第6章－工程结构非线性分析杆系结构的非线性分析

1 第6章 1 第6章 杆系结构的非线性 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 第6章 2 6.1 概述 一.杆系结构非线性分析的关键问题 ¾非线性单元刚度矩阵的形成； ¾非线性方程组的求解； ¾结构破坏准则的确定。 第6章 3 二.杆元非线性单元刚度矩阵的形成 1. 描述杆元物理非线性特征的数学模型 ¾集中塑性铰模拟 z Giberson 单分量模型； z Clough 双分量模型； z Aoyama 三分量模型。 ¾分布塑性区模型 z分段变刚度模型； z连续变刚度模型； 第6章 4 2. 集中塑性铰模型 ¾ Giberson 单分量模型 z 假定材料塑性仅在杆端出现，采用杆端无长度的塑 性铰来刻划杆元的塑性。杆端屈服前为线弹性杆， 屈服后为梁端带塑性铰的杆单元。 M ϕ uϕyϕ yM o 杆端铰 杆端铰 线弹性部分 zM.F.Giberson. Two Nonlinear Beams with Definition of Ductility. ASCE, ST2, 1969. 2 第6章 5 ¾ Clough 双分量模型 z 将实际的弹塑性杆视为1根线弹性杆和1根理想 弹塑性杆的叠加。 z 同样假定材料塑性仅在弹塑性杆的杆端出现， 采用杆端无长度的塑性铰来刻划杆元的塑性。 z R.W.Clough, Inelastic Earthquake Response of Tall Building , 3WCEE, 1965 第6章 6 杆端铰 杆端铰 线弹性杆 理想弹塑性杆 非线性杆 1 2, , 1k pk k qk p q= = + = M ϕ uϕyϕ yqM o 2k M ϕ uϕyϕ yM uM o k 1k M ϕ o 1kypM ＝ ＋ 第6章 7 ¾ Aoyama 三分量模型 z 将实际的弹塑性杆视为1根线弹性杆和2根理想 弹塑性杆的叠加。 z 同样假定材料塑性仅在弹塑性杆的杆端出现， 采用杆端无长度的塑性铰来刻划杆元的塑性。 z Aoyama H. , Analysis of the Behavior of R.C structure during strong Earthquake on the Empirical Estimation of inelastic Restoring Force characteristics of Members, 5WCEE, 1973 第6章 8 非线性杆 1 2 3 2 3 4;k k k k k k k= + + + = M ϕ uϕyϕ o 4k ＝ ＋ M ϕ uϕyϕ yM uM o cϕ cM 2k M ϕ o ＋2 k 1k k M ϕ uϕyϕ o 3k 杆端铰 杆端铰 线弹性杆 理想弹塑性杆 3 第6章 9 ¾ 杆元刚度矩阵的形成 z 线弹性杆和弹塑性杆在塑性铰出现之前的刚度 即为常规的线弹性单刚； z 弹塑性杆在杆端出现塑性铰后相应杆端即成铰 接，相应该杆端的抗弯刚度取0。 第6章 10 3 2 3 2 2 2 0 3 2 3 2 2 0 0 0 0 0 12 6 0 12 6 0 6 4 0 6 2 [ ] 0 0 0 0 0 12 6 0 12 6 0 2 2 0 6 4 EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l K EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥−⎣ ⎦ i i i j j ju v u vθ θ i i i j j j N V M N V M 第6章 11 3 3 2 0 3 3 2 2 0 0 0 0 12 0 12 6 [ ] 0 0 0 0 12 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 2 0 6 0 40 EA l EA l EI l EI l EI l K EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥−⎣ ⎦ i i i j j ju v u vθ θ i i i j j j N V M N V M z当 i 端出现塑性铰时，相应弹塑性杆的刚度矩阵 第6章 12 3 2 3 2 2 0 3 2 3 0 0 0 0 0 0 12 6 0 12 0 6 4 0 6 [ ] 0 0 0 0 12 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0 EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l K EA l EA l EI l EI l EI l −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦ i i i j j ju v u vθ θ i i i j j j N V M N V M z当 j 端出现塑性铰时，相应弹塑性杆的刚度矩阵 4 第6章 13 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ ] - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E A l E A l K E A l E A l ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ i i i j j ju v u vθ θ i i i j j j N V M N V M z当i、 j 两端出现塑性铰时，相应弹塑性杆的刚度矩阵 第6章 14 2. 分布塑性区模型 ¾ 分段变刚度模型 z 随杆内力的变化，杆元刚度大小即分布随之变化。 M ϕ uϕyϕ yM uM o cϕ cM 0 y cr c u y u y u u y y cr r c cr y y c c r r M M EI EI MEI M M EI EI EI M M M M M M M M ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ −= = < = = ≤ −= = <− ≤ ≤ − ≤ 第6章 15 EIu EIc EIcEIy EIy EIy EIc EIc EIc M 第6章 16 ¾ 连续变刚度模型 z 随杆内力的变化，杆元刚度大小即分布随之变化。 ϕ M O M ( ) dMEI M dϕ= 5 第6章 17 M EI(M) 第6章 18 6.2 一般 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 形成单元刚度矩阵 －T.L列式 一.