流体力学 B 篇题解
B1 题解
BP1.1.1 根据阿佛迦德罗定律，在
标准
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状态下（T = 273°K，p = 1.013×105 Pa）一摩尔
空气（28.96ɡ）含有 6.022×10 23个分子。在地球表面上 70 km 高空测量得空气密度为 8.75
×10 -5㎏/m3。 试估算此处 10 3μm3体积的空气中，含多少分子数 n (一般认为 n <106 时，
连续介质假设不再成立)
答： n = 1.82×10 3
提示：计算每个空气分子的质量和 103μm3 体积空气的质量
解： 每个空气分子的质量为 g1081.4
10022.6
g96.28 23
23
m
设 70 km 处 103μm3 体积空气的质量为 M
g1075.8)m1010)(kg/m1075.8( 20318335 M
3
23
20
1082.1
g1081.4
g1075.8
m
M
n
说明在离地面 70 km 高空的稀薄大气中连续介质假设不再成立。
BP1.3.1 两无限大平行平板，保持两板的间距δ= 0.2 mm。板间充满锭子油，粘度为μ=
0.01Pas，密度为ρ= 800 kg / m3。若下板固定，上板以 u = 0.5 m / s 的速度滑移，设油
内沿板垂直方向 y 的速度 u (y)为线性分布，试求：
(1) 锭子油运动的粘度τ；
(2) 上下板的粘性切应力σ1、σ2 。
答： τ= 1.25×10 – 5 m2/s, σ1=σ2 = 25N/m
2。
提示：用牛顿粘性定侓求解，速度梯度取平均值。
解：(1 ) /sm1025.1
kg/m800
/smkg0.01 25-
3
（2）沿垂直方向（y 轴）速度梯度保持常数，
/21 u
dy
du
= (0.01Ns / m2)(0.5m/s)/(0.2×10-3m)=25N/m2
BP1.3.2 20℃的水在两固定的平行平板间作定常层流流动。设 y 轴垂直板面，原点在下板
上，速度分布 u ( y )为
)(
6 2
3
yby
b
Q
u
式中 b 为两板间距，Q 为单位宽度上的流量。若设 b = 4mm， m/sm33.0 3 Q 。试
求两板上的切应力 。w
答： 23 N/m10124.0
提示：用牛顿粘性定侓求解，两板的切应力相等。
解：由对称性上下板的切应力相等
202
0
6
)2(
6
d
d
b
Q
yb
b
Q
y
u
y
y
查表 μ=1.002×10 – 3Pa·s,两板上切应力相等
23
23
2-33
N/m10124.0
m)104(
)Ns/m10/sm)(1.002m33.0(6
BP1.3.3 牛顿液体在重力作用下，沿斜平壁 (倾斜角θ)作定常层流流动，速度分布 u (y)
为
)2(
2
sin 2yhy
g
u
式中 为液体的运动粘度，h 为液层厚度。试求
(1). 当 030 时的速度分布及斜壁切应力 1w ；
(2). 当 = 90°时的速度分布及斜壁切应力 2w ；
(3). 自由液面上的切应力 0 。
答： ghw
2
1
1 ； ghw 2 ； 0 = 0 。
提示：用牛顿粘性定侓求解。
解：（1）θ= 30°时，u = g (2 h y- y 2 ) / 4ν
ghyhg
dy
du
yy
w
2
1
)(
2
1
00
1
(2)θ= 90°时，u = g (2 h y- y 2 ) / 2ν
ghy-hg
dy
du
y
y
2w
0
0
)(
(3) 0)(sin
h
0
hy
y
y-hg
dy
du
