2022年北京市高考数学试卷及答案

2022年北京市高考数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）已知全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，则∁UA＝（　　）A．（﹣2，1]B．（﹣3，﹣2）∪[1，3）C．[﹣2，1）D．（﹣3，﹣2]∪（1，3）2．（4分）若复数z满足i•z＝3﹣4i，则|z|＝（　　）A．1B．5C．7D．253．（4分）若直线2x+y﹣1＝0是圆（x﹣a）2+y2＝1的一条对称轴，则a＝（　　）A．B．C．1D．﹣14．（4分）已知函数f（x）＝，则对任意实数x，有（　　）A．f（﹣x）+f（x）＝0B．f（﹣x）﹣f（x）＝0C．f（﹣x）+f（x）＝1D．f（﹣x）﹣f（x）＝5．（4分）已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x，则（　　）A．f（x）在（﹣，﹣）上单调递减B．f（x）在（﹣，）上单调递增C．f（x）在（0，）上单调递减D．f（x）在（，）上单调递增6．（4分）设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”的（　　）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，单位是K；P 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示压强（　　）A．当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态C．当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态8．（4分）若（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4＝（　　）A．40B．41C．﹣40D．﹣419．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为（　　）A．B．πC．2πD．3π10．（4分）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，且PC＝1，则•的取值范围是（　　）A．[﹣5，3]B．[﹣3，5]C．[﹣6，4]D．[﹣4，6]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）函数f（x）＝+的定义域是　　．12．（5分）已知双曲线y2+＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝　　．13．（5分）若函数f（x）＝Asinx﹣cosx的一个零点为　　；f（）＝　　．14．（5分）设函数f（x）＝若f（x）存在最小值　　；a的最大值为　　．15．（5分）已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足an•Sn＝9（n＝1，2，…）．给出下列四个结论：①{an}的第2项小于3；②{an}为等比数列；③{an}为递减数列；④{an}中存在小于的项．其中所有正确结论的序号是　　．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）在△ABC中，sin2C＝sinC．（Ⅰ）求∠C；（Ⅱ）若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：AB⊥MN；条件②：BM＝MN．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18．（13分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m），收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.48，9.42，9.35，9.30；乙：9.78，9.56，9.51，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（Ⅱ）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）19．（15分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点P（﹣2，1）作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，N．当|MN|＝2时，求k的值．20．（15分）已知函数f（x）＝exln（1+x）．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）＝f′（x），讨论函数g（x），+∞）上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意的s，t∈（0，+∞），有f（s+t）（s）+f（t）．21．（15分）已知Q：a1，a2，…，ak为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的n∈{1，2，…，m}i，ai+1，ai+2，…，ai+j（j≥0），使得ai+ai+1+ai+2+…+ai+j＝n，则称Q为m﹣连续可表数列．（Ⅰ）判断Q：2，1，4是否为5﹣连续可表数列？