高中竞赛不等式

1、（2001一试6）已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（　　）． 　Ａ．2枝玫瑰价格高　　Ｂ．3枝康乃馨价格高 Ｃ．价格相同　　　　 Ｄ．不确定 【答案】A 2、（2003一试5）已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u= eq \f(4,4－x2)+ eq \f(9,9－y2)的最小值是（ ） (A) eq \f(8,5) (B) eq \f(24,11) (C) eq \f(12,7) (D) eq \f(12,5) 【答案】D 3、（2004一试3）不等式 eq \r(log2x－1)+ eq \f(1,2)log eq \s\do 5(\f(1,2))x3+2>0的解集为（ ） A．[2，3) B．(2，3] C．[2，4) D．(2，4] 【答案】C 【解析】令log2x=t≥1时， eq \r(t－1)> eq \f(3,2)t－2．t∈[1，2)，(x∈[2，4)，选C． 4、（2005一试1）使关于 的不等式 有解的实数 的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 5、（2006一试2）设 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． 　D． 【答案】B 6、（2007一试2）设实数a使得不等式|2x−a|+|3x−2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（ ） A. B. C. D. [−3，3] 【答案】A 【解析】令 ，则有 ，排除B、D。由对称性排除C，从而只有A正确。 一般地，对k∈R，令 ，则原不等式为 ，由此易知原不等式等价于 ，对任意的k∈R成立。由于 ， 所以 ，从而上述不等式等价于 。 7、（2001一试10）不等式 的解集为 。 9、（2009一试3）在坐标平面上有两个区域 和 ， 为 ， 是随 变化的区域，它由不等式 所确定， 的取值范围是 ，则 和 的公共面积是函数 ． 【答案】 【解析】由题意知 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 10、（2009一试4）使不等式 对一切正整数 都成立的最小正整数 的值为 ． 【答案】2009 【解析】设 ．显然 单调递减，则由 的最大值 ，可得 ． 11、（2011一试3）设 为正实数， ， ，则 ． 12、（2012一试3）设 ，则 的最大值是 . 13、（2001一试15）用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6、（a1>a2>a3>a4>a5>a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。 3．设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD 若记 ，则S1、S2为定值，于是 只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4＜R3，R3＜R2，R3＜Rl，即得总电阻的阻值最小 4°对于图3把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替．要使RFG最小，由3°必需使R6＜R5；且由1°应使RCE最小．由2°知要使RCE最小，必需使R5＜R4，且应使RCD最小． 而由3°，要使RCD最小，应使R4＜R3＜R2且R4＜R3＜R1， 这就说明，要证结论成立 14、（2003一试13）设 eq \f(3,2)≤x≤5，证明不等式2 eq \r(x+1)+ eq \r(2x－3)+ eq \r(15－3x)<2 eq \r(19)． 15、（2003二试3）由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n=q2+q+1，l≥ eq \f(1,2)q(q+1)2+1，q≥2，q∈N．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA组成的图形)． 【解析】证明：设点集为V＝{A0，A1，…，An－1}，与Ai连线的点集为Bi，且|Bi|＝bi．于是1≤bi≤n－1．又显然有 eq \o(\s\do8(i＝0),\s\up10(n－1),∑)bi＝2l≥q(q+1)2+2． 若存在一点与其余点都连线，不妨设b0＝n－1． 则B0中n－1个点的连线数 l－b0≥ eq \f(1,2)q(q+1)2+1－(n－1) (注意：q(q+1)＝q2+q＝n－1) ＝ eq \f(1,2)(q+1)(n－1)－(n－1)+1＝ eq \f(1,2)(q－1)(n－1)+1 ≥ eq \f(1,2)(n－1)+1≥[ eq \f(1,2)(n－1)]+1．(由q≥2) 但若在这n－1个点内，没有任一点同时与其余两点连线，则这n－1个点内至多连线[ eq \f(n－1,2)]条，故在B0中存在一点Ai，它与两点Aj、Ak(i、j、k互不相等，且1≤i，j，k)连了线，于是A0、Aj、Ai、Ak连成四边形． 现设任一点连的线数≤n－2．且设b0＝q+2≤n－2．且设图中没有四边形．于是当i≠j时，Bi与Bj没有公共的点对，即|Bi∩Bj|≤1(0≤i，j≤n－1)．记 eq \o(B0,\s\up7(－))＝V\B0，则由|Bi∩B0|≤1，得|Bi∩ eq \o(B0,\s\up7(－))|≥bi－1(i＝1，2，…，n－1)，且当1≤i，j≤n－1且i≠j时，Bi∩ eq \o(B0,\s\up7(－))与Bj∩ eq \o(B0,\s\up7(－))无公共点对．从而 (n－1)(n－b0)(n－b0－1)≥(nq－q+2－b0)(nq－q－n+3－b0)．(n－1≥q(q+1)代入) 得 q(q+1)( n－b0)(n－b0－1)≥(nq－q+2－b0)(nq－q－n+3－b0)．(各取一部分因数比较) ① 但(nq－q－n+3－b0)－q(n－b0－1)＝(q－1)b0－n+3(b0≥q+2)≥(q－1)(q+2)－n+3＝q2+q+1－n＝0．② (nq－q+2－b0)－(q+1)(n－b0)＝qb0－q－n+2≥q(q+1)－n+2＝1＞0． ③ 又(nq－q－n+3－b0)、(nq－q+2－b0)、q(n－b0－1)、 (q+1)(n－b0)均为正整数， 从而由②、③得， q(q+1)(n－b0)(n－b0－1)＜(nq－q+2－b0)(nq－q－n+3－b0)． ④ 由①、④矛盾，知原命题成立． 