BP1.3.4 一平板重 mg = 9.81N，面积 A = 2 m2，板下涂满油，沿θ= 45°的斜壁滑下，油
膜厚度 h = 0.5 mm 。若下滑速度 U =1m/s, 试求油的粘度 µ。
答： sPa10734.1 3
提示：油膜切应力之合力与重力在运动方向的分量平衡，油膜切应力用牛顿粘性定
律求解，速度梯度取平均值。
解：平板受力如图 BP1.3.4 所示，油膜切应力之合力与重力在运动方向的分量平衡
A
h
U
Amg sin
sPa101.734
)(1m/s)(2m
in45m)(9.81N)s10(0.5sin 3
2
ο3
UA
hmg
BP1.3.5 一根直径 d =10 mm，长度 l =3 cm 的圆柱形轴芯, 装在固定的轴套内，间隙为
δ= 0.1mm,间隙内充满粘度μ= 1.5 Pas 的润滑油,为使轴芯运动速度分别为 V= 5cm/s, 5
m/s,50 m/s 轴向推动力 F 分别应为多大。
答：F1= 0.705N, F2 = 70.5N, F3= 705N 。
提示：用牛顿粘性定侓求解，速度梯度取平均值。
解：F =σA，
V
，A=πd l
)Ns/m14.1
m100.1
)m)(0.03m(0.01)s/m(1.5N
3-
2
V(V
dlV
F
当 V1= 5×10
–2
m/s 时，F1= 0.705 N
V2=5 m/s 时， F2=70.5N
V3=50m/s 时， F3=705N
BP1.3.6 一圆柱形机轴在固定的轴承中匀速转动。轴径 d = 20 cm, 轴承宽 b = 20cm,润滑
油粘度μ=0.2Pa·s,轴承转速为 n=150r/min。设间隙分别为δ=0.8 mm,0.08mm,0.008mm
时,求所需转动功率W 。
答: W7740,W774,W4.77 321 WWW
。
提示：轴承面上的切应力用牛顿粘性定侓求解，所需功率为 MW , M 为轴承面
上粘性力对轴心的合力矩， 为角速度。
解:轴承面上的切应力为
2
d
dr
du
式中 15.7rad/s/(60s/min)(150r/min)260/2 πn
轴承面上的合力矩为
42
1
22
3
2 bdbd
d
db
d
AM
所需要的功率为
)
s
mN
(
1
062.0
1
4
2m)π(0.2m)(0./s)s)(15.7rad(0.2Pa
4
2
3232
bd
MW
当δ= 0.8 mm 时, 1W
= 77.5 W
δ= 0.08 mm 时,
2W
=775 W
δ= 0.008 mm 时,
3W
= 7750 W
BP1.3.7 旋转圆筒粘度计由同轴的内外筒组成，两筒的间隙内充满被测流体，内筒静止，
外筒作匀速旋转。设内筒直径 d = 30 cm；高 h = 30 cm，两筒的间隙为δ= 0.2 cm，外筒
的角速度为ω=15rad/s，测出作用在内筒上的力矩为 M = 8.5 N-m, 忽略筒底部的阻力，求
被测流体的粘度μ
答：μ=0.176 Pa·s
提示：M 为轴承面上粘性力对轴心的合力矩，粘性力用牛顿粘性定侓计算,速度梯度
用平均值。
解：作用在内筒上的力 F = M / 0.5 d＝2M/d
外筒的线速度为 )5.0( dV
由牛顿粘性定律 dM
dh
dh
V
AF /2
)5.0(
sPa0.176
)m0.002m)(0.15m(0.3)m(0.3)ad/sr(15
)m10)(0.2mN2(8.5
)50(
2
2
2-
2
δd.hπdω
Mδ
BP1.4.1 用量筒量得 500ml 的液体，称得液体的重量为 8N，试计算该液体的(1)密度 ；
(2) 重度 g ；(3) 比重 SG。
答： 3kg/m1631 , 3kN/m16g , SG =1.63.
