工程数学-线性代数第五版答案

线性代数重点 第一章 行列式 8( 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)( (1) , 其中对角线上元素都是a( 未写出的元素都是0( 解 (按第n行展开) (an(an(2(an(2(a2(1)( (2) ; 解 将第一行乘((1)分别加到其余各行( 得 ( 再将各列都加到第一列上( 得 ([x((n(1)a](x(a)n(1( (3) ; 解 根据第6题结果( 有 此行列式为范德蒙德行列式( ( (4) ; 解 (按第1行展开) ( 再按最后一行展开得递推公式 D2n(andnD2n(2(bncnD2n(2( 即D2n((andn(bncn)D2n(2( 于是 ( 而 ( 所以 ( (5) D(det(aij)( 其中aij(|i(j|; 解 aij(|i(j|( (((1)n(1(n(1)2n(2( (6) , 其中a1a2 ( ( ( an(0( 解 ( 第二章　矩阵及其运算 14． 设A为3阶矩阵( ( 求|(2A)(1(5A*|( 解 因为 ( 所以 EMBED Equation.3 (|(2A(1|(((2)3|A(1|((8|A|(1((8(2((16( 15( 设 ( AB(A(2B( 求B( 解 由AB(A(2E可得(A(2E)B(A( 故 EMBED Equation.3 ( 16( 设 ( 且AB(E(A2(B( 求B( 解 由AB(E(A2(B得 (A(E)B(A2(E( 即 (A(E)B((A(E)(A(E)( 因为 ( 所以(A(E)可逆( 从而 ( 17( 设A(diag(1( (2( 1)( A*BA(2BA(8E( 求B( 解 由A*BA(2BA(8E得 (A*(2E)BA((8E( B((8(A*(2E)(1A(1 ((8[A(A*(2E)](1 ((8(AA*(2A)(1 ((8(|A|E(2A)(1 ((8((2E(2A)(1 (4(E(A)(1 (4[diag(2( (1( 2)](1 (2diag(1( (2( 1)( 18( 已知矩阵A的伴随阵 ( 且ABA(1(BA(1(3E( 求B( 解 由|A*|(|A|3(8( 得|A|(2( 由ABA(1(BA(1(3E得 AB(B(3A( B(3(A(E)(1A(3[A(E(A(1)](1A ( 第三章　矩阵的初等变换与线性方程组 例10 求解齐次线性方程组(略) 12( 设 ( 问k为何值( 可使 (1)R(A)(1( (2)R(A)(2( (3)R(A)(3( 解 EMBED Equation.3 ( (1)当k(1时( R(A)(1( (2)当k((2且k(1时( R(A)(2( (3)当k(1且k((2时( R(A)(3( 第四章　向量组的线性相关性 例11. （略） 27(（以填空形式出现） 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3( 已知(1( (2( (3是它的三个解向量( 且 (1((2( 3( 4( 5)T( (2((3((1( 2( 3( 4)T( 求该方程组的通解( 解 由于方程组中未知数的个数是4( 系数矩阵的秩为3( 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量( 且由于(1( (2( (3均为方程组的解( 由非齐次线性方程组解的结构性质得 2(1(((2((3)(((1((2)(((1((3)( (3( 4( 5( 6)T 为其基础解系向量( 故此方程组的通解( x(k(3( 4( 5( 6)T((2( 3( 4( 5)T( (k(R)( 第五章待定 第五章 相似矩阵及二次型 1( 试用施密特法把下列向量组正交化( (1) ( 解 根据施密特正交化方法( ( ( ( (2) ( 解 根据施密特正交化方法( ( ( ( 2( 下列矩阵是不是正交阵: (1) ; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵( (2) ( 解 该方阵每一个行向量均是单位向量( 且两两正交( 故为正交阵( 3( 设x为n维列向量( xTx(1( 令H(E(2xxT( 证明H是对称的正交阵( 证明 因为 HT((E(2xxT)T(E(2(xxT)T(E(2(xxT)T (E(2(xT)TxT(E(2xxT( 所以H是对称矩阵( 因为 HTH(HH((E(2xxT)(E(2xxT) (E(2xxT(2xxT((2xxT)(2xxT) (E(4xxT(4x(xTx)xT (E(4xxT(4xxT (E( 所以H是正交矩阵( 4( 设A与B都是n阶正交阵( 证明AB也是正交阵( 证明 因为A( B是n阶正交阵( 故A(1(AT( B(1(BT( (AB)T(AB)(BTATAB(B(1A(1AB(E( 故AB也是正交阵( 5( 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1) ; 解 ( 故A的特征值为(((1(三重)( 对于特征值(((1( 由 ( 得方程(A(E)x(0的基础解系p1((1( 1( (1)T( 向量p1就是对应于特征值(((1的特征值向量. (2) ; 解 ( 故A的特征值为(1(0( (2((1( (3(9( 对于特征值(1(0( 由 ( 得方程Ax(0的基础解系p1(((1( (1( 1)T( 向量p1是对应于特征值(1(0的特征值向量. 