2019年最新上海市杨浦区高考数学三模试卷(理)及答案解析

上海市高考 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 三模试卷（理科）　一.填空题1．函数y=log2（x+1）的反函数为　　　　　　．2．若直线l1：2x+my+1=0与l2：y=3x﹣1垂直，则实数m=　　　　　　．3．若2+i（i虚数单位）是实系数一元二次方程x2+px+q=0的根，则p+q=　　　　　　．4．已知sinx=，x∈（，π），则行列式的值等于　　　　　　．5．已知A={x|＞1}，B={x|log2（x﹣1）＜1}，则A∩B=　　　　　　．6．已知A地位于东经30°、北纬45°，B地位于西经60°、北纬45°，则A、B两地的球面距离与地球半径的比值为　　　　　　．7．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于　　　　　　．8．在极坐标系下，点（2，）到直线ρcos（θ﹣）=1的距离为　　　　　　．9．若（x+）n（n∈N*）展开式中各项系数的和等于64，则展开式中x3的系数是　　　　　　．10．三阶矩阵中有9个不同的数aij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个，则至少有两个数位于同行或同列的概率是　　　　　　（结果用分数表示）11．若函数y=cos（x+）的图象向右平移φ个单位（φ＞0），所得到的图象关于y轴对称，则φ的最小值为　　　　　　．12．若两整数a、b除以同一个整数m，所得余数相同，即=k（k∈Z），则称a、b对模m同余，用符号a≡b（modm）表示，若a≡10（mod6）（a＞10），满足条件的a由小到大依次记为a1，a2…an，…，则数列{an}的前16项和为　　　　　　．13．已知双曲线﹣=1（a∈N*）的两个焦点为F1，F2，P为该双曲线上一点，满足|F1F2|2=|PF1|•|PF2|，P到坐标原点O的距离为d，且5＜d＜9，则a2=　　　　　　．14．如图，已知AB⊥AC，AB=3，AC=，圆A是以A为圆心半径为1的圆，圆B是以B为圆心的圆．设点P，Q分别为圆A，圆B上的动点，且=SHAPE\*MERGEFORMAT，则•的取值范围是　　　　　　．　二.选择题15．已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q（p≠0，q≠1），则“q=﹣1”是“数列{an}是等比数列”的（　　）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件16．已知z1、z2均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（　　）A．|z1|=||=B．若|z2|=2，则z2的取值集合为{﹣2，2，﹣2i，2i}（i是虚数单位）C．若z12+z22=0，则z1=0或z2=0D．z1+z2一定是实数17．椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（　　）A．B．C．D．18．定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A（a，f（a）），B（b，f（b）），M（x，y）是y=f（x）图象上任意一点，过点M作垂直于x轴的直线l交线段AB于点N（点M与点N可以重合），我们称||的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域为[1，2]上的函数中，曲径最小的是（　　）A．y=x2B．y=C．y=x﹣D．y=sinx　三.解答题19．如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且直线AB与直线CD的夹角为，已知|OA|=1，|PA|=2．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线AC平行于平面PBD，并求直线AC到平面PBD的距离．20．已知数列{an}中，an+1=+（n∈N*），a1=1；（1）设bn=3nan（n∈N*），求证：{bn}是等差数列；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求的值．21．图为一块平行四边形园地ABCD，经测量，AB=20米，BC=10米，∠ABC=120°，拟过线段AB上一点E 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3：1的左、右两部分分别种植不同的花卉，设EB=x，EF=y（单位：米）（1）当点F与点C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式，并确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．