高等数学 向量的向量积不满足交换律

*即,平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和(如图).证*定义关于向量积的说明：大小向量向量积的方向既垂直于又垂直于指向符合右手系.方向*2.向量积符合下列运算规律(2)分配律(1)反交换律但是：（1）向量的向量积不满足消去律,即在一般情况下,*由上式可推出向量积的几何意义例不能同时为零,但允许两个为零.表示以为邻边的平行四边形的面积.向量积还可用三阶行列式表示*解三角形ABC的面积为例已知三角形的顶点计算从顶点B到边AC的高的长度BD.下列命题是否正确错对*求同时垂直于向量和x轴的单位向量.两种方法:法一解用向量积.设x轴为提示用向量积或数量积.*分析即A、B、D三点共线.希自己再用法(2)证,试比较哪种方法简单?其方法有两种:∥证用向量证三点共线只要证明(1)证(2)证用法一∥*曲面方程的定义(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程;(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程;如果曲面S有下述关系:那么,就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程的图形.一、曲面方程的概念与三元方程凡三元方程都表示空间一曲面是一个三元方程,但不表示任何曲面.错,如第三节曲面及其方程*以下给出几例常见的曲面.解所求方程为球心在原点的球面方程例特殊是球面上任一点,*解所求方程是曲面上任一点,例的全体所组成的曲面方程.*二、旋转曲面定义绕其平面上的一条直线这条定直线叫旋转曲面的轴.此曲线称称为旋转曲面.旋转一周所成的曲面,母线.为方便,作坐标面,旋转轴取作坐标轴.(surfaceofrevolution)常把曲线所在平面取以一条平面曲线母线轴2旋转曲面方程的求法：把该曲线绕z轴旋转一周，得一个以z轴为轴的旋转曲面。*旋转过程中的特征：如图将得方程代入*旋转曲面方程.旋转一周的即为同理,旋转曲面方程为旋转一周的绕z轴绕y轴*曲线方程中与旋转轴相同的变量不动,总之,位于坐标面上的曲线C,绕其上的一个坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以这样得到:而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、负号)替代曲线方程中另一个变量即可.*所得旋转曲面称为圆锥面.两直线的交点称为圆锥面的顶点,两直线的夹角圆锥面的半顶角.称为直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周*解圆锥面方程例：试建立顶点在坐标原点O,圆锥面的方程.旋转轴为z轴,面上,直线方程为即圆锥面方程(用得较多)*将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成的旋转曲面的方程.旋转双曲面例xoz坐标面上的双曲线(1)绕x轴旋转绕z轴旋转绕y轴旋转所得曲面方程及图形.即面上直线方程为*旋转椭球面旋转抛物面(2)绕y轴和z轴;(3)绕z轴.*定义三、柱面平行于定直线并沿定曲线C这条定曲线C称为柱面的动直线L称为柱面的准线,母线.(cylindricalsurface)所形成的曲面称为移动的直线L柱面.准线母线*在xOy面上,解现在空间直角坐标系中讨论问题.表一个圆C.过点作平行z轴的直线L,设点在圆C上,对任意z,点的坐标也满足方程沿曲线C,平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点的坐标都满足此方程,此曲面称为圆柱面.在空间,就是圆柱面方程.*平面表示母线平行于z表示母线平行于z轴抛物柱面柱面举例其准线是xOy面上的抛物线轴的柱面,的柱面,其准线是xOy面上的直线从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）直角坐标系中表示平行于z轴的柱面,在空间为xOy面上的曲线C.其准线*四、二次曲面1.二次曲面的定义相应地平面被称为三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.一次曲面.实例椭圆柱面双曲柱面抛物柱面母线平行于x轴母线平行于z轴母线平行于y轴绕轴旋转_998205740.unknown_998206338.unknown_998196515.unknown绕轴旋转_998196515.unknown*现只研究几种常见的二次曲面的标准方程.称为二次曲面的标准方程.*2、二次曲面的研究方法：(不能用描点法，而用截面法)1）对称性：关于坐标面，坐标轴2）存在范围3）曲面与坐标轴、坐标面的关系4）曲面弯曲状况。用平行于坐标面的平面去截曲面由所得截痕来勾画曲面的大体形状。以下用截面法讨论上面几种特殊的二次曲面.*(1)椭球面(椭圆面)(ellipsoid)由方程可知即这说明椭球面包含在由平面围成的长方体内.*先考虑椭球面与三个坐标面的截痕：去截这个曲面,所得截痕的方程是这些截痕都是椭圆.再用平行于xOy面的平面这些截痕也都是椭圆.*椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.与平面椭圆.