是否为6﹣连续可表数列？说明理由；（Ⅱ）若Q：a1，a2，…，ak为8﹣连续可表数列，求证：k的最小值为4；（Ⅲ）若Q：a1，a2，…，ak为20﹣连续可表数列，且a1+a2+…+ak＜20，求证：k≥7．2022年北京市高考数学试卷参考答案与 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】由补集的定义直接求解即可．【解答】解：因为全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣6＜x≤1}，所以∁UA＝{x|﹣3＜x≤﹣6或1＜x＜3}＝（﹣5，﹣2]∪（1．故选：D．【点评】本题主要考查补集的运算，考查运算求解能力，属于基础题．2．【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．【解答】解：由i•z＝3﹣4i，得z＝，∴|z|＝||＝＝．故选：B．【点评】本题考查复数模的求法，考查化归与转化思想，是基础题．3．【分析】由圆的方程求得圆心坐标，代入直线方程即可求得a值．【解答】解：圆（x﹣a）2+y2＝8的圆心坐标为（a，0），∵直线2x+y﹣2＝0是圆（x﹣a）2+y8＝1的一条对称轴，∴圆心在直线2x+y﹣7＝0上，可得2a+2﹣1＝0．故选：A．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，明确直线过圆心是关键，是基础题．4．【分析】根据题意计算f（x）+f（﹣x）的值即可．【解答】解：因为函数f（x）＝，所以f（﹣x）＝＝，所以f（﹣x）+f（x）＝＝1．故选：C．【点评】本题考查了指数的运算与应用问题，是基础题．5．【分析】利用二倍角公式化简得f（x）＝cos2x，周期T＝π，根据余弦函数的单调性可得f（x）的单调递减区间为[kπ，]（k∈Z），单调递增区间为[，π+kπ]（k∈Z），进而逐个判断各个选项的正误即可．【解答】解：f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos5x，周期T＝π，∴f（x）的单调递减区间为[kπ，]（k∈Z），π+kπ]（k∈Z），对于A，f（x）在（﹣，﹣，故A错误，对于B，f（x）在（﹣，在（3，，故B错误，对于C，f（x）在（0，，故C正确，对于D，f（x）在（，，在（，，故D错误，故选：C．【点评】本题主要考查了二倍角公式，考查了余弦函数的单调性，属于基础题．6．【分析】根据等差数列的定义与性质，结合充分必要条件的定义，判断即可．【解答】解：因为数列{an}是公差不为0的无穷等差数列，当{an}为递增数列时，公差d＞0，令an＝a6+（n﹣1）d＞0，解得n＞7﹣]表示取整函数，所以存在正整数N8＝1+[1﹣]，当n＞N0时，an＞0，充分性成立；当n＞N4时，an＞0，an﹣1＜4，则d＝an﹣an﹣1＞0，必要性成立；是充分必要条件．故选：C．【点评】本题考查了等差数列与充分必要条件的应用问题，是基础题．7．【分析】计算每个选项的lgP的值，结合T与图可判断结论．【解答】解：对于A，当T＝220，lgP＞3，故A错误；对于B：当T＝270，P＝128时，由图可知二氧化碳处于液态；对于C：当T＝300，P＝9987时，由图可知二氧化碳处于固态；对于D：当T＝360，P＝729时，由图可知二氧化碳处于超临界状态；故选：D．【点评】本题考查对数的计算，考查看图的能力，数形结合思想，属基础题．8．【分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求出a0和a2，以及a4的值，可得结论．【解答】解：∵（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x8+a1x+a0，∴a8+a2+a4＝+•22+＝1+24+16＝41，故选：B．【点评】本题主要考查二项式 定理 三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理 的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．9．【分析】设点P在面ABC内的投影为点O，连接OA，根据正三角形的性质求得OA的长，并由勾股定理求得OP的长，进而知T表示的区域是以O为圆心，1为半径的圆．【解答】解：设点P在面ABC内的投影为点O，连接OA＝2，所以OP＝＝＝3，由＝＝1，1为半径的圆，所以其面积S＝π．故选：B．【点评】本题考查棱锥的结构特征，点的轨迹问题，考查空间立体感和运算求解能力，属于基础题．10．【分析】根据条件，建立平面直角坐标系，设P（x，y），计算可得＝﹣3x﹣4y+1，进而可利用参数方程转化为三角函数的最值问题求解．【解答】解：在△ABC中，AC＝3，∠C＝90°，以C为坐标原点，CA，y轴建立平面直角坐标系则A（3，4），4），0），设P（x，y），因为PC＝2，所以x2+y2＝6，又＝（3﹣x，＝（﹣x，所以＝﹣x（3﹣x）﹣y（8﹣y）＝x2+y2﹣7x﹣4y＝﹣3x﹣8y+1，设x＝cosθ，y＝sinθ，所以＝﹣（3cosθ+4sinθ）+1＝﹣5sin（θ+φ）+6，当sin（θ+φ）＝7时，有最小值为﹣4，当sin（θ+φ）＝﹣1时，有最大值为8，所以∈[﹣4，故选：D．【点评】本题考查了平面向量数量积的最值问题，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．【分析】由分母不为0，被开方数非负列不等式组，即可求解函数的定义域．