数列数列的分类数列”丄人数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列两个基本数列等比数列的定义d(n2)a1(n1)dn(aan)na1_n(n1)d22aa(mnpq)pq2)等差数列的定义aa11等差数列的通项公式an等差数列的求和公式Sn等差数列的性质aamana1q1nar—-—a1(1_q-()q1)Sn1q1qna1(q1)nq(nani等比数列的通项公式等比数列等比数列的求和公式anaapaq(mnpq)对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问
题
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。（1）递推式为a=a+d及a=qa（d，q为常数）n+1nn+1n例】、已知｛a｝满足a二a+2，而且a=1。求a。nn+1n1n例1、解Ta厂a=2为常数二｛a｝是首项为1，公差为2的等差数列n+1nna=1+2（n-1）即a=2n-1nn1例2已知｛第｝满足an1—an，而a12，求a.=HYPERLINK\l"bookmark2"\o"CurrentDocument"aI2解丁玉—£是常数•:凤｝是以2为首项，公比为扌的等比数列公式法分组求和等比数列的性质数列求和错位相减求和裂项求和倒序相加求和（2）递推式为a=a+f（n）n+1n1例3、已知｛
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”分期付款数列的应用其他nn-1掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在
高考
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中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法1、求通项公式anai—(1L)322n14n2★说明只要和f(1)+f(2)+…+f(n-1)是可求的，就可以由a=a+f(n)以n=1，2,…，(n-1)代入，可得n-1个等式累加而求an+1nn(3)递推式为a=pa+q(p,q为常数)n+1n例4、｛q｝中，a11，对于n>1(ngN)有Oi3a12，求ai-思路：设a2pan1qan,可以变形为：an2an1an)，解法一：由已知递推式得a1=3a+2,a=3a1+2O两式相减：因此数列｛a-a｝是公比为3的等比数列，噴首项为n+1n..a-a=4*3i-1n+1n解法二：上法得｛a1-an+1n-1-a432a-a=4•3，…，•/a=3a+2n+1n｝是公比为3nn-23，=4•把n-1an=2•3n-1-1(4)递推式为an+1=pa+qnn(P,2.•.3a+2-a=4・3nTnn的等比数列，于是有：a-an+1a-a1即a=2・3n-1-1na-a=4,a-a=4•3,21‘32'一=3(a-a)(3x1+2)-1=4面4C1-想一-an。［例Q己知数列乜J中’a斗钿二羸+(J)n+cb^的两边乘以2河得求％【例阳己知乜J中，術略解在备严弄22■bn1)由上题的解法•，得」甲；.32()n3
分析
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;anbn2nn2.Tl-K22a43=—a*B=-+三兀两边减去1二——3ah+laftail+l%｝是舍比为-£■首项为313二1的笄比数列口長说明对于递推式齢严叽十小可两边除以q呱寄an+im+l⑸递推式为an2严匕忖计占“’m：.i齐(6)递推式为［S'与!「的关系:nnr=£［1_c4i乱一—【例乃设心』前口项曲和気=4-底n-2关系；Cn=01十、亠.CO求玉锦与耳的CO由■丄得S:,•…]1L■■■1t:•••n1Sn(anna1).丄n12n2)21•••1a1anan112n1an1-细122n上式两边同乘以2n+1得2i+1a=2na+2则{2na}是公差为2的等差数列。(2)试用n
表
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示a。1适用于数列和a可裂项为:等差数列前n项和的最值问题anan(其中an等差)1—)，an1n+1nn2na=2+(nT)・2=2nn.IL…日n2“*11、若等差数列an的首项气0公差d则前n项和Sn有最大值。(i)若已知通项an，则Sn最大an(ii)若已知SnPn2qn，则当n取最靠近的非零自然数时Sn最数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列(如果an等差，bn等比，那么abnn叫做差比数列)即把每一项都乘以bn的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。大;2、若等差数列an的首项曲(i)若已知通项(ii)若已知SSnn,则Sn最小2pnqn，0公差d则前n项和Sn有最小值an则当n取最靠近s的非零自然数时n最小；数列通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。⑵已知Sn(即a]a2Lanf(n))求an，用作差法：anS],(n1)oSnSn1(n2)已知aga?gLganf(n求ai，用作商法：af(1),(n1)f(n)f(n1),(n2)。⑶已知条件中既有Sn还有％，有时先求Si，再求a；有时也可直接求a（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和）⑷若ana1naan1(n2)a⑸已知n1an1an(af(n)求an&n2)L(a^】a)3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前1和公式的推导方法）.（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂⑹已知递推关系—na，卸，用累乘法：％anannan2用构造法（构造等差、等比数列）后相关联,1n（n特别地，（1）形如ankan1b、ankan1bn（k,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an；形n(n⑥2(n如akan1kn的递推数列都可以除以kn得到一个等差数列后，再求an)(2)形如ankan1的递推数列都可以用倒数法求通项。1b(7)(8)(3)形如an1ank的递推数列都可以用对数法求通项）（理科）数学归纳法）d或ana当遇到an1an1q时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式）数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式;②等比数列求和公式）那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:11）nnn(n1k)1(1kn1(11(k1)kk2(k1）；k11)(n1n)12)12i(n21)—(n1)(n2)2(n2(1)!n!1(n1)!1)求数列通项公式的常用方法：1、公式法2、由Sn求an求差如解:1时，na】（商）法:a满足n1时，S1,n2时，％Sn12nSn1)an2n5114n时，011a21n12n15222221a2n112得■2nn2.a2…°nn114(n1).