1988年全国初中数学联赛试题

太原学而思初二数学团队，优秀学生的摇篮1988第五届全国初中数学联赛第一试一、选择题1．下面四个数中最大的是（）A．tan48cot48B．sin48cos48C．tan48cos48D．cot48sin481988(a2)(|a|1)(a2)(1|a|)51a2．在实数范围内，设x11a11a则x的个位数字是（）A．1B．2C．4D．6AD3．如图1，在直角梯形ABCD中，AB7，AD2，BC3，如果这AB上P的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有A．1个B．2个C．3个D．4个BC4．下面有四个命题：图1⑴一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形，⑵一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形，⑶一组对角相等且一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形，⑷一组对角相等且一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．其中，正确的命题的个数是A．1B．2C．3D．4二、填空题p1．如果质数p，q满足关系式3pq531，那么log的值是________．231q2．如图2，△ABC的边AB2，AC3，1，2，3分别表示以AB，BC，CA为边的正方形，则图中三个阴影部分面积的和的最大值是_________．21B3．如果自然数x1，x2，x3，x4，x5，满足x1x2x3x4x5x1x2x3x4x5，CA那么x5的最大值是_______．4．如图3，A，B，C，D四点在同一圆周上，且BCCD4，AE6，3线段BE和DE的长都是正整数，则BD的长等于_________．图2第二试一、一串数1，4，7，10，…，697，700的规律是：第一个数是1，以后的每一个A数等于它前面的一个数加3，直到700为止，将所有这些数相乘，试求所得数的尾部零的个数（例如12003000尾部零的个数是3）．21p21qE二、如果p，q，，都是整数，并且p1，q1，试求pq的值．BDqpC图3欢迎加入太原初中数学联赛群：129528472，一起学习数学太原学而思初二数学团队，优秀学生的摇篮三、如图4，△PQR和△PQR是两个全等的等边三角形，六边形ABCDEF的边长分别记为：ABa1，BCb1，CDa2，DEb2，EFa3，FAb3．222222P求证：a1a2a3b1b2b3．BAR'P'a1b1b3CFa2a3b2QRDEQ'1988第五届全国初中数学联赛答案第一试一、选择题1．A【解析】∵0cos481，0sin481，sin48cos48sin48cos48tan48cot48，cos48sin48cos48tan48cos48tan48tan48cot48，sin48sin48cot48sin48cot48cot48tan48，cos48所以最大的是tan48cot48．故选A【点评】这道题考的是三角函数的基本概念，并且需要知道三角函数在090度时的取值范围，对于给出的48度，我们只要与45度角的三角函数数值比较即可．2．D【解析】要使两个根式都有意义，必须(aa2)(||1)≥0，且(aa2)(1||)≥0，但(a2)(1|a|)(a2)(|a|1)，所以只能是(aa2)(||1)0，解得a12，a21，a31．1若a2，则10，11a若a21，则10a，均使分母为零．因而仅有a31适用．19885(1)119884497497此时x(2)216．1(1)所以x的个位数字是6．故选D．【点评】题目的式子很复杂，但往往复杂的算式会有一个突破口，本题的突破口就是根据根式有意义得出a的可能值，但是要注意的是对于分式我们一定要对求出的可能值进行检验，防止出现欢迎加入太原初中数学联赛群：129528472，一起学习数学太原学而思初二数学团队，优秀学生的摇篮分母为零的情况．3．C【解析】如图1，设APx，则PB7x，x2⑴如果△PAD∽△PBC，则，AD73x14∴x7，符合条件．P5x2⑵如果△PAD∽△CBP，则，BC37x图1∴x11，x26也都符合条件．所以满足条件的点p有3个．故选C．4．A【解析】对于⑴、⑵、⑷可分别给出反例，例如：⑴如图2中四边形ABCD，其中△ABD≌△CDE．⑵如图3，作等腰△ADE，延长底边ED至任意点O，以O为对角线的交点可作出平行四边形ABCE，而此时的四边形ABCD满足条件ADAEBC，且AOCO，但不是平行四边形．⑷如图3中的四边形ABCD，其中B，D是AC的垂直平分线上的任意两点．以下 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 命题⑶是正确的．如图4，已知BADDCB，且OBOD．以O为中心，将△ABD逆时针旋转180度，由于OBOD，所以D与B重合，B与D重合，点A与射线OC上的某点A重合．如果A不是C，则BADBCD（A在线段OC内部）或BADBCD（A在OC的延长线上），都与BADBADBCD矛盾！从而A即是C．即OAOAOC，所以四边形ABCD是平行四边形．综上，仅有命题⑶正确．故选A．【点评】题目的解法比较明显，根据相似的条件列出方程再求解即可．但在列方程的时候要注意相似有两种情况，要分情况求解，最后要注意验算，看得出的结果是否满足题意．二、填空题1．3或0【解析】由条件知，3p和5q中必有一个是偶数，而另一个是奇数，若3p是偶数，则只有p2，从而q5，这时p21logloglog323q1235128若5q是偶数，则只有q2，从而p7，这时p7logloglog10．23q123212p所以log的值是3或0．231q【点评】这道题的关键是要解出p，q的值，这其中要利用奇偶性来判断，并且要用到2是惟一的偶质数，这点在竞赛中经常会成为一道题目的突破口，我们要加以注意．