2020年高三数学大串讲第19讲（数列单调性、奇偶项、存在性问题）（原卷版）

第19讲（数列单调性、奇偶项、存在性问题）【目标导航】中学研究的特殊数列只有等差数列与等比数列，一个是线性数列，一个是类指数数列，但数列性质却远远不止这些，因此新数列的考查方向是多样的、不定的，不仅可考查函数性质，而且常对整数的性质进行考查．明确考查方向是解决以新数列为背景的解答题的前提，恰当运用对应性质是解决问题思想方法．【例题导读】2例1、设数列annN*是公差不为零等差数列，满足a3a6a9,a5a76a9；数列bnnN*的前n项和为Sn，且满足4Sn2bn3．（1）求数列an、bn的通项 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ；（2）在b1和b2之间插入1个数x11，使b1,x11,b2成等差数列；在b2和b3之间插入2个数x21,x22，使b2,x21,x22,b3成等差数列；⋯⋯；在bn和bn1之间插入n个数xn1,xn2,...,xnm，使bn,xn1,xn2,...xnm,bn1成等差数列，（i）求Tnx11x21x22...xn1xn2...xnm；am1（ii）是否存在正整数m,n，使Tn成立？若存在，求出所有的正整数对m,n；若不存在，请说明2am理由．*例2、有限个元素组成的集合为Aa1,a2,L,an，nN，集合A中的元素个数记为dA，定义dAdA1AAxyxA,yA，集合AA的个数记为dAA，当dAA，称2集合A具有性质．（1）设集合M1,x,y具有性质，判断集合M中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由；11（2）设正数列dn的前n项和为Sn，满足Sn12Sn，其中d1，数列dn中的前2020项：33d1,d2,d3,L,d2020组成的集合d1,d2,d3,L,d2020记作D，将集合DD中的所有元素*t1,t2,t3,L,tkkN从小到大排序，即t1,t2,t3,L,tk满足t1t2t3Ltk，求t2020；（3）已知集合Cc1,c2,L,cn，其中数列cn是等比数列，cn0，且公比是有理数，判断集合C是否具有性质，说明理由．2*例3、已知正项数列an的前n项和为Sn，且an2an4Sn1nN．（1）求数列an的通项公式；an1（2）若bn，数列bn的前n项和为Tn，求Tn的取值范围；S2n1S2n11an1,n为奇数2*（3）若cnnN，从数列cn中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），n22,n为偶数将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．例4、已知nN，数列an的前n项和为Sn，且Snan1a1；数列bn的前n项和为Tn，且满足1Tnbnnn1bn，且a1b2．2（1）求数列an的通项公式；（2）求数列bn的通项公式；an（3）设cn，问：数列cn中是否存在不同两项ci，cj（1ij，i，jN），使cicj仍是数列bncn中的项?若存在，请求出i，j；若不存在，请说明理由．n1n例5、已知数列an的前n项和Sn，对任意正整数n，总存在正数p,q,r使得anp，Snqr恒成立：数列bn的前n项和Tn，且对任意正整数n，2Tnnbn恒成立．（1）求常数p,q,r的值；（2）证明数列bn为等差数列；2nb12nb22nb32nbn12nbn（3）若b12，记Pnn2n1，是否存在正整数k，使得an2an4an2an2an对任意正整数n，Pnk恒成立，若存在，求正整数k的最小值，若不存在，请说明理由．例6、定义：若无穷数列an满足an1an是公比为q的等比数列，则称数列an为“M(q)数列”．设数列bn中b11,b37（1）若b24，且数列bn是“M(q)数列”，求数列bn的通项公式；1（2）设数列bn的前n项和为Sn，且bn12Snn，请判断数列bn是否为“M(q)数列”，并说2明理由；4039bm4040（3）若数列bn是“M(2)数列”，是否存在正整数m,n，使得？若存在，请求出所有2019bn2019满足条件的正整数m,n；若不存在，请说明理由．例7、设数列A：a1，a2，⋯aN(N)．如果对小于n(2nN)的每个正整数k都有ak＜an，则称n是数列A的一个“G时刻”．记“G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合．（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G(A)的所有元素；（2）证明：若数列A中存在an使得an>a1，则G(A)；（3）证明：若数列A满足an-an1≤1（n=2，3，⋯，N），则G(A)的元素个数不小于aN-a1．