764.unknown _1200056746.unknown _1200056753.unknown _1200056739.unknown _1200056582.unknown _1200056624.unknown _1200056639.unknown _1200056675.unknown _1200056682.unknown _1200056631.unknown _1200056601.unknown _1200056607.unknown _1200056594.unknown _1200056541.unknown _1200056554.unknown _1200056562.unknown _1200056549.unknown _1200056376.unknown _1200056383.unknown _1200056369.unknown _1200054892.unknown _1200056225.unknown _1200056263.unknown _1200056279.unknown _1200056296.unknown _1200056272.unknown _1200056242.unknown _1200056256.unknown _1200056234.unknown _1200055753.unknown _1200055769.unknown _1200056190.unknown _1200055760.unknown _1200055764.unknown _1200054902.unknown _1200054911.unknown _1200054897.unknown _1200054505.unknown _1200054593.unknown _1200054713.unknown _1200054862.unknown _1200054885.unknown _1200054860.unknown _1200054861.unknown _1200054761.unknown _1200054693.unknown _1200054701.unknown _1200054580.unknown _1200054586.unknown _1200054579.unknown _1200053506.unknown _1200053619.unknown _1200053984.unknown _1200054504.unknown _1200054020.unknown _1200053682.unknown _1200053618.unknown _1200053315.unknown _1200053321.unknown _1200053268.unknown _1200050914.unknown _1200052675.unknown _1200053006.unknown _1200053185.unknown _1200053225.unknown _1200053146.unknown _1200052853.unknown _1200053005.unknown _1200052679.unknown _1200052685.unknown _1200051884.unknown _1200052627.unknown _1200052661.unknown _1200052671.unknown _1200052666.unknown _1200052654.unknown _1200052636.unknown _1200052109.unknown _1200052134.unknown _1200052107.unknown _1200052108.unknown _1200051984.unknown _1200051061.unknown _1200051874.unknown _1200050925.unknown _1200049956.unknown _1200049992.unknown _1200050559.unknown _1200050650.unknown _1200049998.unknown _1200049979.unknown _1200049986.unknown _1200049962.unknown _1200049909.unknown _1200049938.unknown _1200049945.unknown _1200049926.unknown _1200049898.unknown _1200049904.unknown _1200049894.unknown _1171803158.unknown _1180069209.unknown _1184796663.unknown _1200044198.unknown _1200045688.unknown _1200045880.unknown _1200045890.unknown _1200045693.unknown _1200045678.unknown _1200045683.unknown _1200044337.unknown _1200045672.unknown _1184796667.unknown _1199975808.unknown _1199981834.unknown _1197925544.unknown _1197925588.unknown _1185283304.unknown _1185283727.unknown _1184796665.unknown _1184796666.unknown _1184796664.unknown _1182059486.unknown _1182068609.unknown _1184796661.unknown _1184796662.unknown _1182068611.unknown _1182068607.unknown _1182068608.unknown _1182059487.unknown _1180069968.unknown _1182059484.unknown _1182059485.unknown _1180069977.unknown _1180069948.unknown _1180069957.unknown _1180069220.unknown _1176035720.unknown _1178973311.unknown _1179141241.unknown _1179164552.unknown _1179164584.unknown _1179165072.unknown _1179912641.unknown _1179164589.unknown _1179164570.unknown _1179141848.unknown _1179142352.unknown _1179143458.unknown _1179143548.unknown _1179141786.unknown _1179140700.unknown _1179140765.unknown _1178974796.unknown _1178973400.unknown _1177772156.unknown _1177772516.unknown _1177772534.unknown _1178973265.unknown _1177772526.unknown _1177772507.unknown _1176992738.unknown _1177772143.unknown _1176035721.unknown _1171803162.unknown _1171803164.unknown _1171803165.unknown _1171803163.unknown _1171803160.unknown _1171803161.unknown _1171803159.unknown _1158730080.unknown _1163501379.unknown _1171803154.unknown _1171803156.unknown _1171803157.unknown _1171803155.unknown _1171803152.unknown _1171803153.unknown _1167770452.unknown _1167770497.unknown _1167827933.unknown _1167770481.unknown _1163501731.unknown _1158731103.unknown _1159359640.unknown _1159359691.unknown _1163500405.unknown _1158731468.unknown _1158731519.unknown _1158736148.unknown _1158731499.unknown _1158731355.unknown _1158730352.unknown _1158731077.unknown _1158730298.unknown _1157150522.unknown _1158729495.unknown _1158729652.unknown _1158729844.unknown _1157151209.unknown _1157151472.unknown _1157151479.unknown _1157151262.unknown _1157151340.unknown _1157151347.unknown _1157151265.unknown _1157151216.unknown _1157150863.unknown _1157151202.unknown _1157150803.unknown _1157150854.unknown _1117211003.unknown _1117211053.unknown _1157099002.unknown _1157103329.unknown _1157103382.unknown _1157150325.unknown _1157101852.unknown _1149837061.unknown _1149837091.unknown _1157098893.unknown _1149837116.unknown _1149837075.unknown _1148999507.unknown _1149837036.unknown _1148999482.unknown _1145251921.unknown _1117211029.unknown _1110893778.unknown _1110893849.unknown _1117210979.unknown _1110893871.unknown _1110893838.unknown _1080821863.unknown _1080822024.unknown _1080822268.unknown _1080822404.unknown _1080821997.unknown _1040627435.unknown _1040627436.unknown _1013805804.unknown _1040627434.unknown