高等数学应用题

第一章函数极限连续问题1.上岸点的问题有一个士兵P，在一个半径为R的圆形游泳池（图1—1）内游泳，当他位于点（）时，听到紧急集222xyR,02R合号，于是得马上赶回位于A=（2R，0）处的营房去，设该士兵水中游泳的速度为，陆地上跑步的速度为，求赶回营房1v2v所需的时间t与上岸点M位置的函数关系。图1-1解：这里需要求的是时间t与上岸点M位置的函数关系，所以一定要先把上岸点M的位置数字化，根据本题特点可设(cos,sin)MRR其中为M的周向坐标（即极坐标系中的极角），于是本题就成为了求函数关系的()tf问题。由对称性，我们可只讨论在上半圆周上岸的情况，即先确定函数的定义域()tf为。0该士兵在水中游泳所花的时间为22211111(cos)sin54cos22PMRRtRRvvv而在陆地上跑步所需的时间，则要视上岸点位置的两种不同的情况要分别进行讨论：①当时，有；0322254cosMARtvv②当时，要先跑一段圆弧，再跑一段且线段，所以3MBBA。2221()(3)3RtMBBAvv综上所述，可得121254cos54cos,02354cos(3),233RRvvtRRvv问题2外币兑换中的损失BAOxyPMM某人从美国到加拿大去度假，他把美元兑换成加拿大元时，币面数值增加12%，回国后他发现把加拿大元兑换成美元时，币面数值减少12%。把这两个函数表示出来，并 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 这两个函数不互为反函数，即经过这么一来一回的兑换后，他亏损了一些钱。解：设为将x美元兑换成的加拿大元数，为将x加拿大元兑换成的美元数，1()ft2()ft则1()12%1.12,0ftxxxx2()12%0.88,0ftxxxx而故，不互为反函数。21(())0.880.120.9856,fftxxx1()ft2()ft思考题：设一美国人准备到加拿大去度假，他把1000美元兑换成加拿大元，但因未能去成，于是又将加拿大元兑换成了美元，问题亏损了多少钱？（14.4美元）问题3黄山旅游问题一个旅游者，某日早上7点钟离开安徽黄山脚下的旅馆，沿着一条上山的路，在当天下午7点钟走到黄山顶上的旅馆。第二天早上7点钟，他从山顶沿原路下山，在当天下午7点钟回到黄山脚下的旅馆。试证明在这条路上存在这样一个点，旅游者在两天的同一时刻都经过此点。证明：设两个旅馆之间的路程为L，以表示在时刻该旅游者离开山脚()ft([7,19])t下的旅馆的路程，则可知是区间上的连续函数，且有，。()ft[7,19](7)0f(19)fL以表示该旅游者在第二天下山时在与前一天相同时刻尚未走完的路程，则可知()gt是区间上的连续函数，且有，。()gt[7,19](7)fL(19)0f于是原问题可转化为：证明存在，使。[7,19]()()fg作辅助函数，则在区间上连续，且有()()()tftgt()t[7,19]，2(7)(19)[(7)(7)][(19)(19)]0fgfgL根据闭区间上连续函数的零值定理可知，一定存在，使。就得到了所需[7,19]()0要证明的结论。问题4利润与销量之间的函数关系收音机每台售价90元，成本为60元。厂家为鼓励销售商大量采购，军队凡是订购量超过100台以上的，每多订购一台，售价就降低1分（例如，某商行订购了300台，订购量比100台多200台，于是每台就降价0.01200=2（元），商行可以按88元/台的价格购进300台），但最低价为75元/台。1）把每台的实际售价p表示为订购量x的函数；2）把利润P表示成订购量x的函数；3）当一商行订购了1000台时，厂家可获利多少？解：1）当时售价为90元/台。100x现在计算订购量x是多少台时售价降为75元/台，90-75=15，150.01=1500所以，当订购量超过1500+100台时，每台售价为75元。当订购量在100~1600时，售价为90-（x-100）*0.01，因而实际售价p与订购量之间的函数关系为90,10090(100)0.01,100160075,1600xpxxx2）每台利润是实际售价p与成本之差P=（p-60）x3）由1）先计算出p=90-（1000-100）*0.01=81。再有2）可知P=（81-60）*1000=21000（元）问题5Fibonacci数列与黄金分割问题“有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，以后亦每月生产小兔一对。假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对?”解：这是意大利数学家斐波那契（Fibonacci，L）在1202年所著“算法之 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf ”（又译《算盘书》（Liberabaci））中的一个题目。他是这样解答的：若用“○”、“△”分别表示一对未成年和成年的兔子（简称仔兔和成兔），则根据题设有：从上图可知，六月份共有兔子13对；还可看出，从三月份开始，每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和。按这规律可写出数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233可见一年后共有兔子233对。这是一个有限项数列，按上述规律写出的无限项数列就叫做Fibonacci数列，其中的每一项称为Fibonacci数。