GRE Mathematics Subject Test知识点及易错点总结

1 GRE Mathematics Subject Test知识点及易错点 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf By 翟俊 天津大学 QQ：358379990 本总结以历年真题和 6套难题为根据。 一、 数学分析 1)数列 1、比较数的大小：乘方法 2、上（下）极限的计算 3、三角函数的自变量为整数 k时，在无穷远处极限值可以取得 R上任意值： 4、等比数列求和：𝑆𝑛 = 𝑎1(1−𝑞𝑛)1−𝑞 ；等比差数列求和： 11−𝑥 = ∑ 𝑥𝑛∞𝑛=0 1(1−𝑥)2 = ∑ 𝑛𝑥𝑛−1∞𝑛=0 5、数列迭代式的极限 6、极限计算： 1）数列：arctan(an)形式，利用三角公式去掉arctan后裂项；转化为积分形式计 算；连乘形式：代入算几个值求得通项公式，裂项相消；连续成函数，用罗必达 法则求解。涉及 k!在分母上的可以和𝑒𝑥展开式和 x𝑒𝑥的导数联系 2）函数：具有导数的形式；在可去间断点的极限（取对数、罗必达法则）；分子 有理化；泰勒展开法求解 7、数列递推 2)函数与导数 1、三角函数（反三角函数）：先用公式化简再求导；具体数值计算：设出角度、 利用公式或者作图求解；化为指数形式计算 2、求函数的不动点：cos(97x) = x; 有不动点的充要条件：[a, b] → [a, b], f’(x) ≤k ≤ 0 3、𝑓−1(𝑥)的计算：注意定义域、值域是否包括了；性质：𝑓(𝑥)与𝑓−1(𝑥)关于y = x对 称；𝑓(𝑥)与𝑓−1(𝑥)的图像凹凸性 4、函数的定义域：注意开三次方可以取负值 5、双曲函数：cosh (x) = 𝑒𝑥+𝑒−𝑥 2 sinh (x) = 𝑒𝑥−𝑒−𝑥 2 cosh2(x) − sinh2(𝑥) = 1 6、对数函数的化简 7、不等式的解区间：上下通分 8、函数的根的分布区间,图像交点；多项式根的分布（求导） 9、奇函数和偶函数的函数值关系 10、函数图像与解析式：对应、从一个变换到另一个、根的分布 11、求过定点的幂函数 12、复合函数的变量替换求原函数 13、周期函数判定 14、闭区间上连续（可微）函数的性质：有界可积，中值定理，介值定理；特例： 𝑓(𝑥) = 𝑥3；满足李普希兹条件的一定是连续函数，反之未必 15、函数的连续（可微）点：满足某方程的；定义在 Q上的和非 Q上的 2 16、n阶导数的递推运算 17、函数的渐近线求法：分离出一次多项式，找奇点 18、求过定点的切线，图像相切 19、泰勒展开式: ln(1 + x) = x − x2 2 + x3 3 − ⋯ arctan(x) = x − x3 3 + x5 5 − ⋯ , ef(x), 泰勒展开比较 2个函数的大小； 20、导数图像比较函数值大小：面积等于函数值之差（微分中值定理） 21、f(x)严格递增也有可能在有限个点处导数等于 0 22、f′′ < 0(> 0)图像的性质 23、连续函数ε − δ语言中运用中值定理找δ 24、极值问题：平面线性规划的极值。函数极值的 n 阶导数判别法：n 为偶 数,𝑓(𝑛)(𝑥) < 0 取极大值，, 𝑓(𝑛)(𝑥) > 0取极小值 ；n 为奇数，非极值点。函数 最(极)值：f(x) = asinnx + bcosnx；二阶判别法 3)定积分与不定积分 1、定积分计算：内部函数是某函数积分，变为重积分，积分次序交换。