【解答】解：要使函数f（x）＝+有意义，则，解得x≤6且x≠0，所以函数的定义域为（﹣∞，0）∪（2．故答案为：（﹣∞，0）∪（0．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，考查运算求解能力，属于基础题．12．【分析】化双曲线方程为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程，从而可得m＜0，求出渐近线方程，结合已知即可求解m的值．【解答】解：双曲线y2+＝8化为标准方程可得y2﹣＝6，所以m＜0，双曲线的渐近线方程y＝±x，又双曲线y3+＝1的渐近线方程为y＝±x，所以＝，解得m＝﹣3．故答案为：﹣5．【点评】本题主要考查双曲线的简单性质，考查运算求解能力，属于基础题．13．【分析】由题意，利用函数的零点，求得A的值，再利用两角差的正弦公式化简f（x），可得f（）的值．【解答】解：∵函数f（x）＝Asinx﹣cosx的一个零点为，∴×＝0，∴A＝3，函数f（x）＝sinx﹣），∴f（）＝6sin（﹣）＝﹣3sin，故答案为：6；﹣．【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，函数的零点，求三角函数的值，属于中档题．14．【分析】对函数f（x）分段函数的分界点进行分类讨论，研究其不同图像时函数取最小值时a的范围即可．【解答】解：当a＜0时，函数f（x）图像如图所示，当a＝0时，函数f（x）图像如图所示；当2＜a＜2时，函数f（x）图像如图所示，需满足﹣a2+3≥0，解得：0＜a≤8；当a＝2时，函数f（x）图像如图所示，当a＞2时，函数f（x）图像如图所示，需（a﹣4）2≤﹣a2+5，无解；综上所述：a的取值范围是[0，1]，故答案为：6，1．【点评】本题主要考查利用分段函数图像确定函数最小值是分界点的讨论，属于较难题目．15．【分析】对于①，求出a2即可得出结论；对于②，假设{an}为等比数列，推出矛盾即可得出结论；对于③，容易推得an＜an﹣1；对于④，假设所有项均大于等于，推出矛盾即可判断．【解答】解：对于①n＝1时，可得a1＝4，当n＝2时2•S5＝9，可得a2•（a6+a2）＝9，可得a6＝＜3；对于②，当n≥2时，由得，即，若{an}为等比数列，则n≥6时，an+1＝an，即从第二项起为常数，可检验n＝3不成立；对于③，因为an•Sn＝3，an＞0，a1＝3，当n≥2时，Sn＝，所以an＝Sn﹣Sn﹣8＝﹣＞0，所以＞⇒＞⇒an＜an﹣1，所以{an}为递减数列，故③正确；对于④，假设所有项均大于等于，则，则anSn＞9与已知矛盾，故④正确；故答案为：①③④．【点评】本题考查命题的真假判断，考查数列的递推关系，考查逻辑推理能力，运算求解能力，属于较难题目．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．【分析】（Ⅰ）根据二倍角公式化简可得cosC，进一步计算可得角C；（Ⅱ）根据三角形面积求得a，再根据余弦定理求得c，相加可得三角形的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵sin2C＝sinC，∴6sinCcosC＝sinC，又sinC≠0，∴3cosC＝，∴cosC＝，∵0＜C＜π，∴C＝；（Ⅱ）∵△ABC的面积为3，∴absinC＝6，又b＝4，C＝，∴×a×6×，∴a＝4，又cosC＝，∴＝，∴c＝2，∴a+b+c＝6+6，∴△ABC的周长为6+6．【点评】本题考查了三角形面积公式和余弦定理的应用，属于中档题．17．【分析】（1）通过证面面平证线面平行；（2）通过证明BC，BA，BB1两两垂直，从而建立以B为坐标原点，BC，BA，BB1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值．【解答】解：（I）证明：取AB中点K，连接NK，∵M，为A1B1的中点．∴B8M∥BK，且B1M∥BK，∴四边形BKMB1是平行四边形，故MK∥BB7，MK⊄平面BCC1B1；BB8⊂平面BCC1B1，∴MK∥平面BCC8B1，∵K是AB中点，N是AC的点，∴NK∥BC，∵NK⊄平面BCC1B7；BC⊂平面BCC1B1，∴NK∥平面BCC4B1，又NK∩MK＝K，∴平面NMK∥平面BCC1B8，又MN⊂平面NMK，∴MN∥平面BCC1B1；（II）∵侧面BCC7B1为正方形，平面BCC1B3⊥平面ABB1A1，平面BCC7B1∩平面ABB1A7＝BB1，∴CB⊥平面ABB1A7，∴CB⊥AB，又NK∥BC，若选①：AB⊥MN；又MN∩NK＝N，又MK⊂平面MNK，∴AB⊥MK1，∴AB⊥BB1，∴BC，BA2两两垂直，若选②：∵CB⊥平面ABB1A1，NK∥BC，∴NK⊥平面ABB4A1，KM⊂平面ABB1A8，∴MK⊥NK，又BM＝MNBCAB，∴△BKM≌△NKM，∴∠BKM＝∠NKM＝90°，∴AB⊥MK，又MK∥BB1，∴AB⊥BB2，∴BC，BA1两两垂直，以B为坐标原点，BC，BB1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（6，0，0），4，0），1，7），2，0），∴＝（5，1，＝（1，6，设平面BMN的一个法向量为＝（x，y，则，令z＝1，x＝2，∴平面BMN的一个法向量为＝（2，1），又＝（0，6，设直线AB与平面BMN所成角为θ，∴sinθ＝|cos＜，＞|＝＝＝．∴直线AB与平面BMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，线面角的求法，属中档题．