菲克定律

7.1 扩散定律(1) 7.1.1 菲克第一定律（Fick’s First Law） 扩散过程可以分类为稳态和非稳态。 在稳态扩散中，单位时间内通过垂直于给定方向的单位面积 的净原子数（称为通量）不随时间变化，即任一点的浓度不随 时间变化。在非稳态扩散中，通量随时间而变化。研究扩散时 首先遇到的是扩散速率问 题。 菲克(A. Fick)在 1855 年提出了菲克第一定律，将扩 散通量和浓度梯度联系起来。菲克第一定律指出，在稳 态扩散（即 ）的条件下，单位时间内通过垂直于扩散方 向的单位面积的扩散物质量（通称扩散通量）与该截面 处的浓度梯度成正比。为简便起见，仅考虑单向扩散问 题。设扩散沿 x 轴方向进行（图 7-1），菲克第一定律的 表达式为 （7-1） 式中：J 为扩散通量(atoms/(m2·s)或 kg/(m2·s))；D 为扩散 系数(m2/s)； 为浓度梯度(atoms/(m3·m)或 kg/(m3·m)) （图 7-2 为浓度梯度示意图）；“-”号表示扩散方向为浓度梯度 的反方向，即扩散由高浓度向低浓度区进行。此方程又 称为扩散第一方程。 当扩散在稳态条件下应用（7-1）式相当方便。 7.1.2 菲克第二定律 (Fick’s Second Law) 实际上，大多数重要的扩散是非稳态的，在扩散过程中扩散物质的浓度随时间而变化，即 dc/dx≠0。为了研究这种情况，根据扩散物质的质量平衡，在菲克第一定律的基础上推导出 了菲克第二定律，用以分析非稳态扩散。在一维情况下，菲克第二定律的表达式为 （7-2） 式中： 为扩散物质的体积浓度（atoms/m3 或 kg/m3）； 为扩散时间（s）； 为扩散距离（m）。 （7-2）式给出 c=f(t,x) 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 关系。式（7-2）又称为扩散第二方程。由扩散过程的初始条件和 边界条件可求出（7-2）式的通解。利用通解可解决包括非稳态扩散的具体扩散问题。 7.1.3 扩散方程的求解 1. 扩散第一方程 扩散第一方程可直接用于描述稳定扩散过程。下面用氧通过金属薄壁的扩散过程来说明扩 散第一方程的解法。 如图 7-3 所示，一个内外 径分别为 r1 和 r2 的球罐中 储存有高压氧气，罐内气压 为 p1，罐外大气中氧分压 为 p2。由于氧气泄漏非常 缓慢，所以假设 p1 不随时 间变化，达到稳态后，氧气 将以一恒定速率泄漏。由菲 克第一定律，氧气在球罐壁 内的扩散通量为 则，通过整个球罐壁单位时间泄漏的氧气量为 （7-3） 对上式积分，有 （7-4） 其中，c1 和 c2 分别为氧分子在球罐内、外壁的溶解度。根据 Sievert 定律，双原子分子气体 在固体中的溶解度通常与压力的平方根成正比，即 c=Kp1/2 因此，单位时间内氧气泄漏量为 （7-5） 2. 扩散第二方程 1）高斯解 把总量为 M 的扩散元素沉淀成非常薄的薄层，夹在两个“无限”厚的相同试样之间进行扩 散。这里的无限厚是指试样的厚度或长度远大于点阵扩散长度时的情况。这时近似取沉淀层 的厚度为零，则方程（7-2）的初始条件和边界条件分别为 t=0，x=0 C=∞ x≠0 C=0 t≥0 x=±∞ C=0 满足方程（7-2）及上述条件的解为 （7-6） 此解称为高斯函数解，其曲线如图 7-4 所示。若沉淀物是置于试样表面的薄层，即扩散只向 x>0 扩散，则方程的解应为 （7-7） 利用此解可以通过示踪原子法测定固体材料中扩散系数，以及解决半导体掺杂过程中的 扩散问题。 7.1 扩散定律(3) 2）误差函数解 在 t 时间内，试样表面扩散组元 i 的浓度 Cs 被维持为常数，试样中 i 组元的原始浓度为 C0，试样的厚度认为是“无限”厚，则此问题称为半无限长物体的扩散问题。此时，方程（7-2） 的初始条件和边界条件应为 t=0，x>0 C= C0 t≥0? x=0 C=Cs x=∞ C=C0 满足方程（7-2）及上述条件的解为 （7-8） 上式称为误差函数解，其曲线如图 7-5 所示。式中 为高斯误差函数： （7-9） 与给定 β 值相对应的误差函数值可由表 7-1 查得。 7.1.4 扩散的驱动力及上坡扩散 菲克定律指出扩散总是向浓度低的方向进行的。但事实上很多情况，扩散是由低浓度处 向高浓度处进行的，如固溶体中某些偏聚或调幅分解，这种扩散被称为“上坡扩散”。上坡扩 散说明从本质上来说浓度梯度并非扩散的驱动力，热力学研究表明扩散的驱动力是化学位梯 度。 ??? 由热力学可知，系统中的任何过程都是沿着自由能 G 降低的方向进行的。平衡条件是 系统中各处的化学势 相等，即化学位梯度为 0。扩散过程也不例外。