对于特征值(2((1, 由 ( 得方程(A(E)x(0的基础解系p2(((1( 1( 0)T( 向量p2就是对应于特征值(2((1的特征值向量( 对于特征值(3(9( 由 ( 得方程(A(9E)x(0的基础解系p3((1/2( 1/2( 1)T( 向量p3就是对应于特征值(3(9的特征值向量( (3) . 解 ( 故A的特征值为(1((2((1( (3((4(1( 对于特征值(1((2((1( 由 ( 得方程(A(E)x(0的基础解系p1((1( 0( 0( (1)T( p2((0( 1( (1( 0)T( 向量p1和p2是对应于特征值(1((2((1的线性无关特征值向量( 对于特征值(3((4(1( 由 ( 得方程(A(E)x(0的基础解系p3((1( 0( 0( 1)T( p4((0( 1( 1( 0)T( 向量p3和p4是对应于特征值(3((4(1的线性无关特征值向量( 6( 设A为n阶矩阵( 证明AT与A的特征值相同( 证明 因为 |AT((E|(|(A((E)T|(|A((E|T(|A((E|( 所以AT与A的特征多项式相同( 从而AT与A的特征值相同( 7( 设n阶矩阵A、B满足R(A)(R(B)(n( 证明A与B有公共的特征值( 有公共的特征向量( 证明 设R(A)(r( R(B)(t( 则r(t(n( 若a1( a2( (((( an(r是齐次方程组Ax(0的基础解系( 显然它们是A的对应于特征值((0的线性无关的特征向量( 类似地( 设b1( b2( (((( bn(t是齐次方程组Bx(0的基础解系( 则它们是B的对应于特征值((0的线性无关的特征向量( 由于(n(r)((n(t)(n((n(r(t)(n( 故a1( a2( (((( an(r( b1( b2( (((( bn(t必线性相关( 于是有不全为0的数k1( k2( (((( kn(r( l1( l2( (((( ln(t( 使 k1a1(k2a2( ((( (kn(ran(r(l1b1(l2b2( ((( (ln(rbn(r(0( 记 ((k1a1(k2a2( ((( (kn(ran(r(((l1b1(l2b2( ((( (ln(rbn(r)( 则k1( k2( (((( kn(r不全为0( 否则l1( l2( (((( ln(t不全为0( 而 l1b1(l2b2( ((( (ln(rbn(r(0( 与b1( b2( (((( bn(t线性无关相矛盾( 因此( ((0( (是A的也是B的关于((0的特征向量( 所以A与B有公共的特征值( 有公共的特征向量( 8( 设A2(3A(2E(O( 证明A的特征值只能取1或2( 证明 设(是A的任意一个特征值( x是A的对应于(的特征向量( 则 (A2(3A(2E)x((2x(3(x(2x(((2(3((2)x(0( 因为x(0( 所以(2(3((2(0( 即(是方程(2(3((2(0的根( 也就是说((1或((2( 9( 设A为正交阵( 且|A|((1( 证明(((1是A的特征值( 证明 因为A为正交矩阵( 所以A的特征值为(1或1( 因为|A|等于所有特征值之积( 又|A|((1( 所以必有奇数个特征值为(1( 即(((1是A的特征值( 10( 设((0是m阶矩阵Am(nBn(m的特征值( 证明(也是n阶矩阵BA的特征值( 证明 设x是AB的对应于((0的特征向量( 则有 (AB)x((x( 于是 B(AB)x(B((x)( 或 BA(B x)(((Bx)( 从而(是BA的特征值( 且Bx是BA的对应于(的特征向量( 11( 已知3阶矩阵A的特征值为1( 2( 3( 求|A3(5A2(7A|( 解 令((()((3(5(2(7(( 则((1)(3( ((2)(2( ((3)(3是((A)的特征值( 故 |A3(5A2(7A|(|((A)|(((1)(((2)(((3)(3(2(3(18( 12( 已知3阶矩阵A的特征值为1( 2( (3( 求|A*(3A(2E|( 解 因为|A|(1(2(((3)((6(0( 所以A可逆( 故 A*(|A|A(1((6A(1( A*(3A(2E((6A(1(3A(2E( 令((()((6((1(3(2(2( 则((1)((1( ((2)(5( (((3)((5是((A)的特征值( 故 |A*(3A(2E|(|(6A(1(3A(2E|(|((A)| (((1)(((2)((((3)((1(5(((5)(25( 13( 设A、B都是n阶矩阵( 且A可逆( 证明AB与BA相 似( 证明 取P(A( 则 P(1ABP(A(1ABA(BA( 即AB与BA相似( 14( 设矩阵 可相似对角化( 求x( 解 由 ( 得A的特征值为(1(6( (2((3(1( 因为A可相似对角化( 所以对于(2((3(1( 齐次线性方程组(A(E)x(0有两个线性无关的解( 因此R(A(E)(1( 由 知当x(3时R(A(E)(1( 即x(3为所求( 15( 已知p((1( 1( (1)T是矩阵 的一个特征向量( (1)求参数a( b及特征向量p所对应的特征值( 解 设(是特征向量p所对应的特征值( 则 (A((E)p(0( 即 ( 解之得(((1( a((3( b(0( (2)问A能不能相似对角化？