高考数学一轮复习北师大版统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体 名师制作优质课件

栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步第2讲　统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体第十章统计、统计案例及算法初步栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步最大值最小值组距组数分组频率分布表频率分布直方图1．统计图表(1)频率分布直方图的画法步骤①求极差(即一组数据中________与________的差)；②决定________与________；③将数据________；④列____________；⑤画________________．栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步所分组数组距中点(2)频率分布折线图和总体密度曲线①频率分布折线图：在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的________开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，称之为频率分布折线图．②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时________增加，________减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步(3)茎叶图的画法步骤第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列；第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧．栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步出现次数最多最中间2．样本的数字特征(1)众数：一组数据中________________的那个数据，叫做这组数据的众数．(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于________位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．(3)平均数：把_______________称为a1，a2，…，an这n个数的平均数．eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为eq\x\to(x)，则这组数据的标准差和方差分别是s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2])s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步1．辨明两个易误点(1)易忽视频率分布直方图中纵轴表示的应为eq\f(频率,组距).(2)在绘制茎叶图时，易遗漏重复出现的数据，重复出现的数据要重复记录，同时不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步2．众数、中位数和平均数的异同都是描述一组数据集中趋势的量与这组数据中的部分数据有关，出现在这些数据中不一定在这些数据中出现．奇数个时，在这组数据中出现；偶数个时，为中间两数的平均值不一定在这些数据中出现 众数 中位数 平均数 相同点 不同点 栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步3.标准差和方差的异同相同点：标准差和方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．不同点：方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，标准差则不然．栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步A1．(2014·高考四川卷)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是(　　)A．总体　　　　　　　　　B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步解析：调查的目的是“了解某地5000名居民某天的阅读时间”，所以“5000名居民的阅读时间的全体”是调查的总体．栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步B2．(2015·高考重庆卷)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图，则这组数据的中位数是(　　)A．19B．20C．21.5D．23解析：由茎叶图可知这组数据由小到大依次为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，所以中位数为eq\f(20＋20,2)＝20.栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步B3.如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，样本质量均在[5,20]内，其分组为[5,10)，[10,15)，[15,20]，则样本质量落在[15,20]内的频数为(　　)A．10B．20C．30D．40栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步解析：由题意得组距为5，故样本质量在[5，10)，[10，15)内的频率分别为0.3和0.5，所以样本质量在[15，20]内的频率为1－0.3－0.5＝0.2，频数为100×0.2＝20.栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步504．(2016·郑州第一次质量预测)我市某校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是________．解析：依题意得，成绩低于60分的相应的频率等于(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是15÷0.3＝50.栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步乙5．(必修3P28例3改编)甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是：甲　0　1　0　2　2　0　3　1　2　4乙　2　3　1　1　0　2　1　1　0　1则机床性能较好的为________．解析：因为eq\o(x,\s\up6(－))甲＝1.5，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝1.2，seq\o\al(2,甲)＝1.65，seq\o\al(2,乙)＝0.76，所以eq\o(x,\s\up6(－))甲＞eq\o(x,\s\up6(－))乙，seq\o\al(2,乙)<seq\o\al(2,甲)，所以乙机床性能较好．栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步考点一　频率分布直方图(高频考点)频率分布直方图是高考的热点，选择题、填空题、解答题都有可能出现．难度一般较小．高考对频率分布直方图的考查主要有以下四个命题角度：(1)完善频率分布直方图；(2)利用频率分布直方图求样本容量；(3)求样本平均数、众数、中位数；(4)与概率结合考查某区间内的个体被选中的概率．栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步　(2015·高考安徽卷)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步[解](1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50，60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40，50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为eq\f(1,10).栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步解决频率分布直方图问题的要点(1)直方图中各小长方形的面积之和为1.(2)直方图中纵轴表示eq\f(频率,组距)，故每组样本的频率为组距×eq\f(频率,组距)，即矩形的面积．(3)直方图中每组样本的频数为频率×总体数.栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步36000　1.(1)(2015·高考湖北卷)某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．①直方图中的a＝________；②在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步(2)(2016·山西省考前质量检测)某市为了节约能源，拟出台“阶梯电价”制度，即制定住户月用电量的临界值a.若某住户某月用电量不超过a度，则按平价计费；若某月用电量超过a度，则超出部分按议价计费，未超出部分按平价计费．为确定a的值，随机调查了该市100户的月用电量，工作人员已将90户的月用电量填在了下面的频率分布表中，最后10户的月用电量(单位：度)为：18　63　43　119　65　7729　97　52　100.栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步 组别 月用电量 频数统计 频数 频率 ① [0,20) ② [20,40) 正 ③ [40,60) 正正正 ④ [60,80) 正正正正 ⑤ [80,100) 正正正 ⑥ [100,120] 栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步①完成频率分布表并绘制频率分布直方图；②根据已有信息，试估计全市住户的平均月用电量(同一组数据用该区间的中点值作代表)；③若该市 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 让全市75%的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变，试求临界值a.栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步解：(1)①由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.