Revisedasof23November2020高三文科数学第一轮复习资料第一章集合与常用逻辑用语第一节 集合☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系；能用列举法或描述法
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示集合；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义；3.理解并会求并集、交集、补集；能用Venn(韦恩)图表达集合的关系与运算。2016，全国卷Ⅰ，1,5分(集合的交集)2016，全国卷Ⅱ，2,5分(集合的并集)2015，全国卷Ⅱ，1,5分(集合的交集)2014，全国卷Ⅰ，1,5分(集合的交集)2014，全国卷Ⅱ，1,5分(集合的交集)主要考查具体集合(能确定集合中元素)的基本运算，偶尔涉及集合间的关系及新定义问题。微知识 小题练自|主|排|查1．集合的含义与表示方法(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合。集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性。(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为。(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。(4)常用数集的记号：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R。2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A中的元素都是集合B中的元素x∈Ax∈BAB或BA真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AAB，且x0∈B，x0AAB或BA相等集合A，B的元素完全相同AB，BAA＝B空集不含任何元素的集合。空集是任何集合A的子集x，x，A3.集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于集合A且属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集属于集合A或属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B补集全集U中不属于集合A的元素组成的集合{x|x∈U，xA}UA微点提醒1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件。2．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身。3．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心。4．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性\”而导致解题错误。5．记住以下结论(1)若集合A中有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n－1。(2)A∪B＝ABA；A∩B＝AAB。小|题|快|练一、走进教材1．(必修1P12B组T4改编)满足{0,1}A{0,1,2,3}的集合A的个数为( )A．1B．2C．3D．4【解析】 由题意得A可为{0,1}，{0,1,2}，{0,1,3}。故选C。【
答案
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】 C2．(必修1P12B组T1改编)已知集合A＝{0,1,2}，集合B满足A∪B＝{0,1,2}，则集合B有________个。【解析】 由题意知BA，则集合B有8个。【答案】 8二、双基查验1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝( )A．{－1,0,1}B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2}D．{0,1}【解析】 M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}。故选B。【答案】 B2．设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝( )A．[0,1]B．[0,1)C．(0,1]D．(0,1)【解析】 ∵x2<1，∴－1
0}，且1A，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)(2)已知集合A＝{x2＋x,4x}，若0∈A，则x＝____。【解析】 (1)若1∈A，则1－2＋a>0，解得a>1。因为1A，所以a≤1。故选B。(2)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x＝0，,4x≠0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＝0，,x2＋x≠0，))解得x＝－1。【答案】 (1)B (2)－1考点二集合的基本关系…………母题发展【典例2】 (1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为( )A．7B．8C．15D．16(2)(2017·襄阳模拟)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋12，))解得27，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<－3，,m>4，))不等式组无解，故不存在实数m，使AB。【答案】 不存在，理由见解析反思归纳根据集合的关系求参数的关键点及注意点1.根据两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助
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，而且常要对参数进行讨论。2.注意点：注意区间端点的取舍。提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况。【拓展变式】 (1)(2016·辽宁师大附中测试)已知集合A＝{0,1}，B＝{x|xA}，则下列集合A与B的关系中正确的是( )A．ABB．ABC．BAD．A∈B(2)(2016·银川二中考试)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若AB，则实数c的取值范围是( )A．(0,1]B．[1，＋∞)C．(0,1)D．(1，＋∞)【解析】 (1)因为xA，所以B＝{，{0}，{1}，{0,1}}，则集合A＝{0,1}是集合B中的元素，所以A∈B。故选D。(2)解法一：由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)。由AB，画出数轴，如图所示，得c≥1。故选B。