若设F0=1，F1=1，F2=2，F3=3，F4=5，F5=8，F6=13，…则此数列应有下面的递推关系：Fn+2=Fn+1+Fn（n=0，1，2，…）这个关系可用数学归纳法来证明，其中的通项1111515225nnnF是由法国数学家比内（Binet）求出的。与Fibonacci数列紧密相关的一个重要极限是（1）151lim0.6182nnnFF或者（2）151lim1.6182nnnFF下面我们先来说明（2）式的含义并证明之（至于（1）式的含义见后面的说明）。记，则（-1）×100%就是第（n+1）月相对于第n月的兔子对数增长率（n1nnnFbFnb=0，1，2，…），例如：010,1101nb021,111100%1nb032,110.550%2nb053,110.6666%3nb……若存在，则（-1）表示许多年后兔子对数的月增长率（同时也是成兔对数limnnblimnnb及仔兔对数在许多年后的月增长率——因为成兔对数、仔兔对数各自从今年1月、2月开始算起，也是Fibonacci数列）。存在的证明及求法如下：limnnb证：01b111111(1,2,)nnnnnnnFFFbnFFb用数学归纳法容易证明：数列{}是单调增加的；数列{}是单调减少的。2nb21nb又，对一切成立。即数列{}、{}是有界的。30,22nnb2nb21nb根据“单调有界数列必有极限”的准则，知数列{}、{}的极限存在，分别记为2nb21nb与b*，即，*b*2limnnbb*21limnnbb分别对及的两边取极限，得22111nnbb21211nnbb与**11bb**11bb两式相减，得******bbbbbb由此得，即。若不然，则有**0bb221limlimnnnnbb**1bb而由，得***1bbb*0b这是不可能的（因为）因此存在，记作b，即211nblimnnblimnnbb对的两边取极限，得111nnbb11bb解此方程，得，因为，故152b1nb151.6182b即1limlim1.618nnnnnFbF从而lim10.618nnb可见许多年以后兔子总对数，成兔对数及仔兔对数均以每月61.8%的速率增长。问题6巧分蛋糕妹妹小英过生日，妈妈给做了一块边界形状任意的蛋糕（如图所示）。哥哥小明见了也想吃，小英指着蛋糕上一点对哥哥说，你能过这点切一刀，使切下的两块蛋糕面积相等，便把其中的一块送给你。小明苦想了半天，终于用刚刚学过的高等数学知识初步解决了这个问题。你知道他用的是什么办法吗？图1-2（1）能切成相等的两块吗？图1-2（2）时S1和S20PxlS2S10分析：问题归结为如下一道几何证明题。已知平面上一条没有交叉点的封闭曲线（无论什么形状），P是曲线所围图形上任一点。求证：一定存在一条过P的直线。将这图形的面积二等分。xl图1-2（4）时S1和S2000S1（）0S2（）0xlS2（）S1（）0图1-2（3）旋转成角lP证明：1.过P点认作一直线l，将曲线所围图形分为两部分，其面积分别为S1和S2。若S1=S2（此情况很难办到），则l即为所求；若S1S2，则不妨设S1>S2(此时l与x轴的正向的夹角记为，见图1-2（2）），下面对此情况证明之。02.以P点为旋转中心，将l按逆时针方向旋转，面积S1和S2就连续地依赖角变化，记为、，并设。如图1-2（3）所示。1()S2()S12()()()fSS3.函数在上连续，且在端点异号：()f00[,]01020()()()0fSS010202010()()()()()0fSSSS（旋转1800后的情况如1-2（4））根据零点定理，必存在一点，使00(,)，即使。过P作直线，使之与x轴正向的夹角为，该直线即为所()0f12()()SS求。注：实际上小明只证明了这样的直线一定存在，究竟如何找到角还有待研究，留给大家思考！问题7第二章导数与微分问题1人在月球上能跳多高某人身高2米，在地面上可跳过与其身高相同的高度。假设他以同样的初速度在月球上跳，请问能跳多高？又，为了能在月球上跳过2米，他需要多大的初速度？解：在地面上跳高，就是克服地球引力把身体“抛”到高处。这里跳过了2米，是指把人体的重心提高到了2米。粗略地讲，人体的重心约在身高的一半偏上一点处，故，若把人体当作质点来看，则可视跳高为以初速把位于（身高）处的一质点铅直上抛。为0v12了求出所跳高度与时间t的函数关系，建立如图所示的坐标系。由及得dvgdt0(0)vv（1）0()vtgtv由及得()dxvtdt1(0)212x（2）201()12xtgtvt0(0)1xx()xxtxo在月球上跳高的情况与此类似，不同的只是这里的g由月面上的重力加速度gm所代替，若记月球上的速度与位置函数分别为vm、xm（因题设初速相同，故仍记月球上的初速为v0），则有（3）0()mmvtgtv（4）201()12mmxtgtvt由（4）式知，为求此人在月球上能跳多高，需分别求出初速及跳到最高处所需时间。0v现初速与地球上的相同，故可由（1）、（2）式求之：0v因跳到最高处时，故，于是。又，此人在地球上跳了2米高，()0vt0vgt0vtg故有200012()()12vvgvgg由此得（5）2002,24.428/gvvgms（于是此人在地面上跳到2米高所用时间为）020.45vtsgg再求在月面上以初速跳到最高处所用的时间tm：0v由（3）式及，得，即，由此可得()0mvt0mmvgt2mmggt2mmgtg将（5）、（6）两式代入（4）式，便有2221()2()129.8054117.3078()1.5545mmmmmggxgggggmg即，在月球上能跳过的高度约为7.3078米。