精品文档精品文档精品文档第7章函数的凸性■曲线的曲率内容摘要①凸函数函数的“凸性”概念最初来自曲线的弯曲方向。例如，曲线y二x3（图1）在Oy轴左边是向下弯曲的（称为上凸），而在Oy轴右边是向上弯曲的（称为下凸）。虽然说“弯曲方向”或“凸性”这些名称是几何上的术语，但经过抽象后的凸函数理论在其它数学分支中也是很有用的。从图2中看出，向上弯曲（下凸）的曲线上任何两点的连线（弦）图1AB的中点C在弧AB的上方；而从图3中看出，向下弯曲（上凸）的曲线上任何两点的连线（弦）AB的中点C在弧AB的下方。根据上面几何上的启示，我们引入下面的定义：称连续函数f（x）在区间（a,b）内为下凸（上凸）函数，假若对于（a,b）内任意两点专和x2，都有f:宁、竺（Xi丰兀2）函<2丿（>）212【注1】在国内早期的一些教科书（包括翻译前苏联的一些教科书）中，都把下凸函数称为“凹函数”，而把上凸函数称为“凸函数”。这里的称呼与新近一些教科书或论文中的称呼是一致的。请读者注意到这些区别。【注2】还请读者注意，通常说“函数f（x）在区间（a,b）内是下一（上）凸函数”，若对于（a,b）内任意两点Xi和叮:X丰x)与任意te(0,1)，都满足琴生(Jesen)不等式12f[tx+(1-1)X]
)12它等价于不等式f(t,x,+12x2)<\f(叫)+12f(x2)1122(>)1122(其中t和t为正数且t+1=1)1212显然，不等式（探）是琴生不等式的特殊情形。不过，对于连续函数来说，不等式（探）与琴生不等式是等价的。因此，我们就用简单的不等式（探）定义函数的凸性。关于连续函数情形下两者等价性的证明，有兴趣的读者可去看本网站上的专题选讲。【注3】若函数f(x)在区间(a，b)内可微分，则从下图4看出，下凸(上凸)函数的图形上，每一点处的切线都在图形的下面(上面)，而且导函数f'(x)(切线的斜率)是增大(减小)的。我们也可以证明这个结论定理设函数f(x)在区间(a,b)内有导数。若导数f'(x)在(a,b)内是增大(减小)的，则函数f(x)在区间(a,b)内是下凸(上凸)的。(逆命题也成立。专题选讲中有证明)。假若函数f(x)在区间(a,b)内有二阶导数，那么根据上述定理和判别函数单调性的方法，就有下面判别函数凸性的方法。判别法设函数f(x)在区间(a,b)内有二阶导数f"(x)⑴若f"(x)>0(a0(极限运算单调性)0x_x一xXT%0x的右边上凸时，由于f"(x)>f"(x)(x0(1xI>0)即函数f(x)二x4在原点0的两边都是下凸的(图5)。特别，假若函数f(x)在区间(xo-8,X。+8)内有二阶导数，且f"(x)在点x0的两边有相反的符号，则xo就是函数f(x)的拐点:此时°，当然有f〃(x0)=0勾画函数图形的方法在中学数学中，画函数图形用的是描点法。它的缺点是不能从整体上把握函数变化的状态。微积分中讲的绘图方法称为解析法，而它的优点正好弥补了描点法的缺陷。我们利用导数的有关信息所画出的略图，使我们能够看出函数的变化状态。例如在哪个区间内，它是增大的或减小的，是下凸的或上凸的；又在哪个点上取到极大值或极小值。因此，把描点法和解析法结合起来就是最好的绘图方法。函数图形的渐近线不管是描点法，还是解析法，都只能画出函数图形的有限部分。对于那些能够伸向无穷远处的函数图形，当函数图形伸向无穷远时，它有可能无限接近某一直yO2,X.2线(称它为渐近线)。例如，函数y=arctanx的图形有两条渐近线y=±开(图6)。因为它们与轴平2行，所以称它们为水平渐近线。求水平渐近线的方法很简单。若存在有穷极限limf(x)=b或limf(x)=bxT+xXf—g则曲线y=f(x)就有水平渐近线y=b函数图形也可能有垂直渐近线。例如函数y=tanx的图形(图7)有两条垂直渐近线x=±苗•求垂直渐近线的方法也很简单。若函数y=f(x)有无穷间断点a，即limf(x)=g(左极限)或limf(x)=g(右极限)xTa-xTa+则曲线y=f(x)就有垂直渐近线x=a.可见，当函数有无穷间断点时，它才有垂直渐近线。函数图形还可能有斜渐近线y=kx+b(k丰0)。