奇函数 的积分为零，无论形式如何。求含有三角函数的定积分：利用 π 2 − θ进行换元。 有理函数定积分裂项的 Heaviside方法求分子。含绝对值的定积分。利用定积分 的几何意义运算。取整函数积分：分段积分转化成级数求和 2、曲率半径公式：r= 1 𝜅 = �1+𝑓′2�32 𝑓′′ 3、定积分公式：∫ 𝑑𝑥 𝑥2+𝑎2 = 1 𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛 𝑥 𝑎 ∫ 𝑑𝑥 √𝑥2+𝑎2 = ln�𝑥 + √𝑥2 + 𝑎2� + 𝐶 4、旋转体体积计算：∫ 𝜋𝑓2(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎 5、计算矩：∫ 𝑎 𝑑𝑑 6、函数均值： 1 𝑏−𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎 7、求弧长:∫�𝑥′(𝑎)2 + 𝑦′(𝑎)2 𝑑𝑎 8、变上限函数的求导：在求极限中与罗必达法则相结合使用；求函数极值 9、可积性条件：可积不一定绝对（平方）可积；闭区间上的单调函数、分段光 滑有界函数、有有限个间断点的有界函数可积。 4)级数 1、级数求和：拆项法; ∑ 1 𝑛2 = 𝜋2 6 分成奇数项和偶数项计算 2、级数收敛的积分判别法 3、估计级数求和的极限：放大法，余项法，利用 1 1−𝑥 = ∑ 𝑥𝑛∞𝑛=0 求 1(1−𝑥)𝑛的展开式的求和， 11−𝑥2 = 12 ( 11−𝑥 + 11+𝑥) 4、级数∑𝑎𝑛 = ∑𝑎𝑛2的关系：无任何必然关系 3 5、幂级数：收敛域：注意形如(𝑥 − 𝑎)2𝑛+1的收敛域；展开式中∑𝑎𝑛𝑥𝑛中𝑓𝑛(0)𝑛! 相 对应可以求得𝑓𝑛(0)；放大成幂级数后求；注意系数的等价无穷小 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示； 6、函数项级数收敛：收敛域注意端点；积分极限号交换条件：控制函数存在 7、Fourier变换: 奇延拓函数的系数𝑏𝑘 = 2𝐿 ∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑠𝑛 𝑘𝜋𝑥𝐿 𝑑𝑥𝐿0 ; f(x) = 1 2 �f(x − 0) + f(x + 0)� 8、拉普拉斯变换及其公式，结合常微分方程 5)广义积分 1、广义积分：利用定义先积分后判断，或者直接利用判别法 2、Γ、Β函数：Γ � 1 2 � = √𝜋 ∫ 𝑒𝑥2∞0 𝑑𝑥 = √𝜋2 6)多元函数 1、多元函数连续性：极坐标法 2、全微分：利用全微分估计数值；实际问题的全微分方法解决：楼梯移动问题 3、隐函数求导计算斜率、法线 4、梯度、方向导数：上升最快方向；三维曲面f(x, y)在某平面上的曲线斜率： � �fx,fy�∙(a,b)|a,b| � (𝑎, 𝑏)为平行于平面方向，垂直于法向 5、多元函数极值判断：Hession 阵正定，极小值；负定极大值；行列式小于 0 鞍点；行列式等于 0，无法判断。 