22．已知圆E：（x﹣1）2+y2=4，线段AB、CD都是圆E的弦，且AB与CD垂直且相交于坐标原点O，如图所示，设△AOC的面积为S1，设△BOD的面积为S2；（1）设点A的横坐标为x1，用x1表示|OA|；（2）求证：|OA|•|OB|为定值；（3）用|OA|、|OB|、|OC|、|OD|表示出S1+S2，试研究S1+S2是否有最小值，如果有，求出最小值，并写出此时直线AB的方程；若没有最小值，请说明理由．23．已知非空集合A是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意f（x）∈A，f（x）均存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）∈A；②对任意f（x）∈A，方程f（x）=x均有解；③对任意f（x）、g（x）∈A，若函数g（x）为定义在R上的一次函数，则f（g（x））∈A；（1）若f（x）=，g（x）=2x﹣3均在集合A中，求证：函数h（x）=（2x﹣3）∈A；（2）若函数f（x）=（x≥1）在集合A中，求实数a的取值范围；（3）若集合A中的函数均为定义在R上的一次函数，求证：存在一个实数x0，使得对一切f（x）∈A，均有f（x0）=x0．　参考答案与试题解析　一.填空题1．函数y=log2（x+1）的反函数为　y=2x﹣1（x∈R）　．【考点】反函数．【分析】由y=log2（x+1）（x＞﹣1）解得x=2y﹣1，把x与y互换即可得出．【解答】解：由y=log2（x+1）（x＞﹣1）解得x+1=2y，即x=2y﹣1，把x与y互换可得：y=2x﹣1（x∈R）．∴y=log2（x+1）的反函数为y=2x﹣1（x∈R）．故答案为：y=2x﹣1（x∈R）．　2．若直线l1：2x+my+1=0与l2：y=3x﹣1垂直，则实数m=　6　．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】根据两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，解方程求得m的值．【解答】解：直线l1：2x+my+1=0与l2：y=3x﹣1垂直，即为3x﹣y﹣1=0∴2×3+m×（﹣1）=0，解得m=6，故答案为：6．　3．若2+i（i虚数单位）是实系数一元二次方程x2+px+q=0的根，则p+q=　1　．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】可知2﹣i也是实系数一元二次方程x2+px+q=0的根，从而利用韦达定理求得．【解答】解：∵2+i是实系数一元二次方程x2+px+q=0的根，∴2﹣i是实系数一元二次方程x2+px+q=0的根，∴2+i+2﹣i=﹣p，（2+i）（2﹣i）=q，解得，p=﹣4，q=5；故p+q=1；故答案为：1．　4．已知sinx=，x∈（，π），则行列式的值等于　　．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosx，进而可求secx的值，再计算行列式的值即可得解．【解答】解：∵sinx=，x∈（，π），∴cosx=﹣=﹣，secx==﹣，∴=sinxsecx+1=（﹣）+1=．故答案为：．　5．已知A={x|＞1}，B={x|log2（x﹣1）＜1}，则A∩B=　{x|1＜x＜2}　．【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：集合A中不等式，当x＞0时，解得：x＜2，此时0＜x＜2；当x＜0时，解得：x＞2，无解，∴A={x|0＜x＜2}，集合B中不等式变形得：log2（x﹣1）＜1=log22，即0＜x﹣1＜2，解得：1＜x＜3，即B={x|1＜x＜3}，则A∩B={x|1＜x＜2}，故答案为：{x|1＜x＜2}．　6．已知A地位于东经30°、北纬45°，B地位于西经60°、北纬45°，则A、B两地的球面距离与地球半径的比值为　　．【考点】球面距离及相关计算．【分析】求出球心角，然后A、B两点的距离，求出两点间的球面距离，即可求出A、B两地的球面距离与地球半径的比值．【解答】解：地球的半径为R，在北纬45°，而AB=R，所以A、B的球心角为：，所以两点间的球面距离是：R，所以A、B两地的球面距离与地球半径的比值为故答案为：．　7．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于　38　．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据披平均成绩求出a的值，根据方差的计算公式求出这组数据的方差即可．