广东省惠州市2022届高三第三次调研考试数学试卷

惠州市2022届高三第三次调研考试数学试题全卷满分150分，时间120分钟．2022.01注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。1．已知集合A=xx1，集合B=xx2−x=0，则AB=（）A．{0}B．{1}C．｛0，1}D．｛1，2}2．已知i为虚数单位，复数z满足zi=1+i，则z=（）A．1B．2C．2D．013．若随机变量X满足XB~6,，则EX()=（）2A．1B．2C．1D．323364．已知点P−,是角的终边与单位圆的交点，则sin2=（）3311226A．B．−C．−D．33335．将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A为“第一次出现奇数点”，事件B为“第二次出现偶数点”，则有（）A．A与B相互独立B．PABPAPB()()()=+1C．A与B互斥D．P()AB=2数学试题第1页，共6页6．已知函数f(x)=x2+1,g(x)=sinx，则如图所示的图象对应的函数解析式可能是（）A．y=f(x)+g(x)−1B．y=f(x)g(x)gx()C．y=f(x)−g(x)−1D．y=fx()7．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则下列结论中正确的序号为（）①轨道Ⅱ的焦距为Rr−；②若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小；③轨道Ⅱ的长轴长为Rr+；④若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大．A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④8．如图，点MN、分别是正四面体ABCD棱AB、CD上的点，设BM=x，直线MN与直线BC所成的角为，则（）A．当ND=2CN时，随着x的增大而增大B．当ND=2CN时，随着x的增大而减小C．当CN=2ND时，随着x的增大而减小D．当CN=2ND时，随着x的增大而增大二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。9．若直线y=+3xb与圆xy22+=1相切，则b的取值可以是（）A．−2B．2C．2D．5数学试题第2页，共6页10．对一组数据进行回归分析，作出散点图如图所示，在5个坐标数据中去掉异常数据D(3,10)后，下列说法不正确的是（）A．残差平方和变小B．相关系数r变小C．相关指数R2变小D．解释变量x与预报变量y的相关性变弱eexx−−eexx+−11．关于双曲正弦函数sinh(x)=和双曲余弦函数cosh(x)=，下列结22论正确的是（）A．sinh(−xx)=−sinh()B．cosh(xx)'=−sinh()22C．cosh(−1)cosh(2)D．sinh(xx)−=cosh()112．已知函数f(x)=x3+ax+b，其中a,bR，则下列选项中，能使得fx()仅有一个零点的有（）A．ab，fx()为奇函数B．ab=+ln(21)a3C．a=−3，b2−40D．a0，b2+06三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分。13．若ABC是边长为1的等边三角形，则AB=BC______.514．(xx−+1)(21)的展开式中，x3项的系数为__________．15．请从正方体ABCD−A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是正三角形，则这4个点可以是_________.（只需写出一组）数学试题第3页，共6页16．如下图，将正三角形（1）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（2）；将图（2）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（3）；如此类推，将图（n）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作三角形，然后去掉底边，得到图(n+1)．重复上述作图过程，得到的曲线就是美丽的雪花曲线．若图（1）中正三角形的边长为1，则图（n）的周长为_________，图（n）的面积为_________．（1）（2）（3）（4）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 过程或演算 步骤 新产品开发流程的步骤课题研究的五个步骤成本核算步骤微型课题研究步骤数控铣床操作步骤 。17．（本小题满分10分）疫苗是指用各种病原微生物制作的用于预防接种的生物制品，接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．某制药厂对预防某种疾病的两种疫苗开展临床对比试验．若使用后的抗体呈阳性，则认为疫苗有效．在已经接种疫苗的群体中随机抽取的100个样本，其中有60个接种了灭活疫苗，剩余40个接种了核酸疫苗．根据样本数据绘制等高条形图（如图所示），其中两个深色条的高分别 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示接种灭活疫苗和核酸疫苗样本中抗体呈阳性的频率．现从这100个样本中随机抽取1人，已知事件“该样本接种了灭活疫苗且抗体呈阳0性”发生的概率为0.54．（1）求等高条形图中a的值；（2）请在答题卷中完成下面的列联表，并判断能否在犯错概率不超过0.10的前提下认为两种疫苗的预防效果存在差异？