6、雅克比变换：x-y平面到 u-v平面：J=� 𝑢𝑥 𝑢𝑦 𝑣𝑥 𝑣𝑦 �;图像 7、多元函数图像 7)多重积分与场论 1、二重积分：极坐标求解法；找上下面，找交线 2、三重积分：球坐标表示，上下限确定，柱坐标换元：dV = rcosθdrdθ 3、Green公式计算环路积分 4、旋度计算 二、 线性代数 1) 多项式 1、 求共轭根：构建共轭多项式 2、 因式分解：凑平方 3、 二次型的判别矩阵行列式 4、 爱森斯坦判别法 5、 无理根：求解：先用爱森斯坦判别法求得有理根，再降次；无理根必成对出 现。 6、 根与系数的关系：和：− 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 积：(−1)n 𝑎0 𝑎𝑛 7、 无理根的最小多项式，从而求得原多项式 2) 行列式 1、 含有未知数的行列式计算 2、 矩阵乘积的行列式 4 3) 线性方程组 1、 解线性方程组 2、 齐次线性方程组解空间的维数 3、 非齐次方程组一定有解：|𝐴| ≠ 0，若无解则考虑|𝐴| = 0 4) 矩阵 1、 相似矩阵性质 2、 矩阵的零化多项式（幂等情况）:一次因式乘积必可对角化 3、 伴随矩阵及其行列式：𝐴∗ = (𝑎𝑐𝑑𝑎𝑖𝑖)𝑇 |𝐴∗| = |A|𝑛−1 4、 已知矩阵 M，求𝑀𝑛(的迹)：求特征值或者用初等矩阵性质 5、 博弈矩阵：G=�𝑎 𝑏 𝑎 𝑑 � 最小价值V(G) = |𝐺|(𝑎+𝑑)−(𝑏+𝑐) 6、 矩阵的逆计算、可逆矩阵性质 7、 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑎 𝑏 𝑏 ⋯𝑏 𝑏 𝑎 𝑏 ⋯𝑏 𝑏 𝑏 𝑎 ⋯𝑏 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑏 𝑏 𝑏 ⋯ 𝑎⎦⎥⎥ ⎥ ⎤ 必有特征值a − b和(n − 1)b + a，特征向量𝑣 = (1,1, … 1) 8、 � 1 2 3 ⋯2 3 4 ⋯3 4 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮�的秩为 2 9、 判断是否是正规矩阵、正定矩阵 10、 特征子空间的维数≤代数重数 11、 矩阵的广义逆：𝐴𝑚×𝑛 ∙ 𝐵𝑛×𝑚 = 𝐸𝑚×𝑚 12、 对称矩阵转置性质 13、 可交换矩阵的特征值、特征向量性质 14、 A与𝐴2的元素、特征值、行列式的性质 15、 矩阵对角化 5) 线性空间 1、 𝑅𝑎𝑛𝑅(𝐴) + 𝑁𝑢𝑑𝑑(𝐴) = 𝑛 2、 𝑑𝑠𝑑(𝑊1 ∪𝑊2) = 𝑑𝑠𝑑𝑊1 + 𝑑𝑠𝑑𝑊2 − 𝑑𝑠𝑑(𝑊1 ∩𝑊2) 3、 判断一个集合是否是线性空间、子空间 4、 复数域上的内积为(a,𝑏�) 5、 判断一个向量是否属于行（列）空间，代入矩阵中，利用初等变换消元验证 6）线性变换 1、 将一组基映成一组新基，求将一个向量映成什么 2、 非奇异线性变换（矩阵）的性质 3、 一个线性变换的伴随变换为它的转置 4、 双线性变换在另一组基下的表示矩阵为�𝑢1𝐴𝑢1 𝑢1𝐴𝑢2𝑢2𝐴𝑢1 𝑢2𝐴𝑢2 � 5 三、 解析几何 1、 多边形内切圆、椭圆内切矩形、圆内接多边形 2、 极坐标化为直角坐标 3、 向量内积、外积、混合积，内积与角度的关系 4、 圆的正交：𝑎12 + 𝑎22 = |𝑂1𝑂2|2 5、 三角形面积公式：S = 1 2 absinθ 6、 对角线：长度，个数n(n−3) 2 7、 求重心：坐标算术平均，对称图形的重心等于各自重心的平均 8、 弧度与面积S = 1 2 𝑎𝜃2 9、 椭圆、双曲线方程 10、 2次方程消去交叉项：cot2θ = 