【解答】解：∵5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，∴78+85+a+82+69=5×80，解得：a=86，∴s2=[（78﹣80）2+（85﹣80）2+（86﹣80）2+（82﹣80）2+（69﹣80）2]=38，则他们成绩的方差等于38，故答案为：38．　8．在极坐标系下，点（2，）到直线ρcos（θ﹣）=1的距离为　1　．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：直线ρcos（θ﹣）=1化为：+=1，即x﹣y+2=0．点P（2，）化为P，∴点P到直线的距离d==1．故答案为：1．　9．若（x+）n（n∈N*）展开式中各项系数的和等于64，则展开式中x3的系数是　15　．【考点】二项式系数的性质．【分析】令x=1，则（x+）n（n∈N*）展开式中各项系数的和=2n=64，解得n．再利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】解：令x=1，则（x+）n（n∈N*）展开式中各项系数的和为：2n=64，解得n=6．∴的展开式的通项公式Tr+1==SHAPE\*MERGEFORMAT，令=3，解得r=2．∴展开式中x3的系数为：=15．故答案为：15．　10．三阶矩阵中有9个不同的数aij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个，则至少有两个数位于同行或同列的概率是　　（结果用分数表示）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得结论．【解答】解：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，取出的三个数，使它们不同行且不同列：从第一行中任取一个数有C31=3种方法，则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有C21=2种方法，第三行只能从剩下的一列中取即可有1中方法，∴共有3×2=6种方法三个数分别位于三行或三列的情况有6种；∴所求的概率为=，故答案为：　11．若函数y=cos（x+）的图象向右平移φ个单位（φ＞0），所得到的图象关于y轴对称，则φ的最小值为　　．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，结合正弦函数、余弦函数的图象的对称性可得﹣φ+=kπ，k∈Z，从而求得φ的最小值．【解答】解：把函数y=cos（x+）的图象向右平移φ个单位（φ＞0），可得y=cos（x﹣φ+）的图象；根据所得到的图象关于y轴对称，可得﹣φ+=kπ，k∈Z，可得φ的最小值为，故答案为：．　12．若两整数a、b除以同一个整数m，所得余数相同，即=k（k∈Z），则称a、b对模m同余，用符号a≡b（modm）表示，若a≡10（mod6）（a＞10），满足条件的a由小到大依次记为a1，a2…an，…，则数列{an}的前16项和为　976　．【考点】整除的定义．【分析】由两数同余的定义，m是一个正整数，对两个正整数a、b，若a﹣b是m的倍数，则称a、b模m同余，我们易得若a≡10（mod6）（a＞10），则a﹣10为6的整数倍，则a=6n+10，再根据等差数列{an}的前n项公式计算即可得答案．【解答】解：由两数同余的定义，m是一个正整数，对两个正整数a、b，若a﹣b是m的倍数，则称a、b模m同余，我们易得若a≡10（mod6）（a＞10），则a﹣10为6的整数倍，则a=6n+10，故a=16，22，28，…均满足条件．由等差数列{an}的前n项公式，则=976．故答案为：976．　13．已知双曲线﹣=1（a∈N*）的两个焦点为F1，F2，P为该双曲线上一点，满足|F1F2|2=|PF1|•|PF2|，P到坐标原点O的距离为d，且5＜d＜9，则a2=　1或4　．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的b，c，设P为右支上一点，|PF1|=m，|PF2|=n，运用双曲线的定义，结合条件，由两点的距离公式，解不等式可得a的正整数解．【解答】解：双曲线﹣=1的b=2，c2=a2+4，设P为右支上一点，|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义可得m﹣n=2a，由题意可得4c2=mn，m2+n2=d2，可得（m﹣n）2+2mn=4a2+8c2=d2∈（25，81），即25＜12a2+32＜81，即为a2＜，由a为正整数，可得a=1，2，故答案为：1或4．　14．如图，已知AB⊥AC，AB=3，AC=，圆A是以A为圆心半径为1的圆，圆B是以B为圆心的圆．设点P，Q分别为圆A，圆B上的动点，且=SHAPE\*MERGEFORMAT，则•的取值范围是　[﹣1，11]　．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设∠QBA=θ，则∠PAC=90°+θ，从而有=﹣，=﹣，通过计算求出即可．