上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题（解析版）

复旦大学附属中学2019学年第一学期高二年级数学期末考试试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.一个方向向量为的直线的倾斜角的大小是__________．【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】【解析】【分析】根据直线的方向向量可得直线的斜率，然后可求直线的倾斜角.【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角的大小是.故答案为：.【点睛】本题主要考查直线倾斜角，明确直线的方向向量与直线的斜率间的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.2.抛物线的焦点到准线的距离是.【答案】2【解析】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2.3.已知复数，则__________．【答案】【解析】【分析】先求解，再利用复数的除法进行求解.【详解】因，所以；所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查复数的除法运算及共轭复数，明确复数的除法规则—分母实数化，侧重考查数学运算的核心素养.4.已知复数是纯虚数，则实数的值为__________．【答案】6【解析】【分析】先对复数进行化简，结合纯虚数可求实数的值.【详解】因为为纯虚数，所以且，即.故答案为：6.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算及纯虚数的概念，侧重考查数学运算的核心素养.5.若是关于的实系数方程的一个根，则__________．【答案】【解析】【分析】把代入方程，结合复数相等可求.【详解】因为是关于的实系数方程的一个根，所以，即，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查复数的运算及相等的条件，两个复数相等时，实部与虚部都要相等，侧重考查数学运算的核心素养.6.曲线（为参数，）的焦距等于__________．【答案】【解析】【分析】消去参数，化为标准方程，然后求解焦距.【详解】因为，所以，由方程可知曲线为椭圆，且，所以，即；故焦距为.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的转化，明确常见的消参方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.7.直线被圆所截得的弦长等于______【答案】【解析】试题分析：圆转化为，圆心为，半径，圆心到直线的距离，设直线被圆截得的弦长为，则．考点：1.直线与圆的位置关系；2.弦长公式．8.如图所示，在中，，.以为焦点的椭圆经过点，若该椭圆的焦距为，则其短轴的长为______．【答案】【解析】【分析】根据直角三角形的性质及焦距可得，结合椭圆的定义可得短轴的长.【详解】因为在中，，，，所以，，由椭圆的定义得，所以，因为，所以，故答案为：.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及性质，明确椭圆中长轴长、短轴长、焦距间的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.9.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则最小值为．【答案】－2【解析】，设，，又，故，于是，当时，取到最小值．10.若复数满足，且复数对应的点的轨迹是椭圆，则复数的模的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义可知，从而可得复数的模的取值范围.【详解】因为复数满足，且复数对应的点的轨迹是椭圆，所以，根据复数差的几何意义知表示复数在以为圆心，4为半径的圆的内部，数形结合可得.故答案：【点睛】本题主要考查椭圆的定义应用，明确椭圆定义中与的大小关系是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.11.已知抛物线（）的焦点为，准线为，过点且斜率为的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是__________．【答案】【解析】【分析】作出图形，根据三角形的形状可得，从而得到抛物线的方程.【详解】如图，由抛物线的定义可知，因为的斜率为，，所以，即为等边三角形，在中易知为的中点，因为，所以，即；由可得，故答案为：.【点睛】本题主要考查抛物线的方程及性质，合理利用抛物线的定义式能简化解题过程，侧重考查直观想象的核心素养.12.已知点，椭圆上两点，满足（），则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】由联想到点到直线的距离，结合中位线和换元法求解.【详解】由知三点共线，当直线的斜率不存在时，，此时.当直线的斜率存在时，设，联立得，，设的中点，则，消去参数可得，其中；令，其中，则点到直线的距离为所以；因为由梯形的中位线性质可得到直线的距离之和为点到直线的距离的2倍.所以.综上可得的最大值为.【点睛】本题主要考查椭圆中的最值问题，综合性较强，难度较大，侧重考查了换元的意识及数学运算的核心素养.二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）13.双曲线的两条渐近线的夹角的大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线方程，结合斜率可求夹角.【详解】因为双曲线的两条渐近线为，所以的倾斜角为，因为，所以两条渐近线的夹角的大小为.故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的方程及性质，注意夹角的范围是易错点，侧重考查数学运算的核心素养.14.在复数范围内，下列命题中为假命题的是（）A.复数的充要条件是. B.若，则.C.若，则或 D.对任意，都成立.【答案】C【解析】【分析】结合复数的性质及运算规则可以进行求解.【详解】对于选项A，设，若，则，此时；反之，，即，解得，此时；故A正确；对于选项B，因为是实数，，所以；故B正确；对于选项C，设，因为，所以，解得，所以；故C不正确；对于选项D，，因为，所以D正确；故选：C.【点睛】本题主要考查复数的运算，明确复数的运算规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.15.