相似三角形题型归纳总结非常全面

相似三角形题型归纳（1）基本性质：比例的性质acadbc（bd）bd示例剖析xyxy(2)反比性质：xyacbd(abcd)bdac(xy)xyacab(3)更比性质：或bdcdxyxydc或(xy)yxba(abcd)acabcd(4)合比性质：(bd)bdbdxxy(y)yyyyx(5)分比性质：acabcd(bd)bdbd(x)xx(6)合分比性质：acbdabcdabcdxxy(y,xy)yxy(bd,ab,cd)(7)等比性质：acbdmn已知，则当xyz时，xyz(bdn)acmaxyzxyz(bdn)bdnb、比例的性质：、成比例线段的概念：比例的项：ac在比例式a:bc:d（即地，bdab）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别在比例式a:bb:c（即bc成比例线段：）中，b称为a，c的比例中项，满足bac．四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．黄金分割：，那么这四条线acbd如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项（即ACABBC），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中ACAB.AB，BCAB.AB，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）ACB三、平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果l1//l2//l3ABDEBCEFABACDE，，则，BCEFACDFDF，AD1lAD1lBElD1l2l1EBl2CBE23llCFlF3【小结】若将所截出的小线段位置靠上的如称为上，位置靠下的称为下，两AB)条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为上下，上，下上全上下，，全全．下．全平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如AE图：如果EF//BC，则AFAEAFBECFEBFC，ABAC，，，ABAC平行线分线段成比例定理的推论的逆定理AEAFAE若EBFC或ABAFBECF或ACABAC，则有EF//BC．注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 可以通过同一法，做EF'//BC交AC于F'点，再证明F'与F重合即可．四、相似三角形的定义、性质和判定1．相似图形①定义：对应角相等，对应边成比例的图形叫做相似图形．对应边的比例叫做相似比．相似图形是形状相同，大小不一定相同．相似图形间的互相变换称为相似变换．②性质：两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等AA，BB，CC．②相似三角形的对应边成比例．如图，△ABC∽△ABC，则有ABBCABBCACACk（k为相似比）如图，△ABC∽△ABC，则有③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角如图，△ABC∽△ABC，AM、AH和AD是△ABC中BC边上的中线、高线和角平分线，AM、AH和AD是△ABC中BC边上的中线、高线和角的平分线成比例，都等于相似比．平分线，则有ABABBCACBCACAMAHkAMAHADAD④相似三角形周长的比等于相似比．如图，△ABC∽△ABC，则A有BBCACABBCACk．ABBCACABBCAC⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图，△ABC∽△ABC，则有BCAHSBCAH△ABCS△ABCkBCAH相似三角形的判定判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的简称为两角对应相等，两个三角形相似．如图，如果AA'，BB'，则两个角对应相等，那么这两个三角形相似．△ABC∽△ABC．简称为三边对应成比例，两个三角形相判定定理2：似．如果两个三角形的三组对应边成比例，那么ABBCAC这两个三角形相似．如图，如果，则ABBCAC△ABC∽△ABC．判定定理3：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且简称为两边对应成比例且夹角相等，两ABAC个三角形相似．如图，如果ABACABAC对应的夹角相等，那么这两个三角形相似．