解： (1) 3
36-
2
kg/m1631
m10500
)m/s)/(9.81(8
Nm
(2） 332323 kN/m16m/)kgm/s1016()m/s81.9)(kg/m1631( g
(3) SG = (1631 kg/m
3
) / (1000 kg/m
3
) = 1.63
BP1.4.2 已知水的体积弹性模量为 K =2×109 Pa，若温度保持不变，应加多大的压强Δp
才能使其体积压缩 5% 。
答：Δp =108 Pa
提示：按体积弹性模量的定义计算。
解：由体积弹性模量的定义
/d
dp
K
式中σ为体积。与体积变化相应的压强变化为
Pa100.05)Pa)(102(
d 89
Kp
BP1.4.3 压力油箱压强读数为 3×105 Pa，打开阀门放出油量 24kg，压强读数降至 1×105 Pa，
设油的体积弹性模量为 K=1.3×10 9 Pa，密度为ρ= 900 kg/m3，求油箱内油原来的体积σ。
答：σ=173.55 m3
提示：按体积弹性模量的定义计算。
BP1.4.4 将体积为σ1的空气从 0℃加热至 100℃，绝对压强从 100kPa 增加至 500kPa，试
求空气体积变化量 。
答：
1727.0
提示：用完全气体状态方程求解。
解：设空气为完全气体，满足状态方程，从状态 1 到状态 2
2
22
1
11
T
p
T
p
11
2
1
1
2
12 273.0
500
100
273
100273
p
p
T
T
1112 727.0)1273.0()(
BP1.4.5 玻璃毛细管的内径为 d=1mm，试计算 C10 的水在空气中因毛细效应升高的最大值
h 。
答： h ＝0.03m
解：查
m
msmmkg
mN
dg
h
mN
03.0
10
1
)/81.9)(/10(
)/0742.0(414
,/0742.0
3233
2
2
BP1.4.6 两块互相平行的垂直玻璃平板组成间距 b=1mm 的狭缝，试求 C10 的水在空气中因
毛细效应升高的值 h ，并于 BP1.4.5 作比较。
答： h ＝0.015m
图 BE1.4.2
解：参图 BE1.4.2，计算单位宽度的缝隙中水体的力平衡
hbg cos2
m
msmkggb
h 015.0
)10)(/9810(
0742.02cos2
,0
322
讨论：升高值只有毛细管的一半。
BP1.4.7 C20 空气中有一直径为 d＝1mm 的小水滴，试用拉普拉斯公式计算内外压强差 p 。
答： p ＝291.2Pa
解： Pa
m
mN
R
p 2.291
105.0
)/0728.0(22
3
2
B2 题解
BP2.2.1 已知速度场为 u = 2y (m/s), v = 1 (m/s)，试求通过图 BP2.2.1 中阴影面积（1）
（右侧面）和（2）（上侧面）的体积流量 Q1 和 Q 2 。
答：Q 1 =2 m
3
/s，Q 2 = 6 m
3
/s
解：由体积流量公式（B2.2.3）式 A AQ d)( nv
对面积（1）n = i dA = 2dy
/sm22d4d2)(2 3
1
0
1
0
2
1
0
yyyyyQ iji
对面积（2） jin
s
x
s
y
d
d
d
d
， dA=2ds (s 沿 AB 线)
A A xyyx)yy(ss
x
s
y
yQ
1
0
2
0
d2d4dd22d)2
d
d
d
d
)((2 jiji
= /sm622 3
2
0
1
0
2 xy
BP2.2.2 不可压缩粘性流体在圆管中作定常流动，圆管截面上的速度分布为
)/1(10 22 Rru cm/s，圆管半径 R=2cm，试求截面上的体积流量 Q，平均速
度 V 和最大速度 mu 。
答：Q =20πcm3/s，V=5 cm/s，um= 10 cm/s
解： A
R R
0
rdr
R
r
rdrudAQ
0 2
2
)-(1202)( nv
cm/s102
cm/s5
cm4
/scm20
/scm201)-(220)
4
1
-
2
1
(20
)
4
1
2