如图8,设曲线y=f(x)上点P(x,y)精品文档精品文档精品文档到直线y=kx+b的距离为d・在直角三角形PAN中，f(x)-(kx+b)=|PA|=\d2+d2tan29二dsec0按定义，直线y=kx+b是曲线y=f(x)的渐近线，当且仅当点P沿曲线y=f(x)伸向无穷远时，有dt0；而dt0，当且仅当有常数k和b，使lim[f(x)-(kx+b)]=0或limf-)kx=]bxTWxT8于是，当条件满足时，可以按下面的方法求常数k和b:第一步，先求斜率k因为f(x)kx-f(x)kx-f(x)bk=+且lim=lim=0xxxTWxxTWxf(x)所以k=lim一；xTWx第二步，再求截距b，即b=lim[f(x)一kx]xTW曲线的曲率(理工科专业学生用，经济类专业学生不用)曲线的下凸和上凸说的是曲线的弯曲方向，而曲线的曲率说的是曲线的弯曲程度。直线段没有弯曲，所以认为它的曲率为0・一般情形下，如图9，弧AB的全曲率规定为起点A处切线方向与终点B处切线方向的偏差A0・可是，弧CD的全曲率与弧AB的全曲率相同，但前者显然比后者弯曲得更厉害一些。这就是说，弧的弯曲程度与弧本身的长度有关。因此，就像测量物理量或几何量时先确定一个单位那样，把单位长度弧的全曲率取作测量弧时曲率的单位，而把长度为As的弧的全曲率A9同弧长As的比值A9/As，称为该弧的deds平均曲率。它有点像质点运动的平均速度。像定义质点运动的瞬时速度那样，把极限K=lim空=lim竺=ABTAAsAsT0As定义为弧AB在点A处的曲率(其中A9为弧AB的全曲率,As为弧AB的长度)。所以圆周上任一点处的曲率都相等，且曲率为对于半径为R的圆周来说(图10)，由于As=RA9，(半径的倒数)K=lim竺=d9AsT0Asds对于一般的弧来说，虽然弧上各点处的曲率可能不尽相同，但是当弧上点A处的曲率KAH0时，我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧在点A相切(即有公切线)且半径R=1/K.这样的圆周就称为弧上点A处的曲率圆；而它的圆心称为弧上点A处的曲AA率中心。如图能是负数(在实际应用中/有时把绝对值|KA|称为曲率),负号，所以曲率半方向。有可(/A(1,a)”曲〔点0或点A(l,a)的曲率圆。请读者注意，因为曲率有可而曲率半径要与曲率保持相同的正负数。保留曲率或曲率半径的正负号，以便说明曲线的弯曲—y(x)曲率圆.O图11对于用方程y—y(x)(a
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示的弧(图12)，由于y，(x)—tan0，0—arctany，(x)所以，若有二阶导数y''(x)，则x图12d0y〃(x)dd0—dx1+2(x)J2K-巴-ds注意到ds-J1+[y'(x)]2dx，则弧上点A(x,y(x))处的曲率为y(力i(曲率公式)+[y'(x)]2J32当y〃(x)丰0时，曲率半径为1h+[y'(x)]2l'2R—K—〒飞(曲率半径公式)Ky(x)(曲率半径)r—K-(1+4a2x2)32最小曲率半径r—舟•点A(1,a)处的曲率和曲率其中，y〃(x)>0时，曲率K和曲率半径R都大于0，说明曲线弧向上弯曲或曲率圆在弧的上方(图12)。反之，说明曲线弧向下弯曲或曲率圆在弧的下方。例如图11中那个抛物线y—ax2，因为y，—2ax,y〃—2a，所以(曲率)K=,(1+4a2x2)322a2a显然，原点0(0,0)处有最大曲率K=2a,半径依次为2aK=(1+4a2)32n(1+4a2)32_R—2a可见，抛物线上离顶点越远，曲率越小，而曲率半径越大。精品文档第7-1节看我做题1.勾画出函数y=x3+3x2-1的略图。解y'-3x2+6x-3x(x+2),y"=6x+6=6(x+1)用驻点-2和0(它们有可能是极值点)，与二阶导数等于0的点-1(它有可能是拐点)，将函数的定义区间(-8,+8)划分为四个小区间：(—g,—2),(―2,—1),(—1,0),(0,+8)再把函数f(x)在这些小区间内有关f'(x)和f"(x)的信息，填在下面的
