矩阵的广义逆

矩阵的广义逆矩阵分析安徽大学章权兵 1 1 §8.1: 广义逆矩阵 §8.2: 伪逆矩阵 §8.3: 广义逆与线性方程组第八章矩阵的广义逆前言矩阵的广义逆矩阵(简称广义逆)是可逆方阵的逆矩阵概念的推广.推广后的广义逆矩阵不仅仍然适用于可逆方阵,更适用于奇异方阵,甚至适用于行列数不相等的长方阵. 广义逆矩阵除了上述理论意义之外,还有更大的应用价值.广义逆矩阵是计算许多实际问题的有效工具,特别在数值分析中十分有用. 本章重点介绍减号逆(广义逆矩阵),左逆,右逆, 自反广义逆和伪逆矩阵...

矩阵分析安徽大学章权兵 1 1 §8.1: 广义逆矩阵 §8.2: 伪逆矩阵 §8.3: 广义逆与线性方程组第八章矩阵的广义逆前言矩阵的广义逆矩阵(简称广义逆)是可逆方阵的逆矩阵概念的推广.推广后的广义逆矩阵不仅仍然适用于可逆方阵,更适用于奇异方阵,甚至适用于行列数不相等的长方阵. 广义逆矩阵除了上述理论意义之外,还有更大的应用价值.广义逆矩阵是计算许多实际问题的有效工具,特别在数值分析中十分有用. 本章重点介绍减号逆(广义逆矩阵),左逆,右逆, 自反广义逆和伪逆矩阵(加号逆)等五种广义逆. 定理A:线性方程组Ax=b, A∈Cn×n,x,b∈Cn 对任意右端b都有唯一解的充要条件是A-1存在. 证:必要性. 设ei为En的第i列, 令Ax(i)=ei,i=1,…n,X=(x(1),…x(n))∈Cn×n 则 AX=(Ax(1),…,Ax(n))=(e1,…,en)=En ⇒ A-1=X. 充分性. 若A-1存在,则对任意右端b Ax=b ⇒ x=A-1b 即x=A-1b是线性方程组Ax=b的唯一解. 线性方程组一般理论定理B:对一般线性方程组Ax=b, A∈Crm×n,x∈Cn,b∈Cm (1)方程有解的充要条件是b∈R(A)={Ay|y∈Cn}. ( R(A)也称为A的值域 ) (2)方程有解的充要条件是rank(A,b)=rank A. ( b是A的某些列的线性组合,即b∈R(A) ) (3)方程的通解 = 特解 + 齐次方程组通解N(A). (齐次方程组解空间N(A)={x∈Cn|Ax=0}也称为A的核) (4)方程有无穷多解的必要条件是 rankA 0 线性方程组一般理论续初等变换和标准形用行,列初等变换可以把∀A∈Crm×n化为标准形 diag(Er,0).令P∈Cmm×m,Q∈Cnn×n 分别表示其中所用行,列初等变换的乘积,则PAQ=diag(Er,0). 求P,Q的方法示意如下: 经行变换 (A | Em) → 其中B∈Crr×n有r列(不必为前r列)可构成Er. 经列变换 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ PB | | 0 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−→ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− Q E E B r n 0 初等变换和标准形举例例8.1.2: 注:求矩阵Q较为容易,先适当交换列顺序把B的前r 列变为Er,再把所有别的元全化为0. 这样一来,Q的非对角元恰好是B的对应元反号. ( ) 0 1 3 0 | 1 1 0 11/2 5/2 2 1/2 0 1 0 | | 2 4 1 5 | 1 0 1 3 0 | 4 5 7 10 | 1 0 0 0 | 30 0 2 1 A E −− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜= − → −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎝ ⎠−⎠ − 51 1 2 2 51 1 2 21 0 1 0 0 01 0 0 1 0 00 1 3 0 1 0 1 1 3 0 1 1 1 1 n B E −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −− − − −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− − = →⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎠ − ⎝ 矩阵分析安徽大学章权兵 2 §8.1 广义逆矩阵广义逆矩阵(减号逆) 左逆(右逆) 自反广义逆定义:若一般线性方程组 Ax=b, A∈Cm×n,x∈Cn,b∈Cm (1) 对任意b∈R(A)的解都可表示为x=A-b,则矩阵 A-∈Cn×m 称为A的广义逆(减号逆). 注: 因为当A∈Cnn×n时,(1)的解都可表示为x=A-1b, 所以在此情形下A有唯一减号逆: A-=A-1. 这一事实说明减号逆是普通逆矩阵的推广. 减号逆的概念例: A= ∈C2×3 有下列两个不同的减号逆: A- = 或证:易见两种情形都有AA-=E2, 从而对∀b∈C2,AA-b=b ⇒ Ax=b有解x=A-b∈C2 . 即对任意b∈R(A)=C2,Ax=b的解都可表示为x=A-b, 所以这两个A-都是A的减号逆. 注:此例说明减号逆一般不唯一. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 322 221 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 12 00 23 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 00 6/13/1 3/13/1 减号逆举例定理8.1.1:X∈Cn×m是A∈Cm×n的减号逆当且仅当AXA=A. 