解法二：因为A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，取c＝1，则B＝(0,1)，所以AB成立，可排除C，D；取c＝2，则B＝(0,2)，所以AB成立，可排除A。故选B。【答案】 (1)D (2)B考点三集合的运算…………多维探究角度一：两个集合的交集、并集、补集运算【典例3】 (1)(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )A．{1}B．{1,2}C．{0,1,2,3}D．{－1,0,1,2,3}(2)(2016·天津高考)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝( )A．{1}B．{4}C．{1,3}D．{1,4}(3)设全集U＝R，集合A＝{x|eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≥2}，B＝{y|y＝lg(x2＋1)}，则(UA)∩B＝( )A．{x|x≤－1或x≥0}B．{(x，y)|x≤－1，y≥0}C．{x|x≥0}D．{x|x＞－1}【解析】 (1)由已知可得B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1－1【解析】 (1)由A∪B＝A得BA，有m∈A，所以有m＝eq\r(m)或m＝3，即m＝3或m＝1或m＝0，又由集合中元素的互异性知m≠1。故选B。(2)∵M＝{x|－1≤x<2}，N＝{y|y－1即可。故选D。【答案】 (1)B (2)D角度三：抽象的集合运算【典例5】 设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得AC，BUC”是“A∩B＝”的( )A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【解析】 由图可知，若“存在集合C，使得AC，BUC”，则一定有“A∩B＝”；反过来，若“A∩B＝”，则一定能找到集合C，使AC且BUC。故选C。【答案】 C反思归纳集合的基本运算的关注点1.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提。2.有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决。3.注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图。4.根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解。微考场 新提升1．(2016·四川高考)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是( )A．3B．4C．5D．6解析 由集合A＝{x|－2≤x≤2}，易知A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}。故选C。答案 C2．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝( )\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))解析 由题意得，A＝{x|1eq\f(3,2)}，则A∩B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))。故选D。答案 D3.设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x2>4，x∈N}，B＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A．{x|x>2，x∈N}B．{x|x≤2，x∈N}C．{0,2}D．{1,2}解析 由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩(UA)，UA＝{x|x2≤4，x∈N}＝{x|－2≤x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，∵B＝{0,2,3}，∴B∩(UA)＝{0,2}。故选C。答案 C4．(2016·辽宁五校联考)已知集合M，N，P为全集U的子集，且满足MPN，则下列结论不正确的是( )A．UNUPB．NPNMC．(UP)∩M＝D．(UM)∩N＝解析 根据已知条件画出韦恩图结合各选项知，只有D不正确。故选D。答案 D5．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”。对于集合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝{－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，1}，若M与N“相交”，则a＝________。解析 M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(a))，\f(1,\r(a))))，由eq\f(1,\r(a))＝eq\f(1,2)，得a＝4；由eq\f(1,\r(a))＝1，得a＝1。当a＝4时，M＝{－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)}，此时MN，不合题意；当a＝1时，M＝{－1,1}，满足题意。答案 1微专题 巧突破集合中新情境型问题与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，是近几年高考的热点问题，这类
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的特点是：通过给出的新的数学概念或新的运算法则，在新的情境下完成某种推理证明，或在新的运算法则下进行运算。常见的有定义新概念、新
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、新运算和新法则等类型。解决此类题的关键是理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则等的含义，然后分析题目中的条件，设法进行套用。1．定义新概念、新公式【典例1】 设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1A且k＋1A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个。【解析】 符合题意的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个。【答案】 6【变式训练1】 若x∈A，则eq\f(1,x)∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝{－1,0，eq\f(1,2)，2,3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A．1 B．3 C．7 D．31【解析】 具有伙伴关系的元素组是－1，eq\f(1,2)，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，2))。