同理,的截痕也是*椭球面的几种特殊情况:旋转椭球面由椭圆方程可写为绕z轴旋转而成.球面方程可写为sphericalsurface*(2)抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用平面原点叫做椭圆抛物面的(paraboloid)去截这曲面,顶点.(1)截痕为原点.用平面去截这曲面,截痕为椭圆.截痕退缩为原点;*用坐标面截痕为抛物线.(2)去截这曲面,用平面去截这曲面,截痕为抛物线.*用坐标面(3)去截这曲面,及平面截痕为抛物线.椭圆抛物面的图形如下：*旋转抛物面用平面特殊地方程变为而成的)去截这曲面,截痕为圆.绕z轴旋转绕轴旋转_998196515.unknown*双曲抛物面用截痕法讨论：图形如下：有两个异号的平方项,另一变量特点是:是一次项,无常数项.(马鞍面)*(3)双曲面单叶双曲面特点是:(hyperboloid)平方项有一个取负号,另两个取正号.*类似地,亦表示单叶双曲面.方程*双叶双曲面或特点是:平方项有一个取正号,另两个取负号.(bipartedhyperboloid)它分成上、下两个曲面.*类似地,或亦表示方程双叶双曲面.*方程表示()(A)双曲柱面;(D)锥面.(C)双叶双曲面;(B)旋转双曲面;B椭圆抛物面双曲抛物面(马鞍面）设有曲面方程则方程表示的曲面为方程表示的曲面为*双叶双曲面,它的对称轴在轴上.y上海交大,填空,(95级)椭圆锥第四节空间曲线及其方程(spacecurve)空间曲线的一般方程空间曲线C可看作一、空间曲线的一般方程空间两曲面的交线.例方程组表示怎样的曲线？解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆C例方程组表示怎样的曲线？解上半球面圆柱面交线为蓝色部分二、空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程随着参数的变化可得到曲线上的就得到曲线上的一个点全部点.例那末点M构成的图形称为螺旋线.试建立其参数方程.轴的正方向上升如果空间一点M在圆柱面上以角速度ω绕z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z动点从A点出发,螺旋线的参数方程.取时间t为参数,解经过t时间,运动到M点.M在xOy面的投影螺旋线的参数方程还可以写为三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程：曲线C关于xoy面的投影柱面:以曲线C为准线，母线平行于Z轴的柱面消去变量z后得：此柱面的特征：1.包含曲线C2.母线垂直于xOy面.曲线C关于xOy的投影柱面.曲面必包含类似地:可定义空间曲线在其它坐标面上的投影.所表示的曲线必包含空间曲线C在xOy面上的投影曲线(或称投影)C方程包含曲线C在yOz面上的投影的曲线方程包含曲线C在xOz面上的投影的曲线方程例求曲线在坐标面上的投影.解(1)消去变量z后得在xOy面上的投影为xOy面的投影柱面(3)同理在yOz面上的投影也为线段.(2)因为曲线在平面上，所以在xOz面上的投影为线段.由参数方程表示的空间曲线在坐标面上在yOz平面上的投影为在xOy平面上的投影为:例螺旋线即即的投影亦易求出.例所围的立体在xoy面上的投影区域为:上半球面和锥面在xoy面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy面上的投影曲线所围之域.1.球面与交线在xOy面上投影曲线方程是(　　)．D空间曲线的一般方程四、小结空间曲线的参数方程空间曲线在坐标面上的投影*第五节平面及其方程平面的点法式方程平面的一般方程两平面的夹角(plane)点到平面的距离在空间内,确定一个平面的几何条件是多种多样的.如:点法、相交两直线等.不共线的三点、*如果一非零向量垂直于法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量.一、平面的点法式方程一块平面可以有许多法向量.一平面,这向量就叫做该平面的法线向量(法向量).已知设平面上的任一点为必有平面的点法式方程*解取平面方程为化简得例平面方程.法一*平面的点法式方程平面的一般方程法向量二、平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况平面通过坐标原点；平面平行于xOy坐标面；(由柱面可知)*设平面为将三点坐标代入得解例设平面与x,y,z三轴分别交于求此平面方程.平面的截距式方程*今后,由截距式方程作平面的图形特别方便!当平面不与任何坐标面平行,且不过原点时,才有截距式方程.并作图.化为截距式方程,平面的截距式方程*设平面过点及x轴,求其方程.用平面的点法式方程.由点法式方程得平面方程:法向量解法一即*用待定常数法.设平面过点及x轴,求其方程.即法二设平面方程是从而平面方程是即从而平面方程是得点(0,0,0)及(1,0,0)在平面上,*求平面方程常用两种方法:利用条件定出其中的待定的常数,此方法也称待定常数法.主要是利用条件用向量代数的方法找出平面的一个法向量.(1)用平面的点法式方程.(2)用平面的一般方程.*定义（通常取锐角）两平面法向量的夹角称为三、两平面的夹角两平面的夹角.*按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式取锐角两平面位置特征：两平面垂直、平行的充要条件*例研究以下各组里两平面的位置关系:解两平面相交,夹角*两平面平行但不重合.