证:必要性若X=A-,则对∀b∈R(A)都有AXb=b. 令A=(α1,…,αn),取b=αi∈R(A),则AXαi=αi (i=1,…,n), 因此AX(α1,…,αn)=(α1,…,αn),得证AXA=A. 充分性若X满足AXA=A且x为Ax=b的解, 则b=Ax=AXAx=AXb,因此Ax=b的解可表为:x=Xb, 从而得证X是A的一个减号逆. 注:用充要条件AXA=A来检验减号逆十分方便. 推论:A∈Cm×n的减号逆A-的秩不小于A的秩rankA≤rankA- 证:由AA-A=A立即推出rankA ≤ rankAA- ≤ rankA- . 减号逆的充要条件定理A(例8.1.1): ∀A∈Crm×n的减号逆A- 恒存在, 若P∈Cmm×m,Q∈Cnn×n满足 ,则其中,X,Y,Z分别为r×(m-r),(n-r)×r,(n-r)×(m-r) 的任意参数矩阵. 证:首先验证所定义的A-满足AA-A=A: 所以 P ZY XE QA r ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 00 0rEPAQ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=− 00 0 00 0 00 0 rrrrr EE ZY XEE PAQ ZY XE PAQAQPAA AQ E PAAA r =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= −−− 11 00 0 减号逆存在定理及求法其次证明任意减号逆都可写成所给的形式. 证:对任意减号逆A-∈Cn×m,令 A-= 其中由AA-A=A得从而W=Er,得证所需结论. P ZY XW Q ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ rrnrmrrmrnrr CYCXCZCW ×−−×−×−× ∈∈∈∈ )()()()( ,,, 减号逆存在定理及求法续 0 0 0 rE W XP A Q P A A A Q P A Q P A Q Y Z −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r rE W X E W X E W Y Z ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 矩阵分析安徽大学章权兵 3 关于减号逆公式的注 (1) ∀A∈Cm×n都有减号逆A-,最简单的一个减号逆是: 其中,Q1,P1分别是Q的前r列,P的前r行组成的子矩阵. (2) 公式中的3个参数矩阵可能缺损. 当A∈Cmm×n(行满秩)时,A-=Q P. 当A∈Cnm×n(列满秩)时,A-=Q(En,X)P. 当A∈Cnn×n时,全缺损,A-=QEnP=QP=A-1. A=P-1Q-1. ( 由此推出:A的减号逆唯一的充要条件是A∈Cnn×n ) 当A∈C0m×n(=0)时,{A-}=Cn×m . ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ Y E m ( ) 1 10 0 0 0 0 rr r E Q E Q P E P PQ⎛ ⎞⎜⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎟ 定理B(例8.1.3):若A-为矩阵A∈Cm×n的一个减号逆,则对一切V,W∈Cn×m, X=A-+V(Em-AA-)+(En-A-A)W 给出A的全部减号逆. 证: 首先对∀V,W∈Cn×m, X=A-+V(Em-AA-)+(En-A-A)W 都是A的减号逆(直接代入,详见教材P.300). 其次A的减号逆X都满足该式.(令V=X-A-,W=XAA-即可) X = A-+(X-A-) = A-+(X-A-)-(X-A-)AA-+XAA--A-AA- = A-+(X-A-)-(X-A-)AA-+(En-A-A)XAA- = A-+(X-A-)(Em-AA-)+(En-A-A)XAA- 一个减号逆确定所有减号逆1 定理C(例8.1.4):若A-为A∈Cm×n的一个减号逆,则对一切V∈Cn×m,X=A-+V-A-AVAA-给出A的全部减号逆. 证:首先对∀V∈Cn×m,X=A-+V-A-AVAA-都是A的减号逆: AXA=AA-A+AVA-AA-AVAA-A=A+AVA-AVA=A 其次 A的任一减号逆X都满足X=A-+V-A-AVAA-：利用 A(X-A-)A=AXA-AA-A=A-A=0,令V=X-A-∈Cn×m, 得 X = A-+(X-A-)-A-A(X-A-)AA- = A-+V-A-AVAA- . 一个减号逆确定所有减号逆2 定理8.1.2:设A∈Cm×n,λ∈C,A-表示A的减号逆,则 (1)运算T,*与- 可交换(这是T,*与-1可交换的推广) AA-A=A⇔(AA-A)T=AT即AT(A-)TAT=AT⇔(A-)T=(AT)- AA-A=A⇔(AA-A)*=A*即A*(A-)*A*=A*⇔(A-)*=(A*) (2)若A∈Cnn×n,则A-=A-1,且A-唯一. A-1=A-1AA-1=A-1(AA-A)A-1=A- (3)(λA)-=λ+A-,其中,λ+=1/λ,当λ≠0;λ+=0,当λ=0. 利用等式:λλ+λ=λ,不难验证 (λA)(λ+A-)(λA)=(λλ+λ)AA-A=λA⇒(λA)-=λ+A- 减号逆的主要性质 (4)∀S∈Cmm×m,T∈Cnn×n ,(SAT)- = T-A-S- = T-1A-S-1. (SAT)(T-A-S-)(SAT) = SAA-AT = (SAT) (5)AA-,A-A都是幂等矩阵,即平方等于自己的矩阵; 并且 rank(A) = rank(AA-) = rank(A-A). 