设 ni为组元 I 的原子 数，则化学位 就是 I 的自由能。原子受到的驱动力可由化学位对距离的求导得出 （7-10） 式中：“-”号表示驱动力与化学位下降的方向一致，也就是扩散总是向化学位减少的方向进 行的。 一般情况下的扩散如渗碳、扩散退火等 与 的方向一致，所以扩散表现为向浓度降低 的方向进行。固溶体中的溶质原子的偏聚、调幅分解等 与 方向相反，所以扩散表现为 浓度高的方向进行（上坡扩散）。 引起上坡扩散的还可能有下面一些情况： a) 弹性应力作用下的扩散 金属晶体中存在弹性应力梯度时，将造成原子的扩散。大直径的原子跑向点阵的伸长部分， 小直径的原子跑向点阵受压缩的部分，造成固溶体中的溶质原子的不均匀。 b) 晶界的内吸附 一般情况晶界能量比晶粒内部高。如果溶质原子位于晶界上可使体系总能量降低，它们就会 扩散而富集在晶界上，使得晶界上浓度比晶内的高。 c) 电场作用下的扩散 很大的电场也促使晶体中的原子按一定方向扩散。 菲克定律 求助编辑百科名片 菲克定律 菲克定律，是描述气体扩散现象的宏观规律，这是生理学家菲克（Fick）于 1855 年发现的。包括两个内容：（1）早在 1855年，菲克就提出了：在单位时间内通 过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（称为扩散通量 Diffusion flux，用 J表示）与该截面处的浓度梯度(Concentration gradient)成正比，也 就是说，浓度梯度越大，扩散通量越大。这就是菲克第一定律。（2）菲克第二 定律是在第一定律的基础上推导出来的。菲克第二定律指出，在非稳态扩散过程 中，在距离 x处，浓度随时间的变化率等于该处的扩散通量随距离变化率的负值。 目录 菲克第一定律(Fick’s first law) 菲克定律里的稳态扩散和非稳态扩散 菲克第二定律(Fick’s second law) 编辑本段菲克第一定律(Fick’s first law) 早在 1855 年，菲克就提出了：在单位时间内通过垂直于扩散方向的单 位截面积的扩散物质流量（称为扩散通量 Diffusion flux，用 J 表示）与 该截面处的浓度梯度(Concentration gradient)成正比，也就是说，浓度 梯度越大，扩散通量越大。这就是菲克第一定律，它的数学表达式如下： ······（1） 式（1）中, D 称为扩散系数(m2/s)，C 为扩散物质（组元）的体积浓 度(原子数/m 或 kg/m)，dC/dx 为浓度梯度，“–”号表示扩散方向为浓度 梯度的反方向，即扩散组元由高浓度区向低浓度区扩散。扩散通量 J 的单 位是 kg / m^2·s。 扩散系数 扩散系数(Diffusion coefficient)D 是描述扩散速度的重要物理量， 它相当于浓度梯度为 1 时的扩散通量，D 值越大则扩散越快。对于固态金属 中的扩散，D 值都是很小的，例如，1000℃时碳在 γ-Fe 中的扩散系数 D 仅 为 10m^2/s 数量级。 编辑本段菲克定律里的稳态扩散和非稳态扩散 菲克第一定律只适应于和 J 不随时间变化——稳态扩散(Steady-state diffusion)的场合（见图 3.7-1）。对于稳态扩散也可以描述为：在扩散过 程中，各处的扩散组元的浓度 C 只随距离 x 变化，而不随时间 t 变化，每 一时刻从前边扩散来多少原子，就向后边扩散走多少原子，没有盈亏，所 以浓度不随时间变化。实际上，大多数扩散过程都是在非稳态条件下进行 的。非稳态扩散(Nonsteady-state diffusion)的特点是：在扩散过程中， 和 J 都随时间变化。通过各处的扩散通量 J 随着距离 x 在变化，而稳态扩 散的扩散通量则处处相等，不随距离而发生变化。对于非稳态扩散，就要 应用菲克第二定律了。 编辑本段菲克第二定律(Fick’s second law) 菲克第二定律是在第一定律的基础上推导出来的。菲克第二定律指出， 在非稳态扩散过程中，在距离 x 处，浓度随时间的变化率等于该处的扩散 通量随距离变化率的负值，即 将代入上式，得 ······（2） 这就是菲克第二定律的数学表达式。如果扩散系数 D 与浓度无关，则 该式可以写成 ······（3） 上式中，C 为扩散物质的体积浓度(kg/m), t 为扩散时间(s), x 为距离 (m)。实际上，固溶体中溶质原子的扩散系数 D 是随浓度变化的，为了使求 解扩散方程简单些，往往近似地把 D 看作恒量处理。 式(2)和(3)都是偏微分方程，求解时应先作变换：令，这样，式(3.7-3) 就可以变成一个常微分方程，再结合初始条件和边界条件求出方程的通解。 利用通解可以解决包括非稳态扩散的具体问题。