AA'，则△ABC∽△ABC．基本模型图形重要结论ADE“A”字型△ADE∽△ABCADAEDEDE∥BCABACBCBC“8”字型AB∥CD△AOB∽△CODABOAOBCDOCODABDCAOB五、“A”字和“8”字模型六、与内接矩形的有关的相似问题如图，已知四边形DEFG是△ABC的内接矩形，E、F在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，则有：△ADG∽△ABC，BCAMDGAN特别地，当BAC时，有△ADG∽△EBD∽△FGC∽△ABC．A七、“A”字和“8”字模型的构造A”字和“8”字模型的构造常常作平行线，常见的作平行线的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：八、斜“8”模型九、斜“A”模型在Rt△ABC中射，影定理：（1）BAC，ADBC于DADBDCD；ABACBDBC；CDCB．十、射影定理注意：（1）射影定理可以直接用，是用△ABD∽△CAD∽△CBA来证明的．（2）射影图形中，另外有下面的关系．①角的相等关系：BCAD，CBAD．②同一三角形中三边的平方关系：ABADBD、ACADCD、BCABAC．平行模型EF证明：∵∥EF∥CD，DFBF1∴∴∴∴EFCD，BDAB1ABDF，BD1CDEFBF，CD1EFBDEFAB垂直模型如图，（1ABBD，ED△ABC∽△BD，ACABAB则CDBCEC．ACDECE（2）（3）※ABDEBCCD．当C是BD中点时，E则有△ABC∽△CDE∽△．变形：如图，ABCCDEACEABBCAC（1）△ABC∽△CDE，则CDDECE（2）※ABDEBCCD．（3）当C是BD中点时，则有△ABC∽△CDE∽△ACE．证明：∵△ABC∽△CDE，∴ABCDAC，CE，又C是BD中点，∴BCCD,ABAC∴,即,BCCE又ABCABBCACCEACE，∴△ABC∽△ACE．内角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是BAC的角平ABBD分线，则有．ACCDBDCA证明：过C作CE∥AD交BA延长线于E．∵CE∥AD，∴1E，23又∵AD平分BAC，∴12，∴E3，∴AEAC，ABBDABBDEAA12由CE∥AD可得：，∴23BDC外角平分线定理如图，在△ABC中，BAC的外角平分线交A对边BC的延长线于D，则有ABBD．ACCDBCD十三、角平分线定理ABBDABBD由CE∥AD可得：AECD，∴ACCDAFNEFNEAAENFBMCBMCBMC若EF∥BC，则有ENBMNFMC．若EF∥BC，则有．NFMCENNFBMMC十四、线束模型题型一比例的性质和成比例线段的概念例题1(1)已知x:y:z::，则xyz的值是xyz2）若．则xyzxyzxy（3）若abc，且abca，则c的值是．bb解析（1）设xk，yk，zk．∴xyzkkkxyzkkk巩固1：（1）如果:yx2:3，则下列各式不成立的是（）；（2）；（3）A．xy5B．yxy3y13定理．故 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 为D．C．（2已）知：cdef22，求3x2y13x1D．y134a①cbd；②2ac2bd3e．（3）3f．已知bcacaba求abbcc，（ab）（bc）（ac）abc的值．解析：（1）A为合比性质，B为分比性质，x1显然正确，D错误，由于x1y1，不能用等比由等比性质直接可以得ac到bd当abc0时，2ac2bd3e23fbcacabababcc(bca)(cab)(abc)abc于是：bc2a,ac2b,a(ab)(bc)(ac)babc证明：过C作CE∥AD交AB于E．F∵CE∥AD，又∵AD平分∴13，2412，∴12，CAF，∴，3B4C∴34，∴AEAC，当abc0时，(ab)(bc)(ac)abc(c)(a)(b)abc．本题答案为1或8．题型二平行线分线段成比例定理例题1)如图2-1，已知l22)如图2-2，AD∥BE∥CF若AB用面积法证明：，3)如图2-3，l∥l∥l，ABACABDEBCEFDE，则DF如图所示，连接AE，，BF，ABS△ABEBCSBADEllBDCE．△CBECF2l3∵ADBEBE∥CF∴SS，SS．，△ABE∥，△DEB△CBE△FEBABSSDE△ABE△EDBBCSSEF△CBE△EFB；)22523)，巩固2：如图2-1，直线l(1)∥CHl∥l，已知AGcmBG.cm，CD.cm，如图2-2，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，若ADBD，AE，则AC如图2-3，AB∥DE，AE与DB交于C，AC，BD，CD则CEA解1)0.5cm；(2)；(3)6析：题型三相似三角形的定义、性质和判定1)求△ADF∽△CAE．