用与上面完全类似的推导可以得出，在月球上跳2米高所需初速为21.763/mgms（见（5）式），所用时间为。21.13msg比较t=0.45s与t=1.13s不难看出，同样是跳2米高，在月球上所需时间比在地面上要慢一个因子0.4（），这个结论具有普遍性，可用下面的地月定理来证明。0.451.130.398地月定理：设是“地面上的运动”，则()xt（7）()()mxtxkt是在“月面上的运动”，这里0.398.mgkg证：对（7）式两端求导，则有()()()mmxtvtkvkt再对t求导，且利用得dvgdt22()()()mmmmmdvtggdvktakkkgkggggdtdtgg因此，满足月面运动方程。证毕。()mxt公式（7）揭示了地、月两种运动之间的内在联系：地面运动改变到月面运动时，时间变慢了一个因子0.4.据此原理，如果我们想看看模拟的月面运动，只需用正常速度的0.4倍放映地面运动的电影即可。注：地面运动系指一质点在接近地面处，在重力影响下，且仅有重力作用的垂直运动。月面运动的概念与此类似，不再重述。问题2油层在海面上的扩散问题从一艘破裂的油轮中渗漏出去的油，在海面上逐渐形成油层。设在扩散的过程中，其形状一直是一个厚度均匀的圆柱体，其体积也始终保持不变。已知其厚度h的减少率与h3成正比，试证明其半径r的增加率与r3成反比。证明：在等式两边同时对t求导，由于和V都是常数，所以有2Vrh220drdhrhrdtdt将题意条件代入上式子，可得31dhkhdt21,22krhdrrdhdthdt再将代入上式，又可得2Vhr2122331,2kVkdrdtrr这就是得到了所需要证明的结论。问题3人影移动的速率某人高1.8米，在水平路面上以每秒1.6米的速率走向一街灯，若此街灯在路面上方5米，当此人与灯的水平距离为4米时，人影端点移动的速率为多少？解：这是一个相关变化率的问题，一般地，设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数，而变量x与y间存在某种关系，从而变化率与间也存在一定关系，这两个相互依赖的变dxdtdydt化率称为相关变化率。如果我们有几何学或物理学等方面的知识，得到x与y间的一个函数关系y=f(t)，且f(t)可导，那么由复合函数的求导 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，有()dydxfxdtdt这说明变化率可以通过变化率得到。dydtdxdt对于所给问题，如图所示，以DE和BC分别表示人高和灯高，以DB=x和AB=y分别表示人和人影端点到灯的水平距离。因为△ADE∽△ABC，所以ADDEABBC从而，即1.85yxy2516yx于是2516dydxdtdt又依题，故1.6dxdt251.62.5(/)16dymsdt即人影端点移动的速率为2.5m/s。思考题：有一圆锥形容器，高度为10m，底半径4m，今以每分钟5m3的速度把水注入该容器，求当水深5m时，水面上升的速度。其中，（1）圆锥的顶点朝上；（2）圆锥的顶点朝下。（答案：均为）5/min4m问题4拉船靠岸问题在离水面高度为h（米）的岸上，有人用绳子拉船靠岸（如图所示）。假定绳长为l（米），ECBAD船位于离岸壁s（米）处，试问：当收绳速度为v0（m/s）时，船的速度、加速度各是多少？解：l、h、s三者构成了执教三角形，由勾股定理得222lhs两端对时间求导，得（1）202dldslsdtdt由此得（2）dldslsdtdtl为绳长，按速度定义，即为收绳速度v0，船只能沿s线在水面上行驶逐渐靠近岸壁，因dldt而应为船速v，将它们代人（2）式得船速dsdt（3）01vvs利用（1）式消去l，得（4）220(/)hsvvmss（4）中h、v0均为常数，只有s是变量。按加速度定义20222()dvdvdshavvdtdsdtshs将（4）式代人上式，得（5）2203(/)hvamss（这里的负号表明加速度的方向与x轴正向相反。事实上，船速v、收绳速度v0的方向也与x轴的正向相反。）由（4）与（5）式可知，船速与船的加速度均与船的位置有关，它们是变化的，当船靠近岸时，船速与加速度都不断增大。思考：当您在公园划船需要交船了，服务员用钩子把船勾住往岸边拉时，您是否注意到了这一现象呢（服务员用的“劲”——即收绳速度一样，您却感到船速越来越快）？问题5为什么不宜制造太大得核弹头核弹在与它得爆炸量（系指核裂变或聚变时释放出得能量，通常用相当于多少千吨T.N.T炸药得爆炸威力来度量）的立方根成正比得距离内会产生每平方厘米0.3516千克的超压，这种距离算作有效距离。若记有效距离为D，爆炸量为x，则二者的函数关系为hlsxOv013DCx其中C时比例系数。又知当x是100千吨（T.N.T当量）时，有效距离D为3.2186千米。于是133.2186100C即133.21860.6934100C所以130.6934Dx这样，当爆炸量增至10倍（变成1000千倍＝百万吨）时，有效距离增至130.6934(1000)6.934()km差不多仅为100千吨时的2倍，说明其作用范围（）并没因爆炸量的大幅度增加而显2D著增加。下面再来研究爆炸量与相对效率的关系（这里相对效率的含义时，核弹的爆炸量每增加1千吨T.N.T当量时有效距离的增量）。