并 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 理由( 解 由 ( 得A的特征值为(1((2((3(1( 由 知R(A(E)(2( 所以齐次线性方程组(A(E)x(0的基础解系只有一个解向量( 因此A不能相似对角化( 16( 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵: (1) ; 解 将所给矩阵记为A( 由 ((1(()(((4)(((2)( 得矩阵A的特征值为(1((2( (2(1( (3(4( 对于(1((2( 解方程(A(2E)x(0( 即 ( 得特征向量(1( 2( 2)T ( 单位化得 ( 对于(2(1, 解方程(A(E)x(0( 即 ( 得特征向量(2( 1( (2)T ( 单位化得 ( 对于(3(4, 解方程(A(4E)x(0( 即 ( 得特征向量(2( (2( 1)T ( 单位化得 ( 于是有正交阵P((p1( p2( p3)( 使P(1AP(diag((2( 1( 4)( (2) ( 解 将所给矩阵记为A( 由 (((((1)2(((10)( 得矩阵A的特征值为(1((2(1( (3(10( 对于(1((2(1( 解方程(A(E)x(0( 即 ( 得线性无关特征向量((2( 1( 0)T和(2( 0( 1)T ( 将它们正交化、单位化得 ( ( 对于(3(10, 解方程(A(10E)x(0( 即 ( 得特征向量((1( (2( 2)T ( 单位化得 ( 于是有正交阵P((p1( p2( p3)( 使P(1AP(diag(1( 1( 10)( 17( 设矩阵 与 相似( 求x( y( 并求一个正交阵P( 使P(1AP((( 解 已知相似矩阵有相同的特征值( 显然((5( (((4( ((y是(的特征值( 故它们也是A的特征值( 因为(((4是A的特征值( 所以 ( 解之得x(4( 已知相似矩阵的行列式相同( 因为 ( ( 所以(20y((100( y(5( 对于((5( 解方程(A(5E)x(0( 得两个线性无关的特征向量(1( 0( (1)T( (1( (2( 0)T( 将它们正交化、单位化得 ( ( 对于(((4( 解方程(A(4E)x(0( 得特征向量(2( 1( 2)T( 单位化得 ( 于是有正交矩阵 ( 使P(1AP((( 18( 设3阶方阵A的特征值为(1(2( (2((2( (3(1( 对应的特征向量依次为p1((0( 1( 1)T( p2((1( 1( 1)T( p3((1( 1( 0)T( 求A. 解 令P((p1( p2( p3)( 则P(1AP(diag(2( (2( 1)((( A(P(P(1( 因为 ( 所以 ( 19( 设3阶对称阵A的特征值为(1(1( (2((1( (3(0( 对应(1、(2的特征向量依次为p1((1( 2( 2)T( p2((2( 1( (2)T( 求A( 解 设 ( 则Ap1(2p1( Ap2((2p2( 即 ( (((① ( (((② 再由特征值的性质( 有 x1(x4(x6((1((2((3(0( (((③ 由①②③解得 ( ( ( ( ( 令x6(0( 得 ( x2(0( ( ( ( 因此 ( 20( 设3阶对称矩阵A的特征值(1(6( (2(3( (3(3( 与特征值(1(6对应的特征向量为p1((1( 1( 1)T( 求A. 解 设 ( 因为(1(6对应的特征向量为p1((1( 1( 1)T( 所以有 ( 即 (((①( (2((3(3是A的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R(A(3E)(1( 利用①可推出 ( 因为R(A(3E)(1( 所以x2(x4(3(x5且x3(x5(x6(3( 解之得 x2(x3(x5(1( x1(x4(x6(4( 因此 ( 21( 设a((a1( a2( (((( an)T ( a1(0( A(aaT( (1)证明((0是A的n(1重特征值( 证明 设(是A的任意一个特征值( x是A的对应于(的特征向量( 则有 Ax((x( (2x(A2x(aaTaaTx(aTaAx((aTax( 于是可得(2((aTa( 从而((0或((aTa( 设(1( (2( ( ( (( (n是A的所有特征值( 因为A(aaT的主对角线性上的元素为a12( a22( ( ( (( an2( 所以 a12(a22( ( ( ( (an2(aTa((1((2( ( ( ( ((n( 这说明在(1( (2( ( ( (( (n中有且只有一个等于aTa( 