2019年最新河南省高考数学二模试卷(理科)及答案解析A

河南省高考数学二模试卷（理科）　一、选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 （共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M={x|x2﹣4x+3＜0}，集合N={x|lg（3﹣x）＞0}，则M∩N=（　　）A．{x|2＜x＜3}B．{x|1＜x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．∅2．若是z的共轭复数，且满足•（1﹣i）2=4+2i，则z=（　　）A．﹣1+2iB．﹣1﹣2iC．1+2iD．1﹣2i3．命题p：函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间是[1，+∞），命题q：函数y=的值域为（0，1），下列命题是真命题的为（　　）A．p∧qB．p∨qC．p∧（￢q）D．￢q4．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（　　）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=15．设向量=（，1），=（x，﹣3），且⊥，则向量﹣与的夹角为（　　）A．30°B．60°C．120°D．150°6．某算法的程序框图如图所示，若输入的a，b值分别为60与32，则执行程序后的结果是（　　）A．0B．4C．7D．287．如图，正方形ABCD的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线t：x=t（0≤t≤）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象大致是（　　）A．B．C．D．8．在边长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点得距离都不小于1得概率为（　　）A．B．C．D．1﹣9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（　　）A．1000πB．200πC．πD．π10．给出下列命题：①将函数y=cos（x+）的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数y=sin（2x+）的图象；②设随机变量ξ﹣N（3，9），若P（ξ＜a）=0.3（a＜3）则P（ξ＜6﹣a）=0.7③（2﹣）10的二项展开式中含有x﹣1项的二项式系数是210；④已知数列{an}为等差数列，且a2013+a2015=SHAPE\*MERGEFORMATdx，则a2014•（a2012+2a2014+a2016）的值为4π2．其中正确的命题的个数为（　　）A．4个B．3个C．2个D．1个11．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（　　）A．B．1C．D．212．已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），且f（x+1）=f（3﹣x），f＜2ex﹣1的解集为（　　）A．（﹣∞，）B．（e，+∞）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）　二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为　　　　　　．14．PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中正确命题的序号是　　　　　　．15．若函数y=ex﹣a（e为自然常数）的图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数a的取值范围是　　　　　　．16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为　　　　　　．　三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=（﹣1）n+1•n（n∈N*），求数列{an•bn}的前n项和Tn．18．近年来我国电子商务行业迎来篷布发张的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）完成商品和服务评价的2×2列联 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf ，并说明是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X．①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方差．参考数据及公式如下： P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（K2=，其中n=a+b+c+d）19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=2BC=4，BF=CF=AE=DE，EF=2，EF∥AB，AF⊥CF．（Ⅰ）若G为FC的中点，证明：AF∥平面BDG；（Ⅱ）求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值．20．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求的取值范围；（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．21．已知直线y=x+b与函数f（x）=lnx的图象交于两个不同的点A，B，其横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）当x2≥2时，证明x1•x22＜2．　[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，∠ACB平分线DC交AE于点F，交AB于D点．（Ⅰ）求∠ADF的度数；（Ⅱ）若AB=AC，求AC：BC．　[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．　[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+4x（a＞0）（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；（Ⅱ）若x∈R时，恒有f（2x）≥7x+a2﹣3，求实数a的取值范围．　