【反馈练习】*1．已知数列an的首项a13，对任意的nN，都有an1kan1(k0)，数列an1是公比不为1的等比数列．（1）求实数k的值；4n,n为奇数,S2m（2）设bn数列bn的前n项和为Sn，求所有正整数m的值，使得恰好为数列an1,n为偶数,S2m1bn中的项．*2．已知无穷数列an，bn，cn满足：对任意的nN，都有an1=bncn，bn1=cnan，cn1=anbn．记dn=maxan,bn,cn(maxx,y,z表示3个实数x，y，z中的最大值)．(1)若a1=1，b1=2，c1=4，求a4，b4，c4的值；(2)若a1=1，b1=2，求满足d2=d3的c1的所有值；(3)设a1，b1，c1是非零整数，且a1，b1，c1互不相等，证明：存在正整数k，使得数列an，bn，cn中有且只有一个数列自第k项起各项均为0．*3．对于项数为m（mN且m>1）的有穷正整数数列an，记bkmina1,a2,,ak(k1,2,,m)，即bk为a1,a2,,ak中的最小值，设由b1,b2,b3,,bm组成的数列bn称为an的“新型数列”．（1）若数列an为2019，2020，2019，2018，2017，请写出an的“新型数列”bn的所有项；n101,n6（2）若数列an满足an2，且其对应的“新型数列”bn项数m[21,30]，求bn的所有22n,n7项的和；（3）若数列an的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的an及其对应的“新型数列”bn．4．设an是等差数列，bn是等比数列．已知a14,b16，b22a22,b32a34．（Ⅰ）求an和bn的通项公式；kk11,2n2,*（Ⅱ）设数列cn满足c11,cnk其中kN．bk,n2,i（）求数列a2nc2n1的通项公式；2n*（ii）求aicinN．i1n1(1)已知数列{an}满足：a1＝1，且当n2时，anan1(R)2（1）若＝1，证明数列{a2n1}是等差数列；2n21（2）若＝2．①设bna2n，求数列{bn}的通项公式；②设Cnnai，证明：对于任意的p，3n3i1mN*，当pm，都有CpCm．*6.对于nN,若数列xn满足xn1xn1,则称这个数列为“K数列”．2（1）已知数列1，m1,m是“K数列”，求实数m的取值范围；12（2）是否存在首项为1的等差数列an为“K数列”，且其前n项和Sn使得Snnn恒成立?若存在，2求出an的通项公式；若不存在，请说明理由；1an1（3）已知各项均为正整数的等比数列an是“K数列”，数列an不是“K数列”，若bn,试判断2n1数列bn是否为“K数列”，并说明理由．*7.数列an满足an12anan1对任意的n2,nN恒成立，Sn为其前n项的和，且a44，S836．（1）求数列an的通项an；n（2）数列bn满足b1a2n1b2a2n3bka2n12kbna13212an，其中*k1,2,,n,nN．①证明：数列bn为等比数列；am3ap*②求集合m,p,m,pN.bmbp*8.给定数列an，若满足a1a（a0且a1），对于任意的n,mN，都有amnanam，则称数列an为“指数型数列”．n（1）已知数列an的通项公式为an4，试判断数列an是不是“指数型数列”；1*1（2）已知数列an满足a1，an2anan13an1nN，证明数列1为等比数列，并判断数2an1列1是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；ana1*（3）若数列an是“指数型数列”，且a1aN，证明数列an中任意三项都不能构成等差数列．a29.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”．（1）已知等比数列{an}满足：a2a4a5,a34a24a10，求证：数列{an}为“M－数列”；122（2）已知数列{bn}满足：b11,，其中Sn为数列{bn}的前n项和．Snbnbn1①求数列{bn}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有ck剟bkck1成立，求m的最大值．10．对于数列an，把a1作为新数列bn的第一项，把ai或aii2,3,4,...,n作为新数列bn的第i项，数列bn称为数列an的一个生成数列．例如，数列1,2,3,4,5的一个生成数列是1,2,3,4,5．已1知数列bn为数列nN的生成数列，Sn为数列bn的前n项和．2n（1）写出S3的所有可能值；11（2）若生成数列bn满足S3n1，求数列{bn}的通项公式．78n