由223310.69340.23113dDxxdx知230.2311Dxx若x＝100，，则1x230.2311(100)10.0107()10.7()Dkmm这就是说，对100千吨（10万吨级）爆炸量的核弹来说，爆炸量每增加1千吨，有效距离差不多增加10.7米；若x＝1000，，则1x230.2311(1000)10.0023()2.3()Dkmm即对百万吨级的核弹来说，每增加1千吨的爆炸量，有效距离差不多仅增加2.3米，相对效率是下降的。可见，除了制造、运载、投放等技术因素外，无论从作用范围还是从相对效率来说，都不宜制造当量级太大的核弹头。事实上，1945年二战中美国投放在日本广岛、长崎的原子弹，其爆炸量为20千吨，有效距离为1.87千米。问题6钟表每天快多少某家有一机械挂钟，钟摆的周期为1秒。在冬季，摆长缩短了0.01厘米，这只钟每天大约快多少？解：由（单摆的周期公式，其中l是摆长（单位：cm），g是重力加速度2lTg（980cm/s2））可得dTdlgl当时，（1）llTdTlgl据题设，摆的周期是1秒，即，由此可知摆的原长是。现摆长12lg2()(2)gcm的改变量厘米，于是由（1）式得摆的周期的相应改变量是0.01l222(0.01)(0.01)0.0002()(2)TdTsggg这就是说，由于摆长缩短了0.01厘米，钟摆的周期便相应缩短了约0.0002秒，即每秒约快0.0002秒，从而每天约快0.0002×26×60×60=17.28（s）。问题7第三章微分中值定理与导数的应用问题1两辆汽车的加速度问题A，B两辆赛车同时出发，不久A车领先于B车，后来B车赶上并反超A车，最后两车同时到达终点。试证明至少存在某个时刻，两车的加速度相等。证明：设两车在启动时间t内走过的路程分别为f（t）和g（t），并假定两车在比赛过程中加速度是连续变化的，即函数f（t）和g（t）有二阶连续导数。对题意进行如下“条件分析”，即归纳出已知的条件(0)(0)0,()(),(0,)()().fgfTgTLTfg其中T是两赛车所花的时间，L是所走过的总里程，是B车赶上A车的时刻。然后再作“目标分析”，即表达出所求证的结论(0,)()().Tfg在这个基础上，我们就找到了解决问题的关键点：作适当的辅助函数。令，则函数在上连续，在内有二阶导数，且有()()()tftgt()t[0,]T(0,)T(0)()()0,T根据罗尔定理可知，(0,)()0,(,)()0.T在区间上对函数再次使用罗尔定理，便有[,]()t(,)(0,)()0,T这就证明了(0,)()().Tfg注要在实际问题中建立出数学模型，必须完全弄清题意；归纳提炼出已知的条件，这就是所谓的“条件分析”；总结表达出所需证明的结论，这就是所谓的“目标分析”；有时我们还要做出一些“合理假定”，例如本题中辅助函数的连续性和可导性。当然还有“删繁就简”、“去伪存真”、“取主舍次”等重要方法，因为本题中没有涉及到，所以也就不多讲了。问题2汽车加速度问题汽车从启动行驶到刹车停下，在Th时间内共走了Lkm的路程，试证明必存在某一时刻，此时汽车加速度的绝对值不小于km/h2.24LT证明设汽车在启动后th内走过的路程为f(t)km，并假定汽车在行驶过程中加速度是连续变化的，即函数f(t)有二阶连续导数。对题意进行如下“条件分析”，即归纳出已知的条件(0)0,(),(0)0,()0.ffTLffT然后再作“目标分析”，即表达出所求证的结论24(0,)().LTfT使利用函数f(t)的带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，有22111()()()(0)(0)()()(),0;222!22!22ffTTTTTfff22222()()()()()()()(),.222!22!22ffTTTTTffTfTLT以上两式相减消去得()2Tf12122288()()()().LLffffTT所以和中至少有一个不小于km/h2.1()f2()f24LT问题3两辆汽车之间的最近距离问题某处立交桥上、下是两条互相垂直的公里，一条是东西走向，一条是南北走向。现在有一辆汽车在桥下南方100m处，以20m/s的速度向北行驶；而另一辆汽车在桥上西方150m处，以20m/s的同样速度向东行驶，已知桥高10m，问经过多少时间两辆汽车之间距离为最小？并求它们之间的最小距离。解容易求得，在时刻t秒两辆汽车之间的距离为2222(10020)10(15020)3260010000800,stttt这就是目标函数，其定义域为。求导得0t25000800,3260010000800dstdttt令，可得到唯一驻点t=6.25，由于0dsdt（1）时，06.25t0dsdt（2）时，6.25t0dsdt所以经过6.25s，两辆汽车之间有最小距离2min32600100006.258006.25240()sm注为了运算的方便，我们还可以以2232600100006.258006.25ys为目标函数。这是因为当时，s和s2同时有最大值或最小值。而这里新的目标函数y0s是一个二次函数，从而也可用初等数学的方法求出其最小值。问题4怎样使野生动物乐园的面积最大现在有全长为12000m的铁丝网，想利用这些铁丝网和借用一段直线河岸作为自然边界，围成两个长方形野生动物乐园。（1）假定要圈的野生动物乐园是两个相邻的长方形，它们都可用利用一段直线河岸为自然边界（图3-1（a））.试确定该野生动物乐园长宽尺寸，以使其总面积为最大；（2）由于有一些动物会泅水逃跑，所以两个相邻的长方形野生动物乐园中必须有一个不能以河岸为自然边界（图3-1（b）），这时又应该如何确定该野生动物乐园长宽尺寸，以使其总面积为最大？