参考答案与试题解析　一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M={x|x2﹣4x+3＜0}，集合N={x|lg（3﹣x）＞0}，则M∩N=（　　）A．{x|2＜x＜3}B．{x|1＜x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．∅【考点】交集及其运算．【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】求出M与N中不等式的解集，确定出M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中的不等式x2﹣4x+3＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得：1＜x＜3，即M={x|1＜x＜3}，由N中的不等式变形得：lg（3﹣x）＞0=lg1，即3﹣x＞1，解得：x＜2，即N={x|x＜2}，则M∩N={x|1＜x＜2}．故选：C．　2．若是z的共轭复数，且满足•（1﹣i）2=4+2i，则z=（　　）A．﹣1+2iB．﹣1﹣2iC．1+2iD．1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的运算法则化简求解即可．【解答】解：•（1﹣i）2=4+2i，可得•（﹣2i）=4+2i，可得=（2+i）i=﹣1+2i．z=﹣1﹣2i．故选：B．　3．命题p：函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间是[1，+∞），命题q：函数y=的值域为（0，1），下列命题是真命题的为（　　）A．p∧qB．p∨qC．p∧（￢q）D．￢q【考点】复合命题的真假．【分析】求出函数y=log2（x2﹣2x）的定义域，找出定义域内的内层函数t=x2﹣2x的增区间，结合外层函数y=log2t的单调性求出函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间，从而判断出命题p的真假，利用指数函数的值域求出函数y=的值域，判断出命题q的真假，最后结合复合命题的真假判断得到正确的结论．【解答】解：令t=x2﹣2x，则函数y=log2（x2﹣2x）化为y=log2t，由x2﹣2x＞0，得：x＜0或x＞2，所以，函数y=log2（x2﹣2x）的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．函数t=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=1，所以，函数t=x2﹣2x在定义域内的增区间为（2，+∞）．又因为函数为y=log2t是增函数，所以，复合函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间是（2，+∞）．所以，命题p为假命题；再由3x＞0，得3x+1＞1，所以，所以，函数y=的值域为（0，1），故命题q为真命题．所以p∧q为假命题，pVq为真命题，p∧（￢q）为假命题，￢q为假命题．故选B．　4．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（　　）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．　5．设向量=（，1），=（x，﹣3），且⊥，则向量﹣与的夹角为（　　）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先根据向量的垂直求出x的值，再根据向量的夹角公式即可求出．【解答】解：向量=（，1），=（x，﹣3），且⊥，∴x﹣3=0，解得x=，∴﹣=（，1）﹣（，﹣3）=（0，4），∴|﹣|=4，||=2，（﹣）•=4，设向量﹣与的夹角为θ，∴cosθ===，∵0°≤θ≤180°，∴θ=60°．故选：B．　6．某算法的程序框图如图所示，若输入的a，b值分别为60与32，则执行程序后的结果是（　　）A．0B．4C．7D．28【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序输出的结果．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序输出的是用辗转相除法求两个数a、b的最大公约数；当a=60，b=32时，最大公约数是4．故选：B．　7．如图，正方形ABCD的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线t：x=t（0≤t≤）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象大致是（　　）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由f（t）表示位于直线l左侧阴影部分的面积，结合已知条件我们可以得到函数s=f（t）是一个分段函数，而且分为两段，分段点为t=，分析函数在两段上的数量关系，不难求出函数的解析式，根据解析式不难得到函数的图象．【解答】解：依题意得s=f（t）=，分段画出函数的图象可得图象如C所示故选C．　8．在边长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点得距离都不小于1得概率为（　　）A．B．C．D．1﹣【考点】几何概型．【分析】根据题意，求出满足条件的点P所组成的几何图形的体积是多少，再将求得的体积与整个正方体的体积求比值即可．【解答】解：符合条件的点P落在棱长为2的正方体内，且以正方体的每一个顶点为球心，半径为1的球体外；根据几何概型的概率计算公式得，P==1﹣．故选：D．　9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（　　）A．1000πB．200πC．πD．π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角三角形，高为10的直三棱柱，且三棱柱外接球的半径是三棱柱对角线的一半，结合图形即可求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角三角形，且直角边长分别为6和8，高为10的直三棱柱，如图所示；所以该三棱柱外接球的球心为A1B的中点，因为A1B=10，所以外接球的半径为5，体积为π•=π．故选：D．　10．