【解答】解：设∠QBA=θ，则∠PAC=90°+θ，∵=﹣，=﹣∴•=（﹣）•（﹣）=•﹣•﹣•+•=•﹣•+•﹣•+•=2﹣cos（+θ）+3cos（π﹣θ）﹣•2•cos（+θ）+•2•cos=5+3sinθ﹣3cosθ=5+6sin（θ﹣），∵﹣1≤sin（θ﹣）≤1，∴•∈[﹣1，11]．　二.选择题15．已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q（p≠0，q≠1），则“q=﹣1”是“数列{an}是等比数列”的（　　）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出a1的值，再由n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（p﹣1）•pn﹣1进而可判定n≥2时，{an}是等比数列，最后再验证当n=1时q=﹣1时可满足，{an}是等比数列，从而{an}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=﹣1；反之，q=﹣1时，当p=0或p=﹣1时，{an}不是等比数列；利用充要条件的定义得到结论．【解答】解：当n=1时，a1=S1=p+q；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（p﹣1）•pn﹣1．当p≠0，p≠1，∴当n≥2时，{an}是等比数列．要使{an}（n∈N*）是等比数列，则=p，即（p﹣1）•p=p（p+q），∴q=﹣1，即{an}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=﹣1．反之，q=﹣1时，Sn=pn﹣1，an=（p﹣1）•pn﹣1，因为p=1时，{an}不是等比数列所以“q=﹣1”是“数列{an}为等比数列”的必要不充分条件．故选B．　16．已知z1、z2均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（　　）A．|z1|=||=B．若|z2|=2，则z2的取值集合为{﹣2，2，﹣2i，2i}（i是虚数单位）C．若z12+z22=0，则z1=0或z2=0D．z1+z2一定是实数【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】A．取z1=i，即可判断出正误；B．由|z2|=2，则z2=2（cosθ+isinθ），θ∈[0，2π）；C．取z1=i，z2=﹣i，即可否定；D．设z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R，利用复数的运算法则即可判断出正误．【解答】解：A．不成立，例如取z1=i；B．不成立，|z2|=2，则z2=2（cosθ+isinθ），θ∈[0，2π）；C．不成立，例如取z1=i，z2=﹣i；D．设z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R，则z1+z2=（a+bi）（c﹣di）+（a﹣bi）（c+di）=ac+bd+（bc﹣ad）i+ac﹣bd+（ad﹣bc）i=2ac，因此是实数，正确．故选：D．　17．椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（　　）A．B．C．D．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．【分析】由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．【解答】解：由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），则，得．∵=，=，∴==，∵，∴，解得．故选B．　18．定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A（a，f（a）），B（b，f（b）），M（x，y）是y=f（x）图象上任意一点，过点M作垂直于x轴的直线l交线段AB于点N（点M与点N可以重合），我们称||的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域为[1，2]上的函数中，曲径最小的是（　　）A．y=x2B．y=C．y=x﹣D．y=sinx【考点】函数的图象；函数的图象与图象变化．【分析】根据已知中函数的“曲径”的定义，逐一求出给定四个函数的曲径，比较后，可得答案．