数列通项公式方法总结

第PAGE\*MERGEFORMAT#页共9页数列通项公式方法 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 数列通项公式方法总结导语：数列既是高中 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 的重要内容，也是学习高等数学的基础，因此，每年高考对本章内容均作较全面的考查，而且经常是以综合 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 、主观题的形式出现，难度较大，以下是小编整理数列通项公式方法总结的资料，欢迎阅读参考。不过一般分小题、有梯度设问，往往是第1小题就是求数列的通项公式，难度适中，一般考生可突破，争取分数，而且是做第2小题的基础，因此，求数列通项公式的解题方法、技巧，每一位考生都必须熟练掌握。求数列通项公式的题型很多，不同的题型有不同的解决方法。下面结合教学实践，谈谈求数列通项公式的解题思路。一、已知数列的.前几项已知数列的前几项，求通项公式。通过观察找规律，分析出数列的项与项数之间的关系，从而求出通项公式。这种方法称为观察法，也即是归纳推理。例1、求数列的通项公式0,22——1/3,32——1/4,42+1/5……9,99,999,……分析：(1)0=12——1/2，每一项的分子是项数的平方减去1,分母是项数加上1,n21/n+1=n1,其实，该数列各项可化简为0,1,2,3,……，易知an=n——1。(2)各项可拆成10-1,102-1,103-1,……,an=10n——1。此题型主要通过让学生观察、试验、归纳推理等活动，且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培养学生的思维能力。二、已知数列的前n项和Sn已知数列的前n项和Sn,求通项公式an,主要通过an与Sn的关系转化，即an-{S1(n=1)Sn-Sn——1(n$2)例2、已知数列{an}的前n项和Sn=2n+3,求an分析：Sn二a1+a2++an1+anSn1^a1+a2++an1上两式相减得Sn-Sn——1=an解：当n=1时，a1=S1=5当n三2时，an=Sn-Sn1=2n+3-(2n1+3)=2n一—1*/n=1不适合上式•'•an={5(n=1)2n1(n三2)三、已知an与Sn关系已知数列的第n项an与前n项和Sn间的关系：Sn=f（an），求an。一般的思路是先将Sn与an的关系转化为an与an1的关系，再根据与的关系特征分为如下几种类型。不同的类型，要用不同的方法解决。（1）an二an1+k。数列属等差数列，直接代公式可求通项公式。例3、已知数列｛an｝，满足a1=3，an=an1+8，求an。分析：由已知条件可知数列是以3为首项，8为公差的等差数列，直接代公式可求得an=8n-5。（2）an二kan1（k为常数）。数列属等比数列，直接代公式可求通项公式。例4、数列｛an｝的前n项和Sn,a1=1，an+1=2Sn+1（n^N+）求数列｛an｝的通项公式。分析：根据an与Sn的关系，将an+1=2Sn+1转化为an与an+1的关系。解：由an+1=2Sn+1得an=2Sn-1+1（n$2）两式相减，得an+1-an=2an.•.an+1=3an（n三2）・.・a2=2Sn+l=3二a2=3al「•｛an｝是以1为首项，3为公比的等比数列二an=3n-1an+1=an+f(n)，用叠加法思路：令n=1,2，3，，n-1得a2=a1+f(1)a3=a2+f(2)a4=a3+f(3)+)an=an——1+f(n-1)an=a1+f(1)+f(2)+・・・+f(nT)例5、若数列｛an｝满足a1=2，an+1=an+2n则｛an｝的通项公式二()解：Tan+1二an+2n・・・a2=a1+2X1a3=a2+2X2a4=a3+2X3+)an=an——1+2(n-1)an=a1+2(1+2+3+・+n-1)=2+2X(l+n-l)(n-l)=n2-n+2an+1=f(n)an,用累积法思路：令n=l,2,3,,n-1得a2=f(1)ala3=f(2)a2a4=f(3)a3X)an二f(n-1)an-1an二a1・f(1)・f(2)・f(3)f(n-l)例6、若数列｛an｝满足a1=1,an+1=2n+an,则an二()解：Tan+1=2nan・*.a2=21a1a3=22a2a4=23a3X)an=2n1・an1an=2・22・232nTa1=2n(n-1)/2an=pan——1+q,an=pan——1+f(n)an+1二an+p・qn(pqHO),an=p(an1)q,an+1二ran/pan+q二(pr#0,q#r)(p、q、r为常数)这些类型均可用构造法或迭代法。