矩阵的等价,相似合同的关系及应用

...v.目录TOC\o"1-3"\h\z\uHYPERLINK\l"_Toc296543211"摘要PAGEREF_Toc296543211\hI1HYPERLINK\l"_Toc296543212"引言PAGEREF_Toc296543212\h1HYPERLINK\l"_Toc296543213"2矩阵间的三种关系PAGEREF_Toc296543213\h1HYPERLINK\l"_Toc296543214"2.1矩阵的等价关系PAGEREF_Toc296543214\h1HYPERLINK\l"_Toc296543215"2.2矩阵的 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 关系PAGEREF_Toc296543215\h2HYPERLINK\l"_Toc296543216"2.3.矩阵的相似关系PAGEREF_Toc296543216\h2HYPERLINK\l"_Toc296543217"3矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别PAGEREF_Toc296543217\h33.1矩阵的相似与等价之间的关系与区别................................................................................43.2矩阵的合同与等价之间的关系与区别.............................................................................53.2矩阵的合同与等价之间的关系与区别.............................................................................54矩阵的等价、合同和相似的应用............................................................64.1矩阵等价的应用...................................................................................................................74.2矩阵相似的应用...................................................................................................................94.3矩阵合同的应用...................................................................................................................94.4三种关系在概率统计中的应用..........................................................................................105结论...........................................................................................................12完毕语..........................................................................................................12参考文献.......................................................................................................13摘要:本文主要了解矩阵的三种的关系的性质、联系、区别及应用，总结它们之间的结论和定理并应用到各个相应的领域。并且详细说明了三者的一样点和不同点。关键字：矩阵的等价关系及应用，矩阵的相似关系及应用，矩阵的合同关系及应用1.引言高等代数中我们讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．那么为了更好的掌握它们，我们不仅要了解它们的定义、性质还要了解它们间的异同点，总结它们的规律，并且要了解它们在各个领域的应用，我们需要更好的知道在什么条件下等价、合同、相似是可以相互转化的，加什么条件才可以相互转化，如果不能相互转化，那么你能找到相应的特例吗.另外，三种矩阵的应用你知道它具体应用到什么领域吗"是如何应用的.2.矩阵的三种关系2.1矩阵的等价关系定义2.1.1:两个矩阵等价的充要条件为：存在可逆的阶矩阵与可逆的阶矩阵，使得矩阵与等价必须具备的两个条件：〔1〕矩阵与必为同型矩阵〔不要方阵〕.〔2〕存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵,使.2.1.2矩阵等价的性质：〔1〕反身性：即.〔2〕对称性：假设，那么.〔3〕传递性：假设，，那么.(4)A等价于B的充要条件是秩〔A〕=秩〔B〕(5)设A为m×n矩阵，秩〔A〕=r，那么A等价于，即存在m级可逆矩阵P，n级可逆矩阵Q，使.(6)(Schur定理)任何n级复方阵A必相似于上三角形矩阵，即A相似于其中为矩阵A的特征值.定理2.2.1：假设为矩阵，并且，那么一定存在可逆矩阵〔阶〕和〔阶〕，使，其中为阶单位矩阵.推论2.2.1：设是两矩阵，那么当且仅当.2.2矩阵的合同关系定义2.2.1：设均为数域上的阶方阵，假设存在数域上的阶可逆矩阵，使得,那么称矩阵为合同矩阵〔假设数域上阶可逆矩阵为正交矩阵〕，由矩阵的合同关系，得出矩阵与合同必须同时具备的两个条件：(1)矩阵与不仅为同型矩阵而且是方阵.