𝑎11−𝑎22 2𝑎12 11、 面积比等于相似比的平方 12、 比较图形面积大小 13、 点到平面距离公式 14、 柱面、锥面方程求法 15、 圆外切 n边形与内接 n边形周长之比（sec 𝜋 𝑛 ） 16、 杠杆重心：距离近，权重大 17、 绕坐标轴的旋转面方程 四、 近世代数 1) 群 1、 若集 A与 B分别含有 n与 m个不同的元，共有𝑑𝑛个不同的 A到 B的映射 2、 设集 A恰有 n个元，A中的代数运算种类：𝑛𝑛2(A ∗ A → A的映射数) 3、 无限集：与其某个真子集间可以建立一一映射的集合；否则为有限集； 4、 n元集 A的关系共有2�n2�, (n → {1,−1}) 5、 定义新的计算法则，讨论交换律、结合律、单位元、逆元，判断是否是群； 找元的逆：代入法 6、 有限群的乘法适合消去律⇔在 G的乘法表中每行（列）中 n个元素互不相同 7、 子群成立的条件；子群乘积的阶为生成此群最小公倍数或者可数无穷；|HK| = |𝐻||K||H∩K| 8、 满足x2 = 𝑥的元的性质: 交换群 9、 群 G中任一元满足x2 = 𝑒，则 G是交换群；反之不成立 10、 元素的阶与其逆的阶相等 11、 有限群中，阶大于 2的元必为偶数 12、 设 a,b是群 G的任意两个元，则 ab与 ba的阶相同；abc, bca, cab同阶 6 13、 Q-{-1}对于a ∙ b = a + b + ab成群 14、 设集 A恰有 n个元，A中的变换种类有𝑛𝑛个，一一变换有n!个 15、 一个左陪集的元的逆元组成右陪集 16、 pq阶群(q > p),必只有 1个 q阶群 17、 任意p2阶群必为阿贝尔群 18、 群 G的所有真子群都是循环群，G未必是循环群 19、 子群有传递性，但不变子群没有 20、 每个 3阶群都与𝑍3同构 21、 Sylow p-子群的阶数等于p𝑠，s为最高次数 22、 拉格朗日定理运用，求陪集个数 23、 n阶循环群𝑍𝑛中生成子的个数（与 n互素的数的个数=n∏(1 − 1𝑝𝑖)） 24、 阿贝尔群的互不同构的子群数、不变因子、初等因子 25、 阿贝尔群至少有一个 d阶子群，d|n;循环群有且仅有一个 d阶群，故其 子群数为因子数：（n+1）·(m+1)·……；任何群都至少有一个p𝑖阶子群。 26、 P是素数，变换群S𝑝中阶为 p的元有（p − 1）!个 27、 置换群中某元素的阶的计算 28、 |𝐴𝑛| = 𝑛!2 偶置换成群 29、 置换的柯西数: ∑(𝑅𝑖 − 1) 𝑅𝑖为每个轮换的阶数 30、 置换群某元素的逆：将元素上下两行换位，上面一行按顺序排好 31、 n阶二面体群D𝑛的阶数为 2n 32、 直和的阶等于阶的最小公倍数 33、 𝑍𝑛与𝑍𝑚，m与 n互素，则其直和同构与𝑍𝑛𝑚,故是一个循环群。 34、 𝑍𝑛 → 𝑍𝑚的群同态数目：将 1映成生成子即可，寻找𝑍𝑚中生成子个数， 若非满射，则还有 0映射满足；必要条件：m与 n不互素。 35、 同态传递循环群，反之，循环群的原像不一定是循环群 36、 同态：G ∅→ 𝐺′ 则必有|∅(𝐺)|| 𝐺且|∅(𝐺)|| G′ 37、 同态：G ∅→ 𝐺′，必有|𝐺′|||𝐺|；若均是循环群，逆也成立 38、 同态映射将单位元映成单位元，将逆元的像映成像的逆元；反之不成立 39、 同态映射下，𝑎和∅(𝑎)的阶不一定相同，只有在单射时才一样 40、 任意两个群一定有同态映射 41、 单同态⇔ kerf = {0}，同态映射的核是子群，所以如果一个群的阶是素数， 且是非平凡同态，则一定是单射。 