（2）当AD，DC，分别是证：AC的中点时，求直角梯形ABCD的面积．解析：（1）∵AD∥BC，∴∠DAF∠ACE，∵∠BC、DFC例题3如图，直角梯形ABCD中，∠ADC，ADBC，点E在BC上，点F在AC上，∠DFC∠AEB．∥，∴△△ADF∽CAEDFAAEC∵AD，DC，∴AC，又∵F是AC的中点，AF∴∵△ADF∽△CAE，∴ADAFCA，CE，，∴CECEE是BC的中点，∴BC，∴直角梯形ABCD的面积巩固3：（1）下列所给条件中，可以判断△ABC与△DEF相似的是（）A．A90，F90，AC5，BC13，DF10，EF26ACDEB．C85，E85，BCDFC．AB1，AC1.5，BC2，EF8，DE10，FD16D．A46，B80，E45F80（2如1，在△ABC，D是B边上的中点，且ADAC，DEBC，交BA于点E），EC图与中AD，相交于点F．求点证：△ABC∽△FCD．如图2，△ABC为等腰直角三角形，BDCEBC，求证：△ACE∽△DBA．A图1解析：（1）D；2)∵ADAC，∴FDCABCFCD，∴△ABC∽△FCD.图2ACB；∵DE垂直平分BC，∴EBEC，3）由等腰直角三角形得到BCABAC条件变为BDCEABABAC，BDBA条件变为比例形式：，由于DBAACCEACE，∴△ACE∽△DBA．题型四“A”字和“8”字模型例题4（1）如图4-1，已知□ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G，若BE，EF，则FG的长为．（2）如图4-2，已知在□ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP:PQ:QC=图4-1解析：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，AD//BC图4-2AFEFCBEBDF，∴，∴ADAFCBCB，APAC，QC:14同理AQAC，故AP:PQ:∽∽FGFGFG．得DFBGC，B即FG2）由DC∥AB，得APAMPCABPQACACAC，QCAC，巩固4：（1）如图4-1，在△ABC中，M、E把AC边三等分，MN//EF//BC，MN、EF把△ABC分成三部分，则自上而下部分的面积比为．如图4-2，AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB1，CD3，则EF:CD的值为．如图4-3，已知在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，DM，DB分别交AC于P，Q两点，则AP:PQ:QC．C又AM图4-3PC解析：1）1:3:5；（2）3)∵AQCQACAPCD，∴APAC∴PQACAC，∴AP:PQ:QC::．题型五与内接矩形有关的相似问题例题5（1）如图5-1，△ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，BC，BC边上的高AD，求S正方形EFGH2）如图5-2，已知△ABC中，四边形DEGF为正方形，D，E在线段AC，BC上，F，G在AB上，如果SADFSCDE，SBEG，求△ABC的面积．图5-2解析：1）设正方形EFGH的边长为x，AD、HG的交点为M，AMHG，即xx，解得，xS，故则有ADBC正方形EFGH（2）设正方形边长为x，则AF，xCI，BGxx由△CDE∽△CAB，CIDExx，解得x，得，∴CHAB，∴xxxx∴AB，CH，SABCH∴ABC巩固3：（1）下列所给△条A件BC中中，，可以判断△ABC与△DEF相似的是（）巩固5：如图，已知ACBC，C，四边形DEGF为正方形，其中D、E在边AC、BC上，F、G在AB上，求正方形的边长．解析：法一：由勾股定理可求得ABABCHACBCCHxx，由可得DE由△CDE∽△CAB可得CI，设正方形的边长为x，则，解得xABCH，法二：设CEk，则DE∴CEBE，即kkk，∴GEk，BEk．，解得k，∴DEk．题型六“A字和“8”字模型的构造例题6如图，△ABC中，D为BC边的中点，延长AD至E，延长AB交CE的延长线于P．若AD解析：如DE，求证：AP3AB．图，过点∥PCD作PC的平行线，交AB于点H．∵HDAHADADDEPHDEAHPH，HD∥PC，BDCDBHPH，AHPPBDBHPH，CD∴AP∴ABAHBHPHPHPH，∴ABHABPHBHHAB．