渐进法

1 第九章 渐近法 ASYMPTOTIC METHOD 主要内容： §9-1 引言 §9-2 力矩分配法的基本原理 §9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 §9-4 无剪力分配法 §9-5 剪力分配法 * * §9-1 引言(introduction) 计算超静定结构的方法： 1.力法 2.位移法 需组成和解算典型方程 3.力矩分配法 4.无剪力分配法 可避免组成和 解算典型方程 5.剪力分配法 A B i l MAB= 4i 近端 远端 MBA= 2i SAB= MAB = 4i CAB = MBA / MAB =1/2 1 ( 1 ) 转动刚度 SAB（rotation stiffness） 表示杆端对转动的抵抗能力。数值上等于使杆端产 生单位转角时需要施加的力矩。 注意: 转动刚度与杆件的线刚度和远端支承情况 有关。 §9-2 力矩分配法的基本原理 (principles of the moment-distribution method) ( 2 ) 传递系数 CAB （ carryover factor） 杆件的近端转动单位角度时，远端弯矩 与近端弯矩的比值，称为由近端向远端的传 递系数（只与远端支承情况有关）。 等截面直杆的转动刚度和传递系数 远端支承情况 转动刚度S 传递系数C 固定 铰支 滑动 自由或轴向支杆 4i 3i i 0 0 -1 1/2 2 12 3 4 5 M 11212 4 ZiM = 11313 3 ZiM = 11441 ZiM −= 11551 2 ZiM =    = = kkk kk MCM ZSM 111 111 11414 ZiM = 11515 4 ZiM = 11221 2 ZiM = 031 =M 由转角位移方程： 即： 13M M 12M 15M 14M 特 MMMMM =+++ 15141312 MZiiii =+++ 115141312 )434( kS MZ 1 1 Σ= M S SM k k k 1 1 1 Σ= kkk MCM 111 = 111 ZSM kk =又 Mk1µ= 分配系数 (distribution factor) 分配弯矩 (distributed moments) 同一结点各杆分配系数满足： 11 =∑ jµ 传递弯矩 (carryover moments) A B C P q A B C P q A B C BPR BPR = + F BC F BABP MMR += 不平衡力矩 （约束力矩） （附加反力矩） (un-balanced moment) 一般 情况 力矩分配法的求解步骤： （1）固定结点 (lock the joints) （2）放松结点 (unlock the joints) 结点不平衡力矩 = — 求出各杆固端弯矩、 结点上的不平衡力矩 汇交于该结点的 各杆端固端弯矩的代数和 — 不平衡力矩反号后，进行 分配和传递（需要计算各 杆分配系数） （3）计算杆端最后弯矩 (the final moments at the end of each member) 近端弯矩 = 固端弯矩 + 分配弯矩 分配弯矩 = 不平衡力矩反号 × 分配系数 K K K S S 1 1 1 Σ=µ分配系数 传递弯矩 = 分配弯矩 × 传递系数 远端弯矩 = 固端弯矩 + 传递弯矩 例 1. 求解图示连续梁并作M 图。 A B CEI EI 3m 3m 6m 200kN 20kN/m §9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 (analysis of continuous beams and frames with no relative displacements by the moment-distribution method) 解:　固定结点，求出各杆端固端弯矩，然 　　 后进行分配传递。 3 A B C µ 7 4 7 3 -150 150 -90 -34.3 -25.7-17.2 -167.2 115.7 -115.7 注 意 要 反 号 最终弯矩 固端弯矩 分配、传递弯矩 分配系数 A B C 167.2 115.7 158.2 90 M图 0 0 0 回顾： ( 1 ) 转动刚度 SAB（rotation stiffness） ( 2 ) 传递系数 CAB （ carryover factor） 等截面直杆的转动刚度和传递系数 远端支承情况 转动刚度S 传递系数C 固定 铰支 滑动 自由或轴向支杆 4i 3i i 0 0 -1 1/2 结点不平衡力矩 = 汇交于该结点的各杆端 固端弯矩的代数和 分配弯矩 = 不平衡力矩反号 × 分配系数 K