数学试题第4页，共6页灭活疫苗核酸疫苗总计抗体为阳性抗体为阴性总计6040100n()ad−bc2参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2P()Kk00.150.100.01k02.0722.7066.63518．（本小题满分12分）已知ABC的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，且bcosC=−(2ac)cosB．（1）求B；（2）若b=3，sinCA=2sin，求ABC的面积．19．（本小题满分12分）已知数列an是公差大于1的等差数列，a2=3，前n项和为Sn，且_____________．请在下列三个条件中任选一个，补充到上述题目的条件中，并求解下面的问题．①a1+1，a3−1，a6−3成等比数列；②S5是a3和a23的等差中项；③a2n的前6项和是78．（1）求数列an的通项公式；n（2）若bn=2，cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn．数学试题第5页，共6页20．（本小题满分12分）如图，S为圆锥的顶点，O为底面圆心，点A、B在底面圆周上，且=AOB60，点C、D分别为SB、OB的中点．（1）求证：AC⊥OB；（2）若圆锥的底面半径为2，高为4，求直线AC与平面SOA所成的角的正弦值．21．（本小题满分12分）2如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点为C1(−1,0)、C2(1,0)，且离心率e=．2（1）求椭圆C的方程；（2）设M(−2,0)，过点M的直线l与椭圆C相交于E、F两点，当线段EF的中点落在由四点、、B1(0,−1)、B2(0,1)构成的四边形内（包括边界）时，求直线l斜率的取值范围．22．（本小题满分12分）axln己知函数f()x=ex−−a（e为自然对数的底数）有两个零点．x（1）若a=1，求fx()在x=1处的切线方程；e2（）若的两个零点分别为xx、，证明：．2fx()12xx12exx12+数学试题第6页，共6页惠州市2022届高三第三次调研考试数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。题号12345678答案BCDCADCD1．【解析】因为集合B0,1，Axx1，所以AB1.故选：B.1i1ii22．【解析】zi1，z1122.故选：Cii2113．【解析】因为XB~6,，所以EX()63，故选：D.22634．【解析】依题意，由任意角三角函数的定义可得sin，cos，336322所以.故选：C.sin22sincos23335．【解析】对于A：由题意知，事件A的发生与否对事件B没有影响，所以A与B相互独立，故选项A正确；对于B：因为A与B不是互斥事件，所以P()()()()ABPAPBPAB，故选项B不正确；对于C：因为事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件，故选项C不正确；3311对于D：因为A与B相互独立事件，则P()()()ABPAPB，故选项D不正确；6642故选：A.6．【解析】因为函数图象关于原点对称，所以所求函数为奇函数.对选项A，yfxgxxx1sin2，为非奇非偶函数，故排除A，对选项B，设hxfxgxsinxx21，定义域为R，hxxxxsin1sin1xhx22，所以函数hxfxgxxxsin12为奇函数，hxxxxxcos122sin，2x0,时，hxxxxxcos12sin0，hx为增函数，3而函数图象在0,先增后减，故B错误.3数学试题答案第1页，共11页对选项C，yfxgx1x2sinx，为非奇非偶函数，故排除C，故选：D7.【解析】①由椭圆的性质知，acR,acr，解得2cRr，故正确；RrRr()()RrRr22②由①知ac,，所以2222bacRr22，2244若R不变，r越大，2b越大，轨道Ⅱ的短轴长越小；故错误；③由①知2aRr，故轨道Ⅱ的长轴长为Rr，故正确；Rr2cRrr22④因为e211，若r不变，R越大，则R越小，所以e越大，aRrRrRrR11r2r轨道Ⅱ的离心率越大，故正确.故选：C8．当NDCN2时，如下图作NFB//C交BD于F点，所以直线MN与直线BC所成的角即为直线MN与直线NF所成的角，即MNF，设正四面体的棱长为3，则CNBFFN1,2，可求得MFxxMNxx221,37，所以在中，有5xx1187，FNMcos12(x[0,3])2xx2372xx37187x7365xx2令fx()，则fx，xx237(xx237)27365xx2x[0,3]时，fx有正有负，函数有增有减，所以故A与B错误；(xx237)2当CN2ND时，如下图作NE//BC交BD于E点，所以直线MN与直线BC所成的角即为直线MN与直线NE所成的角，即MNE.数学试题答案第2页，共11页同样设正四面体的棱长为3，则CNBF2,FN2，可求得MEx224x，9773ANBN7,在ABN中，有cosABN，237272232所以MNx72x7x3x7，即MNxx237，27所以在中，有4195xx，MNEcos1([0,3])2x237xx2237xx95x5188x2x令fx()，则fx0，xx237()x237x2所以fx()在定义域内单调递减，即x增大，fx()减小，即cos减小，从而增大，故D正确，C错误.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。题号9101112全部正确选项ACBCDACBDb9．【解析】因为直线yxb3与圆xy221相切，所以1，解得b2.故选：AC3110．【解析】从散点图可分析得出：只有D点偏离直线远，若去掉D点，则变量x与变量y的线性相关性变强，所以相关系数r变大，相关指数R2变大，残差的平方和变小，解释变量x与预报变量y的相关性变强；故选：BCD．eexxeexx11．