1
(20)(20
2
3
2
322
0
4
2
2
0 2
3
Vu
R
Q
A
Q
V
RR
r
R
rdr
R
r
r
m
R
R
BP2.2.3 已知圆管定常流动中截面上的速度分布为
nRruu )/1(m
(n ≠-1,-2)
式中 um 为圆管轴线上的最大速度，R 为圆管半径。（1）试验证截面上的平均速度
为 )]2)(1/[(2 m nnuV ； （2）取 n= 1/7，求 V。
答：V = 0.8167 um
解：（1） rr
R
r
R
u
rr
R
r
R
u
Au
RA
Q
V n
R
n
R
d)1(
2
d2)1(d
1
0
2
m
0
2
m
2
（a）
由积分公式
)2)(1(
)1(
)2)(1(
)d(1)1(
1
d)1()1(
1
)1(d
1
d)1(
2
0
2
0
1
0
1
0
1
0
1
0
nn
R
R
r
nn
R
R
r
R
r
n
R
r
R
r
R
r
r
n
R
R
r
r
n
R
rr
R
r
R
R
n
R
n
R
n
R
n
R
n
代入(a)式
)2)(1(
2
)2)(1(
2 m
2
2
m
nn
u
nn
R
R
u
V
当 n＝1/7 时
m
m 8167.0
)2
7
1
)(1
7
1
(
2
u
u
V
BP2.2.4 在习题 BP2.2.3 的速度分布式中取 n = 1 / 10，计算动能修正系数α，并与例 B2.2.2
中 n = 1/7 的结果作比较。
答： =1.031
解：由 BP2.2.3 muV mu
mu 0 . 8 6 5 8
2111
10102
2)
10
1
1)(
10
1
(
2
或 um / V= 1.155。由例 B2.2.2 动能修正系数定义为
1.031
2313
101021.155
)2
10
3
)(1
10
3
(
15.12
15.12
22
3
2
2
3
0
10/3
2
3
R
0 0
3
10/1
2
3
2
d)1(
d)1(
R
d)(
R
R
r
R
r
R
rr
R
r
V
u
rr
V
u
R
R
R
m
计算表明，与 1/7 指数分布相比，1/10 指数分布的速度廓线更加饱满，动能修
正系数更接近于 1。
BP2.3.1 设平面流动的速度分布为 u = x2, v = -2 xy, 试求分别通过点（2, 0.5），（2, 2.5），（2,
5）的流线，并画出第一象限的流线图。
答： 2x y C
解：流线方程为
x
dx
y
dy
xy
dy
x
dx
2,
22
积分可得 ln y = - 2 ln x + ln C1, y = C x
–2
或 x 2 y = C
通过（2，0.5）时 C = 2 流线为 22 yx
(2，2.5 ) C= 10 102 yx
(2，5） C= 20 202 yx
BP2.3.2 设平面不定常流动的速度分布为 u = x + t，v = - y + t，在 t = 0 时刻流体质点 A 位
于点(1,1)。试求（1）质点 A 的迹线方程，（2）t=0 时刻过点（1, 1）的流线方程并
与迹线作比较。
答： 1 )2(;1212 )1( xyteytex tt ，
解：（1）由 ,1,
d
d
1 teCxtx
t
x t
t = 0 时 x = 1, C 1 = 2
由 1)()d(,
d
d
222
teCCeteectteeytyt
y tttttt
t = 0 时 y = 1, C2 = 2, 迹线方程为 x = 2e
t - t – 1, y = 2 e－t + t – 1
(2 ) 由
ty
y
tx
x
dd
，（x + t）(- y + t ) = C , t = 0 时 x = y = 1，C = - 1,
此时的流线方程为 x y = 1
BP2.3.3 设平面不定常流动的速度分布为u = xt, v= 1, 在 t = 1时刻流体质点A位于(2,2)。
试求(1)质点 A 的迹线方程； (2)在 t=1、2、3 时刻通过点（2, 2）与流线方程, 并
作示意图说明。