而其余n(1个全为0( 即((0是A的n(1重特征值( (2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量( 解 设(1(aTa( (2( ( ( ( ((n(0( 因为Aa(aaTa((aTa)a((1a( 所以p1(a是对应于(1(aTa的特征向量( 对于(2( ( ( ( ((n(0( 解方程Ax(0( 即aaTx(0( 因为a(0( 所以aTx(0( 即a1x1(a2x2( ( ( ( (anxn(0( 其线性无关解为 p2(((a2( a1( 0( (((( 0)T( p3(((a3( 0( a1( (((( 0)T( ( ( (( pn(((an( 0( 0( (((( a1)T( 因此n个线性无关特征向量构成的矩阵为 ( 22( 设 ( 求A100( 解 由 ( 得A的特征值为(1(1( (2(5( (3((5( 对于(1(1( 解方程(A(E)x(0( 得特征向量p1((1( 0( 0)T( 对于(1(5( 解方程(A(5E)x(0( 得特征向量p2((2( 1( 2)T( 对于(1((5( 解方程(A(5E)x(0( 得特征向量p3((1( (2( 1)T( 令P((p1( p2( p3)( 则 P(1AP(diag(1( 5( (5)((( A(P(P(1( A100(P(100P(1( 因为 (100(diag(1( 5100( 5100)( ( 所以 ( 23( 在某国( 每年有比例为p的农村居民移居城镇( 有比例为q的城镇居民移居农村( 假设该国总人口数不变( 且上述人口迁移的规律也不变( 把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn(xn(yn(1)( (1)求关系式 中的矩阵A( 解 由题意知 xn(1(xn(qyn(pxn((1(p)xn(qyn( yn(1(yn(pxn(qyn( pxn((1(q)yn( 可用矩阵表示为 ( 因此 ( (2)设目前农村人口与城镇人口相等( 即 ( 求 ( 解 由 可知 ( 由 ( 得A的特征值为(1(1( (2(r( 其中r(1(p(q( 对于(1(1( 解方程(A(E)x(0( 得特征向量p1((q( p)T( 对于(1(r( 解方程(A(rE)x(0( 得特征向量p2(((1( 1)T( 令 ( 则 P(1AP(diag(1( r)((( A(P(P(1( An(P(nP(1( 于是 ( ( 24( (1)设 ( 求((A)(A10(5A9( 解 由 ( 得A的特征值为(1(1( (2(5( 对于(1(1( 解方程(A(E)x(0( 得单位特征向量 ( 对于(1(5( 解方程(A(5E)x(0( 得单位特征向量 ( 于是有正交矩阵 ( 使得P(1AP(diag(1( 5)((( 从而A(P(P(1( Ak(P(kP(1( 因此 ((A)(P((()P(1(P((10(5(9)P(1 (P[diag(1( 510)(5diag(1( 59)]P(1 (Pdiag((4( 0)P(1 ( (2)设 , 求((A)(A10(6A9(5A8( 解 求得正交矩阵为 ( 使得P(1AP(diag((1( 1( 5)((( A(P(P(1( 于是 ((A)(P((()P(1(P((10(6(9(5(8)P(1 (P[(8(((E)(((5E)]P(1 (Pdiag(1( 1( 58)diag((2( 0( 4)diag((6( (4( 0)P(1 (Pdiag(12( 0( 0)P(1 ( 25( 用矩阵记号表示下列二次型: (1) f(x2(4xy(4y2(2xz(z2(4yz( 解 ( (2) f(x2(y2(7z2(2xy(4xz(4yz( 解 ( (3) f(x12(x22(x32(x42(2x1x2(4x1x3(2x1x4(6x2x3(4x2x4( 解 ( 26( 写出下列二次型的矩阵( (1) ( 解 二次型的矩阵为 ( (2) ( 解 二次型的矩阵为 ( 27( 求一个正交变换将下列二次型化成 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形: (1) f(2x12(3x22(3x33(4x2x3( 解 二次型的矩阵为 ( 由 ( 得A的特征值为(1(2( (2(5( (3(1( 当(1(2时, 解方程(A(2E)x(0( 由 ( 得特征向量(1( 0( 0)T( 取p1((1( 0( 0)T( 当(2(5时( 解方程(A(5E)x(0( 由 ( 得特征向量(0( 1( 1)T( 取 ( 当(3(1时( 解方程(A(E)x(0( 由 ( 得特征向量(0( (1( 1)T( 取 ( 于是有正交矩阵T((p1( p2( p3)和正交变换x(Ty( 使 f(2y12(5y22(y32( (2) f(x12(x22(x32(x42(2x1x2(2x1x4(2x2x3(2x3x4( 解 二次型矩阵为 ( 由 ( 得A的特征值为(1((1( (2(3( (3((4(1( 当(1((1时( 可得单位特征向量 ( 当(2(3时( 