2．91【解析】利用公式SabsinC和sin(180)sin，易知，三个阴影三角形的面积都分别等于2欢迎加入太原初中数学联赛群：129528472，一起学习数学太原学而思初二数学团队，优秀学生的摇篮1△ABC的面积，如图5，因此三个阴影部分与面积的和33sinBAC9sinBAC≤9．2当BAC90时，等号成立．所以三个阴影部分面积的和的最大值是9．正弦定理、三角形面积公式，正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆abc的直径，即：2R．sinABCsinsin111面积公式：SbcsinAabsinCacsinB．21△222B正弦定理的变形及应用，CA变形：⑴a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，3⑵sinA:sinB:sinCa:b:c，abc⑶sinA，sinB，sinC．2R2R2R图5应用：⑴利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况．⑵正弦定理，可以用来判断三角形的形状．其主要功能是实现三角形中边角关系转化．例如：在判断三角形形状时，经常把a，b，c，分别用2RAsin，2RBsin，2RCsin来代替．【点评】这道题其实并不难，但需要大家对三角形的面积公式很熟悉，并且能够灵活运用三角函数的公式，这里面有些知识是高中的，同学们需要了解一下．3．5【解析】由条件等式的对称性，不妨设x1≤c2≤x3≤x4≤x5，11111由1xxxx2345xxxx1345xxxx1245xxxx1235xxxx123411111≤x4x5x4x5x4x5x5x43xx45，xx45得x4x5≤3x4x5．∴(xx451)(1)≤4．若x41，则x1x2x3x41这时，题设等式成为4xx55，矛盾！若x41，则x514≤，即x5≤5．若x55时，容易找到满足条件的解组：（1，1，1，2，5），所以，最大值是5．【点评】给出一个一般的结论，满足等式x1x2xnnx1x2x的自然数xi(i1，2，，n)至少有一组：1，1，，1，2，n．(n2)个利用它我们不难解答下面的问题：试写出方程x1x2x1987x1x2x1987的在自然数集中的一组解．答案xxx1，x2，x1987．12198519861987A4．7EBD欢迎加入太原初中数学联赛群：129528472，一起学习数学C图6太原学而思初二数学团队，优秀学生的摇篮【解析】如图6，设ECx，BEy，EDz．由△DCE∽△ACD，CDEC得，CADC4x即，64x解得x22（x8不合题意），又由AEECBEED，得yz6212，但在△BCD中，又可得yz448，从而，只能求出正整数解组y3y4或，z4z3此时，都有BDyz7．【点评】这道题考的主要是圆的性质，这其中用到了相交弦定理、圆周角定理等，这样的圆内接四边形的图形是我们经常遇到的，我们要很熟悉这个图形中哪些三角形相似以及它们边之间的比例关系．第二试一、【解析】首先，求出积中含有因数5的个数．数组中：10，25，40，35，…，700均含有因数5．这一组数共有(70010)15147个，如果每一个数各计一个5，共47个5，但是，其中：25，100，175，…，700还有含有第二个因数5，这些数共计有(70025)751100因此，就该再添上10个5．类似地，250，625还会有第三个因数5，625还会有第四个因数5．这样，积中因数5的个数为47102160个至于积中因数2的个数显然多于60个，所以，积的尾部共有60个零．【点评】这种求尾数零的个数的问题相信大家不会陌生，这主要就是求含因数5的个数，在数的时候要注意不要漏算．二、【解析】解法1：首先有pq．事实上，若pq，则2pp121121p2，因为p1，不是整数，与题设矛盾．qppq21q由对称性，不妨设pq，且令m，则m为正整数．p∵mp2q12p12p，∴m1．这样pq21，2pq1433据此，4，qqq21p但也是正整数，且q1，q∴q3，欢迎加入太原初中数学联赛群：129528472，一起学习数学太原学而思初二数学团队，优秀学生的摇篮于是pq215，∴pq8．解法2：由解1知pq，不妨设pq，21p令m，①q21qn．②p则m，n都是正整数，且易知mn．np1由②，q，③2将③代入①，得np121pmqm，2∴(4mn)pm2，∴4mn是正整数．即mn1，mn2或mn3，再注意到mn，因而仅有m2，n3或，n1n1当m2，n1时，由①、②解得3p2，q，不合题意．2当m3，n1时，由①、②解得p5，q3．∴pq8．【点评】这是一道综合性很强的题目，需要用到不定方程的解法，以及整除的性质等．题目的困难之21p21q处在于不知道具体和等于多少，为此我们多设一个未知数来求解，这样的方法qp以后也会经常用到，尤其是当多项式是整数时．三、【解析】证明：首先容易证明△PAB∽△QCB∽△QCD∽△RED∽△REF∽△PAF，依次记上述六个三角形的面积为S1，S1，S2，S2，S3，S3．易知SSSSSS123123，bS2bS2bS2由11，22，33，222aS11aS11aS11b222bbSSS得1231232aS11aS2即11，222b1b2b3S1S2S3aS2同理22，222b1b2b3S1S2S3aS233，222b1b2b3S1S2S3a222aaSSS∴123123，2221b1b2b3S1S2S3222222∴a1a2a3b1b2b3欢迎加入太原初中数学联赛群：129528472，一起学习数学太原学而思初二数学团队，优秀学生的摇篮【点评】这道题乍一看条件很多，要证明的关系也比较麻烦，但我们发现要证的关系式是边长的平方，所以我们可以利用三角形相似的关系和面积法来证明．欢迎加入太原初中数学联赛群：129528472，一起学习数学