故填3.②区间[0.3，0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5，0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为0.6×10000＝6000.故填6000.栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步(2)① 组别 月用电量 频数统计 频数 频率 ① [0，20) 4 0.04 ② [20，40) 正正 12 0.12 ③ [40，60) 正正正正 24 0.24 ④ [60，80) 正正正正正正 30 0.30 ⑤ [80，100) 正正正正正 25 0.25 ⑥ [100，120] 正 5 0.05栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步②由题意，用每小组的中点值代表该小组的平均月用电量，则100户住户组成的样本的平均月用电量为10×0.04＋30×0.12＋50×0.24＋70×0.30＋90×0.25＋110×0.05＝65度．用样本估计总体，可知全市居民的平均月用电量约为65度．栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步③计算累计频率，可得下表： 分组 [0，20) [20，40) [40，60) [60，80) [80，100) [100，120] 频率 0.04 0.12 0.24 0.30 0.25 0.05 累计频率 0.04 0.16 0.40 0.70 0.95 1.00由此可知临界值a应在区间[80，100)内，且频率分布直方图中，在临界值a左侧的总面积(频率)为0.75，故有0.7＋(a－80)×0.0125＝0.75，解得a＝84，由样本估计总体，可得临界值a为84.栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步D考点二　茎叶图　(2016·西安地区八校联考)如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x，y的值为(　　)A．2,4　　　　　　　　　B．4,4C．5,6D．6,4栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步[解析]eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(75＋82＋84＋（80＋x）＋90＋93,6)＝85，解得x＝6，由图可知y＝4，故选D.栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步茎叶图的优缺点由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点是茎叶图便于记录和表示．其缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐.栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步C　2.(1)(2016·唐山统一考试)某品牌空调在元旦期间举行促销活动，如图所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况(单位：台)，则销售量的中位数是(　　)A．13B．14C．15D．16栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步B(2)为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，现采用简单随机抽样的方法，从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示，如图所示．据此可估计上学期该校400名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为(　　)A．100B．160C．200D．280栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步解析：(1)由茎叶图可知这些数分别为5，8，10，14，16，16，20，23，所以中位数为eq\f(14＋16,2)＝15.(2)由茎叶图可知在20名教师中，上学期使用多媒体进行教学的次数在[16，30)内的人数为8，据此可以估计400名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[16，30)内的人数为400×eq\f(8,20)＝160.栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步C考点三　样本的数字特征　(2015·高考安徽卷)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为(　　)A．8　　　　　　　　　　　B．15C．16D．32[解析]已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为eq\r(22×64)＝2×8＝16，故选C.栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步样本数字特征及公式推广(1)平均数和方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的阐述．平均数、中位数、众数描述总体的集中趋势，方差和标准差描述波动大小．(2)平均数、方差公式的推广若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)，方差为s2，则数据mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为meq\x\to(x)＋a，方差为m2s2.栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步112　3.(1)(2015·高考广东卷)已知样本数据x1，x2，…，xn的均值eq\x\to(x)＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的均值为________．(2)(2016·南昌第一次模拟)若1,2,3,4，m这五个数的平均数为3，则这五个数的方差为________．栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步---解析：(1)由条件知x＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)＝5，则所求均值x0＝eq\f(2x1＋1＋2x2＋1＋…＋2xn＋1,n)＝eq\f(2（x1＋x2＋…＋xn）＋n,n)＝2x＋1＝2×5＋1＝11.(2)由eq\f(1＋2＋3＋4＋m,5)＝3得m＝5，所以这五个数的方差为eq\f(1,5)[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2.栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步规范解答——用样本的数字特征估计总体数字特征　(本题满分12分)(2015·高考广东卷)某工厂36名工人的年龄数据如下表．栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步 工人编号　年龄 工人编号　年龄 工人编号　年龄 工人编号　年龄 　1　　　40 　10　　　36 　19　　27 　28　　34 　2　　　44 　11　　　31 　20　　43 　29　　39 　3　　　40 　12　　　38 　21　　41 　30　　43 　4　　　41 　13　　　39 　22　　37 　31　　38 　5　　　33 　14　　　43 　23　　34 　32　　42 　6　　　40 　15　　　45 　24　　42 　33　　53 　7　　　45 　16　　　39 　25　　37 　34　　37 　8　　　42 　17　　　38 　26　　44 　35　　49 　9　　　43 　18　　　36 　27　　42 　36　　39栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值eq\x\to(x)和方差s2；(3)36名工人中年龄在eq\x\to(x)－s与eq\x\to(x)＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步(1)eq\x(数表)―→eq\x(分组)eq\o(――→,\s\up7(系统),\s\do5(抽样))eq\x(数据)(2)eq\x(1中数据)―→eq\x(平均数)―→eq\x(方差)(3)eq\x(2中数据)―→eq\x(s的值)―→eq\x(\o(x,\s\up6(－))－s和\o(x,\s\up6(－))＋s的值)―→eq\x(确定在[\o(x,\s\up6(－))－s，\o(x,\s\up6(－))＋s]的人数)―→eq\x(百分比)栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步(1)36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以它在组中的编号为2，所以所有样本数据的编号为4n－2(n＝1,2，…，9)，其年龄数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37.(4分)(2)由均值公式知：eq\x\to(x)＝eq\f(44＋40＋…＋37,9)＝40，(5分)由方差公式知：s2＝eq\f(1,9)[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝eq\f(100,9).(8分)栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步(3)因为s2＝eq\f(100,9)，s＝eq\f(10,3)，所以36名工人中年龄在eq\x\to(x)－s和eq\x\to(x)＋s之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数，即40,40,41，…，39，共23人．(10分)所以36名工人中年龄在eq\x\to(x)－s和eq\x\to(x)＋s之间的人数所占的百分比为eq\f(23,36)×100%≈63.89%.(12分)栏目导引第十章统计、统计案例及算法初步　(1)解决此类问题要注意审题，理清题中数据，如本例中样本总量是36，而抽取容量是9.解答步骤要规范．(2)解决平均数与方差的问题，不要盲目求解，要先观察数据的特征，寻找运算的捷径，做到事半功倍．