又证：画一个n×n表格，记题中n个点为A1，A2，…，An，若Ai与Aj连了线，则将表格中第i行j列的方格中心涂红．于是表中共有2l个红点，当d(Ai)＝m时，则表格中的i行及i列各有m个红点．且表格的主对角线上的方格中心都没有涂红． 由已知，表格中必有一行有q＋2个红点．不妨设最后一行前q＋2格为红点．其余格则不为红点(若有红点则更易证)，于是：问题转化为：证明存在四个红点是一个边平行于格线的矩形顶点． 若否，则表格中任何四个红点其中心都不是一个边平行于格线的矩形顶点．于是，前n－1行的前q＋2个方格中，每行至多有1个红点．去掉表格的第n行及前q＋2列，则至多去掉q＋2＋(n－1)＝q＋2＋q2＋q＝(q＋1)2＋1个红点．于是在余下(n－1)×(n－q－2)方格表中，至少有 2l－(q＋1)2－1＝q(q＋1)2＋2－(q＋1)2－1＝(q－1)(q＋1)2＋1＝q3＋q2－q个红点． 设此表格中第i行有mi(i＝1，2，…，n－1)个红点，于是，同行的红点点对数的总和＝ eq \o(\s\do7(i＝1),\s\up11(n－1),∑)C eq \o(\s\up4(2 ),\s\do3(mi))．其中n－1＝q2＋q．(由于当n＞k时，C eq \o(\s\up4(2),\s\do3(n))＋C eq \o(\s\up4(2),\s\do3(k))＜C eq \o(\s\up4(2 ),\s\do3(n＋1))＋C eq \o(\s\up4(2 ),\s\do3(k－1))，故当红点总数 16、（2008一试14）解不等式 ． 【解析】方法一：由 ，且 在 上为增函数，故原不等式等价于 ．　　　　　　　　　　　　　　 即　　　　　　 ．　　　　　　　　　　　　　　 分组分解　　　 ， ，　　　　　　　　　　 　　 所以 ， 。所以 ，即 ．故原不等式解集为 ． 　 方法二： 由 ，且 在 上为增函数，故原不等式等 17、（2009一试11）求函数 的最大和最小值． 【解析】函数的定义域为 .因为 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 当 时等号成立．故 的最小值为 ． 又由柯西不等式得 所以 ． 由柯西不等式等号成立的条件，得 ，解得 ．故当 时等号成立．因此 的最大值为 ． 18、（2009二试2）求证不等式： ， ，2，… 【解析】证明：首先证明一个不等式： ⑴ ， ． 事实上，令 ， ． 则对 ， ， ． 于是 ， ．在⑴中取 得 ⑵ ． 19、（2012二试3）设 是平面上 个点，它们两两间的距离的最小值为 求证： 因而 证法二: 不妨设 以 为圆心, 为半径画 个圆,它们两两相离或外切， 设 是是圆 上任意一点,由于 因而,以 为圆心, 为半径的圆覆盖上述个圆 故 所以 PAGE 高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！ _1316926978.unknown _1316927153.unknown _1316932572.unknown _1374093201.unknown _1411837973.unknown _1411908535.unknown _1411909617.unknown _1411909679.unknown _1411910016.unknown _1411910074.unknown _1411909989.unknown _1411909637.unknown _1411908563.unknown _1411907975.unknown _1411908477.unknown _1411838005.unknown _1380173066.unknown _1411837888.unknown _1411837956.unknown _1411825953.unknown _1374093253.unknown _1374766173.unknown _1374093218.unknown _1316932615.unknown _1316932717.unknown _1316932759.unknown _1316932760.unknown _1316932757.unknown _1316932758.unknown _1316932756.unknown _1316932716.unknown _1316932585.unknown _1316932593.unknown _1316932580.unknown _1316931072.unknown _1316932470.unknown _1316932507.unknown _1316932560.unknown _1316932500.unknown _1316931115.unknown _1316931171.unknown _1316931187.unknown _1316931192.unknown _1316931160.unknown _1316931099.unknown _1316931106.unknown _1316931081.unknown _1316930941.unknown _1316931022.unknown _1316931033.unknown _1316930942.unknown _1316927165.unknown _1316927174.unknown _1316927161.unknown _1316927025.unknown _1316927083.unknown _1316927112.unknown _1316927139.unknown _1316927106.unknown _1316927056.unknown _1316927068.unknown _1316927041.unknown _1316927009.unknown _1316927011.unknown _1316927012.unknown _1316927010.unknown _1316926980.unknown _1316926981.unknown _1316927008.unknown _1316926979.unknown _1253888897.unknown _1285334543.unknown _1285335000.unknown _1316926896.unknown _1316926899.unknown _1316926977.unknown _1316926893.unknown _1285334571.unknown _1285334660.unknown 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