故选B。【答案】 B2．定义新运算、新法则【典例2】 设A，B是有限集，定义d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中的元素个数。命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)，A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立【解析】 命题①显然正确，通过如图韦恩图亦可知d(A，C)表示的区域不大于d(A，B)＋d(B，C)的区域，故命题②也正确，故选A。【答案】 A【变式训练2】 定义集合的差集运算为A－B＝{x|x∈A且xB}，若A＝{y|y＝|x－1|－|x＋1|，x∈R}，B＝{y|y＝eq\r(x＋1)－eq\r(x－1)，x∈R}，则A－B＝________。【解析】 先求出集合A，B，再利用差集的定义求A－B。依题意知，y＝|x－1|－|x＋1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，x<－1，,－2x，－1≤x≤1，,－2，x>1，)))可知－2≤y≤2，所以A＝[－2,2]。易知y＝eq\r(x＋1)－eq\r(x－1)＝eq\f(2,\r(x＋1)＋\r(x－1))在(1，＋∞)上单调递减，则0<eq\r(x＋1)－eq\r(x－1)≤eq\r(2)，即00，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】 由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件。故选C。【答案】 C2．命题“若α＝eq\f(π,4)，则tanα＝1”的逆否命题是( )A．若α≠eq\f(π,4)，则tanα≠1B．若α＝eq\f(π,4)，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠eq\f(π,4)D．若tanα≠1，则α＝eq\f(π,4)【解析】 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝eq\f(π,4)，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠eq\f(π,4)”。故选C。【答案】 C3．设集合A，B，则“AB”是“A∩B＝A”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】 由AB，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)B，得AB，因此，“AB”是“A∩B＝A”成立的充要条件。故选C。【答案】 C4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：___________________________________________________。【解析】 原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°。结论：∠A，∠B都是锐角。否命题是否定条件和结论。即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”。【答案】 在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角5．若“x2>1”是“x1得x>1或x<－1。由题意知{x|x1或x<－1}，结合数轴可知，a≤－1，从而a的最大值为－1。【答案】 －1微考点 大课堂考点一四种命题及其相互关系【典例1】 (1)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，假，真 B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假【解析】 (1)由于“x，y都是偶数”的否定是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”。故选C。(2)先证原命题为真：当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a－bi，则|z1|＝|z2|＝eq\r(a2＋b2)，∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假。故选B。【答案】 (1)C (2)B反思归纳1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提。2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例。3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假。【变式训练】 (1)命题“若α＝eq\f(π,3)，则cosα＝eq\f(1,2)”的逆命题是( )A．若α＝eq\f(π,3)，则cosα≠eq\f(1,2)B．若α≠eq\f(π,3)，则cosα≠eq\f(1,2)C．若cosα＝eq\f(1,2)，则α＝eq\f(π,3)D．若cosα≠eq\f(1,2)，则α≠eq\f(π,3)(2)已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3。关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题。A．①③B．②C．②③D．①②③【解析】 (1)命题“若α＝eq\f(π,3)，则cosα＝eq\f(1,2)”的逆命题是“若cosα＝eq\f(1,2)，则α＝eq\f(π,3)”。故选C。(2)命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定，然后交换条件与结论所得，因此①正确，②错误，③正确。故选A。【答案】 (1)C (2)A考点二充分条件与必要条件的判断……多维探究角度一：用定义法判断充分条件、必要条件【典例2】 (2016·北京高考)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】 取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|。由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|。故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件。故选D。【答案】 D角度二：用集合法判断充分条件、必要条件【典例3】 设p：11，则p是q成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】 由2x>20x>0，且{x|10}可知：由p能推出q，但由q不能得出p，所以p是q成立的充分不必要条件。故选A。【答案】 A角度三：用等价转化法判断充分条件、必要条件【典例4】 (2017·锦州模拟)给定两个命题p，q。