答： 1/ 2
1
(1) (2ln 1) 1,(2) ln
2
x
y y x C
t
解：（1）由 xtu
t
x
d
d
， txtx dd ，解得 1
2
2
1
ln Ctx
因 t = 1 时，x = 2, 可得
2
1
2ln1 C 。代入上式得
2/1
22
)1
2
ln2(
1
2
ln2,
2
1
2
1
2lnln
x
t
t
x
tx
（a）
由 1
d
d
v
t
y
解得
2Cty （b）
因 t = 1 时，y = 2 可得 C2 = 1 由(a), (b) 式可得质点 A 的迹线方程为
1)1
2
ln2( 2/1
x
y
（2）流线方程为
1
dd y
xt
x
积分得
3ln
1
Cyx
t
或 3ln
1
Cx
t
y
t = 1 时 x=y=2，C3 =-－ln2＋2，流线方程为 2
2
ln22lnln
x
xy
t=2 时 x=y=2， 22ln
2
1
3 C ，流线方程为 2
2
ln
2
1
22ln
2
1
ln
2
1
x
xy
t=时 x = y = 2， 22ln
3
1
3 C ，流线方程为 2
2
ln
3
1
22ln
3
1
ln
3
1
x
xy
t = 1 时，迹线与流线在点（2，2）相切，随时间的增长，过点（2，2）的流线斜
率越来越小。
BP2.3.4 设平面不定常流动的速度分布为 u = xt, v = - (y+2) t, 试求迹线与流线方程。
答：x(y+2) =C
解：迹线方程为
t
ty
y
xt
x
d
)2(
dd
将上式中分母上的 t 消去后，两项分别仅与 x 和 y 有关，只能均为常数。因此迹
线与时间 t 无关
)2(
dd
y
y
x
x
(a)
积分得
Cyx )2ln(ln
x ( y + 2 ) = C (b)
(a)式也是流线方程，与迹线方程形式相同。
讨论：本例属不定常流场，每一时刻同一点的速度不相同，但由于两个速度分量与时
间成比例关系，流线与迹线的形状均不随时间变化，且相互重合。
BP2.3.5 在流场显示实验中，从原点连续施放染料液形成脉线。设速度场由下列规律决定：
0≤t<2s u =1m/s v=1m/s
2s≤t≤4s u=0.5m/s v=1.5m/s
试画出 t = 0、1、2、3、4 s 时流过原点的质点迹线及由这些质点组成的脉线。
提示：这是不定常流场，脉线与迹线不重合。画出从原点出发的质点每一时刻的位置可
得到每一质点的迹线，t = 4s 时 5 个质点位置的连线是该时刻的脉线。
解：这是不定常流场，脉线与迹线不重合。在每一时刻质点的位置如下表所示
t /s 0 1 2 3 4
质点 a (0,0) (1,1) (2,2) (2.5, 3.5) (3.0, 5.0)
b (0,0) (1,1) (1.5, 2.5) (2.0, 4.0)
c (0,0) (0.5, 1.5) (1.0, 3.0)
d (0, 0) (0.5, 1.5)
e (0, 0)
上表中横向行中数据组成迹线，竖向列中数据组成脉线。
BP2.4.1 已知流场的速度分布为 V = xyi + y2j，试问（1）该流场属几维流动？（2）求点（1 ,
1）处的加速度。
答：(1)二维；(2) (2,2)
解：（1）速度分布式中只包含 2 个变量，为二维流动；
（2） xyxyyxy
y
u
v
x
u
ua 2x
22
, ax (1,1) = 2
32 220 yyyxy
y
v
v
x
v
ua y
, ay (1,1) = 2
BP2.4.2 已知流场的速度分布为 V = (4x3+2y+xy)i + (3x-y3+z )j，试问（1）该流场属几维流
动？（2）求点（2, 2, 3）处的加速度。
答：(2004，108，0)
解：（1）属三维流动；
（2） )2)(3()12)(24( 323 xzyxyxxyyx
z
u
w
y
u
v
x
u
uax
= (4×8+2×2+2×2)(48+2)+(6-8+3)(2+2) = 40×50 + 4 = 2004
))(()( 233 33324 yzyxxyyx