【解答】解：当y=f（x）=x2时，端点A（1，1），B（2，4），直线AB的方程为y=3x﹣2，故||=3x﹣2﹣x2，当x=时，||的最大值为，即该函数的“曲径”为，当y=f（x）=时，端点A（1，2），B（2，1），直线AB的方程为y=﹣x+3，故||=﹣x+3﹣，当x=时，||的最大值为3﹣2，即该函数的“曲径”为3﹣2，当y=f（x）=x﹣时，端点A（1，0），B（2，），直线AB的方程为y=x﹣，故||=x﹣﹣x+=﹣x﹣+，当x=时，||的最大值为﹣，即该函数的“曲径”为﹣，当y=f（x）=sinx时，端点A（1，），B（2，），直线AB的方程为y=，故||=sinx﹣，当x=时，||的最大值为1﹣，即该函数的“曲径”为1﹣，故函数y=x﹣的曲径最小，故选：C．　三.解答题19．如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且直线AB与直线CD的夹角为，已知|OA|=1，|PA|=2．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线AC平行于平面PBD，并求直线AC到平面PBD的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得AC∥BD，即可证明直线AC平行于平面PBD，C到平面PBD的距离即直线AC到平面PBD的距离，由VC﹣PBD=VP﹣BCD，求出直线AC到平面PBD的距离．【解答】（1）解：设圆锥的高为h，底面半径为r，则r=1，h=，∴圆锥的体积V=Sh=；（2）证明：由对称性得AC∥BD，∵AC⊄平面PBD，BD⊂平面PBD，∴AC∥平面PBD，∴C到平面PBD的距离即直线AC到平面PBD的距离，设C到平面PBD的距离为d，则由VC﹣PBD=VP﹣BCD，得，可得，∴d=，∴直线AC到平面PBD的距离为．　20．已知数列{an}中，an+1=+（n∈N*），a1=1；（1）设bn=3nan（n∈N*），求证：{bn}是等差数列；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求的值．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）由an+1=+（n∈N*），可得3n+1an+1﹣3nan=3，又bn=3nan（n∈N*），可得bn+1﹣bn=3，利用等差数列的定义即可证明．（2）由（1）可得：bn=3n，3nan=3n，可得an=．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式可得：Sn=﹣．再利用极限的运算性质即可得出．【解答】（1）证明：∵an+1=+（n∈N*），∴3n+1an+1﹣3nan=3，又bn=3nan（n∈N*），∴bn+1﹣bn=3，∴{bn}是等差数列，首项为3，公差为3．（2）解：由（1）可得：bn=3+3（n﹣1）=3n，∴3nan=3n，可得an=．∴Sn=1++3×+…++n×，=+…+（n﹣1×）+n×，∴=1+++…+﹣n×=﹣n×=﹣×，∴Sn=﹣．∴1﹣=．∴=．∴==．　21．图为一块平行四边形园地ABCD，经测量，AB=20米，BC=10米，∠ABC=120°，拟过线段AB上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3：1的左、右两部分分别种植不同的花卉，设EB=x，EF=y（单位：米）（1）当点F与点C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式，并确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）当点F与点C重合时，S△BEC=S▱ABCD，即•EB•h=AB•h，从而确定点E的位置；（2）点E在线段AB上，分10≤x≤20与0≤x＜10讨论以确定y关于x的函数关系式，从而利用分段函数解得，当0≤x＜10时，y=2，由二次函数求最小值，当10≤x≤20时，y=，由基本不等式求最值；从而可得．【解答】解：（1）当点F与点C重合时，S△BEC=S▱ABCD，即•EB•h=AB•h，其中h为平行四边形AB边上的高，得EB=AB，即点E是AB的中点．（2）∵点E在线段AB上，∴0≤x≤20，当10≤x≤20时，由（1）知，点F在线段BC上，∵AB=20m，BC=10m，∠ABC=120°，∴S▱ABCD=AB•BC•sin∠ABC=20×10×=100．由S△EBF=x•BF•sin120°=25，得BF=，∴由余弦定理得，y=EF==，当0≤x＜10时，点F在线段CD上，由S四边形EBCF=（x+CF）×10×sin60°=25得CF=10﹣x，当BE≥CF时，EF=，当BE＜CF时，EF=，化简均为y=EF=2，综上所述，y=；当0≤x＜10时，y=2，当x=时，y有最小值ymin=5，此时CF=；当10≤x≤20时，y=≥10＞5，故当点E距点B2.5m，点F距点C7.5m时，EF最短，其长度为5．　22．