42、 C有且只有 2个自同构映射；Z和 Q的自同构映射只有恒等映射；Z和 Q 的自同态映射有恒等自同态和零同态；域的自同构只有 1个 2) 环 7 1、 子环的单位元不一定与原环相同；子环和原环在有没有单位元，是不是相等 上没有任何关系；若是无零因子环，则子环的单位元是原环的单位元 2、 R对加法是循环群（素数个元素的环），则 R是交换环 3、 环 R有且只有一个左（右）单位元 e,则 e必为右（左）单位元 4、 在有单位元的环 R中，若 a有唯一的左（右）逆元，则 a可逆 5、 𝑍𝑛不可逆元=含零因子的元=不与 N互素的元 6、 环的单位：𝑍𝑛中与 N互素的元或者用模去验证 7、 判断是否是不可约元（素元）：找共轭，求模，看是否能分解 8、 无零因子⇔消去律成立 9、 环的特征：是所有元素归 0的最次数，零环无特征；无零因子环的特征是素 数； 10、 𝑍𝑛中的真子理想：生成元为不与 n互素的元 11、 𝑍𝑛的理想数等于 n的因子数 12、 左(右)理想:左(右)吸收律，左：rϵR,uϵU,则ruϵU 13、 有限理想的环 14、 证明两个理想相等：可以互相表示：带余除法 15、 整数环是主理想环 16、 理想的理想不是原环的理想 17、 除环中除了 0以外的元有逆 18、 除环与整环没有包含关系 19、 判断是否是整环 20、 整环 I的可逆元对于乘法做成群，但不是 I的子群：运算不一样 21、 整环里的两个元素不一定有最大公因子；但是唯一分解环中成立 22、 环上的可约多项式是指:在环上有根,因此可逐个带入检验 23、 环上多项式的根：代入法 24、 环的直和中单位的个数等于分别的个数相乘 25、 𝑍𝑛 → 𝑍𝑚的环同态个数，找出𝑍𝑛中幂等元个数 26、 同态满射才传递单位元和交换性 27、 同态双向传递子环，子群，理想 28、 F是域，f(x)ϵF[x], degf(x) = 2或 3,则 f(x)在 F[x]中可约⇔ f(x)在 F中有根 3) 域 1、 域中除了 0以外的元才有消去律成立 2、 有限域的阶数为素数次方,为循环环 3、 有限整环是域，有限无零因子非零环是除环 五、 数论 1、 整数 n分解为数之和2n−1 2、 循环小数化为分数 3、 𝜑(𝑑) = m �1 − 1 p � �1 − 1 q �⋯�1 − 1 r � 8 4、 整数的所有因子求和：∏1−𝑝𝑖 𝑠𝑖+1 1−𝑝𝑖 5、 整数的因子数∏(𝑠𝑖 + 1) 6、 若 𝑎 ≡ 𝑏(𝑑𝑐𝑑𝑑),𝑅|𝑑,则𝑎 ≡ 𝑏(𝑑𝑐𝑑𝑅) ; 若 𝑎𝑎 ≡ 𝑏𝑎(𝑑𝑐𝑑𝑑), gcd(𝑎,𝑑) = 𝑑,则𝑎 ≡ 𝑏 �𝑑𝑐𝑑 𝑚 𝑑 � 7、 求余数：费马公式𝑎𝜑(𝑚) ≡ 1(𝑑𝑐𝑑𝑑),a与 m互素； 𝑎𝑝−1 ≡ 1(𝑑𝑐𝑑𝑚) a与 p 互素； 𝑎𝑝 ≡ 𝑎(𝑑𝑐𝑑𝑚) p为素数；模先分解为质数再分别考虑 8、 若𝑎𝑛 ≡ 1(𝑑𝑐𝑑𝑑),则 n|𝜑(𝑑) 9、 被 n整除的判别 10、 一次同余式的解：注意约分后要回乘 11、 2个 2次不定式的同余关系在此处键入公式。 12、 高次同余式：费马公式降次 13、 p是素数⇔ (p − 1)! + 1能被 p除尽 14、 连分数的计算 15、 抽象数的性质，用数学归纳法 16、 任何形如 4s+1的素数可以表示成两个平方和 17、 二进制 18、 k!