(2)存在数域上的阶矩阵,2.2.2矩阵合同的性质：〔1〕反身性：任意矩阵都与自身合同.〔2〕对称性：如果与合同，那么也与合同.〔3〕传递性：如果与合同，又与合同，那么与合同.(4)合同的两矩阵有一样的二次型 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型.(5)在数域上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵.(6)矩阵合同与数域有关.因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.定理2.2.1：数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.定理2.2.1：复数域上秩为的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：2.3.矩阵的相似关系定义2.3.1设均为数域上阶方阵，假设存在数域上阶可逆矩阵使,那么称矩阵与为相似矩阵〔假设级可逆矩阵为正交阵，那么称与为正交相似矩阵〕.由矩阵的相似关系，不难得到矩阵与相似，必须同时具备两个条件(1)矩阵与不仅为同型矩阵，而且是方阵(2)在数域上阶可逆矩阵，使得2.3.2相似矩阵的性质(1)反身性:;(2)对称性:由即得;〔3〕传递性:和即得(4)〔其中是任意常数〕；(5〕；(6〕假设与相似，那么与相似〔为正整数〕；(7)相似矩阵有一样的秩，而且，如果为满秩矩阵，那么.即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.(8〕相似的矩阵有一样的行列式；即：如果，那么有：(9〕相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设，假设可逆，那么从而可逆.且与相似.假设不可逆，那么不可逆，即也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理定理2.3.1相似矩阵的特征值一样.推论2.3.1相似矩阵有一样的迹3.矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别3.1矩阵的相似与等价之间的关系与区别定理3.1.1相似矩阵必为等价矩阵，但等价矩阵未必为相似矩阵．证明：设阶方阵相似，由定义3知存在阶可逆矩阵，使得，此时假设记,,那么有,因此由定义1得到阶方阵等价但对于矩阵,等价，与并不相似，即等价矩阵未必相似．但是当等价的矩阵满足一定条件时，可以是相似的，如下面定理定理3.1.2：对于阶方阵，假设存在阶可逆矩阵使,(与等价)，且(为阶单位矩阵)，那么与相似．证明：设对于阶方阵与,假设存在阶可逆矩阵,使,即与等价．又知,假设记,那么,也即,那么矩阵也相似．3.2矩阵的合同与等价之间的关系与区别定理3.2.1：合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．证明：设阶方阵合同，由定义2得，存在阶可逆矩阵，使得，假设记,,那么有因此由定义1得到阶方阵等价但对于矩阵,等价，与并不合同，即等价矩阵未必合同．什么时候等价矩阵是合同的.只有当等价矩阵的正惯性指数一样时等价矩阵是合同矩阵3.3矩阵的合同与相似之间的关系与区别合同矩阵未必是相似矩阵例单位矩阵E与2E.两个矩阵的正负惯性指数一样故合同但作为实对称矩阵的特征值不同,故不相似相似矩阵未必合同例如A与B相似，那么存在可逆矩阵P使B=P\BP,如果P的逆矩阵与P的转置矩阵不相等，那么相似矩阵不是合同矩阵定理3.3.1：正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵．证明：假设存在一个正交矩阵,即使得即，同时有，所以与合同.同理可知，假设存在一个正交矩阵，使得即与合同，那么有定理3.3.2：如果与都是阶实对称矩阵，且有一样的特征根．那么与既相似又合同．证明：设与的特征根均为，由于与阶实对称矩阵，一定存在一个阶正交矩阵Q使得同时，一定能找到一个正交矩阵使得，从而有将上式两边左乘和右乘,得由于，，有，所以，是正交矩阵，由定理知与相似．定理3.3.3：假设阶矩阵与中只要有一个正交矩阵，那么与相似且合同．证明：不妨设是正交矩阵，那么可逆，取U=A，有，那么与相似，又知是正交阵，由合同矩阵的定义知与既相似又合同．定理3.3.4：假设与相似且又合同，与相似也合同，那么有与既相似又合同．证明:因为与,与相似，那么存在可逆矩阵,，使，令，那么且，故与相似．又因为与合同，与合同，故存在可逆矩阵，，令而故与合同．矩阵的等价、合同和相似在实际问题中的应用4.1矩阵等价的应用例4.4.1试从等价标准形的角度给出齐次线性方程组的一种解法．解设A的秩等于r，存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使，于是线性方程组可化为，记，那么原方程组等价于，即．令，容易验证都是的解，从而它们构成的一根底解系．□下面是具体的操作过程．首先构造矩阵，然后对矩阵B作如下的初等变换：对A〔即B的前m行〕作初等的行变换，对B作初等的列变换，那么经过有限次上述的初等变换后，B可变为，此时Q的后个列向量构成的一根底解系．试从等价标准形的角度给出非齐次线性方程组的一种解法．解下面仅给出具体的操作过程，至于其原理可按例19的方式得到．首先构造矩阵，然后对矩阵B作如下形式的初等变换：对B的前m行作行的初等变换，对B的前n列作列的初等变换，那么经过有限次上述变换后，B可变为，记，，此时可得如下的结论：有解当且仅当；当时，是的一个特解，是所对应的齐次线性方程组的一根底解系．试从等价标准形的角度给出可逆矩阵的逆矩阵的一种求法．解设A是个n阶可逆阵，A的秩等于n，存在可逆阵P和Q，使，，进而．