2021年人教版高中数学选择性必修第二册5.1.1《变化率问题》（教学设计）

5.1.1变化率问题本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习变化率问题本节内容通过 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 高台跳水问题、曲线上某点处切线斜率的问题， 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。课程目标学科素养A.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.B.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.C.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．1.数学抽象：函数的变化率2.逻辑推理：平均变化率与瞬时变化率的关系3.数学运算：求解瞬时速度与切线斜率4.数学建模：函数的变化率重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念多媒体教学过程教学 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 意图核心素养目标导语在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多，进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢，下面我们就来研究这个问题。新知探究问题1高台跳水运动员的速度高台跳水运动中，运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11.如何描述用运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动的越来越慢，在下降阶段运动的越来越快，我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似的描述它的运动状态。例如,在0≤t≤0.5这段时间里，在1≤t≤2这段时间里，一般地，在≤t≤这段时间里，探究1：计算运动员在0≤t≤这段时间内的平均速度你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。探究2：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1是的瞬时速度吗？1．平均变化率对于函数y＝f(x)，从x1到x2的平均变化率：(1)自变量的改变量：Δx＝_______.(2)函数值的改变量：Δy＝_____________．(3)平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝＝.x2－x1；f(x2)－f(x1)；eq\f(fx2－fx1,x2－x1)；eq\f(fx1＋Δx－fx1,Δx)2.瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在________的速度称为瞬时速度．(2)函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝.某一时刻；eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)问题2.抛物线的切线的斜率我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切，对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢？下面我们以抛物线为例进行研究.探究3.你认为应该如何定义抛物线在点处的切线？与研究瞬时速度类似为了研究抛物线在点处的切线，我们通常在点的附近取一点考察抛物线的割线的变化情况。探究4.我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线在点处的切线T的斜率呢？从上述切线的定义可见，抛物线在点处的切线T的斜率与割线P的斜率有内在的联系，记点P的坐标，于是割线P的斜率+2利用计算工具计算更多割线P的斜率的值，当无限趋近于0时，割线P的斜率有什么变化趋势？从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点P无限趋近于点，于是割线P无限趋近于点处的切线，这时，割线P的斜率无限趋近于点处的切线的斜率，因此，切线的斜率=2.3．曲线的切线斜率(1)设P0(x0，f(x0))，P(x，f(x))是曲线y＝f(x)上任意不同两点，则平均变化率eq\f(fx－fx0,x－x0)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)为割线P0P的_____．(2)当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率就是y＝f(x)在x0处的____的斜率即k＝.斜率；切线；eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx趋近于零时 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示Δx＝0．(　　)(2)平均变化率与瞬时变化率可能相等．(　　)(3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况．(　　)(4)函数y＝f(x)在某x＝x0的切线斜率可写成k＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)．(　　)[ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√2．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为(　　)A．f(x0＋Δx)　　B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)D　[Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故选D.]3．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是(　　)A．4B．4.1C．0.41D．－1.1B　[eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s2.1－s2,2.1－2)＝eq\f(2.12－22,0.1)＝4.1，故选B.]三、典例解析例1．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1s时的瞬时速度．[思路探究]　eq\x(计算物体在[1，1＋Δt]内的平均速度\f(Δs,Δt))eq\o(――――→,\s\up18(令Δt→0))eq\x(计算\o(lim,\s\do14(Δt→0))\f(Δs,Δt))―→eq\x(得t＝1s时的瞬时速度)[解]∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝eq\f(1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1,Δt)＝3＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))(3＋Δt)＝3.∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.即物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s.求运动物体瞬时速度的三个步骤设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝st，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下：1写出时间改变量Δt，位移改变量ΔsΔs＝st0＋Δt－st0.2求平均速度：eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt).3求瞬时速度v：当Δt→0时，eq\f(Δs,Δt)→v常数.跟踪训练1．在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．[解]　求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq\f(0＋Δt2＋0＋Δt＋1－1,Δt)＝1＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))(1＋Δt)＝1.∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1m/s.跟踪训练2．在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.[解]　设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.又eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt)＝(2t0＋1)＋Δt.eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.则2t0＋1＝9，∴t0＝4.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.例2.已知函数y＝x－eq\f(1,x)，则该函数在点x＝1处的切线斜率为?解析：∵Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋1－eq\f(1,1＋Δx)＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx)，∴斜率k＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝1＋1＝2.通过导语，通过对函数学习的回顾，帮助学生发现和感受不同函数变化快慢的问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出平均速度与瞬时速度的概念。发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。通过物体运动问题，抽象出函数平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率的概念。发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养。通过曲线上某点出割线与切线斜率的问题，加深学生对函数平均变化率与瞬时变化率的理解，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素通过典型例题的分析和解决，帮助学生掌握平均速度与瞬时速度的算法，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1．物体自由落体的运动方程为s(t)＝eq\f(1,2)gt2，g＝9.8m/s2，若v＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝9.8m/s，那么下列说法中正确的是(　　)A．9.8m/s是物体从0s到1s这段时间内的速率B．9.8m/s是1s到(1＋Δt)s这段时间内的速率C．9.8m/s是物体在t＝1s这一时刻的速率D．9.8m/s是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率C　[结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确．]2．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及其附近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则eq\f(Δy,Δx)等于________．4＋2Δx　[Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝2Δx＋4.]3．已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：(1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．[解]　(1)因为f(x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为eq\f(3×0.22＋5－3×0.12－5,0.2－0.1)＝0.9.(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3xeq\o\al(\s\up5(2),\s\do5(0))＋5)=3xeq\o\al(\s\up5(2),\s\do5(0))＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3xeq\o\al(\s\up5(2),\s\do5(0))－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为eq\f(6x0Δx＋3Δx2,Δx)＝6x0＋3Δx.4．求函数y＝eq\f(4,x2)在x＝2处的切线的斜率．[解]　∵Δy＝eq\f(4,Δx＋22)－eq\f(4,22)＝eq\f(4,Δx＋22)－1＝－eq\f(Δx2＋4Δx,Δx＋22)，∴eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(Δx＋4,Δx＋22)，∴k＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(－Δx－4,Δx＋22)＝eq\f(－4,4)＝－1.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结1.瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法；2.函数的平均变化率，瞬时变化率的概念；五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。从学生熟悉的背景出发，激发学生深入探究的兴趣,让学生进行思考、讨论，探索解决问题的方法和步骤,挖掘出以直代曲的思想方法，从而构建平均变化率这个数学模型来解决有关问题，使得平均变化率的概念及瞬时变化率的引入显得自然流畅。再例举学生熟悉的数学问题，让学生巩固对平均变化率的概念的理解。