可得单位特征向量 ( 当(3((4(1时( 可得线性无关的单位特征向量 ( ( 于是有正交矩阵T(( p1( p2( p3( p4)和正交变换x(Ty( 使 f((y12(3y22(y32(y42( 28( 求一个正交变换把二次曲面的方程 3x2(5y2(5z2(4xy(4xz(10yz(1 化成标准方程( 解 二次型的矩阵为 ( 由 ( 得A的特征值为(1(2( (2(11( (3(0( ( 对于(1(2( 解方程(A(2E)x(0( 得特征向量(4( (1( 1)T( 单位化得 ( 对于(2(11( 解方程(A(11E)x(0( 得特征向量(1( 2( (2)T( 单位化得 ( 对于(3(0( 解方程Ax(0( 得特征向量(0( 1( 1)T( 单位化得 ( 于是有正交矩阵P((p1( p2( p3)( 使P(1AP(diag(2( 11( 0)( 从而有正交变换 ( 使原二次方程变为标准方程2u2(11v2(1( 29( 明( 二次型f(xTAx在||x||(1时的最大值为矩阵A的最大特征值. 证明 A为实对称矩阵( 则有一正交矩阵T( 使得 TAT(1(diag((1( (2( ( ( (( (n)(( 成立( 其中(1( (2( ( ( (( (n为A的特征值( 不妨设(1最大( 作正交变换y(Tx( 即x(TTy( 注意到T(1(TT( 有 f(xTAx(yTTATTy(yT(y((1y12((2y22( ( ( ( ((nyn2( 因为y(Tx正交变换( 所以当||x||(1时( 有 ||y||(||x||(1( 即y12(y22( ( ( ( (yn2(1( 因此 f ((1y12((2y22( ( ( ( ((nyn2((1( 又当y1(1( y2(y3(( ( ((yn(0时f ((1( 所以f max ((1( 30( 用配方法化下列二次形成规范形( 并写出所用变换的矩阵( (1) f(x1( x2( x3)(x12(3x22(5x32(2x1x2(4x1x3( 解 f(x1( x2( x3)(x12(3x22(5x32(2x1x2(4x1x3 ((x1(x2(2x3)2(4x2x3(2x22(x32 ((x1(x2(2x3)2(2x22((2x2(x3)2( 令 ( 即 ( 二次型化为规范形 f(y12(y22(y32( 所用的变换矩阵为 ( (2) f(x1( x2( x3)(x12(2x32(2x1x3(2x2x3( 解 f(x1( x2( x3)(x12(2x32(2x1x3(2x2x3 ((x1(x3)2(x32(2x2x3( ((x1(x3)2(x22((x2(x3)2( 令 ( 即 ( 二次型化为规范形 f(y12(y22(y32( 所用的变换矩阵为 ( (3) f(x1( x2( x3)(2x12(x22(4x32(2x1x2(2x2x3( 解 f(x1( x2( x3)(2x12(x22(4x32(2x1x2(2x2x3( ( 令 ( 即 ( 二次型化为规范形 f(y12(y22(y32( 所用的变换矩阵为 ( 31( 设 f(x12(x22(5x32(2ax1x2(2x1x3(4x2x3 为正定二次型( 求a( 解 二次型的矩阵为 ( 其主子式为 a11(1( ( ( 因为f为正主二次型( 所以必有1(a2(0且(a(5a(4)(0( 解之得 ( 32( 判别下列二次型的正定性( (1) f((2x12(6x22(4x32(2x1x2(2x1x3( 解 二次型的矩阵为 ( 因为 ( ( ( 所以f为负定( (2) f(x12(3x22(9x32(19x42(2x1x2(4x1x3(2x1x4(6x2x4(12x3x4( 解 二次型的矩阵为 ( 因为 ( , , ( 所以f为正定( 33( 证明对称阵A为正定的充分必要条件是( 存在可逆矩阵U( 使A(U TU( 即A与单位阵E 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 ( 证明 因为对称阵A为正定的( 所以存在正交矩阵P使 PTAP(diag((1( (2( ( ( (( (n)((( 即A(P(PT( 其中(1( (2( ( ( (( (n均为正数( 令 ( 则(((1(1( A(P(1(1TPT( 再令U((1TPT( 则U可逆( 且A(UTU( 第六章　线性空间与线性变换 1( 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间( 并写出各个空间的一个基( (1) 2阶矩阵的全体S1( 解 设A( B分别为二阶矩阵( 则A( B(S1( 因为 (A(B)(S1( kA(S1( 所以S1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间( ( ( ( 是S1的一个基. (2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S2( 解 设 ( ( A( B(S2( 因为 ( ( 所以S2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间( ( ( 是S2的一个基( (3) 2阶对称矩阵的全体S3. 