分析思路 ¾将各构件沿轴向分成多段，每段作为一个单元 ； ¾当单元长度划分得较小时，每一单元视为等刚度 单元，但每一加载时刻其刚度在变化； ¾杆元每一加载时刻的截面刚度由相应此时刻的弯 矩－曲率－轴力关系确定； ¾单元刚度矩阵的推导方法同几何非线性分析部 分，仅注意截面的刚度不同。 第6章 19 二.基本假定 ¾平截面假定成立； ¾钢筋和混凝土完全粘结，两者间无滑移现象； ¾忽略截面剪切变形的影响； ¾每一单元视为等刚度单元。 第6章 20 三. 单元刚度矩阵的推导 1.截面的切线刚度矩阵 0 0[ ] (1)A s T s I E E d ddN D dM E E d d ε ε ϕ ϕ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫ = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ 6 第6章 21 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 c s c s c s c s N N A ci ci sk sk i k N N s i ci ci k sk sk i k N N s i ci ci k sk sk i k N N I i ci ci k sk sk i k E G A G A E y G A y G A E y G A y G A E y G A y G A = = = = = = = = • = ⋅Δ + ⋅ Δ = ⋅Δ + ⋅ Δ = ⋅Δ + ⋅ Δ = ⋅Δ + ⋅ Δ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 式中： 第6章 22 2. 单元位移函数 0 1 2 3 0 1 2 3 (2) u a a x v b b x b x b x = +⎧⎪⎨ = + + +⎪⎩ 第6章 23 1 4 2 3 5 6 0 0 0 0 [ ]{ } { } (3) 0 0 N Nu N N N N N δ δν ⎡ ⎤⎧ ⎫ = =⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦ T 1 1 1 2 2 2{ } { }u v u vδ θ θ= ¾ 根据单元的边界条件可得： 第6章 24 2 3 2 3 1 2 32 3 2 2 3 2 3 4 5 62 3 2 3 2 21 ; 1 ; 3 2; ; x x x x xN N N x l l l l l x x x x xN N N l l l l l = − = − + = − + = = − = − + 7 第6章 25 3. 单元的几何方程 2 0 2 2 1 ( ) 2 (4) du dv dx dx d v dx ε ϕ ⎧ = +⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩ 第6章 26 o 2 2 0 1 ( ) ( ) 2 0 d u dv x dv xdx v dx dxd dx ε ϕ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫= +⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎢ ⎥⎣ ⎦ { } [ ]{ }o 21 ( ) (5) 2 A C F ε δ δφ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤= +⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭ 第6章 27 [ ][A] 1 0 0 1 0 0l l= − 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 6 6 4 3 6 6 2 3[ ] 0 ( ) (1 ) 0 ( ) ( )x x x x x x x xC l l l l l l l l ⎡ ⎤= − + − + − − +⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 3 2 2 3 2 6 12 4 6 6 12 2 6[ ] 0 ( ) 0 ( ) ( )x x x xF l l l l l l l l ⎡ ⎤= − + − + − − +⎢ ⎥⎣ ⎦( ) 第6章 28 4. 单元的增量几何方程 { } { } [ ]{ }[ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] { } o l nl l nl( ) (6) A d d d C C d F B d B d B B d B d εε δ δ δφ δ δ δ δ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤= = +⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭ = + = + ⋅ = ⋅ 8 第6章 29 [ ] [ ] l 1 2 3 4 nl 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A a a B F b c b d eC eC eC eC B −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ 第6章 30 2 3 2 2 1 1 2 1 3 2 4 2 2 2 1 22 3 2 2 2 3 42 3 2 1 6 12 4 6 2 6; ; ; 6 6 4 3; 1 6 6 2 3; x x xa b c d l l l l l l l e C v C C v C x x x xC C l l l l x x x xC C l l l l θ θ = − = − + = − + = − + = + + + = − + = − + = − = − + 第6章 31 [ ] [ ] [ ] [ ] { }oT T l nl( ) (7)ddN D D B B ddM d ε δφ ⎧ ⎫⎧ ⎫ = = + ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭ 5. 单元的增量物理方程 第6章 32 6. 求单元的总势能 ∏ { } { } { } { } { } { } { } { } { } [ ] 1 ( [ 1 ( [ ] [ ][ ] ) 2 ] [ ][ ] ) 2 T T T T T T T v T v U U B D B dV W W P P U W B P D B D dVδ δ δ δ δ δ Π = − Π = − = = − − − ∫ ∫ 杆元的变形能， ； －外力虚功， ； 杆元杆端力列向量； 截面的切线刚度矩阵（材料的物理矩阵）。 