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中。按照表格中提供的信息，就可以画出它的略图(它没有渐近线。为什么？)。x(—8,—2)—2(—2,—1)—1(—1,0)0(0,+8)y"+0——0+y〃———0+++y/仃3极大\°拐点\u—1极小y-x3+3x2—1yk31第1题图第2题图x2—2x+22•勾画出函数y--丝2的略图。x—1解因为limy=8，所以它有垂直渐近线x-1(没有水平渐近线)。又yx2—2x+2k-lim上-lim-1,b-lim(y—kx)-limxT8xT8x2—2x+2—x-lim土2=—1x—1xT8"xT8xxT8x(x—1)所以它有斜渐近线y-x—1(见图)其次，x(x—2)y=(x—1)2y"=(x-1)3像第1题那样，用函数的驻点0和2(没有其它临界点和二阶导数等于0的点)，把函数的精品文档精品文档精品文档精品文档定义域分成若干小区间(注意,X=1是间断点)，并把有关信息填入下面的表格中:X(—g,0)0(0,1)1(1,2)2(2,+g)y，+0————0+y"——————+++y$n—2极大\n间断点\U2极小/L有垂直渐近线x=1和斜渐近线y=x-1根据表格中提供的信息，就可勾画出函数的略图(见上图)(*)3.对于用参数方程X=X(t)c{gt邛)〔y=y(t)表示的曲线弧，其中X(t)和y(t)有二阶导数且[X(t)]2+[y(t)]2>0[不妨认为x(t)丰0]因为dy=凹d%X(t)d2yd(dy)d\y(t)dX2dI也IdL=y(t)X(t)-y(t)X(t)dXIX(t)丿dt(X(t)丿dXdXIdX丿把它们依次代入曲率公式和曲率半径公式，则得K=产牛(曲率公式)(X2+y2)32R=(+y2)(yX—yX丰0)(曲率半径公式)yX-yX第7-2节根据提示做习题1.用判别法，验证下列函数在所示区间内是下凸的：⑴y=xq(a>1),(0,+g)；⑶y=xInx,(0,+g)；⑵y=eX,(—g,+a)；⑷y=xx,(0+g)[X(t)]32.用判别法，验证函数y=xa(0
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：(1)在(-2,1)内下凸，在(1,+s)内上凸;⑵在(2k兀,2k兀+兀)内上凸，在(2k兀+兀,2k兀+2兀)内下凸；,+s)内下凸，在(―叵,一运)内上凸;⑶在(-8,-吉)与(吉⑷在(-也-1与(h+s)内上凸，在(-1,1)内下凸。4.设函数f(x)(—s0且f〃(x)<0则在区间(0,+s)内，下列哪一种情形是对的?f'(x)<0,f〃(x)<0；f(x)>0,f(x)>0；f(x)<0,f(x)>0；f(x)>0,f(x)<0提示：注意/(x)=/(-x)答案：(i)又问：若函数f(x)(-s0且f(x)<0那么上述情形中哪一种是对的?点0是它的拐点吗?答案:⑵；0是拐点xa+ya25.证明下列不等式：(x>0,y>0,x丰y,a>1)；x+y⑶(x+y川丁0,y>0,x丰y)。提示：选择适当的下凸函数。6.勾画下列函数的图形：【注】勾画函数图形之前，要注意以下事项：①确定函数的定义域；②函数是否具有奇偶性或周期性；③求出函数的连续区间，并查明它是否有间断点；④若有零值点，求出函数的同号区间；⑤求出函数的极值点、最大(小)值点和拐点；⑥确定函数的增精品文档精品文档精品文档精品文档精品文档大或减小区间、下凸或上凸区间；⑦查明是否有渐近线；⑧查明函数是否还有其它特性。(1)y=x3一3x；(2)y=e—x2；x⑶y=1+x2i(5)y=(x+6)ex；x2⑷y=1+x.兀x(6)y=sin一2证明：若xi>0(i=1,2,…,n)，则有x+x++xnx1x2…xn'J2n(几何平均值不超过算术平均值)12nn提示：考虑下凸函数f(x)=—lnx(x>0)(理工科学生做以下习题)求下列曲线的曲率和曲率半径：(1)xy=1(双曲线)；x=a(t—sint)y=a(1—cost)答案：(1)K=；(2)K=—"sgny(y丰0)；(3)K=—=(1+x4)32(p2+y2)322』2ay答案：(丄，—]ln2)22⑵y2=2px(抛物线)；2x39.在对数曲线y=Inx上，求出曲率绝对值最大的点。10.证明：极坐标系中曲线r=r(0)的曲率公式为r2+2r'2—rrK=-(r2+r'2)32并由此求下列曲线的曲率:1r=a0(阿基米德螺线)；⑶r=a(1+cos0)(心形线)2+02［提示:2x=r(0)cos0y=r(0)sin0答案：(1)K=；(2)K=a(1+02)3'2rJl+m2第7-3节试做研究生入学
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