给出下列命题：①将函数y=cos（x+）的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数y=sin（2x+）的图象；②设随机变量ξ﹣N（3，9），若P（ξ＜a）=0.3（a＜3）则P（ξ＜6﹣a）=0.7③（2﹣）10的二项展开式中含有x﹣1项的二项式系数是210；④已知数列{an}为等差数列，且a2013+a2015=SHAPE\*MERGEFORMATdx，则a2014•（a2012+2a2014+a2016）的值为4π2．其中正确的命题的个数为（　　）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据三角函数的图象关系进行判断．②根据正态分布的性质进行判断，③根据二项展开式的公式进行判断．④根据等差数列的性质以及积分的应用进行求解判断．【解答】解：①函数y=cos（x+）=cos（x+2π﹣）=sinx，将图象上的每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到y=sin2x，再向左平移个单位长度，得到函数y=sin2（x+）的图象；故①错误，②设随机变量ξ﹣N（3，9），若P（ξ＜a）=0.3（a＜3），则P（ξ＜a）=P（ξ＞6﹣a），则P（ξ＜6﹣a）=1﹣P（ξ＞6﹣a）=1﹣0.3=0.7，故②正确，③（2﹣）10的二项展开式中的通项公式Tk+1=C（2）10﹣k（﹣）k=C（2）10﹣k（﹣）k=C•210﹣k（﹣1）kx，当5﹣=﹣1时，k=4，此时T5=C26x﹣1=210×64x﹣1=13440x﹣1故x﹣1项的二项式系数是13440，故③错误；④已知数列{an}为等差数列，且a2013+a2015=SHAPE\*MERGEFORMATdx==2π，即a2014=π，则a2014•（a2012+2a2014+a2016）=a2014×4a2014=4π2．故④正确，故正确的是②④，故选：C　11．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（　　）A．B．1C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab 配方 学校职工宿舍分配方案某公司股权分配方案中药治疗痤疮学校教师宿舍分配方案医生绩效二次分配方案 得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选：A　12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），且f（x+1）=f（3﹣x），f＜2ex﹣1的解集为（　　）A．（﹣∞，）B．（e，+∞）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质；导数的运算．【分析】根据函数的奇偶性和单调性推导函数的周期性，构造函数g（x），求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴f（x+1）=f（3﹣x）=f（x﹣3），∴f（x+4）=f（x），即函数是周期为4的周期函数，∵f=f（﹣1）=f（1）=2，∴f（1）=2，设g（x）=，则函数的导数g′（x）==，故函数g（x）是R上的减函数，则不等式f（x）＜2ex﹣1等价为SHAPE\*MERGEFORMAT，即g（x）＜g（1），解得x＞1，即不等式的解集为（1，+∞），故选：D　二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为　24　．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题设中的条件知，可以先把丙与丁必须相邻，可先将两者绑定，又甲与乙不相邻，可把丙与丁看作是一个人，与甲乙之外的一个人作一个全排列，由于此两个元素隔开了三个空，再由插空法将甲乙两人插入三个空，由分析过程知，此题应分为三步完成，由计数原理计算出结果即可【解答】解：由题意，第一步将丙与丁绑定，两者的站法有2种，第二步将此两人看作一个整体，与除甲乙之外的一人看作两个元素做一个全排列有A22种站法，此时隔开了三个空，第三步将甲乙两人插入三个空，排法种数为A32则不同的排法种数为2×A22×A32=2×2×6=24故答案为：24．　14．PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中正确命题的序号是　①②③　．【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对于①②③可根据直线与平面垂直的判定定理进行证明，对于④利用反证法进行证明，假设AE⊥面PBC，而AF⊥面PCB，则AF∥AE，显然不成立，从而得到结论．【解答】解：∵PA⊥⊙O所在的平面，BC⊂⊙O所在的平面∴PA⊥BC，而BC⊥AC，AC∩PA=A∴BC⊥面PAC，又∵AF⊂面PAC，∴AF⊥BC，而AF⊥PC，PC∩BC=C∴AF⊥面PCB，而BC⊂面PCB，∴AF⊥BC，故③正确；而PB⊂面PCB，∴AF⊥PB，而AE⊥PB，AE∩AF=A∴PB⊥面AEF，而EF⊂面AEF，AF⊂面AEF∴EF⊥PB，AF⊥PB，故①②正确，∵AF⊥面PCB，假设AE⊥面PBC∴AF∥AE，显然不成立，故④不正确．故答案为：①②③．　15．若函数y=ex﹣a（e为自然常数）的图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数a的取值范围是　[1，e5+1]　．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】由题意作平面区域，从而利用数形结合求解，注意临界值即可．【解答】解：由题意作平面区域如下，，当函数y=ex﹣a与直线y=x相切时，切点恰为（0，0），故此时0=1﹣a，故a=1；当函数y=ex﹣a过点（5，﹣1）时，﹣1=e5﹣a，故a=e5+1；结合图象可知，1≤a≤e5+1．故答案为：[1，e5+1]．　16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为　　．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=﹣，C=．根据△ABC的面积为S=ab•sinC=ab=c，求得c=3ab．再由余弦定理化简可得9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，由此求得ab的最小值．【解答】解：在△ABC中，由条件用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，即2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，∴cosC=﹣，C=．