的因子分解,某尾 0个数等于因子 5的个数 六、 常微分方程 1、 y′ + P(x)y = Q(x) 的解：y(x) = 𝑒−∫𝑝𝑑𝑥(∫𝑄𝑒∫𝑝𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) 2、 求积分因子：𝑀𝑦−𝑁𝑥 𝑁 = φ(x), 𝑀𝑦−𝑁𝑥 −𝑀 = 𝜓(𝑥),𝑢 = 𝑒∫φ(x)𝑑𝑥或者𝑢 = 𝑒∫𝜓(x)𝑑𝑥 3、 判断一个方程是否是恰当方程 4、 齐次方程的变量替换：y = vx, dy = xdv + vdx 5、 弗朗斯基行列式� 𝑓1 𝑓2 𝑓1 ′ 𝑓2′� 6、 现实问题方程建立（热扩散） 7、 解线性齐次常系数方程 8、 求解与某族曲线正交的曲线族 9、 描绘积分曲线 10、 将积分方程化为微分方程：结合变上限函数求导 11、 拉普拉斯变换:L�𝑦(𝑛)� = 𝑠𝑛L[𝑦] − 𝑠𝑛−1𝑦(0) −⋯𝑠𝑦(𝑛−1)(0) − 𝑦(𝑛)(0) L[y^((1) ) ] = sL[y] 12、 欧拉方程求解:K(K − 1)⋯ (K − n + 1)𝑎𝑛 + ⋯+ 𝑎1𝐾 + 𝑎0 = 0 解为：根为实数、重根：𝑥𝐾0 , 𝑥𝐾0 ln|𝑥| , 𝑥𝐾0 ln2 |𝑥| ,⋯ 根为复数、重根：xαcos (𝛽ln |𝑥|),𝑥𝛼cos (𝛽ln |𝑥|) ln|𝑥| , 𝑥𝛼cos (𝛽ln |𝑥|) ln2 |𝑥| ,⋯ 13、 2阶线性变系数非齐次方程的格林函数:𝑎2𝑦′′ + 𝑎1𝑦′ + 𝑎0𝑦 = 𝑓(𝑥) 9 G=− 1 𝑎2(𝑡) ∙ � 𝑓1 (𝑥) 𝑓2(𝑥) 𝑓1 ′ (𝑡) 𝑓2′(𝑡)� � 𝑓1 (𝑡) 𝑓2(𝑡) 𝑓1 ′ (𝑡) 𝑓2′(𝑡)�, 𝑓1 (𝑎) 𝑓2(𝑎)为齐次解 14、 求解含有λ的方程 15、 热扩散方程𝑢𝑡 = 𝑢𝑥𝑥当 t趋于无穷转化成拉普拉斯方程𝑢𝑥𝑥 = 0，求最终 温度：先解方程再积分平均 16、 2阶线性变系数齐次方程：已知 1个解，求另 1个解： 17、 高次方程的降阶 七、 复分析 1、 留数积分 2、 所有 n次单位根之和为 0 3、 共轭函数的求解和性质：f ′ = 𝑢𝑥 + 𝑠𝑣𝑥, u + 𝑠𝑣解析则𝑣 − 𝑠𝑢解析 4、 用 C-R条件求解解析域 5、 判断是否解析：用定义 6、 求解方程：如 cosZ=3,利用 cosZ的指数形式化简 7、 求一个复数的 n次方：化为指数形式计算 8、 积分的 N-L公式 9、 Laurent展开式：利用 1 1−𝑧 = ∑ 𝑧𝑛∞𝑛=0 求 1(1−𝑧)𝑛 10、 非常数整函数必有无穷远处的奇点 11、 全纯函数的任意阶导数仍全纯 12、 无穷远点留数为-𝑎−1 13、 分式线性映射的保圆(直线)性 14、 公式：Log|z| = log|z| + iArgZ, cos(iz) = coshz, cosh(iz) = cos(iz), sin(iz) =isinhz, sinh(iz) = isinz 八、 实分析 1、 可测函数定义：开集的原像是可测集；连续函数一定可测；定义在零测集上 的函数总是可测的，在不可测集上性质任意。