还可用如下辅助线来证此题：巩固如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动若BKKC，求的值；CDAB连接BE，若BE平分∠ABC，则当AEAD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AEAD（n），而其余条件不n变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．BK∴△KCD∽△KBA，CDABCKBK2）当BE平分ABC，AEAD时，ABBCCD；CK解析：（1）∵BKKC，∴，又∵CD∥AB，证明：取BD的中点为F，连接EF交BC于G点，由中位线定理，得EF//AB//CD，∴G为BC的中点，GEBEBA，又∵EBAGBE，∴GEBGBE，∴EGBGBC，巩固（1）如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BDCE，AD与BE相交于点F．求证：①BDADDF；②AFADAEAC；③BFBEBDBC．而GFCD，EFAB，EFEGGF，即：ABBCCD；ABBCCD；当AEAD(nn)时，BCCD(n1)AB．题型七斜“A”和斜“8”模型积的4倍，AC6，求DE的长．解析：∵ADBC，CE∴△ABD∽△CBE，AB，ABDCBE，BEBCEBDCBA，∴△BED∽△BCA，12DE1AC3．2例题7如图，在△ABC中，ADBC于D，CEAB于E，△ABC的面积是△BDE面2）如图，四边形ABCD是菱形，AFAD交BD于E，交BC于F．求证：ADDEDB．△ABCABBC1解析：（）∵等边，∴，ABCACBBAC∴BADCBE，∴BFDBADABE∴△ABD∽△BFD∴BDADDF，∴BDADCBEABEABCDF．BD②证明△AFE∽△即ACDDD③证明△BFD∽△BCE即可（．2）方法一：取DE中点M，∵AFAD，M为DE中点可．A12连接AM，MEB3∴MAMDDE，∴，又∵ABACFC∵BDCE∴△ABD≌△BCE．∴△DAM∽△DBA，∴DADMDB，∴ADDEDB．方法二：取BD中点N，连接AN．由等腰三角形的性质可知：ANBD，又∵EAD又∵DN，∴△AND∽△EAD，∴ADDNDE，BD，∴ADDEBD．总结：考查斜“A”和斜“8”常见结论，看到比例乘积想到斜A”和斜“8”，也要会找巩固在等边△ABC中，点D为AC上一点，连结BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E、P、F，且BPF如图8-1，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明若直线l向右平移到图8-2、图8-3的位置时（其它条件不变）1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由探究：如图8-1，当BD满足什么条件时（其它条件不变）PFPE？请写出探究结果，并说明理由．说明：结论中不得含有未标识的字母）CBCB图28-图图图33图83-322图△△△△△△1BPF∽EBFBPF∽BCDBPF∽EBF解析：（）与，以为例，证明如下：BPFEBF，BFPBFE，∴△BPF∽△EBF．均成立，均为△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD．BD平分ABC时，PFPE．证明：∵BD平分ABC，ABPPBFBPFBFPPFPB，又BEFABP，∴BPEP，∴PFPE．题型八射影定理例题8如图，已知AD、CF是△ABC的两条高，EFAC与E，交CB延长线于G，AD于H，求证：EFEHEG．又由ADBC可知，AEHCEGEAHEGC，∴△AEH∽△GEC，∴EHEAEC，EG，∴EHEGEAEC，∴EFEHEG解析：∵CFAB，EFAC，∴EFAECE巩固9：（1）如图9-1，在△ABC中，CDAB于D，证：△CEF∽△CBA．DEAC于E，DFBC于F．2）如图9-2，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，DEAC于E，DFAB于F，证：ABFBFDACECED图9-222解析：（1）分别在△ADC与△CDB中由射影定理得到：CDCECA，CDCFCB，于是仅需证明ABACFDED，由于△BDA∽△ADC，DF、DE分别是AB与AC上的高，所以有ABDFACDE，得证．CECACFCB，即CECBCFECFCA，∵由射影定理可以依次得2）到AB4AC4BCA，∴△ECF∽△BCABFABBDBC22DC2BC2ECAC，，题型九三垂直模型求证：△AMF∽△BGM．