由于△ABC的面积为S=ab•sinC=ab=c，∴c=3ab．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，整理可得9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时，取等号，∴ab≥，故答案为：．　三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=（﹣1）n+1•n（n∈N*），求数列{an•bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；等比数列的性质．【分析】（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，运用等差数列的中项的性质，结合等比数列的通项公式，即可得到所求；（Ⅱ）求得an•bn=（﹣1）n﹣1••（﹣1）n+1•n=3n•（）n．运用数列的求和 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，由S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，可得2（S5+a5）=S3+a3+S4+a4，即2（S3+a4+2a5）=2S3+a3+2a4，即有4a5=a3，即为q2==，解得q=±，由等比数列{an}不是递减数列，可得q=﹣，即an=•（﹣）n﹣1=（﹣1）n﹣1•；（Ⅱ）bn=（﹣1）n+1•n，可得an•bn=（﹣1）n﹣1••（﹣1）n+1•n=3n•（）n．前n项和Tn=3[1•+2•（）2+…+n•（）n]，Tn=3[1•（）2+2•（）3+…+n•（）n+1]，两式相减可得，Tn=3[+（）2+…+（）n﹣n•（）n+1]=3[﹣n•（）n+1]，化简可得Tn=6（1﹣）．　18．近年来我国电子商务行业迎来篷布发张的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）完成商品和服务评价的2×2列联表，并说明是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X．①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方差．参考数据及公式如下： P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k2的值，对应数表得答案；（Ⅱ）①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，X～B（5，0.4）．求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②利用二项分布的数学期望和方差求X的数学期望和方差．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表： 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 200得K2=≈11.111＞10.828，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，X～B（5，0.4）．P（X=0）=0.65；P（X=1）=C51•0.4•0.64；P（X=2）=C52•0.42•0.63；P（X=3）=C53•0.43•0.62；P（X=4）=C54•0.44•0.6；P（X=5）=0.45，②X的分布列 X 0 1 2 3 4 5 P 0.65 C51•0.4•0.64 C52•0.42•0.63 C53•0.43•0.62 C54•0.44•0.6 0.45EX=5×0.4=2，DX=5×0.4×0.6=1.2．　19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=2BC=4，BF=CF=AE=DE，EF=2，EF∥AB，AF⊥CF．（Ⅰ）若G为FC的中点，证明：AF∥平面BDG；（Ⅱ）求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）若G为FC的中点，根据线面平行的判定定理证明OG∥AF即可证明：AF∥平面BDG；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，点G为FC的中点，∴OG∥AF，∵AF⊄平面BDG，OG⊂平面BDC，∴AF∥平面BDG．解：（Ⅱ）取AD的中点M，BC的中点Q，连接MQ，则MQ∥AB∥EF，∴M，Q，F，E共面．作FP⊥MQ于P，EN⊥MQ于N，则EN∥FP且EN=FP，连接EM，FQ∵AE=DE=BF=CF，AD=BC，∴△ADE≌△BCF，∴EM=FQ∴△ENM≌△FPQ，∴MN=PQ=1，∵BF=CF，Q为BC的中点，∴BC⊥FQ又BC⊥MQ，FQ∩MQ=Q，∴BC⊥平面MQEF，∴PF⊥BC，∴PF⊥平面ABCD以P原点，PM为x轴，PF为z轴建立空间直角坐标系则A（3，1，0），B（﹣1，1，0），C（﹣1，﹣1，0），设F（0，0，h），则=（﹣3，﹣1，h），=（1，1，h），∵AF⊥CF，∴•=（﹣3，﹣1，h）•（1，1，h）=﹣3﹣1+h2=0，解得h=2，设平面ABF的法向量为=（x，y，z），=（﹣3，﹣1，2），=（1，﹣1，2），由得，令z=1，则x=0，y=2，即=（0，2，1），同理平面BCF的一个法向量为=（﹣2，0，1），∴===．∴平面ABF与平面BCF夹角的余弦值为．　20．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求的取值范围；（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意知，，利用点到直线的距离公式可求b，结合a2=b2+c2可求a，即可求解（2）由题意设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据方程的根与系数关系求出x1+x2，x1x2，由△＞0可求k的范围，然后代入=x1x2+y1y2==中即可得关于k的方程，结合k的范围可求的范围（3）由B，E关于x轴对称可得E（x2，﹣y2），写出AE的方程，令y=0，结合（2）可求【解答】（1）解：由题意知，，即b=又a2=b2+c2∴a=2，b=故椭圆的方程为（2）解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4）由可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则△=322k4﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0∴∴x1+x2=，x1x2=①∴=x1x2+y1y2====∵∴∴∴SHAPE\*MERGEFORMAT）（3）证明：∵B，E关于x轴对称∴可设E（x2，﹣y2）∴直线AE的方程为令y=0可得x=∵y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）∴==1∴直线AE与x轴交于定点（1，0）　21．