x120003x12000x~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~（a）~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~（b）图3-1解（1）设宽为xm，则长（即借用河岸为自然边界之长）为（12000-3x）m，可得该野生动物乐园的总面积为(120003),Sxx这就是目标函数，其定义域为，求导得04000x22120006,60.dSdSxdxdx可见目标函数的唯一驻点x=2000就是所求的最大值点，即当长为6000m，宽为2000m时，此时该野生动物乐园有最大总面积2212000000()12().Smkm（2）设宽为xm，则长为于是可得该野生动物乐园的总面积（即目1(120002),2xm标函数）为21(120003)6000,06000,2Sxxxxx2260002,20dSdSxdxdx可见此目标函数的最大值点就是x=3000，此时该野生动物乐园有最大总面积60003x12000229000000()9().Smkm注这里总面积与隔栏的位置显然无关。这是只有一个隔栏的问题，但它具有一定的典型意义。对于没有隔栏或有更多个隔栏的问题，完全可用类似的方法来解决。当野生动物乐园形状并不要求是长方形，而可以是多边形的情况，我们将在多元微分学中再来考虑。问题5枪榴弹打到了日本鬼子的头上我军早年武器专家吴运铎在《把一切献给党》一书中讲述了一个抗日战争期间有趣的故事。他制造了一种叫“枪榴弹”的新式武器，在一次实战使用中，结果没打着冲锋在前面的伪军，而打到了躲在小山后休息的日本鬼子的头上。设我们制造的这种武器在射击时，枪榴弹以初速度为140m/s离开枪口，又假设小鬼子躲在距离我军1750m远处山后，而小山位于我军与鬼子军的正中间，其高度为700m，试求恰能打中鬼子兵的弹道曲线方程。解本问题与上一问题有所不同，这里不是求最大距离，而是在距离确定的条件下，先求投射角，再验证抛物线顶点的高度大于山的高度。设投射角为，由于枪榴弹之初速度为140m/s，所以在如图所示的坐标系中，弹道曲线方程为221140cos,140sin140sin4.9,2xtytgttt消去t，可得221tansec,4000yxx将代入，得，解得1750,0xy7sin28，1230.5,59.5在时，抛物线的顶点纵坐标为1230.5221875875tan30.5sec30.5257.6(),4000ym在时，抛物线的顶点纵坐标为1259.5xyo222875875tan59.5sec59.5742.2(),4000ym显然只有后者才能使抛物线的顶点高度更大，也就是说只有小山的高度不超过742m，我们的枪榴弹就一定能够打到躲在山后离我军1750m远处的鬼子兵。由此可知恰能打中鬼子兵的弹道曲线是221tan59.5sec59.5.4000yxx问题6钢珠测内径问题有一种测量中空工件内径的方法，就是用半径为R的钢珠放在圆柱形内孔上，只要测得了钢珠顶点与工件端面之间的距离为x，就可以求出工件内孔之半径y。试求出利用x的函数来表示y的解析表达式，并证明y是关于x的单调减少函数，这里工件端面是垂直于内孔圆柱面中心轴的平面。解：在图1-2中，可以看出OC=DC-DO=x-R，根据勾股定理有。22222()2yACOAOCRxRRxx这里函数的自然定义域是，但是与实际意义不完全相符，02xR所以应该按照实际意义重新确定其实际定义域为。2RxRy显然是关于x的可导函数，且有20,2,2dyRxRxRdxRxx所以，y是关于x的单调减少函数。问题7国会议席的估计在一次美国总统选举后，把当选总统所得公众选举票数的百分比记作p，记333()(01)(1)pHpppp这个函数有着有趣的性质（称为立方律）。的值可用来逼近当选总统所在党获得众议()Hp院议席的百分比，因此，称为“议会函数”。例如，在1939年，民主党候选人弗兰克()Hp林·罗斯福（F.D.Rosevelt）赢得了公众61％的选票，从而当选总统。在那次选举中，议会函数，即估计民主党将占众议院议席的79％。在实际选举中，民主党赢(0.61)0.79H得333个议席，共和党赢得89个席位，即民主党占78.9％，求的一阶、二阶导数，()HpxOACB图1-2D分析凹凸性。解：，则333()(01)(1)pHpppp2232222222222(331)3(63)3(21)3(1)(331)(331)(331)dHppppppppppdppppppp22236(1)(21)(331)dHpppdppp从而当时，，即H为增函数。即在总统选举中得票越多，在众议院获得01p0dHdp席位越多，实际也是如此。当时，，即在（0，）上是上凹的。102p220dHdp12而当时，，即在（，1）上是下凹的。112p220dHdp12问题8怎样 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 海报的版面既美观又经济现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积128平方分米，上下空白各2分米，两边空白各1分米，如何确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？解：这个问题可用求一元函数最小值的一般方法解决。设印刷面积由从上到下长x分米和从左到右宽y分米构成，则xy＝128，从而。