连接FG，如果α45，AB的长．AF3，求FG解析：（1）由题意得，DMEABAMFBMG180AMFAFM180BMGAFM例题9如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，交AC于F，ME交BC于G．DMEABα，且DM2E又AB，∴△AMF∽△BGM．∵△AMF∽△BGM，∴AMAFBGBM∵M为AB的中点，∴∴AMBM1AB∵AB42，AF3，∴∴BG833，45，∴ACB90，ACBC4，∴CFACAF1，CGBCBG43∴FGCF2CG253巩固（1）如图10-1，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为2）如图10-2，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1,3），将矩形沿对角线AC翻折，使得B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，图10-1图10-2则D点坐标为解析：（1）△ABE∽△ECF∽△FDG，ABAE2，DFBE∴AB2DF，∴AB2CF，1ABAEBE，FDFGECEFCF∴ABCE，BECF，∴CE2CF，又∵EF4，∴CE45，∴BC125，AB85，555∴矩形ABCD的周长为85．2）过D点做DFx轴于F点，BC与FD的延长线交于G点则△∽△CGGDCD1，CGD，∴∴AFAD3DFADFx，则DF3x，AF1x，GD，列得方3GD程：1x333x44124，故CG，DF，设CG33x，由于AF解得x求得412D点坐标为，．55巩固11：如图11-1，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，BACEDF90，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转到如图11-2，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与线段CA的延长线相交于点Q．求证：△BPE∽△CEQ．已知BPa，CQ92a，求P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）图11-1解析：（1）∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，BCDEF45，BEPCEQ135，CQECEQ135，∴BEPCQE，又∵BC（2）连接PQ，45，∴△△．BPE∽CEQ∵△∽FBPBEBPE△CEQ，∴CE∴，CQ，∵BPa，CQ9a，BECE，∴2BECE32a2F∴BC32a，∴ABAC3a，∴AQ22在Rt△APQ中，PQAQAP5a．23a，PA2题型十三平行模型例题10已知：如图，在梯形ABCD中，AB//CD，M是AB的中点，分别连接AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于点E，DB与MC交于F．（1）求证：EF//CD；（2）若ABa，CDb，求EF的长．解析：（1）AB∥CD，∵∴MEEDAMMFCD，FCBM，，CD，∵AMBM，∴AMBMCDCD（中间过渡量），ME∴，∴（2）∵巩固121：AM∥EF∥CD，ED∴∴1EF11AMCDEF，如图所示，在△ABC11中A，BAC，BAC120，ADMFCFEF∥CDaba2b平分BAC交BC于点D．求证：ADE解分别过B、C两点做AD的平行线，分别CA、BA的延长线于F两析：交E、点．由于EB//AD//FC111有ADBEFC；由于EBABAD60，EAB180BAC60所以△EAB为正三角形，同理△FAC亦为正三角形．AC11∴AB，FCAC11BE．故ADAB题型角平分线定ABC例题十11在△理中，B的平分线交AC于D，C的平分线交AB于E，且BECD．求证：ABAC．解析：由角平分线定理得到ABBCBEBCADDC，AEACACBCAEBE，∵BECD，ADAB即ADAB∴AEDCBC∴ADACCD，AEABBEAC，∴AC(ACCD)AB(ABCD)，整理得到(ACAB)(ACABCD)0明显ACABCD0，故ACAB．巩固13：（1）如图13-1，在△ABC中，C，CA，CB，且CD是C的平分线．则AD的长为．