【解析】因双曲正弦函数sinhx和双曲余弦函数coshx，22eexx对于A，sinhsinhxx，A正确；2eeeexxxx对于B，(cosh(xx))()sinh()，B不正确；22eexx对于C，显然双曲余弦函数coshx是偶函数，且在(0,)递增，2cosh1cosh1cosh2，C正确；xxxx22eeee对于D，sinhxxcosh()22()1，D不正确.22数学试题答案第3页，共11页故选：AC12．【解析】由题意知：fxxa32.aa对于A，fx为奇函数，b0，则a0，fx0有两个不等实根x，x，1323在a，a上单调递增，在aa上单调递减，则存在fx,,,fx3333a4aaaaaa4aa两个极值点，又，，f0fa0333333333fx有三个零点，A错误；对于B，b211，a0，fx0，fx在R上单调递增，又当x时，fx0；当x时，fx0，fx仅有一个零点，B正确；对于C，若取b2，则fx极大值为f14，极小值为f10，fx有两个零点，C错误；aaa2aaa2对于D，的极大值为，极小值为.，fxfbfba03333334aa334a3bb220，b2，27627aa则2aa或2aa，则或，bbf0f0333333可知fx仅有一个零点，D正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空2分，第二个空3分。题号13141516n1431ACBD,,,（或ACBD,,,）3答案4011112n1【注：只需写出一组，字母顺序不限！】23334520913．【解析】因为ABC为边长为1的等边三角形，所以ABBC1，B60，而AB和BC的111夹角为B的补角，所以ABBCABBCcos12011.故答案为：.22255r5r5rr5r14．【解析】由二项式21x展开式的通项为2x1Tr1C5(2x)2C5x，数学试题答案第4页，共11页532323233则xx121的展开式中，含x的项为xCxCxx2124055，所以x3项的系数为40.故答案为：40.15．【解析】从正方体ABCDABCD1111的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是正三角形，则得到的几何体为正四面体，则这4个点可以是A11C,,B,D或A,C,,BD11【注：只需写出一组，字母顺序不限！】16．【解析】第一个三角形的周长为313，观察发现：第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了周长的1，第三个在第二个的基础上多了其周长的1，3314所以第二个图形的周长为313，332114第三个图形的周长为3113，33331114第四个图形的周长为31113，……，3333n1n144所以第n个图形的周长是第一个周长的倍，所以第n个图形的周长为3，331由题意可知，第n个图形的边长都相等，且长度变为原来的，31n1则边长b的递推公式为，b1，所以1，nbbnnn1,21bn33边数的递推公式为，，则n1，anaannn4,21a13an343第一个图形的面积为A；当n2时，14nn112331334AAabAA2234n则nn1nnnn111443169AAAAAAAAn1()()()2132nn144n1[1()]n133323334994416152099数学试题答案第5页，共11页四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）【解析】（1）依题意“1名受访者接种灭活疫苗且接种后抗体呈阳性”发生的概率为0.54，60所以a0.54………………………………………………1分100解得a0.9……………………………………………………2分（2）列联表如下：灭活疫苗核酸疫苗总计抗体为阳性543488抗体为阴性6612总计6040100…………5分【注：每写对2个得1分】零假设为H0:接种两种疫苗效果无差异……………......…6分【注：没有零假设不得此分】1005463462根据列联表中的数据，得到K2……………......…7分6040128825=0.568………………………......…8分44因为………………………………9分【注：无大小比较，不得此分】0.5682.706x0.1所以不能在犯错概率不超过0.10的前提下认为两种疫苗的预防效果存在差异.……………………10分【注：等义陈述结论可得1分】18．（本小题满分12分）abc【解析】（1）由正弦定理2R….…1分【注：未写出正弦定理表达式不得此分】sinABCsinsin得sinBCABBCcos2sincoscossin，…………………………………2分即sinBCBCABcoscossin2sincos，∴sinBCAB2sincos，……………………………………………………3分又∵ABCπ，∴sinsinBCA，……………………………………4分∴sinAAB2sincos，1又∵sinA0，∴cosB，……………………………………………………5分2数学试题答案第6页，共11页∵B0,，…………………………………6分【注：没有写角范围本得分点不得分】π∴B；………………………………………………………………………………7分3（2）由正弦定理及sin2sCAin得ca2，由余弦定理bacacB2222cos，…………8分【注：余弦定理公式正确可得1分】得b2a242a2a2即a23，……………………………………………………9分且a0，∴a3，c23，……………………………………………………10分1∴ABC的面积为SacBsin……………………11分【注：面积公式正确可得1分】21333323．………………………………12分22219．