1987年全国初中
数学
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联赛试
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第一试(满分80分)一、选择题(本题满分48分,共8小题,每小题6分)1111.已知实数a,b,c满足a+b+c=0,abc=8,那么++的值()abc(A)是正数;(B)是零;(C)是负数;(D)正、负不能确定。2.在一条直线上已知四个不同的点依次是A,B,C,D。那么到A,B,C,D的距离之和最小的点()(A)可以是直线AD外的某一点;(B)只是B点或C点;(C)只是线段AD的中点;(D)有无穷多个。3.如图,AB是半圆的,O是圆心,CD⊥⊥AB,DEOC。如果AD,BD和CD的长都是有理数,那么命题:甲、OE的长是有理数;乙、DE的长是有理数;C丙、图中所有用字母
表
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出的线段的长都是有理数。E之中()(A)只有甲正确;(B)只有乙正确;ADOB(C)只有甲、乙正确;(D)甲、乙、丙都正确。4.已知方程|x|=ax+1有一个负根而且没有正根,那么a的取值范围是()(A)a>-1;(B)a=1;(C)a≥1;(D)非上述答案。5.已条四边形ABCD内有一点E,连接AE,BE,CE,DE,将四边形ABCD分成四个面积相等的三角形,那么命题:甲、ABCD是凸四边形;乙、E是对角线AC的中点或对角线BD的中点;丙、ABCD是平行四边形。之中()(A)只有甲正确;(B)只有乙正确;(C)甲、乙、丙都正确;(D)甲、乙、丙都不正确。6.把由1开始的自然数依次写下去,直写到第198位为止:123456789101112144424443L198位那么这个数用9除的余数是()(A)4;(B)6;(C)7;(D)非上述答案。二、填空题(本题满分32分,共4小题,每小题8分)1.在三边长是连续自然数、周长不超过100的三角形中,锐角三角形的个数是。2.设a,b,c分别是△ABC的三个角∠∠∠A,B,C所对边的长,而且∠A=60°。cb那么+的值是。ab++ac3.[a]表示不大于数a的最大整数。例如[2]=1,[-2]=-2。那么方程1[3x+1]=2x-的所有根的和是。24.设自然数n具有以下性质:从1,2,3,…,n中任取50个不同的数,这50个数中必有两个数之差等于7。这样的n最大的一个是。5.有一个五位正奇数x,将x中的所有2都换成5,所有5都换成2,其它数字不变,得到一个新的五位数,记作y。若x和y满足等式y=2(x+1),那么x是。第二试(满分60分)一、(本题满分20分)当a,b为何值时,方程:x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实根?二、(本题满分20分)已知:D是△ABC的边AC上的点,AD:DC=2:1,∠∠C=45°,ADB=60°。求证:AB是△BCD的外接圆的切线。三、(本题满分20分)已知存在正整数n,能使数1111被1987整除。求证:数1L23n个p=1111999988887777123LLL142431424314L243n个nnn个个个和q=1111999988887777123LLL142431424314L243（）个n+1（）个（）个（）个nnn+1+1+1都能被1987整除。1987年全国初中数学联赛试题答案第一试一、选择题二、填空题第二试
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