已知集合，，若，则，之间的关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先设出复数z，利用复数相等的定义得到集合A看成复平面上直线上的点，集合B可看成复平面上圆的点集，若A∩B＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z＝x+yi，,则（a+bi）（x﹣yi）+（a﹣bi）（x+yi）+2＝0化简整理得，ax+by+1＝0即，集合A可看成复平面上直线上的点，集合B可看成复平面上圆x2+y2=1的点集，若A∩B＝∅，即直线ax+by+1＝0与圆x2+y2=1没有交点，，即a2+b2＜1故选C．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．16.已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点，当时，有（）A.个 B.个 C.有限个，但多于个 D.无限多个【答案】D【解析】【分析】根据可得为△的重心，结合解的情况可求.【详解】因为，所以为△的重心，设，的中点为，则，可得，只要满足点在抛物线内部，即，解得，所以有无限多个.故选：D.【点睛】本题主要考查抛物线的性质，明确点的取值范围是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知关于的一元二次方程的虚根为.（1）求的取值范围，并解该方程；（2）若，求的值.【答案】（1），，；（2）.【解析】【分析】（1）利用方程有两个虚根可以得出判别式的符号，可得的取值范围，利用求根公式可得方程的解；（2）利用共轭复数模长相等，化简已知条件，结合模长公式可求.【详解】（1）因为一元二次方程有两个虚根，所以，解得；由求根公式可得，，.（2）因为互为共轭复数，所以，因为，所以，所以，解得或（舍）.故.【点睛】本题主要考查实系数方程复数根的求解，明确求根公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.18.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验，设计 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为.观测点、同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【答案】（1）（）；（2）观测点、测得离航天器的距离分别为和4时，应向航天器发出变轨指令.【解析】【分析】（1）先设出抛物线的方程，结合所经过的点求出方程；（2）先求解变轨时的点的坐标，结合两点间的距离可求.【详解】（1）由题意，设抛物线的方程为，因为抛物线经过点，所以，解得；联立可得，故航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程（）.（2）当时，分别代入椭圆方程和抛物线方程均得到，所以在观测点处测得离航天器的距离为4时，应向航天器发出变轨指令；因为，所以在观测点处测得离航天器的距离为时，应向航天器发出变轨指令.故观测点、测得离航天器的距离分别为和4时，应向航天器发出变轨指令.【点睛】本题主要考查圆锥曲线在实际生活中的应用，理解模型，求解模型是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养.19.设是虚数，是实数，且.（1）求的值及的取值范围；（2）若为纯虚数，求.【答案】（1）的取值范围为；（2）或.【解析】【分析】（1）先设出复数，结合是实数可求出的值及的取值范围；（2）先设出复数，结合为纯虚数可求.【详解】（1）设，其中且，，因为实数，所以，解得，所以；因为，所以，即；所以的取值范围为.（2）由（1）知，，因为为纯虚数，所以且，，联立可得或，所以或.【点睛】本题主要考查复数的运算及相关概念，待定系数法是求解复数的常用方法，侧重考查数学运算的核心素养.20.已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）若过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交所得弦长为，求直线的斜率；（3）过点的任意直线与椭圆交于、两点，设点、到直线：的距离分别为.若，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用长轴长是短轴长倍，点在椭圆上，建立方程组求解；（2）联立方程，结合弦长可求直线的斜率；（3）把转化为坐标间的关系，结合韦达定理可求.【详解】（1）由题意，则方程化为，因为点在椭圆上，所以，解得，所以椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，联立得，设直线与椭圆相交于，则，，，解得，故直线的斜率为.（3）当直线的斜率不存在时，恒成立；当直线的斜率为0时，由得，即；当直线的斜率存在且不为0时，设，.联立得，设，不妨设，则，，因为，所以，即，整理可得，解得.综上可得.【点睛】本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的关系，长度关系的巧妙转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.21.已知动圆过点，并且与圆：相外切，设动圆的圆心的轨迹为.（1）求曲线的方程；（2）过动点作直线与曲线交于两点，当为的中点时，求的值；（3）过点的直线与曲线交于两点，设直线：，点，直线交于点，求证：直线经过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）；（2）4；（3）证明见解析，定点的坐标为.【解析】【分析】（1）利用动圆经过的点及外切关系可求；（2）设出直线方程，联立方程组，结合中点公式，得到，进而可求；（3）设出直线方程，联立方程组，结合韦达定理，证明直线经过定点.【详解】（1）设动圆的圆心，半径为，则由题意可得，即，因为，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，且，所以曲线的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，，此时；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，联立得，，，.因为为的中点，所以，代入曲线方程得；整理可得；，因为恰为双曲线的渐近线，且其中一条渐近线的倾斜角为，所以，所以.综上可得.（3）证明：当直线的斜率不存在时，,，直线经过点.当直线的斜率存在时，设直线，，直线，当时，，，联立得，，，下面证明直线经过点，即证，，把，代入整理得，即，所以直线经过点.【点睛】本题主要考查双曲线的方程及直线与双曲线的位置关系，联立方程结合韦达定理是主要的考虑方向，侧重考查数学运算的核心素养.