（本小题满分12分）【解析】（1）设的公差为，and22选条件①：aaa316113，则ddd244，……………1分2解得d2或，…………………………………………………………2分5∵d1，所以d2，………………………………………………3分∴，……………………4分aandnnn2232221选条件②：由已知有，……………………………………………1分2Saa532354，……………………………2分2521adadad1222即1020222addad22解得：d2……………………………………………………………3分∴，……………………4分aandnnn2232221选条件③：的前6项和是78，a2n65即aaaaad62……………………1分24612221830d78………………………2分解得：d2，……………………………………………………3分数学试题答案第7页，共11页∴.……………………4分ana2n2d32n22n1（2）n…………………………………………………………5分cnn212123n…………………………6分Tnn1232522122341nn……7分2123252232212Tnnn则1231nn……………………8分Tnn2222221221221n22212nn1…………10分【注：求和公式正确得1分】122326nn1………………………………………………11分∴n1.………………………………………………12分Tnn2326【注】第二问用待定系数法解答的评分标准为：如果没有待定系数的原理说明在结果正确的情况下最多可得5分，这5分分解为：假设1分，列方程组2分，解方程组1分，结果1分；如果0结果错误第二问得0分。20．（本小题满分12分）【解析】（1）由题意，点C，D分别为SB，OB的中点，CDSO//，SO底面圆O，CD底面圆O，………………………………1分OB在底面圆O上，OBCD．……………………………2分AOB60，AOB为正三角形，又因为D为OB的中点，OBAD，……………………………3分又ADCDD，且AD面ACD，CD面ACD，…………4分【注：没有写全这三个条件，本得分点不得分】OB平面ACD，……………………………………………………5分AC平面ACD，ACOB．…………………………………6分（2）因为DA，DB，DC所在直线两两垂直，如图，以D为原点，DA，DB，DC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，………………………………7分则A3,0,0，C0,0,2，O0,1,0，S0,1,4，故AC3,0,2，AS3,1,4，OA3,1,0，……8分设平面SOA的法向量为nx,,yz，数学试题答案第8页，共11页nAS0340xyz由，可得，……………………9分nOA030xy令x1，得n1,3,0为平面SOA的一个法向量，….…10分设直线AC与平面SOA所成的角为，nAC300则sincosn,AC………………11分nAC1334321271421即直线AC与平面SOA所成角的正弦值为.…12分【注：没有回答不得此分】1421．（本小题满分12分）c2【解析】（1）由题可知：ce1,，……………………………1分a2所以a2…………………………………………………2分又bac2221，…………………………………………3分x2所以椭圆的方程为y21………………………………4分2（2）由题可知：过点M的直线斜率一定存在，设直线方程为ykx2，ExyFxy1122,,,，线段EF的中点Gxy00,……5分ykx2所以2128820kxk2222xk………………………………6分x2y12222由=84kkkk22212820①………………………7分228k2又xx，……………………………………………………………………8分1212k2xx4k2所以x12，…………………………………………………………9分0212k22k则ykx2，0012k2数学试题答案第9页，共11页4k2因为x0，所以G不可能在y轴的右边012k2又因为直线C1B21C1,B的方程为yxyx1,124kk2221yx0011212kk所以，……………………………………10分yx124kk20011212kk222kk2120即，所以3131②分2k…………………………112kk210223131由①②可知：k……………………………………………12分2222．（本小题满分12分）lnx【解析】（1）当a1时，fxe()1x，x1lnxfxe()x．………………………………………………1分x2切线的斜率为kfe(1)1，……………………………………2分又fe(1)1，所以切点坐标为(1,e1)，…………………………3分所以切线的方程为yeex(1)(1)(1)，即yex(1)．……4分xeaxxx(ln)（2）由己知得fx()0.有两个不等的正实根，x所以方程xeaxxx(ln)0有两个不等的正实根，即xeaxexxln()0有两个不等的正实根.………………………………5分2exx122要证xx12，只需证()()x12exee，exx12xx12即证ln()()2x12elnxe，………………………………………………6分x1x2令t11xe，t22xe，……………………………………………………7分所以只需证lntt12ln2．由①得alnt11t，alnt22t，所以a(lnt2lnt1)t2t1，a(lnt2lnt1)t2t1，数学试题答案第10页，共11页tt221lntttt消去a得lnln(lnln)tttt2111，2121ttt2121t1tt221lntt只需证112．………………………………………………8分t21t1t2t1设0tt12，令t，则t1，所以只需证ln2t．t1t1t1令h(tt)ln2，t1，………………………………………………9分t114(1)t2则ht()0，……………………………………10分tttt(1)(1)224所以h(th)(1)0，即当t1时，ln2t0成立．…………11分t12xx122e所以lnln2tt12，即()()x12exee，即xx12．…………12分exx12数学试题答案第11页，共11页