an=pan1+q(p、q为常数)构造法：将原数列的各项均加上一个常数，构成一个等比数列，然后，求出该等比数列的通项公式，再还原为所求数列的通项公式。将关系式两边都加上x得an+x二Pan1+q+x=P(an——1+q+x/p)令x二q+x/p,得x=q/p-1・'.an+q/pT二P(an1+q/pT).•.｛an+q/p-1｝是以al+q/pT为首项，P为公比的等比数列。・an+q/p-l=(al+q/p-l)Pn-l・an=(al+q/p-l)Pn-l-q/p-l迭代法：an=p(an——l+q)=p(pan-2+q)+q=p2((pan-3+q)+pq+q例7、数列｛an｝的前n项和为Sn,且Sn=2an-n(n^N+)求an解析：由Sn=2an-n得SnT=2anT—(nT)(n$2,nWN+)两式相减得an=2an—1+1两边加1得an+1=2(an—1+l)(n$2,nWN+)构造成以2为公比的等比数列｛an+1｝an二PanT+f(n)例8、数列｛an｝中，al为常数，且an=-2an-l+3n-l(22,nWN)证明：an二(-2)nTa1+3n+(T)n・3・2nT/5分析：这道题是证明题，最简单的方法当然是数学归纳法，现用构造法和迭代法来证明。方法一：构造公比为-2的等比数列｛an+入・3n｝用比较系数法可求得入=T/5方法二：构造等差型数列｛an/(-2)n｝。由已知两边同以(-2)n,得an/(-2)n=an-1/(-2)n=1/3・(-3/2)n,用叠加法处理。方法三：迭代法。an=-2an-l+3n-l=-2(-2an-2+3n-2)+3n-l=(-2)2an-2+(-2)・3n-2+3n-1=(-2)2(-2an-3+3n-3)+(-2)・3n-2+3n-1=(-2)3an-3+(-2)・3n-3+(-2)・3n-2+3n-1=(-2)n-1a1+(-2)n-1・3+(-2)n-3・+32+……+(-2)・3n-2+3n-1=(-2)n-1a1+3n+(-1)n-2・3・2nT/5an+1=入an+p・qn(pqHO)当入二qn+1时，等式两边同除以，就可构造出一个等差数列｛an/qn｝。例9、在数列｛an｝中，a1=4，an+1+2n+1，求an。分析：在an+1=2an+2n+1两边同除以2n+1，得an+1/2n+1=an/2n+1・・・｛an/2n｝是以a1/2=2为首项，1为公差的等差数列。当入Hq时，等式两边同除以qn+1，令bn二an/qn，得bn+1二入/qbn+p，再构造成等比数列求bn，从而求出an。例10、已知a1=1，an=3anT+2nT，求an分析：从an=3an-1+2n-1两边都除以2n，得an/2n=3/2an-1/2n-1+1/2令an/2n=bn则bn=3/2bn-1+1/2an=p(an1)q(p、q为常数)例11、已知an=1/aan12，首项a1，求an。方法一：将已知两边取对数得lgan=2lgan1-lga令bn=lgan得bn=2bnTTga，再构造成等比数列求bn，从而求出an。方法二：迭代法an=1/aa2n——1=1/a(1/aa2n——2)2=1/a3a4n2=l/a3（1/aa2n3）4=l/a7・an38二a・（an3/a）23a・（al/a）2n1an+1二ran/pan+q（p、q、r为常数，prHO,qHr）将等式两边取倒数，得1/an+l二q/r・l/an+p/r，再构造成等比数列求an。例12、在｛an｝中，a1=1,an+1二an/an+2，求an解：Tan+1二an/an+2・：1/an+1=2・1/an+1两边加上1，得1/an+1+1=2（1/an+1）・・・｛1/an+1｝是以1/an+1=2为首项，2为公比的等比数列・・1/an+1=2X2nT=2n・an=1/2n-1以上罗列出求数列通项公式的解题思路虽然很清晰，但是一般考生对第三项中的5种类型题用构选法和迭代法都比较困难的。遇到此情况，可转化为第一种类型解决，即从an与Sn的关系式求出数列的前几项，用观察法求an。