z
v
w
y
v
v
x
v
ua y
= 40×3 –12 = 108
BP2.4.3 已知流场的速度分布为 V = x2yi -3yj +2x2k，试问（1）该流场属几维流动？（2）
求点（2, 1, 1）处的加速度。
答：（4, 9, 32）
解：（1）属二维流动；
（2） 22 )3()(2 xyxyyx
z
u
w
y
u
v
x
u
uax
4121632 23 yxyx
9(-3)3
y
z
v
w
y
v
v
x
v
ua y
324)(4 32
yxxyx
z
w
w
y
w
v
x
w
uaz
BP2.4.4 不可压缩无粘性流体在圆管中沿中心轴 x 轴作一维定常流动，在 0≤x≤30m 段，
由于管壁为多孔材料，流体从管壁均匀泄漏，速度的变化规律为 u (x) = 2 (10-0.3x)
m/s，试求此段的流体加速度 ax表达式及 x =10m 处的加速度值。
提示：用一维定常流动连续性方程
x
u
uax
求解。流体沿管轴作减速运动，减速度与
x 有关，在 x =33.3m 处，ax = 0。
答：-8.4 m/s2
解：对一维定常流动 )3010(21)30(2)3010(2 x
x
u
ua ...x.x
ax (x = 10) = -1.2×7 m/s
2
= -8.4 m/s2
B3 题解
BP3.1.1 试判断下列各二维流场中的速度分布是否满足不可压缩流体连续性条件：
(1) u = x
2
+2x-4y, v = -2xy-2y
(2) u = x
2
+xy-y2, v = x2+y2
(3) u = x t +2y, v = x t
2-y t
(4) u = x t
2
, v=xyt+y
2
提示：按 0
y
v
x
u
v 判断
答：（1）满足，（2）不满足，（3）满足，（4）不满足
解：（1） 0)22()22(
xx
y
v
x
u
，满足不可压缩流体连续性条件。
（2） 02)2(
yyx
y
v
x
u
，不满足。
（3） 0)(
tt
y
v
x
u
，满足。
（4） 0)2(2
xtt
y
v
x
u
，不满足。
BP3.1.2 试判断不列各三维流场的速度分布是否满足不可压缩流体连续性条件：
（1） xyzyxwzyvyxu 4,2,2 22
（2）
22222
22
222
,,
2
yx
y
w
yx
zyx
v
yx
xyz
u
（3） xzxywyzxyzvyxzu 222 2,2,2
（4） zyttzwyztvxytu 222 ,2,
提示：按 0
z
w
y
v
x
u
v 判断
解：（1） 0)](4[44
yxyx
z
w
y
v
x
u
，满足不可压缩流体连续性条
件。
422
224222
422
22222
)(
)22(4)(2
)(
)2(2)(2)(2
)2(
yx
yxxyzyxyz
yx
xyzxyxyxyz
x
u
422
44222
422
2222222
)(
)(4)(2
)(
)(2)(2)(2
yx
yxyzyxyz
yx
zyxyyxyxyz
y
v
0,0
z
w
y
v
x
u
z
w
，满足。
（3） 02)2(2 2
zxzxzz
z
w
y
v
x
u
，不满足。
（4） 0)2()2( 22
ytztztyt
z
w
y
v
x
u
，满足。
BP3.1.3 在不可压缩流体三维流场中，已知 yzyvyxyxu 2,2 222 ，试推
导另一速度分量 w 的一般表达式。
答： Czyzzxzw )22( 2
解：由 12
x
x
u
和 )2212()(,22 zyx
y
v
x
u
z
w
zy
y
v
Czyzzxzw )22( 2
BP3.1.4 在不可压缩流体平面流场中，已知 byaxu 2 （a, b 为常数），试推导 y 方向速
度分量 v 的表达式，设 y = 0 时，v = 0。
答： axyv 2
解：由 )(2,2,0 xfaxyvax
x
u
y
v
y
v
x
u
当 y = 0 时，v = f (x) = 0, v = - 2 a x y