（2）如图13-2，I是△ABC内角平分线的交点，AI交对应边于D点，求证：ABACAIIDBCA图13-1解析：（1）由角平分线定AD2AC3223BDC图13-2152，∴理DBBC4，由于ABACCB5AD7AB7由角平分线定理得AIABIDBDAC，由等比性质得AIABACABACIDBDCDBC到CD，到：巩固14：若APPB，APB2ACB，AC与PB相交于点D，且PB4，PD3．求ADDC的值．C解析：过P点做APB的角平分线PE，交AD于E点．∵EPDAPEC，且PDEPAAECDB，∴△PDE∽△CDB，∴EDDC4PDDB3，7又由于PE是角平分线，∴∴PAAE，∵PAPB4，∴AEED，∴ADED，∴ADDC37EDDC7PDED33，题型十二线束模型例题12如图，M、N为△ABC边BC上的两点，且满足BMMNNC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F．求证：EF3DE．法一：如下左图，过D作交AC于G，交AM、AN于DG∥BC由线束定理可知DPPQQG，∵DF∥AC，∴DEDPP、Q，DFDQAGPGAGQG，∴DEEFDE．过E点或F点作BC的平行线也可得到类似的证法．DF交AF延长线于Q，则有AC∥DF∥PQPM∴ACBMBC，∴QMMNACNC，PMQM由线束定理可知DE∴EFPMQM即EFDE过B点或N点作DF的平行线也可得到类似的证法．C法二：如下右图，过M作PQ∥DF，交AB于P，巩固（1）如图15-1，AB∥CD，AD与BC交于点P，过P点的直线与AB、CD分别交AEDF于E，F．求证：BECF如图15-2，AB∥CD，AD与BC交于点P，连接CA、DB并延长相交于O，连接OP并延长交CD于M，求证：点M为CD的中点．如图15-3，在图15-2中，若点G从D点向左移动（不与C点重合），AG与BC交于点P，连OP并延长交CD于M，直接写出MC、MG、MD之间的关系式．图15-1图15-2图15-3解析：（1）证明：如图1，∵AB//CD，AD与BC交于点P，∴△AEP∽△DFP，△BFP∽△CFP，,AEEPBEEPAEBEAEDF∴，∴，∴；,（2）证明：如图2，设OM交AB于点N．DFFPCFFP，∴DFCF，∴BECF；∵AB//CD，∴△AON∽△COM，△BON∽△DOM，△AOB∽△COD，OAAN∴OCCMOBODBNOAOBAN，，，∴DMOCOD，∴CMBN①DM∵△ANP∽△DMP，ANDM△BNP∽△CMP，△APB∽△APDNCMDPC，BP，APDPBP∴，，∴DPCPANDMBNCM②，CP，①÷②，DMCMCM∴即点M为CD的中点；CM=DM，DM，解：MC2=MG?MD，理由如下：如图3，设OM交AB于点N．∵AB//CD，∴△MCP∽△NBP，△NAP∽△MGP，∴MCMP①，NANP①×②，得MNCBMNGAMPNP，∴MCNPMP，∴MGNBNPMGMP②NBNA，∵△AON∽△COM，△BON∽△DOM，∴NAONNBONMCO，MMDOMNANBMD，∴，∴NBMCMDMCNAMGMC，∴MCMD，∴∴MCMGMD．题型十三相似综合例题13如图，点A的坐标为（2,2），点C是线段OA上的一个动点（不与O、A两点重合），过点C作CDx轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF．若以B、E、F为顶点的三角形与△OFE相似，则点B的坐标是．解析：要使△BEF与△OFE相似，∵FEOFEBOEEFOEEF∴只要或，即BEEBEFEFEBt或EBt②当BEt时，BOt，∴Btt，∴t（舍去）或t，（,）．∴t②当EBt时，当B在E的左侧时，OBOEEBt，t，∴t（舍去）或t，∴B（,）．当B在E的右侧时，OBOEEBt，t舍去）或t，∴B（,）．巩固16：如图，Rt△ABC中，ACB，CDAB于D，过点D作DEBC，△BDE边DE上的中线BF延长线交AC于点G．1）求证：ADBDCECB；（2）若AGFG，求BF:GF；3）在（2）的条件下，若BC，求BD的长度．解析：（1）证明：∵CDAB，∴△BCD是直角三角形．∵DEBC，∴CD∵△ABC是直角三角形，CDAB，∴CDADBD，∴ADBDCECB；2）解：过G作GPDF交DF于P，连结DG，∵ACBC，DEBC，GFDE，∴四边形CEPG是矩形，∴CGEP在Rt△ADC中，∵G是边AC中点，∴AGDGCG．又∵AGFG，∴DGFG，∴△GFD是等腰三角形．CECB∴GP是FD的中线，DPFP，即FP∵CGEP，FP1EF，∴PF:CG2DF=EF．122，∴PF:FG∵△PFG∽△EFB∽△CGB，∴CG:BGEF:BF∴FG:BG:，BF:GFPF:GF解：∵BC，CE:BEGF:BF∴CE，BE∵EF:BF:，设EFx，则BF∴x()x，解得x，∴BFGF，AC，x，∴ABACBCBD