这给出了求逆矩阵的一种方法．首先构造矩阵，然后对B进展如下形式的初等变换：对B的前n行进展初等的行变换，对B的前n列进展初等的列变换，那么经过有限次上述变换后，B可变为，由此求得．4.2矩阵相似的应用例4.2.1判断矩阵，是否相似.解：对，的特征矩阵，分别作初等变换可得：==所以，有一样的初等因子，，所以，相似.4.3矩阵合同的应用例4.3.1设，，。不难验证：即矩阵A，B合同，但A的特征值为和；B的特征值为1和。相似矩阵与合同矩阵还有着一定的在联系，即相似或合同的两矩阵分别有一样的秩。另外，在一定条件下，两者是等价的。假设矩阵A，B正交相似时，那么它们既是相似的又是合同的。此题说明矩阵相似与合同在一定条件下是相通的。例4.3.2，，。试判断A，B，C中哪些矩阵相似，哪些矩阵合同.解：矩阵A的秩和矩阵B,C的秩不等，故A不可能与B，C相似或合同，只有讨论B，C了；A的秩为3，而B，C的秩为2，故A和B，C既不相似又不合同，又B的迹是8，而C的迹是6，不相等，故B和C不相似，最后，C是对称矩阵，而B不是，所以，B和C也不合同。所以，矩阵A，B，C相互之间既不相似又不合同。4.4三种关系在概率统计中的应用例4.4.1某公司对所生产的产品通过市场营销调查得到的统计 资料 新概念英语资料下载李居明饿命改运学pdf成本会计期末资料社会工作导论资料工程结算所需资料清单 说明，已经使用本公司的产品客户中有60%表示仍回继续购置该公司产品，在尚未使用该产品的被调查者中，25%的客户表示将购置该产品，目前该产品在市场的占有率60%，能否预测n年后该产品市场占有状况.解：设第i年购置该公司产品的客户为，不购置该公司产品的客户为，那么有，写成矩阵的形式：，其中，，令，，那么有，，……，，由得P的特征值=1，=0.35，分别解0，i=1,2，得到相应的特征向量为，，令，那么，于是，那么，，当n=5时，计算≈。这说明该产品市场占有率将由0.6下降到0.385，因此该公司应根据这份预测报告 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 原因，采取措施，才能保持并提高是市产场占有率。例4.4.2某公司对职工进展分批脱产培训，现有在岗职工8000人，脱产培训2000人， 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 每年从在岗职工中抽调30%的人参加脱产培训，而在培训人员中让60%的人结业回到工作岗位上，设年后在岗职工于脱产培训人数分别为，记为向量，假设职工总人数不变.求与的关系式，并写成矩阵形式=；求，且当充分大时，求在岗职工人数与脱产培训人数之比.解：〔1〕得==.〔:1〕〔2〕由〔1〕式可得=，其中，为计算，先求.由，对于=0.1，解〔0.1-〕x=0，得根底解系.对于解，得根底解系，令P=，那么，.那么所以当充分大时，.例4.4.3某公司对所生产的产品通过市场营销调查得到的统计资料说明，已经使用本公司的产品客户中有60%表示仍回继续购置该公司产品，在尚未使用该产品的被调查者中，25%的客户表示将购置该产品，目前该产品在市场的占有率为60%，能否预测年后该产品市场占有状况.解：设第年购置该公司产品的客户为，不购置该公司产品的客户为，那么有，写成矩阵的形式其中，令，那么有由，得的特征值分别解得到相应的特征向量为，那么，于是，那么，，当时，计算.这说明该产品市场占有率将由0.6下降到0.385，因此该公司应根据这份预测报告分析原因，采取措施，才能保持并提高是市产场占有率.结论关于矩阵的等价、合同、相似的关系和应用，我们得知了：合同矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵不一定是合同矩阵相似矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵不一定是相似矩阵对于阶方阵，假设存在阶可逆矩阵使,(与等价)，且(为阶单位矩阵)，那么与相似．等价矩阵的正惯性指数一样时等价矩阵是合同矩阵如果与都是阶实对称矩阵，且有一样的特征根．那么与既相似又合同．假设阶矩阵与中只要有一个正交矩阵，那么与相似且合同．相似矩阵的特征值一样.相似矩阵有一样的迹.9.假设与相似且又合同，与相似也合同，那么有与既相似又合同．参考文献[1]智婕.矩阵的等价、相似、合同的联系[J].：师学院学报〔自然科学版〕，2011:2-3[2]王晓玲.侯建文，矩阵的三种关系[J].：太谷师学学报，2003:1-2[3]禾瑞.高等代数[M].：高等教育，1983.[4]HYPERLINK".ki.net/KCMS/detail/search.aspx"dbcode=CJFD&sfield=au&skey=%C1%CE%D3%F1%BB%B3&code=23394168;"廖玉怀.矩阵的等价关系探究[J].，HYPERLINK".ki.net/KCMS/detail/search.aspx"dbcode=CJFD&sfield=inst&skey=%D4%C6%C4%CF%CE%C4%C9%BD%D1%A7%D4%BA%CA%FD%C0%ED%CF%B5&code=1581150;"学院数理系，2009，卷期页码[5]ZhiwenHan.MichaelA.Kruge.JohnC.Crelling.B.ArthurStankiewiczOrganicGeochemistry，爱思唯尔期刊,1994-1[6]慕生.高等代数学[M].复旦：复旦大学,1999.[7]北大数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].：高等教育，1988.[8]志惠，永明.高等代数中的典型问题与方法[M].：科学，2006.[9]同济大学教研室.线性代数[M].：高等教育.，2001.[10]阎家灏.线性代数[M].：大学.，1994.