证: (AA-)2=AA-AA-=AA-; (A-A)2=A-AA-A=A-A. rank(A) = rank(AA-A) ≤ rank(AA-) ≤ rank A. 所以 rank(A)=rank(AA-), 同理可证 rank(A)=rank(A-A). 减号逆的主要性质续 (6)A∈Cmm×n(A∈Cnm×n)的充要条件是:AA-=Em(A-A=En) 证: 必要性. 因rank(AA-)=rank(A)=m,故AA-可逆. 从而 Em=(AA-)-1(AA-) =(AA-)-1(AA-)-1(AA-)(AA-) = (AA-)-1(AA-)-1(AA-AA-) = (AA-)-1(AA-)-1(AA-) = (AA-)-1 所以 AA-=Em. 充分性. 若AA-=Em,则 rank(A)=rank(AA-)=rank(Em)=m. 减号逆的主要性质续矩阵分析安徽大学章权兵 4 (7) R(AA-)=R(A),N(A-A)= N(A). 其中,A的值域 R(A)={Ay|y∈Cn}⊂ Cm A的核(或A的解空间) N(A)={x|Ax=0}⊂ Cn 证:对∀A∈Cm×n,R(A),N(A)都是Cm,Cn的子空间, dim(R(A))=rank(A), dim(N(A))=n-rank(A). ∀x∈R(AA-),x=AA-z=Ay∈R(A)⇒R(AA-)是R(A)子空间. 因dim(R(A))=rank(A)=rank(AA-)=dimR(AA-), 故R(AA-)=R(A). 同理可证 N(A-A)=N(A). x∈N(A)⇒Ax=0⇒A-Ax=0⇒x∈N(A-A).故N(A)⊆N(A-A). 减号逆的主要性质续定义8.1.2:设A∈Cm×n,若存在B∈Cn×m使得AB=Em,则称B为A的一个右逆,记为B=AR-1;同时称A为B的一个左逆,记为A=BL-1. 例1:若A∈Cnn×n,则A-1=AR-1=AL-1. 例2:下列二矩阵互为左右逆: AB=E2 23 24 132 2 00 12 12 )( 322 211 ×× ∈ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=∈⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= CBCA 左逆与右逆的概念 (1)左,右逆都是减号逆. 证:AAR-1=Em⇒AAR-1A=EmA=A; AL-1A=En⇒AAL-1A=AEn=A. (2)A∈Cm×n有右(左)逆的充要条件是:A∈Cmm×n(Cnm×n) 注:非方阵不会同时有左右逆证: A有右逆 ⇒rank(A)=rank(AAR-1)=rank(Em)=m. 反之,A∈Cmm×n ⇒m=rank(A)=rank(AA*) ⇒AA*∈Cmm×m ⇒A(A*(AA*)-1)=Em ⇒ AR-1=A*(AA*)-1是一个右逆. 同理:若A∈Cnm×n ,则AL-1=(A*A)-1A*是一个左逆. 左逆与右逆的性质左逆与右逆的性质续 (3)A∈Cm×n有右(左)逆时,A的每个减号逆都是右(左) 逆,从而,全体右(左)逆集合等于全体减号逆集合. 证:性质(1)已证:右(左)逆都是减号逆. 令AR-1,A- 分别为A的任意已知右逆和减号逆, 则AAR-1=Em, AA-A=A, 于是AA-=AA-AAR-1=AAR-1=Em. 得证A的每个减号逆A-都是它的右逆. 所以A的全体右(左)逆集合等于全体减号逆集合. 先验证 A的左右逆是否存在,即检查它是否行满秩或列满秩.若都不是,则左右逆都不存在. 方法I:用公式 AR-1=A*(AA*)-1 (满行秩时) 或 AL-1=(A*A)-1A* (满列秩时) 方法II:当为行(列)满秩时,用求减号逆的方法求出全部减号逆(或最简单的减号逆),它们也是全部左(右)逆. 矩阵左逆与右逆的求法定义8.1.3:设A∈Cm×n,若存在B∈Cn×m使得ABA=A和BAB=B, 则称B为A的一个自反广义逆,记为B=Ar- . 注1:A=Br- ⇔B=Ar-.(因定义中A,B的位置完全对称) 注2:自反广义逆为减号逆,但减号逆未必是自反广义逆. 反例: 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 A PAQ P Q − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 rA Q P A AA A A A − − − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = ≠ ∴ ≠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 自反广义逆的概念矩阵分析安徽大学章权兵 5 定理8.1.4:设X,Y∈Cn×m为A∈Cm×n的任意减号逆,则 Z=XAY∈Cn×m为A的一个自反广义逆. 证:AZA=AXAYA=AYA=A; ZAZ=XAYAXAY=XAY=Z. 注1:A有减号逆必有自反广义逆(取X=Y). 由于任意矩阵A有减号逆,所以任意矩阵A有自反广义逆. 注2:一般情况下A的自反广义逆可能不只一个. 注3:当A∈Cnn×n时,A的减号逆唯一,就是A-1. 因此,当 A∈Cnn×n时,A的自反广义逆也唯一,就是A-1. 自反广义逆唯一 ⇔ A∈Cnn×n 自反广义逆的存在与唯一性自反广义逆的唯一性命题: 自反广义逆唯一 ⇔ A∈Cnn×n 证:充分性已证,下证必要性. 