2021年上海市春季高考数学试卷及答案

2021年上海市春季高考数学试卷（学生版）2021.01时间：120分钟；满分：150分一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.等差数列中，，则.2.已知复数z满足(i是虚数单位)，则＝.3.不等式的解集为.4.已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则圆柱的侧面积为.5.求直线与直线的夹角为________.6.方程组无解，求.7.的二项展开式中有且仅有为最大值，则的系数为.8.已知函数的最小值为，则.9.在无穷等比数列中，，则的取值范围是10.某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问有几种运动方式组合A运动B运动C运动D运动E运动7点8点8点9点9点10点10点11点11点12点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟11.已知椭圆（）的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是12.已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.下列函数中,在定义域内存在反函数的是()A.B.C.D.14.已知集合，则（）A.B.C.D.15.已知函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是（）A.为偶函数且关于直线对称B.为偶函数且关于点对称C.为奇函数且关于直线对称D.为奇函数且关于点对称16.在△中，为中点，为中点，则以下结论：①存在△，使得；②存在三角形△，使得∥；成立的是（）A.①成立，②成立B.①成立，②不成立C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.四棱锥，底面为正方形，边长为4，为中点，平面.（1）若△为等边三角形，求四棱锥的体积；（2）若的中点为，与平面所成角为45°，求与所成角的大小.18.已知、、为△的三个内角，、、是其三条边，，.（1）若，求、；（2），求.19.（1）团队在点西侧、东侧20千米处设有、两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在、为焦点的双曲线上，以点为原点，东侧为轴正半轴，北侧为轴正半轴，建立平面直角坐标系，在北偏东60°处，求双曲线标准方程和点坐标.（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有、两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1米）和点位置（精确到1米，1°）20.已知函数.（1）若，求函数的定义域；（2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围；（3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围.21.已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项与的等差中项（1）已知，，，求的所有可能取值；（2）已知，、、为正数，求证：、、成等比数列，并求出公比；（3）已知数列中恰有3项为0，即，，且，，求的最大值.2021年上海市春季高考数学试卷（参考答案版）2021.01时间：120分钟；满分：150分一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.等差数列中，，则.【答案】【解析】2.已知复数z满足(i是虚数单位)，则.【答案】【解析】3.不等式的解集为.【答案】【解析】4.已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,则圆柱的侧面积为.【答案】【解析】5.求直线与直线的夹角为________.【答案】【解析】6.方程组无解，求.【答案】【解析】7.的二项展开式中有且仅有为最大值，则的系数为.【答案】【解析】8.已知函数的最小值为，则.【答案】【解析】9.在无穷等比数列中，，则的取值范围是【答案】【解析】由题意，，∴，∴，∴11.某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问有几种运动方式组合A运动B运动C运动D运动E运动7点8点8点9点9点10点10点11点11点12点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟【答案】【解析】由题意，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB、DB、EB的组合是不符题意的，∴11.已知椭圆（）的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是【答案】【解析】设，，则抛物线，直线，联立，∴，∴，，，∴，即准线方程为12.已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是【答案】【解析】在单位圆中分析，由题意，的终边要落在图中阴影部分区域（其中），∴，∵对任意要成立，∴，即，，同时，∴的最小值为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.下列函数中,在定义域内存在反函数的是()A.B.C.D.【答案】14.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】15.已知函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是（）A.为偶函数且关于直线对称B.为偶函数且关于点对称C.为奇函数且关于直线对称D.为奇函数且关于点对称【答案】【解析】反例如图所示.选项D，易得，16.在△中，为中点，为中点，则以下结论：①存在△，使得；②存在三角形△，使得∥；成立的是（）A.①成立，②成立B.①成立，②不成立C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立【答案】【解析】不妨设，，，，，①，，若，∴，∴，满足条件的明显存在，∴①成立；②F为AB中点，，与交点即重心，∵为三等分点，为中点，∴与不共线，即②不成立；故选B三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.四棱锥，底面为正方形，边长为4，为中点，平面.（1）若△为等边三角形，求四棱锥的体积；（2）若的中点为，与平面所成角为45°，求与所成角的大小.【答案】（1）；（2)【解析】（1）∵正方形边长为4，△为等边三角形，为中点，∴，；（2）如图建系，，，，，∴，，∴，即与所成角的大小为18.已知、、为△的三个内角，、、是其三条边，，.（1）若，求、；（2），求.【答案】（1）,（2）【解析】（1），∴，；（2），∴，∵，由正弦定理，19.（1）团队在点西侧、东侧20千米处设有、两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在、为焦点的双曲线上，以点为原点，东侧为轴正半轴，北侧为轴正半轴，建立平面直角坐标系，在北偏东60°处，求双曲线标准方程和点坐标.（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有、两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1米）和点位置（精确到1米，1°）【答案】（1）,;(2),点位置北偏东【解析】（1），，∴，双曲线为；直线，联立双曲线，得；（2）①，，，∴，双曲线为；②，，，∴，双曲线为；联立双曲线，得，∴米，点位置北偏东20.已知函数.（1）若，求函数的定义域；（2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围；（3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围.【答案】（1）;(2);(3)【解析】（1），∴，解得；（2），设，∴有2个不同实数根，∴整理得，，同时，∴；（3）当，，在递减，此时需满足，即时，函数在上递减；当，，在上递减，∵，∴，即当时，函数在上递减；综上，当时，函数在定义域上连续，且单调递减21.已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项与的等差中项（1）已知，，，求的所有可能取值；（2）已知，、、为正数，求证：、、成等比数列，并求出公比；（3）已知数列中恰有3项为0，即，，且，，求的最大值.【答案】（1）;（2）见解析；（3）【解析】（1）由题意，或，∴，，经检验，（2）∵，∴，或，经检验，；∴，或（舍），∴；∴，或（舍），∴；∴，或（舍），∴；综上，、、成等比数列，公比为；（3）由或，可知或，由第（2）问可知，，∴，，∴，同理，，，∴，同理，，∴的最大值为