已知直线y=x+b与函数f（x）=lnx的图象交于两个不同的点A，B，其横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）当x2≥2时，证明x1•x22＜2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得x﹣lnx+b=0有两个不同的实根，设g（x）=x﹣lnx+b，求出导数，求得单调区间，可得最小值，即可得到b的范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得0＜x1＜1，x2＞1，g（x1）=g（x2）=0，作差g（x1）﹣g（），化简可得x2﹣3lnx2﹣+ln2，令h（t）=t﹣﹣3lnt+ln2，求出导数，判断符号，得到单调性，可得当x2≥2时，g（x1）﹣g（）＞0，即g（x1）＞g（），由g（x）在（0，1）递减，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得x﹣lnx+b=0有两个不同的实根，设g（x）=x﹣lnx+b，x＞0，g′（x）=1﹣，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增．可得g（x）在x=1处取得最小值b+1，当b＜﹣1时，b=lnx﹣x在（0，1）和（1，+∞）各有一个不同的实根，则b的范围是（﹣∞，﹣1）；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得0＜x1＜1，x2＞1，g（x1）=g（x2）=0，g（x1）﹣g（）=（x1﹣lnx1+b）﹣（﹣ln+b）=（x2﹣lnx2+b）﹣（﹣ln+b）=x2﹣3lnx2﹣+ln2，令h（t）=t﹣﹣3lnt+ln2，则h′（t）=1﹣+=，当t≥2时，h′（t）≥0，h（t）递增，即有h（t）≥h（2）=﹣2ln2＞0，当x2≥2时，g（x1）﹣g（）＞0，即g（x1）＞g（），又g（x）在（0，1）递减，0＜x1＜1，0＜＜1，即有x1＜，可得x1•x22＜2．　[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，∠ACB平分线DC交AE于点F，交AB于D点．（Ⅰ）求∠ADF的度数；（Ⅱ）若AB=AC，求AC：BC．【考点】相似三角形的判定；相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明．【分析】（I）根据AC为圆O的切线，结合弦切角定理，我们易得∠B=∠EAC，结合DC是∠ACB的平分线，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，我们易得∠ADF=∠AFD，进而结合直径所对的圆周角为直角，求出∠ADF的度数；（II）若AB=AC，结合（1）的结论，我们易得∠ACB=30°，根据顶角为120°的等腰三角形三边之比为：1：1：，易得答案．【解答】解：（I）∵AC为圆O的切线，∴∠B=∠EAC又知DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD即∠ADF=∠AFD又因为BE为圆O的直径，∴∠DAE=90°∴（II）∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，∴△ACE∽△ABC∴又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=30°，∴在RT△ABE中，　[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．【考点】直线的参数方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆C的直角坐标方程；（2）将代入z=x+y得z=﹣t，又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，可得结论．【解答】解：（1）因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣），所以ρ2=4ρ（sinθ﹣cosθ），所以圆C的直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣2y=0．…（2）设z=x+y由圆C的方程x2+y2+2x﹣2y=0，可得（x+1）2+（y﹣）2=4所以圆C的圆心是（﹣1，），半径是2将代入z=x+y得z=﹣t…又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，由题意有：﹣2≤t≤2所以﹣2≤t≤2即x+y的取值范围是[﹣2，2]．…　[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+4x（a＞0）（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；（Ⅱ）若x∈R时，恒有f（2x）≥7x+a2﹣3，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（I）当a=2时，不等式f（x）≥2x+1即|x﹣2|≥﹣2x+1，对x分类讨论解出即可得出．（II）f（2x）≥7x+a2﹣3，化为：f（2x）﹣7x≥a2﹣3，令g（x）=f（2x）﹣7x=|2x﹣a|+x=，利用函数的单调性可得：当x=时，g（x）有最小值，g（x）min==．若命题成立，可得：﹣3，解出即可得出．【解答】解：（I）当a=2时，不等式f（x）≥2x+1即|x﹣2|≥﹣2x+1，∴，或，解得{x|x≥﹣1}．（II）f（2x）≥7x+a2﹣3，化为：f（2x）﹣7x≥a2﹣3，令g（x）=f（2x）﹣7x=|2x﹣a|+x=，．∵x∈时，g（x）单调递减；x∈时，g（x）单调递增．∴当x=时，g（x）有最小值，g（x）min==．若命题成立，可得：﹣3，解得a∈（0，2）．