因自反广义逆Ar-是减号逆,故由Ar-AAr-=Ar-得从而A-=Ar-的充要条件是:Z=XY. (与减号逆的关系) 因此,若存在唯一自反广义逆,则X=Y=Z=∅, 即A∈Cnn×n. (否则,满足Z=XY的Ar-有无穷多个.) r r E X A Q P Y Z − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ P ZY XE PAQ ZY XE QP ZY XE Q rrr ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ P XYY XE QP ZY XEE ZY XE Q rrrr ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 00 0 定理8.1.5: A-∈Cn×m是A∈Cm×n自反广义逆的充要条件是: rank(A-)=rank(A) 证:充分性. 若rank(A-)=rank(A)成立,则 rank(AA-)=rank(A)=rank(A-) 这说明方程组AA-x=0与A-x=0同解. ( 两解空间维数相等且后者为前者的子空间 ) 易见AA-(E-AA-)=0,故A-(E-AA-)=0,因此A-=A-AA- . 必要性. 若A-也是自反广义逆,即AA-A=A,A-AA-=A-, 则rank(A)≤rank(A-)≤rank(A);故rank(A-)=rank(A) 减号逆为自反广义逆的充要条件 (1)最简单的减号逆必是自反广义逆证:由定理A(例8.1.1)知:A∈Crm×n最简单的减号逆是 A-= , 其中 PAQ= P,Q都是可逆矩阵.故rank(A-)=rank(Er)=r=rank(A) 从而,由定理8.1.5知A-是自反广义逆. (2)A∈Cm×n是零矩阵当且仅当每个Ar-=0. 证: A=0 ⇒ Ar-=Ar-AAr-=Ar-0Ar-=0. 反之 Ar-=0 ⇒ A=AAr-A=A0A=0. P E Q r ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 00 0 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 00 0rE 自反广义逆的性质命题: 若A∈Cm×n有右逆AR-1(或左逆AL-1),则A的每个右逆(左逆)都是A的自反广义逆. 证: AAR-1=Em ⇒ AR-1AAR-1=AR-1Em=AR-1 & AAR-1A=EmA=A 所以,AR-1是A的一个自反广义逆. 同理可证,AL-1是A的一个自反广义逆. 自反广义逆与左(右)逆的关系定理D(例8.1.5):设A∈Crm×n有满秩分解A=BC,其中, B∈Crm×r,C∈Crr×n,则Ar-=CR-1BL-1是A的自反广义逆. 反之,A的任何自反广义逆都有该形式. 证:不难验证Ar-=CR-1BL-1满足自反广义逆的条件. 下证A的任何自反广义逆有该形式. AAr-A=A ⇒ BCAr-BC=BC ⇒ BL-1BCAr-BCCR-1=BL-1BCCR-1 ⇒ CAr-B=E 即得 Ar-B=CR-1,CAr-=BL-1. 再代入Ar-=Ar-AAr- 有 Ar-=Ar-BCAr-=CR-1BL-1. 用满秩分解求自反广义逆矩阵分析安徽大学章权兵 6 例:已知 ,试用不同方法求Ar- . 解法1:求满足秩条件rank(A-)=rank(A)的减号逆令 , ,则 ,因此 . 其中,y1,y2为任意数,取y1=y2=0时得最简减号逆. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= 322 211 A ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 00 10 01 PAQ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= 12 12 4 1P P yy QAr ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =− 21 10 01 自反广义逆的求法 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 4/11 4/701 Q ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−→⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −− −→⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 4/12/1|4/110 4/12/1|4/701 12|140 01|211 10|322 01|211 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +− ++−+− +−−− =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=− 2121 2121 2121 21 2 )(2 4/)(12/)(2 4/)(712/)(72 4 1 12 12 10 01 100 4/110 4/701 4 1 yyyy yyyy yyyy yy P Y E QA 例:已知 ,试用不同方法求Ar- . 