于是，四周空白面积为128yx4128244228,0sxyxxx两边同时对x求导，得25122sx令得唯一驻点x＝16，此时y＝8，又因为0s310240,0sxx所以，当海报印刷部分为从上到下长16分米，从左到右宽8分米时，可使四周空白面积为最小。思考题：若海报印刷改为左右两栏，印刷面积增加到180平方分米，要求四周留下空白宽2分米，还要流1分米宽得竖直中缝，如何设计它的尺寸可使总空白面积最小？能否用其它方法求解？（答案：印刷部分从左到右2×7.5分米，从上到下12分米。还可用求多元函数条件极值的拉格朗日乘数法求解）。问题9大衣柜能搬进新居吗问题：老张临搬家前，张在自己大衣柜旁发愁。担心这大衣柜搬不进新居，站在一旁的小李马上拿了一把尺子出去了。不一会儿，小李对老张说：“从量得电梯前楼道和单元前楼道宽度，绝对没问题”。请问小李得根据是什么？解：设电梯前楼道宽am，单元前楼道宽bm，二条楼道成直角相交，大衣柜长为L，搬运拐弯时与某一楼道交角为。设：CD＝LCO＝L1，OD＝L2L＝CO＋OD＝L1＋L212,cossinbaLLL＝L1＋L2，即L是的函数。cossinba求L的一阶导数332222()sincossincoscossinsincosdLbabad求驻点33()0,sincos0dLbad13323sincos,tan,tan()aababb得13arctan()ab代入中()cossinbaLbabCOL1L2bD求得，它一定是L得最大值。今大衣柜的长度不大于13223332arctan()()abLab，所以小李告诉老张绝对没问题。223332()ab从这数学式子中，a与b得关系是对称的，a大于b或a小于b是无关紧要的。问题10耕牛饮水路线问题耕牛在地点A工作完毕后要回到棚舍B，途中必须到河流PQ边M处饮水，根据如图所示的数据，求出饮水点M的最佳位置，使这头牛陬过路程的总和最短。解：设,则总路程为AM+MB，即AMx目标函数为25yx22222252(6.3)2543.6912.6yxxxxx其定义域为.这里目标函数在区间06.3x[0,6.3]上连续且可奥，其导数为226.32543.6912.6dyxxdxxxx令，可得目标函数在区间[0,6.3]上唯一的驻点x=4.5。0dydx因为目标函数在[0,6.3]上可导，驻点唯一，从实际意义上看目标函数的最小值确实在区间[0,6.3]上，所以唯一的驻点x=4.5就是目标函数的最小值点。从而可得结论：耕牛饮水点M的位置应取在上使处。AB4.5AM注：这也是一个非常典型的模型，本问题除了被称为耕牛饮水问题外，也被称为斯诺克问题。注意到这里有，12sin25xx，226.33sin43.6912.6xxx将具体结论x=4.5代人，有。129sinsin181它完全符合光学上入射角等于反射角的反射原理，也可以利用初等数学的平面几何知识6.352PQMABxABMABABB*（如上图所示）得到证明。第四章不定积分问题1石油的消耗量近年来，世界范围内每年的石油消耗率呈指数增长，增长指数大约为0.07.1970初，消耗率大约为每年161桶。设R（t）表示从1970年起第t年的石油消化率，则0.07()161tRte（亿桶）。试用此式估算从1970年到1990年间石油消耗的总量。解：设T（t）表示从1970年起（t=0）直到第t年的石油消耗总量。我们要求从1970年到1990年间石油消耗的总量，即求T（20）。由于T（t）是石油消耗的总量，所以就是石油消耗率R（t），即。那()Tt()()TtRt么T（t）就是R（t）的一个原函数。0.070.070.07161()()16123000.07tttTtRtdtedteCeC因为T（0）=0，所以C=-2300。所以0.07()2300(1)tTte从1970年到1990年间石油的消耗总量为：（亿桶）0.0720(20)2300(1)7027Te问题2问题3问题4第五章定积分问题1这场雪是从何时开始下的某小镇凌晨5：00发现正在下大雪，于是出动铲雪机铲雪，一个小时后（到6：00）铲清了1000m长的路面，又经过一小时（到7：00）又铲清了500m长的路面，从而铲清了到达高速公路入口处的全部路面。设雪是一直不停地均匀地下着的，铲过雪的地方撒上了盐，不会再有积雪，试问这场雪是从几点开始下的？分析：本问题中积雪的厚度是个变量，所以铲雪车不可能是匀速前进的（当然假定路面的宽度是一样的）。注意到积雪厚度跟下雪时间成正比，就可解决本问题。解：以开始下雪时刻为时间坐标的原点，由于下雪速度是均匀的，所以在时刻th积雪厚度为h=ktm。又设路面宽度为bm，铲雪车工作效率为。3/mh设在时间段[t，t+dt]所铲除雪的体积为dV，则其推进的距离为,dVdtdxbhbkt则可得到如下两个关系式00001211000,500.ttttdtdtkbtkbt由此可知0000121000ln2ln,1ttkbtt即32000(1)(2),ttt解得可知这场雪大约是从4点22分55秒开始下的。0510.618,2th问题2天然气产量的预测工程师们已经开始从墨西哥湾的一个新井开采天然气。根据初步的试验和以往的经验，他们预计天然气开采后的第t个月的月产量由下面的函数给出：（百万立方米）0.02()0.0849tPtte试估计前24个月的总产量。解：前24个月的总产量为240.0210.0849kkPke直接计算这个和式较难，应用定积分来估计它。令0.02()0.0849,024tfttet则240.021(),()0.0849(10.02)0tkPfkftet且从而f（t）为递增函数。