若绨p是q的必要而不充分条件，则p是绨q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】 因为绨p是q的必要不充分条件，则q绨p但绨pq，其逆否命题为p绨q但绨qp，所以p是绨q的充分不必要条件。故选A。【答案】 A反思归纳充要条件的三种判断方法1.定义法：根据pq,qp进行判断。2.集合法：根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断。3.等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断。这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件。考点三根据充分条件、必要条件求参数的取值范围……母题发散【典例5】 (1)(2016·南昌模拟)已知条件p：|x－4|≤6；条件q：(x－1)2－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是( )A．[21，＋∞)B．[9，＋∞)C．[19，＋∞)D．(0，＋∞)(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}。若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________。【解析】 (1)条件p：－2≤x≤10，条件q：1－m≤x≤m＋1，又因为p是q的充分不必要条件，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m≥10。))解得m≥9。故选B。(2)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知SP。则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))∴0≤m≤3。所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]。【答案】 (1)B (2)[0,3]【母题变式】 1.本典例(2)条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件。【解析】 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2，,1＋m＝10，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,m＝9，))即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件。【答案】 不存在2．本典例(2)条件不变，若绨P是绨S的必要不充分条件，求实数m的取值范围。【解析】 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，∵绨P是绨S的必要不充分条件，∴PS且SP。∴[－2,10][1－m,1＋m]。∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10。))∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)。【答案】 [9，＋∞)反思归纳由充分条件、必要条件求参数。解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解。但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得，决定着端点的取值。微考场 新提升1．命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是( )A．“若a，b，c成等比数列，则b2≠ac”B．“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”C．“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”D．“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”解析 根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”。故选D。答案 D2．已知向量a＝(sinα，cosα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a与b的夹角为θ，则“|a－b|＝1”是“θ＝60°”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析 由条件可知|a|＝|b|＝1，若|a－b|＝1，则(a－b)2＝1，即a2＋b2－2a·b＝1，所以1＋1－2cosθ＝1，即cosθ＝eq\f(1,2)，故θ＝60°。同理，若θ＝60°，则|a－b|＝1也成立。故“|a－b|＝1”是“θ＝60°”的充分必要条件。故选C。答案 C3．设m，n为正实数，则“m0)，易知f(x)＝x2－eq\f(1,x2)(x>0)是单调递增函数，任取m，n>0，当mb，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)”及其逆命题、否命题和逆否命题都是假命题，则实数a，b应满足的前提条件是________。解析 显然ab≠0，当ab>0时，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)eq\f(1,a)·ab<eq\f(1,b)·abbb，则必有a>0>b，故eq\f(1,a)>0>eq\f(1,b)，所以原命题是假命题；若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，则必有eq\f(1,a)<0<eq\f(1,b)，故a<0m＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________。解析 由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤m－1，,m＋1<3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－10，总有(x＋1)ex>1，则绨p为( )A．x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1B．x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1C．x>0，总有(x＋1)ex≤1D．x≤0，总有(x＋1)ex≤1【解析】 全称命题的否定规律是“改变量词、否定结论”，“x>0，总有(x＋1)ex>1”的否定是“x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1。”故选B。【答案】 B2．命题“x∈R，x2≠x”的否定是( )A．xR，x2≠xB．x∈R，x2＝xC．x0R，xeq\o\al(2,0)≠xD．x0∈R，xeq\o\al(2,0)＝x0【解析】 全称命题“x∈R，x2≠x”的否定为特称命题，“x0∈R，xeq\o\al(2,0)＝x0”。故选D。【答案】 D3．