BP3.1.5 不可压缩粘性流体对零攻角平板作定常绕流时，层流边界层中速度廓线可近似用
下式表示：
3
2
1
2
3
yy
U
u
式中 U 为来流速度，δ为边界层厚度，δ与沿平板距前缘的坐标 x 的关系为
xc ,c 为常数。试验证 y 方向速度分量 v 满足如下式
42
16
3
8
3
yy
xU
v
解：由
xx
xc
x
c
dx
d
xc
22
1
2
1
,
)(
4
31
4
31
4
3
2
1
)3(
2
1
2
)
1
(
2
31
24
3
4
3
2
4
3
2
yy
xx
y
x
y
x
y
x
y
x
u
U
由连续性方程 )(
4
311
4
3
2
yy
xx
u
Uy
v
U
42
0
0 4
4
2
2
4
3
2
)(
16
3
)(
8
3
)
4
1
2
1
(
4
3
)(
4
3
yy
x
yy
x
dy
yy
xU
v
y
y
BP3.2.1 试
分析
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角域流 u = k x, v = -k y (k 为常数)中的应力状态。
提示：有附加法向应力，无切向应力。
解： k
y
v
k
x
u
yx 22,22
，
0)(
2,2
x
v
y
u
kppkpp
yxxy
yyxx
BP3.2.2 试分析纯剪切流 u = k y, v = k x (k 为常数)中的应力状态。
提示：无附加法向应力，有切向应力
答： kpp yxxyyyxxyx 2,0,0
解： 02,02
y
v
x
u
yx ，
kkk
x
v
y
u
pppp
yxxy
yyxx
2)(
,
BP3.5.1 二无限大平行板间距为 b，中间充满均质不可压缩牛顿流体。设下板固定不动，上
板以匀速 U 沿 x 方向运动。在 x 方向存在恒定的压强梯度 dp / dx = 常数，设速度
分布和体积力分别为
)(
d
d
2
1
byy
x
p
y
b
U
u 2
, v = 0; fx = 0, fy = - g
试验证是否满足 N-S 方程及边界条件。
提示：边界条件为 y = 0, u = 0 ；y = b, u = U
解：平面流动 N-S 方程为
)()()(
2
2
2
2
a
y
u
x
u
x
p
f
y
u
v
x
u
u
t
u
x
)()()(
2
2
2
2
b
y
v
x
v
y
p
f
y
v
v
x
v
u
t
v
y
本题中 )2(
d
d
2
1
,0
2
2
by
x
p
b
U
y
u
x
u
x
u
t
u
C
x
p
x
p
y
u
d
d
,
d
d1
2
2
， g
y
p
（重力）
代入（a）式左边= 0，右边= 0
d
d
d
d
d
d1
d
d
x
p
x
p
x
p
x
p
代入（b）式左边= 0，右边= 0)( gg , 满足 N-S 方程。
在 y = 0 处 u = 0 与下板相同;
在 y = b 处 Ubb
x
p
Uu )(
d
d
2
1 22
，与上板相同，满足边界条件。
BP3.5.2 放置在 x 轴线上无限大平板的上方为静止的均质不可压缩牛顿流体。设平板在自
身平面内以速度 u = U cosωt 作振荡运动，U 和ω均为常数。不考虑重力和压强因
素，试验证流场中的速度分布
)(cos2
2
y-tUeu
y
，v = 0
是否满足 N-S 方程及边界条件。
提示：边界条件为 y = 0, u = U cosωt；y→∞, u = 0
解：这是不定常流动，忽略重力和压强因素，N-S 方程为
)(
2
2
2
2
y
u
x
u
y
u
v
x
u
u
t
u
由速度分布式 )
2
(
y-tsineU
t
u 2
y
， 0
x
u
， 0
2
2
x
u
，v = 0
)]
2
(cos)
2
sin([
2
)
2
)(
2
(sin)
2
(cos
2
2
22
yt
ν
ω
ytωeU
ytUeyteU
y
u
y-
yy
)]
2
cos()
2
([sin