解法2: 利用满秩分解: 则: BL-1=B-1= , CR-1= 因此 Ar-=CR-1BL-1= 解法3: 因A∈C22×3为满行秩, 故 Ar-=AR-1=A*(AA*)-1= 自反广义逆的求法续 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 616 1829 65 176 66 32 21 21 66 1 1 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 00 12 12 12 12 00 10 01 4 1 4 1 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 00 10 01 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 12 12 4 1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −== 4/110 4/701 22 11 BCA ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= 322 211 A 定义8.2.1:设A∈Cm×n,若存在A+∈Cn×m使得 AA+A=A, A+AA+=A+, (AA+)*=AA+, (A+A)*=A+A 则称A+为A的一个伪逆(加号逆)矩阵. 注1:由定义知 A∈Cnn×n ⇒ A-=Ar-=A+=A-1 唯一注2:由定义知伪逆必为自反广义逆,但自反广义逆不一定是伪逆. 反例: A= 的自反广义逆有无穷多个. 但后面将证任何矩阵的伪逆都只有一个. §8.2 伪逆矩阵 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 322 211 定义:设A∈Cm×n,若存在X∈Cn×m使得 AXA=A, (1) XAX=X, (2) (AX)*=AX, (3) (XA)*=XA. (4) 中的(1)成立,则称X为A的一个{1}逆; 使其中的(1)和(2)成立,则称X为A的一个{1,2}逆; 使其中的(1)-(4)都成立,则称X为A的{1,2,3,4}逆; 仿此类推,例如,{1,3},{1,4}逆等等. 注:减号逆,自反广义逆,伪逆分别对应{1}逆,{1,2}逆和{1,2,3,4}逆. {1},{1,2},{1,2,3,4}逆等的定义定理8.2.1: 设A∈Crm×n,A=BC为A的满秩分解,则 A+=C*(CC*)-1(B*B)-1B*是A的伪逆矩阵. 证:直接验证AA+A=A,A+AA+=A+,(AA+)*=A+和(A+A)*=A+A 注1:rankB=rankC=r ⇒ BB*,C*C∈Crr×r. 注2:CR-1=C*(CC*)-1,BL-1=(B*B)-1B*,故A+=CR-1BL-1. 推论: A∈Crr×n ⇒ A=ErA,B=Er,C=A ⇒ A+=C*(CC*)-1(B*B)-1B*=A*(AA*)-1 A∈Crm×r ⇒ A=AEr,B=A,C=Er ⇒ A+=C*(CC*)-1(B*B)-1B*=(A*A)-1A* 意义:满行(列)秩时给出的右(左)逆也是伪逆. 伪逆的存在性例:已知A= ,求A+ . 解:利用满秩分解: 不难得到: BL-1=B-1= ,CR-1= 因此 A+=CR-1BL-1= 命题:设A=BC∈C1m×n,B和C分别为列向量和行向量, 则 A+ = C*‖C‖-2‖B‖-2B* = A*/(‖B‖2‖C‖2). ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 322 211 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −== 4/110 4/701 22 11 BCA ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 12 12 4 1 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 00 10 01 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 00 12 12 12 12 00 10 01 4 1 4 1 求伪逆举例矩阵分析安徽大学章权兵 7 定理8.2.2:任何矩阵A∈Crm×n的伪逆唯一. 证:设A有两个伪逆X和Y,则 X = XAX = XAYAX = X(AY)*(AX)* = X(AXAY)* = X(AY)* = XAY = XAYAY = (XA)*(YA)*Y = (YAXA)*Y = (YA)*Y =YAY = Y 结论:任何矩阵的伪逆存在并且唯一. 伪逆的唯一性定理8.2.3:设A∈Cm×n,则 (1)A+具有减号逆,自反广义逆所具有的性质. (2)对合性 (A+)+=A (由定义及唯一性可推出) (3)(A*A)+=A+(A*)+=A+(A+)*;(AA*)+=(A+)*A+=(A*)+A+. 证: 根据定义验证4条. AA*(A+)*A+AA* =A(A+A)*A+AA* =AA+AA+AA* =AA* ; (A+)*A+AA*(A+)*A+ =(A+)*A+AA+AA+ =(A+)*A+ ; AA*(A+)*A+ =AA+AA+ =AA+ ; (A+)*A+AA*=(A+)*A*(A+)*A*=(AA+AA+)*=(AA+)* . 伪逆的性质伪逆的性质续 (4) A+=A*(AA*)+=(A*A)+A* . 证: A*(AA*)+ = A*(A+)*A+ = (A+A)*A+ = A+AA+ = A+. (A*A)+A* = A+(A+)*A* = A+(AA+)* = A+AA+ = A+. (5) 对角矩阵的伪逆 Λ=diag(λ1,…,λn) ⇒ Λ+=diag(λ1+,…,λn+), 其中,λ+=1/λ,当λ≠0; λ+=0,当λ=0. 