（可作为反例） 2、 基数:R→[0,1]上所有映射的基数;代数数集是可数集;超越数是不可数集;可 数集和无限集的交集可能是有限集; 3、 C[a, b]的基数是ℵ0; R[a, b]的基数是ℵ; ℵ0ℵ0 = ℵ0∞ = ℵℵ0 = ℵ∞ = 2ℵ0 = ℵ；ℵ0 ℵ = ℵℵ = 2ℵ 4、 对称差 5、 集 合 的 差 : A − B , (A ∩ B) − C = (A − C) ∩ (B − C) , (A ∪ B) − C =(A − C) ∪ (B − C) 6、 公 式 : |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩C| 7、 有界变差函数：求变差的上确界：找边界点和极值点 10 8、 度量函数：√𝑑, min{𝑑, 1} , 𝑑 2 , 𝑑 1+𝑑 ; 非度量函数：𝑑2; 正定性，对称性，三角 不等式 九、 拓扑 1、 余有限拓扑:每个子集都是紧集 2、 集合能够生成的拓扑个数 3、 判断是否是拓扑空间 4、 拓扑不变性：极限点 5、 找出集合的聚点 6、 𝑒𝑥𝑠𝑠𝑛𝑥：满射，非单射，无解 7、 单射、满射的复合：问哪个单哪个满 8、 讨论像的交（并）和交（并）的像的关系：特例常函数 9、 连续函数的等价定义：∀𝐴 ∈ 𝑋，∀𝐵 ∈ 𝑌，则𝑓−1[𝐵°] < (𝑓−1[𝐵])°, 𝑓−1[𝐵]��������� < 𝑓−1[𝐵�], 𝑓[�̅�] < 𝑓[𝐴]������ 10、 连续函数的性质：紧集上的连续函数上下确界可达；传递紧性、连通性, 不传递 Hausdorff 性；Hausdorff 空间上的作用; 连续函数保持紧性和连通 性; 11、 空集也是开集 12、 紧集、连通集、Hausdorff集的判断、关系 13、 离散空间中的开集、极限点、连续函数 14、 道路连通一定连通 15、 紧空间的闭子集是紧集；紧集不一定闭；𝑅𝑛中的有界闭集⇔紧集； Hausdorff空间中的紧子空间是闭的 16、 定义在离散拓扑上的函数都是连续函数；像集是平凡拓扑的函数都是连 续函数 17、 Hausdorff空间的子集还是 Hausdorff空间，连通集和紧集则不然 18、 设𝑓:𝑋 → 𝑌是一个连续一一映射， 若 X是紧的，Y是 Hausdorff的，则𝑓是一个同胚。 19、 度量函数的几何意义 十、 概率及排列组合 1、 捆绑法、插空法 2、 中位数、均值意义 3、 均匀分布的函数概率：如X < YZ，Z < cos2𝑋 sin2 𝑌，直接将右边看做被积函 数在区间上积分 4、 几何分布的累加：在出现…之前出现…的概率 5、 求解概率密度函数的常数 C 6、 求E[X]、E[X2]、离散形式：∑𝑥𝑖𝑚(𝑥𝑖) 离散方差 7、 超几何分布、二项分布 11 8、 选奇偶（一半） 9、 置换数 𝑛! 𝑛1!𝑛2!⋯𝑛𝑠! 10、 系统可信度：[1 − (1 − R)𝑚]𝑛 m个并联 n个串联 11、 多项式展开的系数：注意要选全了 12、 等待第一次成功的期望T = 1 p p为几何概型 13、 N个人坐一圈的种数𝑛! 𝑛 14、 N 类里面重复取 k次的组合数C𝑛𝑛+𝑘−1 15、 条件概率的乘法公式:P(A|B) = 𝑃(𝐴𝐴) 𝑃(𝐴) 16、 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) 17、 切比雪夫不等式：P{|ξ− Eξ| ≥ c} ≤ 𝐷ξ 𝐶2 18、 伯努利概型的正态近似：Eξ = np,𝐷ξ = npq 19、 正 态 分 布 的 函 数 值 ∅(0) = 0.5,∅(1) = 0.84,∅(1.5) = 0.93,∅(2) =0.98,∅(2.5) = 0.99 20、 m元集的可重 n排列mn; n元集无序分拆为 m个非空子集 1 m!