例1求方程yexy22yex1e2x的解.黎卡提方程的简单解法1黎卡提方程的定义形如：dyP(x)y2Q(x)yR(x)(1)dx其中P(x),Q(x),R(x)是某区间内的已知函数2黎卡提方程的解法一般情况下，没有初等解法特殊情况下，若已知yo(x)是方程(1)的一个解，则用初等积分法求解.设yyoz,则曳dyOdzdxdxdxTOC\o"1-5"\h\z所以普dzP(x)(yoz)2Q(x)(yoz)R(x)dxdx22P(x)y02P(x)yozP(x)zQ(x)y0Q(x)zR(x)又因为50P(x)y。2Q(x)y0R(x)dxdzc所以一2P(x)yoQ(x)zP(x)z2(2)dx而方程⑵形式为伯努利方程，故可解.3黎卡提方程的几种类型类型一形如：a❷2跑dxg(x)f(x)有特解y9凶，故f(x)设yyoz,有曳蛆虫，所以蛆比四义z2尊dxdxdxdxdxg(x)f(x)又因为6°位义2~g■(凶，所以比2f(^yoz3z2故方程可解.dxg(x)f(x)dxg(x)g(x)类型二形如：电y2f(x)yf(x)dx有特解yf(x)故设yy°z，有dydy0dz,所以dy°dz(y°z)2f(x)(y°z)f(x)dxdxdxdxdxf(x)z故方程可解.又因为dy0yf(x)y0f(x),所以3z2(2y0dxdx类型三形如：dyy2-yinr1(nZ)dxxx1有特解y—x设yyoz,有型如dz,所以妫dz(y。z)2〜11dxdxdxdxdxxn1xn又因为也yo2普二1,所以dzz2(2y0qr)z故方程可解.dxxxdxx类型四形如：ay2exyex(为任意常数)dx有特解yex设yy。z,有也蛆dz,所以蛆dz(yoz)2ex(y。z)dxdxdxdxdx又因为W0y。2exy0ex,所以dzz2(2y0zex)z故方程有解.dxdx类型五形如：电y2yInx-dxx有特解ylnx2.zyozInxz2zlnx故方程有解.设yyoz,有型dy0在，所以蛆dzydxdxdxdxdxdyo2.1dyodz又因为—yoyoInx—,所以——2yozdxxdxdx类型六形如：虫y22ysinxsin2xcosxdx有特解：ysinx设yy°z,有dy蛆dz,所以dxdxdxdyodz2-yoz2yozsinxdxdx又因为6°yo22yosinxsin2xdx故方程有解.3例题sin2xcosx,cosx所以dzdx22yozz2zsinx解：原式可化为yy2ex2ye2xexe3x,方程有特解yex令yyozexz,贝Uyexz,故原式为zexz2ex2exze2xe3xz2ex即-dz2exdx,两边积分得1exc即z-Lzzec所以方程的解为yex3.ec例2求方程yy22ysinxcosxsin2x的解.解：原式可化为yy22ysinxcosxsin2x,方程有特解yosinx令yy0zsinxz,贝Uycosxz故原式为zsinxz22sinxzsinxsin2xz2两边积分得1xc,即z,zxc所以方程的解为ysinx.xc例3求方程x2yx2y2xy1的解.解：原式可化为yy2-yx人12令yyoz—z,则yx2故原式为z-z-xx1利用伯努利方程的解法可变为z1—x11,两边积分得一xclnxz一1、一...11即z——,所以方程的解为y1—JxclnxxxcInx例4求方程4x2yy21的解解：原式可化为c1y2七，方程有特解yo4x‘z,贝Uyz2x12x解：方程有特解y01,令yy0z1z,则yz解：方程有特解y01,令yy0z1z,则yz故原式为z—z2x147利用伯努利方程的解法可变为1,两边积分得-zInx12x例5求方程x23y2的解解：原式可化为,方程有特解yo一1即z——,所以方程的解为xclnx2z令yy。z故原式为z利用伯努利方程的解法可变为2z1，,,，I1两边积分得-z2即z——13cx3,所以方程的解为y2x13-x312x3c例6求方程x2y_2xy20的解解：方程有特解V。V。z,则2zx。即z利用伯努利方程的解法可变为2z1两边积分得故原式为x即z,所以方程的解为y13c-x工x314xc3xxc2x13c-x3例7求方程yx1y212xyx的解故原式为zx11z212x1zxx1z2z1利用伯努利方程的斛法可变为zzx1,两边积分得-ecxz即z二二，所以方程的解为y1ecxecx3
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