•・an2n1(n2)［练习］5数列a满足SSa，a,求anSnn134n11吐S1代入得:一nS1n(注意到On1n1Sn4n是等比数列，4n21寸，曲O］f(2)a3a2f⑶两边相加，得：aann1f(n)an1af(2)f(3)….Ona0f(2)f⑶［练习］数列a,an11(On13n1)26、等比型递推公式f(n)f(n)，求a2nanca1dc、d为常数，c0n23寸，Oi4、叠乘法Sn4n例如：数列an中nann，求an1a2解：a3anaL1an5・・a2.an5、等差型递推公式a由Oqn1n13-na】f(n)a1a0，求％，用迭加法anca=n1c1xd令(c1)x，.Xc1dd,c为公比的等比数是首项为a1列c1c1「•Onda1d•cn1c1c1.Ona1dcn1d可转化为等比数列，设anxca1xc1c1［练习］数列满足aan4，・—・・屮-n(n+lX2n丰1)6(an贰耳十1〕？[~T~]!7、倒数法例如:2anan2求an【例8】求数列1，(3+5)，解本题实际是求各奇数的和，(7+9+10)，(在数列的前n13+15+17+19)，…前\项的和。项中，共有1+2+…+n=_n(n1)由已知得:an15_22an个奇数，・•.最后一个奇数为:an11+[_n(n+1)T]x2=n2+n-12因此所求数列的前n项的和为an1a)2anTan为等差数列，a1，公差为1an-42宀「"-Z〔宀》1)1Sn=-nCn+V*;=护(n+Os.(2)、分解转化法对通项进行分解、组合，转化为等差数列或等比数列求和。【例9】求和S=1•(n2-1)+2•(n2-22)+3•(n2-32)+…+n(n2-n2)解S=n2(1+2+3+…+n)-(13+23+33+…+n3)=fL=—n2Cn+0Cu-D2•数列求和问题的方法(1)、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。1+2+3+=(3)、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。例10、求和：Sn3C1n6Cn2L3nCnn+(2n-1)=n2例10、解Sn0PC/3C1n6C/L3nCnn3nCj+3Cn-1)C:J+…+0C°相加，且运用=c胪可得2SR=3n(C^+C^+-・+C：J=3n*2En-1nS=3n・2(4)、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和.例求数列1，3x，5x2,…，(2n-1)xn-1前n项的和.例12、求和1?53?75?9求和—十一：—■+1*53-71a11(2iL-l)(2n+3)(2n1)(2n3)I1+■ 5*?.1+(2n-l)(2n+3)I14'-12n+3解设S=1+3+5x2+…+(2n-1)xn⑴当怎二时:x=0时，S=1.n当x*0且x*1时，在式①两边同乘以②n-11十■二u二n2111153752___-32ri+12n+3Jn0n+5)111+12n+12n-i2n+3x得xS=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn，nn■HH4-3(2n+3)(211^3)注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1.函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例13】等差数列｛a｝的首项a>0,前n项的和为S,若S1=Sk(l*k)问n为何n1nlkxr值时S最大nn-1+2x-(2n-1)x1E-(2n+l),/、23①-②，得(1-x)S=1+2x+2x+2x+…1—『1*a-x)⑸裂项法：把通项公式整理成两项常见裂项方法：(式多项)差的形式，然后前后相消。解依题意j设f(J=SK=+-11=HBBIn(n+k)k1(口4]]血+2)2nn+In+21品+a/n二kS1=Sk(l*k),Adv0故此二lk'/时F(JL)最大*f(n)中?n€No此函数以n为自变量的二次次函数的图像开口向下：Tf(l)=f(k),.+|Z八当1决肯偶数时.口=二一时2最大。当I我为奋數时.忙」上匚士丄时S；最★亠a1>0■.112112■■■=—j…F=S£yWg.kl^(kkgbk故学^+悴=¥^即1驴+l_gt=21曲igklgkigk.*.b2=ac・：a,b,c成等比数列(a,b,c均不为0)数学5（必修）第二章：数列一、选择题1•数列an的通项公式an1，则该数列的前（1）项之和等于9r~rnn\A•98B.99C•96D■97aa2•在等差数列an中，若S41,b4，则a171819a20的值为（）A•9b.12C•16D•173•在等比数列an中，右色6，且a52aa3120，则0i为()A・6B・6(1)2C•62n2D,,6或6(1)2或62^2二、填空题1•已知数列an中，a1,1a1aan1na，则数列通项an。aa2•已知数列的Snn2n1，则a91011a12=。3•三个不同的实数a,b,c成等差数列，且a,c,成等比数列，则a:b:cO三、解答题1•已知数列an的前n项和Sn32n，求a2•方程思想【例14】设等比数列｛a｝前n项和为S,若S3+S6=2S9，求数列的公比q。TOC\o"1-5"\h\znn369分析本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解•・•依题意可知q工1。•・•如果q=1,则S3=3a1,S6=6ai,S9=9ai。由此应推出ai=0与等比数列不3161911符。.占(I刊珂绍(卜q)9)喟+-«I-q1-q1-q363整理得q(2q-q-1=0Vq#0-q3-1=0尿=啥，显舟此题还可以作如下思考：33336S=S+qS=(1+q)SS=S+qS=S(1+q+q),6333。9363336、63•:由S+S=2S可得2+q=2(1+q+q),2q+q=03693•换元思想【例15】已知a,b,c是不为1的正数，x,y,zWR+，且]]2有屮=b7=c耳和皿+”=a°xzy求证：a,b,c顺次成等比数列。xyz证明依题意令a=b=c=k・：x=1ogk,y=logkz=logkabc(2)若数列｛bn｝满足bn=log2①+2),Tbnn为数列｛｝的前n项和，求lg1000,lg(1000cos60),lg(100Cos2600),・・・lg(1000nC(6P)，…的前多少项和为最大3•已知数列临｝的前n项和为Sn，满足S)=2an-2n(neN)(1)求数列｛an｝的通项公式an
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