解 设A( B(S3( 则AT(A( BT(B( 因为 (A(B)T(AT(BT(A(B( (A(B)(S3( (kA)T(kAT(kA( kA(S3( 所以S3对于加法和乘数运算构成线性空间. ( ( 是S3的一个基. 2( 验证( 与向量(0( 0( 1)T不平行的全体3维数组向量( 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间( 解 设V({与向量(0( 0( 1)T不平行的全体三维向量}( 设r1((1( 1( 0)T( r2(((1( 0( 1)T( 则r1( r2(V( 但r1(r2((0( 0( 1)T(V( 即V不是线性空间. 3( 设U是线性空间V的一个子空间( 试证( 若U与V的维数相等( 则U(V( 证明　设(1( (2( (((( (n为U的一组基( 它可扩充为整个空间V的一个基( 由于dim(U)(dim(V)( 从而(1( (2( (((( (n也为V的一个基( 则( 对于x(V可以表示为x(k1(1(k2(2( ((( (kr(r( 显然( x(U( 故V(U( 而由已知知U(V( 有U(V( 4( 设Vr是n维线性空间Vn的一个子空间( a1( a2( (((( ar是Vr的一个基( 试证( Vn中存在元素ar(1( (((( an( 使a1( a2( (((( ar, ar(1( (((( an成为Vn的一个基( 证明 设r(n, 则在Vn中必存在一向量ar(1(Vr( 它不能被a1( a2( (((( ar线性表示( 将ar(1添加进来( 则a1( a2( (((( ar(1是线性无关的( 若r(1(n( 则命题得证( 否则存在ar(2(L(a1( a2( (((( ar(1)( 则a1( a2( (((( ar(2线性无关( 依此类推( 可找到n个线性无关的向量a1( a2( (((( an( 它们是Vn的一个基( 5( 在R3中求向量(((3( 7( 1)T在基(1((1( 3( 5)T( (2((6( 3( 2)T( (3((3( 1( 0)T下的坐标( 解 设(1( (2( (3是R3的自然基( 则 ((1( (2( (3)(((1( (2( (3)A( ((1( (2( (3)(((1( (2( (3)A(1( 其中 ( ( 因为 ( 所以向量(在基(1( (2( (3下的坐标为(33( (82( 154)T( 6( 在R3取两个基 (1((1( 2( 1)T( (2((2( 3( 3)T( (3((3( 7( 1)T( (1((3( 1( 4)T( (2((5( 2( 1)T( (3((1( 1( (6)T( 试求坐标变换公式( 解 设(1( (2( (3是R3的自然基( 则 ((1( (2( (1)(((1( (2( (3)B( ((1( (2( (3)(((1( (2( (1)B(1( ((1( (2( (1)(((1( (2( (3)A(((1( (2( (1)B(1A( 其中 ( ( 设任意向量(在基(1( (2( (3下的坐标为(x1( x2( x3)T( 则 ( 故(在基(1( (2( (3下的坐标为 EMBED Equation.3 ( 7( 在R4中取两个基 e1((1(0(0(0)T( e2((0(1(0(0)T( e3((0(0(1(0)T( e4((0(0(0(1)T( (1((2(1((1(1)T( (2((0(3(1(0)T( (3((5(3(2(1)T( (3((6(6(1(3)T( (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵( 解 由题意知 ( 从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为 ( (2)求向量(x1( x2( x3( x4)T在后一个基下的坐标( 解 因为 ( 向量(在后一个基下的坐标为 EMBED Equation.3 ( (3)求在两个基下有相同坐标的向量. 解 令 ( 解方程组得 (k为常数)( 8( 说明xOy平面上变换 的几何意义( 其中 (1) ( 解 因为 ( 所以在此变换下T(()与(关于y轴对称( (2) ( 解 因为 ( 所以在此变换下T(()是(在y轴上的投影( (3) ( 解 因为 ( 所以在此变换下T(()与(关于直线y(x对称( (4) . 解 因为 ( 所以在此变换下T(()是将(顺时针旋转 ( 9( n阶对称矩阵的全体V对于矩阵的线性运算构成一个 维线性空间. 给出n阶矩阵P( 以A表示V中的任一元素( 变换T(A)(PTAP称为合同变换. 