2
2
2
2
ytyteU
y
u y
)
2
(sin)]
2
sin(
)
2
cos()
2
(cos)
2
sin([
2
)]
2
)(
2
(sin)
2
)(
2
[cos(
2
2
2
2
yteUyt
ytyt
ν
ω
ytωeU
ytyteU
y
y-
y
N-S 方程左边= )
2
(sin2
y-teU
t
u y
右边= )
2
(2
2
2
y-tsineU
y
u y
，满足 N-S 方程。
在 y = 0 处，流体速度为 u = U cosωt，与平板一致，在无穷远处，u = 0，满足边界条件。
BP3.6.1 盛水容器的固壁如图 BP3.6.1 所示，自由液面上均为大气压强。试定性地画出斜壁
或曲壁 AB 和 A'B'上的压强分布图。
提示：图 C 是密封容器，可设压强均大于大气压强。注意弧线上压强连续变化,且弧
AB 上最高点压强最小；弧 A’B’上最低点压强最大。
BP3.6.2 试求水的自由液面下 5m 深处的绝对压强和表压强，液面上为大气压强。
答： 3 3
5m 150.35 10 Pa(ab) 49.05 10 Pap
解：p5m = pa+ρgh = (101.3×10
3
Pa) + (9810 kg / m
2
s
2
) (5m)
= (101.3×10 3Pa) + (49.05×103Pa ) =150.35×10 3Pa (ab)
p5m=ρgh = 49.05×10
3
Pa （g）
BP3.6.3 图 BP3.6.3 示密封容器内盛有水，水面高 h0 =1.5m，液面上压强为 p0。在侧壁 B
点的测压管中水位高为 h1=1m，A、B 两点的位置高度为 hA=1.2m，h B= 0.8m。试
求 p0(ab)， pA(v)，pB (g)。
答： 0p =96.4 kPa (ab)， Ap =1.96 kPa (v)； Bp = 1.96 kPa (g)
解：利用等压面性质
p0 +ρg (h0- hB) =ρg(h1 - hB )
p0 =ρg(h1-h0)=(9810 kg/m
2
s
2
) (1m -1.5m) = - 4905Pa
p0=(-4.9×10
3
Pa)+ (101.3×10 3Pa) = 96.4×103Pa (ab)
pA= p0+ρg(h 0-hA)= -4903 Pa +9806 kg / m
2
s
2
) (1.5m -1.2m)
=(-4903Pa)+(2941.8Pa) = -1961.2 Pa=1.96kPa(v)
pB= p0+ρɡ (h0-hB) = (-4903Pa) + (9806 kg / m
2
s
2
) (1.5m - 0.8m )
= (-4903Pa)+( 6864.2Pa ) = 1961.2Pa (g)=1.96kPa(g)
BP3.6.4 一气压表在海平面时的读数为 760 mmHg,在山顶时的读数为 730 mmHg，设空气的
密度为 1.3 kg/m3，试计算山顶的高度。
答：h=313.5m
解： 210 kg/ms3998.73998.7Pa
760mmHg
101300pa
730mmHg)-(760mmHg pp
m313.5
))(9.81m/s(1.3kg/m
s3998.7kg/m
23
2
1
0
gρ
pp
h
BP3.6.5 图 BP3.6.5 示 U 形管内有两种互不相混的液体，第一种液体是水，ρ1=10
3
kg/m
3，
第二种液体的密度为ρ2= 827 kg/m
3。设第二种液体的柱长 h = 103 mm，试求左右
自由液面的高度差Δh(mm)，并判断若在左支管中加水,Δh 将如何变化？
答：Δh=17.8mm
解：O-O 为等压面：ρ1g (h-Δh)=ρ2 g h
mm()1(Δ 17.8)(103mm)
3
1000kg/m
3
827kg/m
1
1
2 hh
在左支管中加水，两边水面同步增高，Δh 不变。
BP3.6.6 图 BP3.6.6 示对称贮液罐连通器，已知ρ
浙公网安备 33021202002483