证: 直接验证伪逆的4个条件.如 ΛΛ+Λ=diag(λ1λ1+λ1,…,λnλn+λn)=diag(λ1,…,λn)=Λ 定理E(例8.2.1):对∀A∈Crm×n,存在U∈Un×n使 U*A*AU=diag(λ1,…,λr,0,…,0)=Λ,(或U*AA*U=Λ) 则 A+=UΛ+U*A* (或A+=A*UΛ+U*). 证: A*A=UΛU*, (A*A)+=(UΛU*)+=UΛ+U*. 由性质(4): A+=(A*A)+A*=UΛ+U*A*. 或 (AA*)+=(UΛU*)+=UΛ+U*. 由性质(4): A+=A*(AA*)+=A*UΛ+U*. 用酉对角化求伪逆例8.2.2:已知 ,求A+ 解法1: 为A的满秩分解, 故 A+=A*/(‖B‖2‖C‖2)=(1/10)A*= 解法2:见教材P.307-308. 解法3: ,谱σ(AA*)={10,0}, 对应的互相正交的特征向量是:(1,-2)T和(2,1)T, 于是 U*AA*U=diag(10,0)=Λ,其中U= ∈Un×n . A+=A*UΛ+U*= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −= 202 101 A ( )101 2 1 −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−== BCA ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 21 00 21 10 1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −=∗ 84 42 AA ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 12 21 5 1 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 21 00 21 10 1 12 21 5 1 0 10/1 12 21 5 1 22 00 21 求伪逆举例 §8.3 广义逆与线性方程组矩阵方程相容方程组AX=b的解不相容方程组AX=b的解矩阵分析安徽大学章权兵 8 定理8.3.1:设A∈Cm×n,B∈Cs×t,D∈Cm×t,则矩阵方程 AXB=D有解的充要条件是存在A与B的广义逆矩阵A-与B-,使AA-DB-B=D成立. 有解时通解为X=A-DB-+Y-A-AYBB-.Y为任意n×s矩阵. 证:必要性. 对A与B有A-∈Cn×m,B-∈Ct×s,满足 AA-A=A,BB-B=B. 设方程AXB=D有解X,则 D =AXB =(AA-A)X(BB-B) =AA-(AXB)B-B =AA-DB-B. 充分性. 设有广义逆矩阵A-与B-,使AA-DB-B=D成立. 则X=A-DB-满足方程AXB=D.即方程AXB=D有解. 一般矩阵方程有解的条件定理8.3.1:设A∈Cm×n,B∈Cs×t,D∈Cm×t,则矩阵方程 AXB=D有解的充要条件是存在A与B的广义逆矩阵A-与B-,使AA-DB-B=D成立. 有解时通解为X=A-DB-+Y-A-AYBB-.Y为任意n×s矩阵. 证:首先直接代入可证 X=A-DB-+Y-A-AYBB- 是矩阵方程AXB=D的解. AXB =A(A-DB-+Y-A-AYBB-)B =AA-DB-B+AYB-AA-AYBB-B =D. 其次设G∈Cn×s是方程AXB=D的任意解,则有AGB=D. 故 G=A-DB-+G-A-DB-=A-DB-+G-A-AGBB-. 所以AXB=D的通解具有形式X=A-DB-+Y-A-AYBB-. 一般矩阵方程的通解推论1:设A∈Cm×n,D∈Cm×s,则矩阵方程AX=D有解的充要条件是存在A的广义逆矩阵A-使AA-D=D成立. 有解时的通解为X=A-D+Y-A-AY. Y为任意n×s矩阵. 推论2:设B∈Cs×t,D∈Cn×t,则矩阵方程XB=D有解的充要条件是存在B的广义逆矩阵B-使DB-B=D成立. 有解时的通解为X=DB-+Y-YBB-. Y为任意n×s矩阵. 证:分别取B=Es和A=En代入定理8.3.1即可. 推论3:设A∈Cm×n,b∈Cm,则线性方程组AX=b有解的充要条件是存在A的广义逆矩阵A-使AA-b=b成立. 有解时通解为X=A-b+(En-A-A)Y. Y为任意n维向量特殊矩阵方程的通解定理8.3.2:设A∈Crm×n,b∈R(A),A-是A的任一减号逆. 则相容线性方程组Ax=b的通解是:x=A-b+(En-A-A)z, 其中z∈Cn 为任意向量. (推论3) 证法2: 因A-b是线性方程组Ax=b的特解, 故只须证A的零空间为N(A)={(En-A-A)z|z∈Cn}即可. ∀z∈Cn, A(E-A-A)z=0 ⇒ {(E-A-A)z|z∈Cn}⊆N(A). 故 rank(En-A-A)=rank(Q-1(En-A-A)Q)=n-r 从而 dim{(En-A-A)z|z∈Cn}=n-r=dimN(A) 证毕 rE XA Q P Y Z − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 0 0 0 rEPAQ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 0 00( ) 0 0 r r n n n r E X E Q E A A Q E Y EY Z − − − ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞− = − = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 用减号逆给出相容线性方程组的通解例:已知 ,b=(2 2 2)T, 求线性方程组 Ax=b的通解. 