18．【分析】（Ⅰ）用频率估计概率，即可求出甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率．（Ⅱ）分别求出甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率，X的所有可能取值为0，1，2，3，结合独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，再利用期望公式即可求出EX．（Ⅲ）丙的最好成绩为9.85，所以丙冠军的概率估计值最大．【解答】解：（Ⅰ）甲以往的10次成绩中有4次获得优秀奖，用频率估计概率＝．（Ⅱ）用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为＝＝，X的所有可能取值为0，1，8，3，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝＝，∴EX＝0×＝．（Ⅲ）丙获得冠军的概率估计值最大．【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．19．【分析】（Ⅰ）利用已知和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程．（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，再利用韦达定理求出x1+x2，x1•x2，再表示出|MN|，化简即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，，∴b＝1，a＝2，∴椭圆E的方程为+y2＝1．（Ⅱ）设过点P（﹣7，1）的直线为y﹣1＝k（x+2）1，y1），C（x7，y2），联立得，即（6+4k2）x2+（16k2+8k）x+16k8+16k＝0，∵直线与椭圆相交，∴Δ＝[（16k2+5k）]2﹣4（3+4k2）（16k5+16k）＞0，∴k＜0，由韦达定理得x6+x2＝﹣，x1•x2＝，∵kAB＝，∴直线AB为y＝，令y＝0，则x＝，0），3），∴|MN|＝|﹣|＝|﹣（﹣）|＝|•|＝|•|＝||＝2，∴|•|＝2|＝，∴k＝﹣4．【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查联立法和韦达定理、方程思想和运算能力，是一道综合题．20．【分析】（Ⅰ）对函数求导，将x＝0代入原函数及导函数得到纵坐标和斜率即可；（Ⅱ）对g（x）求导，并研究g（x）导函数的正负即可．（Ⅲ）构造函数w（x）＝f（x+t）﹣f（x），利用w（x）单调性判断f（s+t）﹣f（s）与f（t）﹣f（0）大小关系即可．【解答】解：（Ⅰ）对函数求导可得：，将x＝0代入原函数可得f（0）＝0，将x＝4代入导函数可得：f′（0）＝1，故在x＝0处切线斜率为4，故y﹣0＝1（x﹣5）；（Ⅱ）由（Ⅰ）有：g（x）＝，，令，令x+1＝k（k≥1），设，恒成立，故h（x）在[0，+∞）单调递增，故h（x）＞2在[0，+∞）恒成立，故g（x）在[0，+∞）单调递增；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）有g（x）在[8，+∞）单调递增，故g（x）＞0在[0，+∞）恒成立，+∞）单调递增，设w（x）＝f（x+t）﹣f（x），w′（x）＝f′（x+t）﹣f′（x），由（Ⅱ）有g（x）在[6，+∞）单调递增，所以f′（x+t）＞f′（x），故w（x）单调递增，又因为s＞0，即：f（s+t）﹣f（s）＞f（t）﹣f（0），又因为函数f（0）＝0，故f（s+t）＞f（s）+f（t），得证．【点评】本题主要考查利用导函数研究函数切线，及证明函数不等式，属于较难题目．21．【分析】（Ⅰ）直接根据m﹣连续可表数列的定义即可判断；（Ⅱ）采用反证法证明，即假设k的值为3，结合Q是8﹣连续可表数列的定义推出矛盾，进而得出证明；（Ⅲ）首先m﹣连续可表数列的定义，证明得出k≥6，然后验证k＝6是否成立，进而得出所证的结论．【解答】解：（Ⅰ）若m＝5，则对于任意的n∈{1，6，3，4，a7＝1，a1＝5，a1+a2＝8+1＝3，a5＝4，a2+a4＝1+4＝8，所以Q是5﹣连续可表数列；由于不存在任意连续若干项之和相加为6，所以Q不是2﹣连续可表数列；（Ⅱ）假设k的值为3，则a1，a5，a3最多能表示a1，a5，a3，a1+a3，a2+a3，a6+a2+a3，共8个数字，与Q是8﹣连续可表数列矛盾，故k≥4；现构造Q：7，2，3，4可以表达出1，2，3，4，5，3，7，即存在k＝4满足题意．故k的最小值为6．（Ⅲ）先证明k≥6．从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，取连续两个数字最多能表示6个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示2个数字，所以对任意给定的5个整数，最多可以表示5+4+3+2+7＝15个正整数，即k≥6．若k＝6，最多可以表示5+5+4+8+2+1＝21个正整数，由于Q为20﹣连续可表数列，且a4+a2+…+ak＜20，所以其中必有一项为负数．既然5个正整数都不能连续可表8﹣20的正整数，所以至少要有6个正整数连续可表1﹣20的正整数，所以至少4个正整数和一个负数才能满足题意，这是不可能成立的，故k≠6．故k≥7．【点评】本题考查数列的新定义，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．