已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件。则下列命题为真命题的是( )A．p∧qB．绨p∧绨qC．绨p∧qD．p∧绨q【解析】 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q，绨p为假命题，绨q为真命题，绨p∧绨q，绨p∧q为假命题，p∧绨q为真命题。故选D。【答案】 D4．命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为____________________________________。【答案】 存在两个等边三角形，它们不相似5．命题“存在实数x0，y0，使得x0＋y0>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题。【答案】 x0，y0∈R，x0＋y0>1 x，y∈R，x＋y≤1 假微考点 大课堂考点一含逻辑联结词命题的真假判断【典例1】 (1)已知命题p：若x＞y，则－x＜－y；命题q：若x＞y，则x2＞y2。在命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(绨q)；④(绨p)∨q中，真命题是( )A．①③ B．①④C．②③D．②④(2)若命题“p∧q”为假命题，且“绨p”为假命题，则( )A．“p或q”为假B．q假C．q真D．p假【解析】 (1)由不等式的性质，得p真，q假。由“或、且、非”的真假判断得到①假，②真，③真，④假。故选C。(2)由“绨p”为假，知“p”为真，又“p∧q”为假命题，从而q为假命题。故选B。【答案】 (1)C (2)B【变式训练】 已知命题p：函数y＝2－ax＋1(a＞0且a≠1)恒过(1,2)点；命题q：若函数f(x－1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，则下列命题为真命题的是( )A．p∨qB．p∧qC．(绨p)∧qD．p∨(绨q)【解析】 函数y＝2－ax＋1恒过定点(－1,1)，故命题p是假命题，绨p是真命题；函数f(x)的图象是由函数f(x－1)的图象向左平移一个单位得到的，所以函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，因此q为假命题，绨q为真命题，从而p∨(绨q)为真命题。故选D。【答案】 D考点二含有一个量词的命题……多维探究角度一：全称命题、特称命题的真假判断【典例2】 (1)下列命题中的假命题是( )A．x∈R,2x－1>0B．x∈N*，(x－1)2>0C．x0∈R，lnx0<1D．x0∈R，tanx0＝2(2)已知命题p：x>0，x＋eq\f(4,x)≥4；命题q：x0∈(0，＋∞)，2x0＝eq\f(1,2)，则下列判断正确的是( )A．p是假命题B．q是真命题C．p∧(绨q)是真命题D．(绨p)∧q是真命题【解析】 (1)因为2x－1>0，对x∈R恒成立，所以A是真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B是假命题；存在00时，x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4，p是真命题；当x>0时，2x>1，q是假命题，所以p∧(绨q)是真命题，(绨p)∧q是假命题。故选C。【答案】 (1)B (2)C角度二：全称命题、特称命题的否定【典例3】 (1)设命题p：n∈N，n2>2n，则绨p为( )A．n∈N，n2>2nB．n∈N，n2≤2nC．n∈N，n2≤2nD．n∈N，n2＝2n(2)(2016·大连模拟)命题“对任意x∈R，都有x2≥ln2”的否定为( )A．对任意x∈R，都有x22n”的否定是“n∈N，n2≤2n”。故选C。(2)按照“任意”改“存在”，结论变否定的模式，应该为存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)x＋1C．x∈(－∞，0)，2x<3xD．x∈(0，π)，sinx>cosx(2)写出下列命题的否定并判断其真假：①p：不论m取何实数值，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；②p：有的三角形的三条边相等；③p：菱形的对角线互相垂直；④p：x∈N，x2－2x＋1≤0。【解析】 (1)因为sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≤eq\r(2)<eq\f(3,2)，故A错误；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；因为x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))时有sinx0恒成立，故绨p为假命题。②绨p：所有的三角形的三条边不全相等。显然绨p为假命题。③绨p：有的菱形的对角线不垂直。显然绨p为假命题。④绨p：x∈N，x2－2x＋1>0。显然当x＝1时，x2－2x＋1>0不成立，故绨p是假命题。【答案】 (1)B (2)见解析考点三由命题的真假求参数的范围……母题发散【典例4】 已知p：x∈R，mx2＋1≤0，q：x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为( )A．m≥2B．m≤－2C．m≤－2或m≥2D．－2≤m≤2【解析】 依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，绨p为真，则有mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4<0，－20，∴m>2或m<－2。由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0，,－2≤m≤2))得0≤m≤2，∴m的取值范围是[0,2]。【答案】 [0,2]反思归纳 根据命题真假求参数的步骤1．先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；2．然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；3．最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围。微考场 新提升1．命题“n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )A．n∈N*，f(n)N*且f(n)＞nB．n∈N*，f(n)N*或f(n)＞nC．n0∈N*，f(n0)N*且f(n0)＞n0D．n0∈N*，f(n0)N*或f(n0)＞n0解析 全称命题的否定为特称命题，因此命题“n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是“n0∈N*，f(n0)N*或f(n0)＞n0”。故选D。答案 D2．(2016·浙江高考)命题“x∈R，n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )A．x∈R，n∈N*，使得n
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