试证合同变换T是V中的线性变换( 证明 设A( B(V( 则AT(A( BT(B( T(A(B)(PT(A(B)P(PT(A(B)TP ([(A(B)P]TP((AP(BP)TP ((PTA(PTB)P(PTAP(PTBP(T(A)(T(B)( T(kA)(PT(kA)P(kPTAP(kT(A)( 从而( 合同变换T是V中的线性变换( 10( 函数集合 V3({(((a2x2(a1x(a0)ex | a2( a1( a0 (R} 对于函数的线性运算构成3维线性空间( 在V3中取一个基 (1(x2ex( (2(xex( (3(ex( 求微分运算D在这个基下的矩阵. 解 设 (1(D((1)(2xex(x2ex(2(2((1( (2(D((2)(ex(xex((3((2( (3(D((3)(ex((3( 易知(1( (2( (3线性无关( 故为一个基. 由 ( 知即D在基(1( (2( (3下的矩阵为 ( 11( 2阶对称矩阵的全体 对于矩阵的线性运算构成3维线性空间. 在V3中取一个基 ( ( . 在V3中定义合同变换 , 求T在基A1( A2( A3下的矩阵. 解 因为 EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ( 故 ( 从而( T在基A1( A2( A3下的矩阵 . _1234568461.unknown _1234568525.unknown _1234568589.unknown _1234568621.unknown _1234568637.unknown _1234568645.unknown _1234568649.unknown _1234568653.unknown _1234568655.unknown _1234568656.unknown _1234568657.unknown _1234568654.unknown _1234568651.unknown _1234568652.unknown _1234568650.unknown _1234568647.unknown _1234568648.unknown _1234568646.unknown _1234568641.unknown _1234568643.unknown _1234568644.unknown _1234568642.unknown _1234568639.unknown _1234568640.unknown _1234568638.unknown _1234568629.unknown _1234568633.unknown _1234568635.unknown _1234568636.unknown _1234568634.unknown _1234568631.unknown _1234568632.unknown _1234568630.unknown _1234568625.unknown _1234568627.unknown _1234568628.unknown _1234568626.unknown _1234568623.unknown _1234568624.unknown _1234568622.unknown _1234568605.unknown _1234568613.unknown _1234568617.unknown _1234568619.unknown _1234568620.unknown _1234568618.unknown _1234568615.unknown _1234568616.unknown _1234568614.unknown _1234568609.unknown _1234568611.unknown _1234568612.unknown _1234568610.unknown _1234568607.unknown _1234568608.unknown _1234568606.unknown _1234568597.unknown _1234568601.unknown _1234568603.unknown _1234568604.unknown _1234568602.unknown _1234568599.unknown _1234568600.unknown _1234568598.unknown _1234568593.unknown _1234568595.unknown _1234568596.unknown _1234568594.unknown _1234568591.unknown _1234568592.unknown _1234568590.unknown _1234568557.unknown _1234568573.unknown _1234568581.unknown _1234568585.unknown _1234568587.unknown _1234568588.unknown _1234568586.unknown _1234568583.unknown _1234568584.unknown _1234568582.unknown _1234568577.unknown _1234568579.unknown _1234568580.unknown _1234568578.unknown _1234568575.unknown _1234568576.unknown _1234568574.unknown _1234568565.unknown _1234568569.unknown _1234568571.unknown _1234568572.unknown _1234568570.unknown _1234568567.unknown _1234568568.unknown _1234568566.unknown _1234568561.unknown _1234568563.unknown _1234568564.unknown _1234568562.unknown _1234568559.unknown _1234568560.unknown _1234568558.unknown _1234568541.unknown _1234568549.unknown _1234568553.unknown _1234568555.unknown _1234568556.unknown _1234568554.unknown _1234568551.unknown _1234568552.unknown _1234568550.unknown _1234568545.unknown _1234568547.unknown _1234568548.unknown _1234568546.unknown _1234568543.unknown _1234568544.unknown _1234568542.unknown _1234568533.unknown _1234568537.unknown _1234568539.unknown _1234568540.unknown _1234568538.unknown _1234568535.unknown _1234568536.unknown _1234568534.unknown _1234568529.unknown _1234568531.unknown _1234568532.unknown _1234568530.unknown _1234568527.unknown _1234568528.unknown _1234568526.unknown _1234568493.unknown _1234568509.unknown _1234568517.unknown _1234568521.unknown _1234568523.unknown _1234568524.unknown _1234568522.unknown _1234568519.unknown _1234568520.unknown _1234568518.unknown _1234568513.unknown _1234568515.unknown _1234568516.unknown _1234568514.unknown _1234568511.unknown _1234568512.unknown _1234568510.unknown _1234568501.unknown _1234568505.unknown _1234568507.unknown _1234568508.unknown _1234568506.unknown _1234568503.unknown _1234568504.unknown _1234568502.unknown _1234568497.unknown _1234568499.unknown _1234568500.unknown _1234568498.unknown _1234568495.unknown _1234568496.unknown _1234568494.unknown _1234568477.unknown _1234568485.unknown _1234568489.unknown _1234568491.unknown _1234568492.unknown _1234568490.unknown _1234568487.unknown _1234568488.unknown _1234568486.unknown _1234568481.unknown _1234568483.unknown _1234568484.unknown _1234568482.unknown _1234568479.unknown _1234568480.unknown _1234568478.unknown _1234568469.unknown _1234568473.unknown _1234568475.unknown _1234568476.unknown _1234568474.unknown _1234568471.unknown _1234568472.unknown _1234568470.unknown _1234568465.unknown _1234568467.unknown _1234568468.unknown _1234568466.unknown _1234568463.unknow