K K S S 1 1 1 Σ=µ分配系数 传递弯矩 = 分配弯矩 × 传递系数 (un-balanced moment) (distribution factor) (distributed moments) (carryover moments) 力矩分配法求解3步： （1）固定结点 (lock the joints) （2）放松结点 (unlock the joints) — 求出各杆固端弯矩、 结点上的不平衡力矩 — 不平衡力矩反号后，进行 分配和传递 （3）计算杆端最后弯矩 (the final moments at the end of each member) 近端弯矩 = 固端弯矩 + 分配弯矩 远端弯矩 = 固端弯矩 + 传递弯矩 本节课内容： •多结点分配 •无剪力分配法 •剪力分配法 •练习 例 2. 求解图示连续梁并作M图。 A B C D EI=1 EI=1EI=2 20kN/m 100kN 6 m 6 m4 m 4 m 解:　固定结点，求出各杆端固端弯矩，然 　　 后进行分配传递。 4 分配系数µ 0.4 0.6 0.667 0.333 固端弯矩 -60 60 -100 100 放松 C 点 放松 B 点 {I -66.7 -33.3-33.444.029.414.7 22.0 -14.7 -7.3-7.3 4.42.91.5 放松 C 点 放松 B 点 II{ 2.2 放松 C 点 -1.5 -0.7-0.7 放松 B 点{III 0.40.30.2 杆端弯矩 -43.6 92.6 -92.6 41.3 -41.3 A DB C 据此可作出结构的弯矩图（略）。 0 0 2q A B D F §9-4 无剪力（力矩）分配法 (the moment-distribution method with no shear-force) ＝ q A B D F A B D F q ＋ 无侧移刚架，可用 力矩分配法求解 有侧移刚架，一般不能 用力矩分配法求解 A B C D E F G q A B D F q 剪力静定杆 无侧移杆 取半结构 有侧移刚架无剪力力矩分配法 某些特殊的 除两端无相对线位移的无侧移杆 件外，其余杆件都是剪力静定杆 A B C q A B C q A B C ＝ ＋ 锁住节点， 求固端弯矩 放松节点， 求分配弯矩 传递弯矩 1Z A B q 2 3 ql− 2 6 ql− 1 3 2 7BA i i i µ = =+ ⋅ 3 2 6 3 2 7BC i i i µ ⋅= =+ ⋅ A B 零剪力杆的转动刚度 SBA=i 传递系数 CBA =－1 A B C q 2 7 ql 25 14 ql 在结点力偶作用下, 刚架中的剪力静定杆件都 是零剪力杆件. 放松结点时, 这些杆件都是在零剪 力条件下得到分配和传递弯矩, 故该方法称为无 剪力(力矩)分配法. A B C D E F G q D B q ql 1. 锁住结点，求固端弯矩 每一层柱子均可视为下 端固定,上端滑动的梁.除柱 身承受本层荷载外,柱顶还 承受剪力,大小为柱顶以上 各层所有水平荷载的代数和. 2. 将各结点轮流放松，求分配弯矩和传递弯矩 此时力矩的分配和传递只在汇交于放松 结点的各杆范围内进行, 转动刚度和传递系数 分别为i和－1. 5 §9-5 剪力分配法 适用范围：所有横梁为刚性杆，竖柱为弹性杆 （即各刚结点均无转角，结构只有侧移） 转动刚度——侧移刚度 力矩分配——剪力分配 杆端弯矩——柱端剪力 附加刚臂上反力矩——附加链杆上反力 与力矩分配类似： 小结： 力矩分配法 （1）基于位移法； （2）是一种渐近法； （3）适合于连续梁和无结点线位移的刚架； （4）其基本原理是逐渐放松结点，消除结点 上的不平衡力矩。 （5）多结点情况：轮流放松各结点，且宜从 不平衡力矩较大的结点开始分配。 思考: 求解图示结构 C 支座的反力。 A B C D a l l EI = 常数 看 谁 做 得 快! 解法一：力法（略） 解法二：位移法 A B C D a 1Z 典型方程： 01111 =+ ∆　RZr ir 711 = al iR 61 −=∆ l aZ 7 6 1 = 22 7 69 l iaR =支座反力： 令：l = a = i = 1   = = 869 860 2 1 . . R Z 2R A B C D 1 解法三：力矩分配法 固端弯矩如图： -6.0 -6.0 -3.0 0 分配系数： 7 4, 7 3 == BABC µµ 572 7 18 .= 433. 1.7 -4.3 -2.57 2.57 4.3 3.0 0.0 6.87 6.87 3.0 3.0 6.87 3.0 位移法解答: 8692 .=R 8792 .=R 6 作业: 9-2 9-6 *9-17 预习: 第十章