解两平面平行两平面平行解*例解三点的平面方程为设两平面的交角为则*设平面为所求平面方程为解例1996考研数学(一),3分与平面垂直且过原点及点的平面方程为().*与平面垂直且过原点及点的平面方程为().解∥平面的点法式方程*设所求平面为由所求平面与已知平面平行得(向量平行的充要条件)解例所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.求平行于平面而与三个坐标面*代入体积式所求平面方程为所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.求平行于平面而与三个坐标面*化简得平面方程为解∥.例求过点(1,1,1)且与平面和平面都垂直的平面方程.点到平面的垂直距离外一点,四、点到平面的距离并作向量即**的距离公式为由于*填空解轴上截距_998395432.unknown轴上截距_998395432.unknown_998395535.unknown轴上截距_998395432.unknown_998395588.unknown*解例求这平面方程.设所求平面为在已知平面上任取一点或故所求平面为或*1.两平行平面与间距离为(),其的方程分别为:(A)1(C)2(D)21A选择题提示*(熟记平面的几种特殊位置两平面的夹角点到平面的距离公式平面的点法式方程(两平面垂直、平行的充要条件)四、小结(关键确定平面的法向量)平面的一般方程的方程)平面的截距式方程(研究几何图形)思考题1如何确定平面的法向量?解答(1)如果已知点M0(x0,y0,z0)在平面Π上的垂足为M1(x1,y1,z1),则(2)如果平面Π与已知平面平行,则(3)如果平面Π过三点A,B,C,则*第六节空间直线及其方程定义空间直线可看成两平面的交线.空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程L(2)直线L的一般方程形式不是唯一的.*方向向量的定义如果一非零向量平行于二、空间直线的对称式方程与参数方程1.对称式方程一条直线可以有许多方向向量.求此直线的方程一条已知直线,这个向量称为这条直线的方向向量.方向数.直线的对称式方程因为(点向式、标准式）*令直线的参数方程故直线方程的几种形式可以互相转换.例解所求直线方程为·M1·M2求过两点M1(1,2,3),M2(2,6,5)的直线方程.向量与直线平行过两点作直线*则直线的一个方向向量为:于是对称式方程可写成:一般,如直线过两点解交点为所求直线方程.A.B例*可将对称式方程拆为一般方程如对称式方程为可写成一般方程可将直线的对称式方程又如可写成一般方程化为一般方程吗各类直线方程的互换*2.直线的一般方程化为对称式方程怎样将直线的一般方程(1)用代数的消元法化为比例式;有两种方法(2)在直线上找一定点,再求出方向向量,(重要)化为对称式方程即写出对称式方程.*写成比例式,例解法一(1)(2)两个方程中,每一个只有两个变量,共同的变量即得对称式方程.化为对称式方程.解出x.此直线上一定点为方向向量为*先求直线上一定点:于是得直线上的一定点将化为对称式方程.因所求直线与两平面的法向量都垂直.法二取对称式方程*两个对称式方程实际上直线的对称式方程不唯一.怎么不一样答:3.直线的参数方程上式何时有用如求直线的参数方程故答:直线与平面的交点.*得解再代入代入平面方程,求直线例与平面的交点.得*解再求已知直线与该平面的交点N,令垂直相交的直线方程.例*取所求直线的方向向量为直线方程为代入得将*定义两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫两直线的夹角.三、两直线的夹角两直线的夹角公式*两直线的位置关系:例(两直线垂直、平行的条件)*与直线及都平行且过原点的平面方程为().1987,数学一考研填空,(3分)提示平面过原点由点法式方程即可得.法向量1.2.1990,数学一考研填空,(3分)提示*1991,数学一考研填空,(3分)提示C提示4.*解设所求直线的方向向量为取所求直线的方程例的交线平行的直线方程.过已知直线外一点作直线与已知直线平行*直线和它在平面上的投影直线的定义四、直线与平面的夹角夹角称为直线与平面的夹角.*直线与平面的夹角公式直线与平面的//(直线与平面垂直、平行的充要条件)位置关系：*解例求直线与平面的夹角.*平面束的方程设有两块不平行的平面其中系数不互相成比例交成一条直线L过直线L的所求全体平面平面束(3)表示过直线L的平面*解·例过已知直线的平面束方程为*由由解设平面束方程即上海交大考题(98级)*思考题1想一想下述问题能否转化为用点法式确定平面方程？(1)过两条相交直线,确定一平面;(2)过两条平行直线,确定一平面;(3)过一直线与该直线外一点,确定一平面;(4)过一直线垂直于一已知平面,确定一平面.(设此直线不垂直于一已知平面)如何转化？*思考题2想一想下述问题能否转化为用对称式方程来确定直线方程?(1)过一点且与一已知平面垂直,确定一直线方程;(2)过一点且与两条相交直线都垂直的直线方程;(3)过一点且与一已知平面平行,与一已知直线相交的直线方程.如何转化？*空间直线的一般方程两直线的夹角直线与平面的夹角(两直线垂直、平行的充要条件)(直线与平面垂直、平行的充要条件)五、小结空间直线的参数方程(关键确定直线的方向向量)空间直线的对称式方程各类直线方程的作用及它们之间的互换