解: 最简单的一个减号逆是因此方程的通解为 0 1 3 0 2 4 1 5 4 5 7 10 A −⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ P zyy zyy x x QA ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =− 22221 12111 2 1 10 01 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 01 031 2/52/1101 Q ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 123 001 02/12 P 1 1 1 0 2 1/ 2 0 0 1 2 1/ 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A Q P −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 4 1 2 34 3 3 4 4 11 52 1/ 2 0 2 1/ 2 0 3 2 0 1 3 0 2 1 0 0 1 0 0 2 32 ( 2 4 1 5 ) 0 0 0 0 0 0 2 4 5 7 10 0 0 0 0 0 0 z zz z zX E z z z z −⎛ ⎞− − − +⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − += + − − = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 用减号逆求解相容线性方程组举例定义:相容线性方程组Ax=b的解集合中2-范数(模) 最小的解y称为最小模解,即 Ay=b & ‖y‖= min{‖x‖| x∈Cn,Ax=b} 例:不难求得实方程组的通解为 x=(z1,2-z1,2-z1)T,其中z1为任意实数. ‖x‖2 = z12+(2-z1)2+(2-z1)2 = 3(z1-4/3)2+8/3 . 因此当z1=4/3时 min{‖x‖| x∈Cn,Ax=b}=2√(2/3) 所以最小模解为 y= =(4/3,2/3,2/3)T. 注:最小模解y的模唯一,但y一般不唯一. 1 2 1 3 2 2 x x x x ⎧ + =⎨ + =⎩ 相容线性方程组的最小模解矩阵分析安徽大学章权兵 9 定理8.3.3:设B∈Cn×m为A∈Cm×n的广义逆,则下列命题等价 (1)对∀b∈R(A),则x=Bb是方程组Ax=b的最小模解. (2)(BA)*=BA. 证: (2)⇒(1). 设b∈R(A),B为A的一个广义逆,则Ax=b有解,且通解为 x=Bb+(En-BA)z,其中z∈Cn; 令b=Au(b∈R(A)),y=Bb. 则‖x‖2=‖Bb‖2+‖(En-BA)z‖2+2Re[(Bb)*(En-BA)z] ≥‖Bb‖2 =‖y‖2 ( (Bb)*(En-BA)z=u*(BA)*(En-BA)z=u*BA(En-BA)z=u*B0z=0 ) 因此y=Bb为最小模解.(取z=0时,对应的x达到最小模值) 相容方程组最小模解的充要条件 (1)⇒(2). Ax=b 的通解是: x=Bb+(En-BA)z,其中z∈Cn; ‖x‖2=‖Bb‖2+‖(En-BA)z‖2+2Re[(Bb)*(En-BA)z] ‖x‖2 ≥‖Bb‖2 ⇒ Re[(Bb)*(En-BA)z]=0 (见后) ∀y,z∈Cn, b=Ay∈R(A), Re[y*(BA)*(En-BA)z]=Re[(Bb)*(En-BA)z]=0 ⇒ (BA)*(En-BA)=0 (证明见后) 由此推出(BA)*=(BA)*(BA)是Hermite矩阵, 从而BA=((BA)*(BA))*=(BA)*(BA)=(BA)*. 相容方程组最小模解的充要条件续 ‖x‖2=‖Bb‖2+‖(En-BA)z‖2+2Re[(Bb)*(En-BA)z] ≥‖Bb‖2 ⇒ Re[(Bb)*(En-BA)z]=0. 证: Re[(Bb)*(En-BA)z]为z的一次函数 , 而‖(En-BA)z‖2为z的二次函数. 若前者不等于0,则适当选足够小的非零向量z′, 可使‖(En-BA)z′‖2+2Re[(Bb)*(En-BA)z′]<0, 便得‖x‖2-‖Bb‖2<0,这与‖x‖2≥‖Bb‖2矛盾. 所以 Re[(Bb)*(En-BA)z]=0 相容方程组最小模解的充要条件续 Re(y*(BA)*(En-BA)z)=0 ⇒ W=(BA)*(En-BA)=0. 证: 对任意i,j∈{1,…,n}, 若Re(wij)≠0,则取y=ei & z=ej; 若Im(wij)≠0,则取y=√(-1)ei & z=ej; 便得出 wij=Re[y*(BA)*(En-BA)z]=0 的矛盾. 相容方程组最小模解的充要条件续命题:A+b是相容线性方程组Ax=b的一个最小模解. 例:不难求得方程组的系数矩阵A∈C22×3的伪逆: 所以最小模解是 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 2 2 101 011 3 2 1 x x x ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∗= − −∗+ 21 12 11 )3/1( 21 12 )3/1( 10 01 11 21 12 10 01 11 )( 1 1AAAA ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −== + 3/2 3/2 3/4 2 2 21 12 11 )3/1(bAx 求相容方程组最小模解举例因Ax=b有解的充要条件是b∈R(A), 所以若b∉R(A),则方程组Ax=b无解, 此时称方程组是不相容方程组. 