已知圆E：（x﹣1）2+y2=4，线段AB、CD都是圆E的弦，且AB与CD垂直且相交于坐标原点O，如图所示，设△AOC的面积为S1，设△BOD的面积为S2；（1）设点A的横坐标为x1，用x1表示|OA|；（2）求证：|OA|•|OB|为定值；（3）用|OA|、|OB|、|OC|、|OD|表示出S1+S2，试研究S1+S2是否有最小值，如果有，求出最小值，并写出此时直线AB的方程；若没有最小值，请说明理由．【考点】圆方程的综合应用．【分析】（1）利用距离公式，即可用x1表示|OA|；（2）分类讨论，计算|OA|•|OB|，即可证明|OA|•|OB|为定值；（3）由（2）得|OA|•|OB|=3，同理|OC||OD|=3，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】（1）解：设A（x1，y1），代入圆E：（x﹣1）2+y2=4，得y12=﹣x12+2x1+3，∴|OA|==；（2）证明：设B（x2，y2），同理可得|OB|=，∴|OA|•|OB|=x1≠x2，设直线AB的方程为y=kx，代入圆的方程得（k+1）x2﹣2x﹣3=0，∴x1+x2=，x1x2=﹣，代入可得|OA|•|OB|=3，x1=x2，直线过原点，直线AB的方程为x=0，即x1=x2=0，代入可得|OA|•|OB|=3，综上所述，|OA|•|OB|=3为定值；（3）解：由（2）得|OA|•|OB|=3，同理|OC||OD|=3∴S1+S2=（|OA||OC|+|OB||OD|）≥=3，当且仅当|OA||OC|=|OB||OD|时取等号，此时，S1+S2最小值为3，直线AB的方程为y=±x．　23．已知非空集合A是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意f（x）∈A，f（x）均存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）∈A；②对任意f（x）∈A，方程f（x）=x均有解；③对任意f（x）、g（x）∈A，若函数g（x）为定义在R上的一次函数，则f（g（x））∈A；（1）若f（x）=，g（x）=2x﹣3均在集合A中，求证：函数h（x）=（2x﹣3）∈A；（2）若函数f（x）=（x≥1）在集合A中，求实数a的取值范围；（3）若集合A中的函数均为定义在R上的一次函数，求证：存在一个实数x0，使得对一切f（x）∈A，均有f（x0）=x0．【考点】反函数；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）由f（x）=∈A，根据性质①可得：f﹣1（x）=∈A，且存在x0＞0，使得=x0，由g（x）=2x﹣3∈A，且为一次函数，根据性质③即可证明．（2）由性质②，方程=x（x≥1），即a=x在x∈[1，+∞）上有解，可得a≥1．变形f（x）==x+1+﹣2，（x∈[1，+∞））．对与2的关系分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．（3）任取f1（x）=ax+b，f2（x）=cx+d∈A，由性质（1）a，c≠0，不妨设a，c≠1，（若a=1，则b=0，f1（x）=x），由性质③函数g（x）=f1（f2（x））=acx+（ad+b）∈A，函数h（x）=f2（f1（x））=acx+（bc+d）∈A，由性质①：h﹣1（x）=∈A，由性质③：h﹣1（g（x））==x=∈A，由性质②方程：x+=x有解，可得ad+b=bc+d，即，即可证明．【解答】（1）证明：由f（x）=∈A，根据性质①可得：f﹣1（x）=∈A，且存在x0＞0，使得=x0，由g（x）=2x﹣3∈A，且为一次函数，根据性质③可得：h（x）==f﹣1（g（x））∈A．（2）解：由性质②，方程=x（x≥1），即a=x在x∈[1，+∞）上有解，∴a≥1．由f（x）===x+1+﹣2，（x∈[1，+∞））．若＞2，a＞3时，＞1，且f（1）=，∴此时f（x）没有反函数，即不满足性质①．若≤2，1≤a≤3时，函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴函数f（x）有反函数，即满足性质①．综上：a∈[1，3]．（3）证明：任取f1（x）=ax+b，f2（x）=cx+d∈A，由性质（1）a，c≠0，不妨设a，c≠1，（若a=1，则b=0，∴f1（x）=x），由性质③函数g（x）=f1（f2（x））=acx+（ad+b）∈A，函数h（x）=f2（f1（x））=acx+（bc+d）∈A，由性质①：h﹣1（x）=∈A，由性质③：h﹣1（g（x））==x=∈A，由性质②方程：x+=x有解，∴ad+b=bc+d，即，f1（x）=x，可得ax+b=x，x=．f2（x）=x，可得cx+d=x，x=．由此可知：对于任意两个函数f1（x），f2（x），存在相同的x0满足：f1（x0）=x0f2（x0），∴存在一个实数x0，使得对一切f（x）∈A，均有f（x0）=x0．