第1节 数列的概念及其表示法考纲展示了解数列的概念和几种表示方法(列表、图象、通项公式)．1．数列的概念按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an是数列的第n项，我们把上面的数列简记为{an}．从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．质疑探究1：学数列过程中，符号“{an}”表示单元素集合吗？符号“an”呢？提示：“{an}”不表示单元素集合，它是数列a1，a2，a3，…，an，…的简单表示，而“an”则表示数列的第n项．2．数列的分类(1)根据数列的项数可以将数列分为两类：有穷数列和无穷数列．(2)按照数列的每一项随序号变化的情况分类：递增数列——从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；递减数列——从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列；常数列——各项相等的数列；摆动数列——从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．3．数列的表示法(1)列表法；(2)图象法：数列可用一群孤立的点表示；(3)解析法(公式法)：通项公式或递推公式．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与它的序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．质疑探究2：数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都能写出通项公式？5．数列的递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任意一项an与an－1(n≥2)(或其前面的项)之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．它是数列的一种表示方法．6．an与Sn的关系解析：经检验可知D正确．4．(2010年嘉兴模拟)数列{an}满足其中任何连续的三项之和为20，并且a4＝9，a12＝7，则a2009＝________.解析：由已知及a4＝9可得a5＋a6＝11，故a7＝9.又由a12＝7可得a10＋a11＝13，从而a9＝7，进而a8＝4，a6＝7，a5＝4，a3＝7，a2＝4，a1＝9.故数列{an}是以3为周期的周期数列，故a2009＝a(2007＋2)＝a2＝4.答案：4思路点拨：根据所给前几项的特点，归纳其通项公式，注意项与项数，项与项之间的关系．对(2)、(3)可分别观察分母、分子的变化情况．用观察归纳法求数列的通项公式，关键是找出各项的共同规律及项与项数n的关系．当项与项之间的关系不明显时，可采用适当变形或分解，以凸显规律，便于归纳．当各项是分数时，可分别考虑分子、分母的变化规律及联系，正负相间出现时，可用(－1)n或(－1)n＋1调节．变式探究11：(2010年连云港市模拟)已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N*，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是( )(A)k>0(B)k>－1(C)k>－2(D)k>－3解析：∵an＋1>an，∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋2>n2＋kn＋2，化简得k>－(2n＋1)，要使此不等式对n∈N*都成立，只需k大于－(2n＋1)的最大值，而n∈N*，∴－(2n＋1)的最大值为－3，∴k>－3，故选D.数列{an}中的递推关系是确定数列{an}的一种方法，因而利用递推关系我们可以确定数列的某些项或通项公式．通常依据递推式的特点进行转化，目标是构造特殊数列或运用累加法、累乘法求解．一般地，①若an＋1＝an＋d(常数)，则{an}为等差数列；②若an＋1＝an·q(q为常数)，则{an}为等比数列；③若an＋1＝an＋f(n)，可用累加法；④若an＋1＝f(n)·an，可用累乘法；⑤若an＋1＝pan＋q，可用待定系数法，构造等比数列求解．Sn与an的关系及应用【例3】已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋24n(n∈N*)．求{an}的通项公式．思路点拨：∵Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an，∴an＝Sn－Sn－1(n≥2)且n＝1时，a1＝S1.解：n＝1时，a1＝S1＝23.n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋24n＋(n－1)2－24(n－1)＝－2n＋25.经验证，a1＝23符合an＝－2n＋25，∴an＝－2n＋25(n∈N*)．由于数列是一种特殊的函数，所以在研究数列的项、最值、单调性、周期性、项的大小比较等问题时，可以借助研究函数的方法进行求解．【例1】(2010年高考陕西卷)对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2,3，…)”是“{an}为递增数列”的( )(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析：由an＋1>|an|可得，an＋1>an，∴{an}为递增数列，∴“an＋1>|an|(n＝1,2,3，…)”是“{an}为递增数列”的充分条件．若{an}为递增数列，不一定有an＋1>|an|，如－3，－2，－1,0,1，…∴“an＋1>|an|(n＝1,2,3，…)”不是“{an}为递增数列”的必要条件，故选B.【例2】(2010年高考湖南卷)若数列{an}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得am＜n成立，记这样的m的个数为(an)*，则得到一个新数列{(an)*}．例如，若数列{an}是1,2,3，…，n，…，则数列{(an)*}是0,1,2，…，n－1，….已知对任意的n∈N*，an＝n2，则(a5)*＝________.((an)*)*＝________.解析：∵{an}是12,22,32,42,52,62，…，n2∴{(an)*}是0,1,1,1,2,2，…故(a5)*＝2.又{((an)*)*}是1,4,9,16，…∴猜想：((an)*)*＝n2.故填：2，n2.答案：2 n2【选题明细表】知识点、方法题号数列的概念及表示1数列的通项公式4、7、8数列的性质3、6、10Sn与an的关系2、5、92.(2010年湖州模拟)已知数列2011,2012,1，－2011，－2012，…，这个数列的特点是从第2项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2012项之和S2012等于( D )(A)2012(B)4024(C)2013(D)4023解析：由已知条件可得a6＝－1，a7＝2011，a8＝2012，…，∴数列{an}是以6为周期的数列，且S6＝0.∴S2012＝S335×6＋2＝S2＝a1＋a2＝4023，故选D.5．(2010年宁波质检)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5
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