对不相容方程组Ax=b,∀x∈Cn,b≠Ax,即‖Ax-b‖>0. 对该方程组可求某种意义下的满意解. 定义8.3.2: 设A∈Cm×n,b∈Cn,若n维向量x0满足对于∀x∈Cn,有‖Ax0-b‖2=‖Ax-b‖2 (‖ ‖为2-范数), 则称x0是方程组Ax=b的一个最小二乘解. 注1: x0满足‖Ax0-b‖= min{‖Ax-b‖| x∈Cn}. 注2: 对相容方程组最小二乘解就是通常的解. 不相容方程组的最小二乘解 R(A) b Ax0 矩阵分析安徽大学章权兵 10 例A:求方程组的一个最小二乘解. 解:‖Ax-b‖2 = ‖(x1+x2,x1-1,x2)T‖2 = (x1+x2)2+(x1-1)2+x22 = 2x12+2x1x2+2x22-2x1+1 = 2(x22+x1x2+x12/4)+(3/2)(x12-4x1/3+4/9)+1-2/3 = 2(x2+x1/2)2+(3/2)(x1-2/3)2+1/3 ≥ 1/3 所以x0=(2/3,-1/3)T 满足‖Ax0-b‖=min{‖Ax-b‖} 从而,x0 就是所要求的最小二乘解. 1 2 1 1 0 x 1 0 1 0 1 0 x A x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 不相容方程组的最小二乘解举例定理8.3.4: 若B∈Cn×m为A∈Cm×n的满足条件(AB)*=AB 的减号逆({1,3}逆),则x0=Bb∈Cn是线性方程组Ax=b 的一个最小二乘解. 证: ‖Ax-b‖2 =‖(AB-Em)b+A(x-Bb)‖2 =‖(AB-Em)b‖2+‖A(x-Bb)‖2 +2Re(((AB-Em)b)*A(x-Bb)) 此项为0 =‖ABb-b‖2+‖A(x-Bb)‖2 =‖Ax0-b‖2+‖A(x-Bb)‖2 故x0=Bb是最小二乘解. ((AB-Em)b)*A(x-Bb) = b*((AB)*-Em)A(x-Bb) = b*(AB-Em)A(x-Bb) = b*(ABA-A)(x-Bb)=0. 用广义逆求最小二乘解定义8.3.2:线性方程组 Ax=b 的一个最佳最小二乘解y定义为它的最小二乘解集合中有最小2-范数的那个解（有最小模的最小二乘解）. 定理8.3.5: y=A+b是Ax=b的一个最佳最小二乘解. 证: 因A+=B满足定理8.3.4的条件, 故y=Bb=A+b是Ax=b的一个最小二乘解. 此外,对任意最小二乘解x0,由定理8.3.4的证明知 ‖Ax0-b‖2 =‖(AB-E)b‖2+‖A(x0-Bb)‖2 =‖Ay-b‖2+‖Ax0-AA+b‖2 因此‖Ax0-b‖= minx{‖Ax-b‖} ⇔ Ax0=AA+b. 最佳最小二乘解因此最小二乘解集S正是方程组Ax0=AA+b的解集. 再由定理8.3.2得 S={A+b+(E-A+A)z|z∈Cn}. 任取最小二乘解y=A+b+(E-A+A)z∈S,其中z∈Cn. 则‖y‖2 =‖A+b‖2 +‖(E-A+A)z‖2 +2Re(((E-A+A)z)*A+b) (此项=0) =‖A+b‖2 +‖(E-A+A)z‖2 所以 ‖A+b‖= miny∈S{‖y‖}. 得证 A+b∈S(z=0对应的y)为最佳最小二乘解. ((E-A+A)z)*A+b = z*(E-(A+A)*)A+b = z*(E-A+A)A+b = z*(A+-A+AA+)b = 0 最佳最小二乘解续定理: 设A+为A∈Cm×n的伪逆,B∈Cm×k,则Y=A+B∈Cn×k是矩阵方程AX=B的一个最小二乘解. 证:令(y1,…,yk) = Y = A+B=(A+b1,…,A+bk), 则 AX=B 等价于 A+bi=yi,i=1,…,k. 由定理8.3.5,yi=A+bi是Ax=bi的最佳最小二乘解, 即‖Ayi-bi‖= minx{‖Ax-bi‖} i=1,…,k. 因此 ‖AY-B‖F2 =Σi=1k‖Ayi-bi‖F2 =minX∈Cn×k‖AX-B‖F2 得证 Y=A+B 是AX=B的一个最小二乘解. 矩阵方程的最小二乘解

                    本文档为【矩阵的广义逆】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，
                    图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。 
 该文档来自用户分享，如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服，我们会及时删除。

                    [版权声明] 本站所有资料为用户分享产生，若发现您的权利被侵害，请联系客服邮件isharekefu@iask.cn，我们尽快处理。

                    本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权，请谨慎使用。

                    网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传，仅限个人学习分享使用，禁止用于任何广告和商用目的。
                

下载需要：免费已有0 人下载

立即下载

矩阵的广义逆

你可能还喜欢