∆m0n; n元集无序分拆为 m个子集� 1k!∆k0nm k=1 ; n元集有序分拆为 m个非空子集∆m0n； x1 + ⋯ xn = n非负整数解组数Cn+m−1n ; x1 + ⋯ xn = n正整数解组数Cn−1m−1; ∆m0n = � Cmk (−1)m−kknm k=1 21、由 n元集到 m元集的映射 f:一般映射数mn;单射Amn ；满射∆m0n；双射n! 十一、 数值分析 1、 差分方程：齐次解：𝐶1𝜆1 + 𝐶2𝜆2 ,重根𝐶1𝜆1 + 𝐶2𝑛𝜆1 ;非齐次解：特解 若 f(n) = Kn,则X𝑛∗ = 𝐴𝑛 + 𝐵 2、 Newton迭代法：X𝑛+1 = X𝑛 − 𝑓(X𝑛)𝑓′(X𝑛) 3、 Euler迭代法:𝑦𝑛−𝑦𝑛−1 ℎ = f(x𝑛−1, y𝑛−1) 4、 积分的梯形公式 十二、 离散数学 1) 序 1、 注意先后顺序“≪”；极大（小）元、最大（小）元（必须在集合中）； 上（下）确界不必在集合中 12 2) 逻辑演算 1、 Boolean variable/function 只取 0，1值的变量(函数)； 2、 ~(∀x ∈ S)W(x) ⇔ (∃𝑥 ∈ 𝑆)[¬𝑊(𝑥)] 3、 P ⇒𝑄 只有在 P真 Q假时才是假 3) 图论 1、 邻接矩阵、关联矩阵 2、 完全图的边数𝐶𝑛2 3、 平面图的欧拉公式：F + V − 2 = E，E ≤ 3V − 6 4、 度数之和等于边数的 2倍；奇度数的顶点一定有偶数个 5、 无环的图是森林；连通的无环图是树；树是森林 6、 有通路必有路，有闭通路必有环 7、 树的性质：结点数比边数多 1 8、 连通图中必有树，找出生成树就是破坏环，直到无环为止--破圈法 9、 n个结点的完全图的生成树有nn−2棵 10、 高度为 h的完全 m分树至多有mh个叶子结点，最少有（m − 1）(h −1) + m个叶子结点 11、 完全 m分树的叶子结点数为 t,分支结点数为 i,则(m − 1)i = t − 1 十三、 程序阅读 1、 步数多少计算 2、 算法含义 3、 输出结果 4、 N个元素采取截中法搜索，最多需要log2𝑛步 十四、词汇 Right angle 直角 Concave upward 上凸 Concave downward 下凸 Idempotent matrix 幂零矩阵 Inflection point 拐点 Radical 幂零元 Numerator 分子 Denominator 分母 Pentagon 五边形 Cross ratio 交比 Curl 旋度 Minimum 极小值 Absolute minimum 最小值 To the nearest hundredth of a percent 近似到百分位 Negation 否命题 Indicial equation 特征方程 Tautology 恒真式 13 Contrapositive 逆否命题 Injective 单射 Consistent equation 有解方程 Asymptotes 渐近线 Monoid 幺半群 Dihedral group 二面体群 Epimorphism满同态 Monomorphism单同态 Endomorphism自满同态 Automorphism自同构