9 第6章 33 7. 根据势能驻值原理求单元刚度矩阵[k] { } { } l s nl 0 [ ] [K] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]T v k P B D B dV K K K δ δ Π = = = + +∫ 由势能驻值原理知： 则 ： ＝ 有 第6章 34 [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] T l l T ll T s V T T T nl nl T nl l T nl nl T ll [ ] [ ] [ ] ( ) K B D B dl K C C dV K B D B B D B B D B dl σ = = = + + ∫ ∫ ∫ 第6章 35 S SA A I I I I 3 2 3 2 S SI I I I 2 2 l I I I I 3 2 3 2 S SI I I I 2 2 0 0 12 6 12 60 0 6 4 6 2 [ ] 0 0 12 6 12 60 0 6 2 6 4 S SA A E EE E l l l l E E E E l l l l E EE E E E l l l l l lK E EE E l l l l E E E E l l l l E EE E E E l l l l l l ⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦ 第6章 36 s 0 0 0 0 0 0 0 6 5 1 10 0 6 5 1 10 0 1 10 2 15 0 1 10 30 [ ] 0 0 0 0 0 0 0 6 5 1 10 0 6 5 1 10 0 1 10 30 0 1 10 2 15 N l l l l K N l l l l t ⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −= ⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥− −⎣ ⎦ 式中： 为时刻的轴力，受拉为正、受压为负。 10 第6章 37 [ ]nl 0 0 0 a b a c d e a d f g b e h K a c d f i −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ 对 称 第6章 38 A 1 2 1 2 2 A 1 2 2 1 A 1 2 1 2 2 2 2 S 1 2 A 1 2 2 1 23 2 3 1 2 1 1 2 2 [12 12 ( )] 10 [ 3 3 ( 4 )] 30 [ 3 3 ( 4 )] 30 1 {3[14 ( )] [( ) 6 ( ) 35 24 24 6 ( ( ) 8 )]} E v v la l E v v lb l E v v lc l d E l E l v l l v v v l v θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − + += − − + + −= − + + −= = − + + − + + + + + − 第6章 39 2 2 2 2 2 A 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 22 S 1 2 1 2 2 2 2 2 2 S 1 2 1 2 A 1 2 1 22 1 2 1 2 A 1 1 2 2 1 2 1 ( (( 2 ) 24 36 36 24 ( 3 )) 140 28 (3 3 ( 2 ))) 1 (28 (3 3 2 ) (36( ) 140 2 (12 12 ) )) 1 ( (6 ( ) 6 ( ) 420 e E l v l v v v l v l E v v l f E v v l l E v v l l l l v v l h E v v θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ = − + + − + + + − − − + + = − + + + − + − + − + = + − + 2 21 2 1 2 S 1 2( 3 4 3 )) 14 ( ))l Eθ θ θ θ θ θ+ − + − − − 第6章 40 2 2 2 2 2 A 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 S 1 2 1 2 1 ( (( 3 12 ) 3 ( ) 18 18 3 (12 210 ( ))) 14 (6 6 ( 10 ))) i E l v l v v v v l l E v v l θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ = − + + − + + − + − − − + − 11 第6章 41 6.3 一般方法形成单元刚度矩阵 －U.L列式 l s[K] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] T v B D B dV K K= +∫ ＝ [ ] [ ] [ ] vo NB B B= + 第6章 42 S SA A I I I I 3 2 3 2 S SI I I I 2 2 l I I I I 3 2 3 2 S SI I I I 2 2 0 0 12 6 12 60 0 6 4 6 2 [ ] 0 0 12 6 12 60 0 6 2 6 4 S SA A E EE E l l l l E E E E l l l l E EE E E E l l l l l lK E EE E l l l l E E E E l l l l E EE E E E l l l l l l ⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦ 第6章 43 s 0 0 0 0 0 0 0 6 5 1 10 0 6 5 1 10 0 1 10 2 15 0 1 10 30 [ ] 0 0 0 0 0 0 0 6 5 1 10 0 6 5 1 10 0 1 10 30 0 1 10 2 15 N l l l l K N l l l l t ⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −= ⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥− −⎣ ⎦ 式中： 为时刻的轴力，受拉为正、受压为负。