由定积分的性质有：24242410111()()()kkkkIftdtfkdtfkP24242512111()()()kkkkIftdtfkdtfkP而24240.020.021000.08490.0849ttItedttedt24240.020.020024240.020.0200240.480.0200.480.480.48110.0849[]0.020.020.084950[]10.084950[24]0.020.084950[2450(1)]0.084950[7450]17.8716()tttttteedtteedteeeee百万立方米类似地，可得250.02210.084919.1039tItedt（百万立方米）从而有1217.871619.103922IIP=18.4878（百万立方米）问题3估计某医院在某时间内的就医人数一家新的乡村精神病诊所刚开张。对同类门诊部的统计表明，总有一部分病人第一次来过之后还要来此治疗。如果现在有A个病人第一次来这就诊，则t个月后，这些病人还有A*f（t）个病人还在此治疗，这里。现设这个诊所最开始时接受了300人的治疗，/20()tfte并且 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 从现在开始每月接受10名新病人。试估计从现在开始15个月后，在此诊所接受治疗的病人有多少？解：既然f（15）是15个月后还要来此就诊的病人人数的比例系数，那么在开张时接受的300人中有300f（15）个人从现在开始的15个月后还将要在此就诊。为了计算从现在开始的15个月内新接受的病人在15个月后还在此就诊的人数，将15个月的区间[0，15]，分为n个等距为△t的小区间，令表示第j个小区间的左端点（）。jt15jn既然每月要接受10名新病人，于是在第j个小区间内接收的新病人人数为10△t，于是10△tf（15-）个病人将从开始，15-个月后还要来此就诊。所以从现在开始15个月后新jtjtjt接收的病人还要再次治疗的人数总和为：110(15)njjftt所以，令P为开张15个月后在此就诊病人总数，则P由上述两部分组成，即1300(15)10(15)njjPfftt当可得n150300(15)10(15)Pfftdt因为，所以/20()tfte153/43/4/20030010247.24tPeeedt所以，15个月后，这个诊所将要接待247名左右病人。问题4高速公路出口处车辆平均行驶速度某公里管理处在城市高速公路出口处，记录了几个星期内平均车辆行驶速度。数据统计表明，一个普通工作日中的下午1：00至6：00之间，此口在t时刻的平均车辆行驶速度为32()2216040(/)sttttkmh左右，试估计下午1：00至6：00内的平均车辆行驶速度？解：一般地，连续函数f（x）在区间[a,b]上的平均值，等于函数f（x）在区间[a,b]上的定积分除以区间[a,b]的长度b-a。此题目的是求函数s（x）在区间[1,6]上的平均值。平均行驶速度=66321111()(2216040)6161stdttttdt6432111(73040)78.5(/)52ttttkmh问题5可否判定汽车起动和刹车时的加速度和减速度一部汽车从静止开始，沿一条直路在1分钟内驶过1196米就停下来。若该车的调速器可以防止速度达到每秒20米，求证在形式的某个时刻，该车的加速度或减速度至少有100m/s2。证：用反证法，假设在行驶的任一时刻该车的加速度或减速度都不足100m/s2，即对于所有t∈[0,60]，有（1）()100vt且（2）()100vt又由已知有：(0)0(60)vv于是对于所有t∈[0,60]，由（1）式可得：（3）00()()100100ttvtvtdtdtt由（2）式可得：（4）6060()()100100(60)ttvtvtdtdtt又由已知可得，对于所有t∈[0,60]，速度v(t)满足：（5）20()20(/)vtms而由于v(t)满足不等式（3）、（4）、（5），所以对于所有t∈[0,60]，有()min{100,100(60),20}vttt对于上式两边同时求积分，得（6）606000()min{100,100(60),20}vtdtttdt而右边积分式子可算得6000.2600.26000.2600.2min{100,100(60),20}10020100(60)1196()ttdttdtdttdtm又由已知可知，以速度v(t)在1分钟走过1196米，即600()1196vtdtm这是与（6）式矛盾，所以原命题成立。问题6第六章定积分的应用问题1潜艇的观察窗问题在探测海底的潜艇上装有若干个观察窗。为使窗户的设计更科学、更合理，必须先计算加在观察窗上的压力。如果我们假定窗户是垂直的，其形状如图所示是对称的，试求出压力与窗户面积、窗户形心间的关系。解：从物理学知道，在水深z处的压强为pz这里是海水的比重。建立如图所示的坐标系，对应于Oz0z1zdz[z，z+dz]的窄条上各点处的压强近似等于，这窄条的z面积近似为，故这窄条上所受的海水压力2()dAlzdz的近似值，即压力微元2()dFpdAzlzdz因此，加在整个窗面上的压力为11002()zzzzFdFzlzdz因为102()zzAlzdz形心102()zzzzlzdzA因此FzA但正好是深度为处的水压强，所以加在窗户上的全部压力等于窗户露出的全部面积乘zz上它形心处的压强。作为一个具体的实例，设窗户是圆的（这是最可能的形状），其半径为0.9144米，取，，则31121.9767/kgm1828.2zm21121.97670.91441828.237407.031()Fkg问题2铁路、公路与盘山小路长度之比较在某山区平面图（如图示）上，自点（0，0）到点（，0）之间，有铁路、公路和2盘山小路三种路线，它们的方程分别为：(1)sin;1(2)sin2;21(3)sin3.3yxyxyx试证明这三种路线长度都一样。证明：这里我们证明一个更普遍的结论，对任意正整数n来说，曲线在区1sinynxn间[0,]上的长度总与n值之大小无关，这是因为222222222000011()1cos1cos1cosndysdxnxdxtdttdtdxn问题3飞出火星去火星的直径是6860千米，其表面的重力加速度是3.92米/秒2，若在火星上发射一枚火xyO箭，试问要用怎样的初速度才能摆脱火星的引力？解：设火星的半径为R，质量为M，火箭的质量为m。根据万有引力定律，当火箭离开火星表面距离为x时，它所受火星的引力为2()kMmfRx当x=0时，f=mg，因而2kMRg所以22()RgmfRx当它再上升距离dx时，它的位能便增加22()RgmdWfdxdxRx这就是功“元素”。所以火箭自火星表面x=0达到高度h时，所获得的位能（即要做的功）总共为222011()()hRgmWdxRgmRxRRh当时，。所以初速必须使动能。火箭才能脱离hWRgm0v2012mvRgm火星引力。由此得，而g=392cm/s2，R=3430×105cm，故02vgR5023923430105.186(/)vkms注：众所周知，脱离地球引力所需的速度为11.2千米/秒，由此看来，如果人类有一天能在火星上居住，那么从火星上乘宇宙飞船去太空遨游应当要比从地球上飞去容易得多。问题4地球环带的面积地球上平行于赤道的线称为纬线，两条纬线之间的区域叫环带。假定地球是球形的，试证任何一个环带的面积都是，这里h是构成环带的两条纬线间的距离，d是地球直Shd径（约13000公里）。证：首先要弄清，两条纬线间的距离是指它们所在的两平行平面间的距离，而不是两纬线所夹经线的长度。建立如图所示的坐标系，则环带可看作由曲线段22()xRycych绕y轴旋转而成。由旋转体的侧面积公式22()1[()]dcSxyxydy侧可得环带面积为xyxOxc+hxcxhx22222222221()222chcchcchcySRydyRyRRydyRyRyRhhd环注：由此可见，环带面积与环带在地球上的位置无关。也就是说，只要构成环带的两条纬线间的距离h相同，那么，靠近赤道的环带与位于北极的环带的面积都是一样的（尽管纬线长度、夹在两纬线间的经线长度都不一样）（如图示）。问题5底部有洞的容器还能盛多少水有一个底半径为R、高为H的无盖圆柱形容器。现在发现底部有一个小洞，这时只能将此容器倾斜支放，才能盛放液体。就小洞在底面圆的边缘上的情况（如图示），求倾斜支放后容器的容积。解：取底面中心为坐标原点，过小洞和支撑点的直线为x轴，在配置相应的y轴建立坐标系如图示。此时y轴必与水面平行。小洞在底面圆的边缘时，若液面与底面夹角为，则tan2HR在[-R，R]上任取一点x，此点作垂直于x轴的平面，得到与液体的截面是一个长方形，其底长和高分别是2222()tan()2HlyRxhxRxRR和其面积为.22()()HAxlhxRRxR所以22sin222222202()()1(1sin)cos2cos2RRRRxRtHVAxdxxRRxdxRHRttdtHRtdtRH注：这个结论，很容易从直观上进行解释，因为此时液面正好将原圆柱形容器的容积分成相等的两部分。思考：当底部的洞不在边缘的情况下，对两种不同情况：（1）小洞在底面中心；（2）小洞在底面上离中心处。求倾斜支放后容器的容积。（答案：）2R22232;().349HRHR问题6子弹弹道的最大长度有一颗子弹，以初速度斜向上方射出枪口，发射角为。试证明：若要0v(0)2使子弹下落到枪口水平面时子弹所走过的路程最长，则发射角必须满足。ln(sectan)csc这里假定子弹在运动过程中，除了重力的作用外，没有其他任何作用力。分析：在解应用题时，一定要弄清题意，本题中讲的“路程”与一般情况下讲的“位移”差别好像很小，但是由于这里是曲线运动，所以意思完全不一样，这里的目标函数是弹道曲线的弧长，而不是水平距离。证明：以枪口为坐标原点，正前方为x轴，正上方为y轴，建立坐标系，得到子弹的运行轨迹为2001cos,sin2xvtyvtgt令y=0可得子弹重新落到枪口水平面所需要的时间为。子弹弹道曲线02sinvTg的长度为000000022220000sin(cos)tan22322310[sin(cos)tan]22()[()][()][cos][sin]12cosseccossec1[sectanln(sectan)]cosTTvgtvtvvgLxtytdtvvgtdtvdvdggvg它能取得最大值的必要条件是，即，()0L022cos[1(sin)ln(sectan)]0vg也就是。ln(sectan)csc问题7第七章向量与空间解析几何问题1垂直渡河问题有一条船要垂直地渡过以两条平行线为河岸的河流，已知船在静水中航速为Ukm/h，而水的流速为Vkm/h，试问船头始终应保持什么方向？其渡河的实际速率W是多大？又问这只渡河方法在什么条件下才是可能的？解：建立坐标系并设定方位如图所示，设船头方向为北偏西，则{sin,cos},{1,0}uUuV船对水水对岸按要求，应该有{0,}.uuuW船对岸船对水水对岸即sin0UV所以船头方向为北偏西，同时渡河的实际速率为arcsinVU22cosWUUV显然这种渡河方法只能在U>V时才是可能的。当时，在[0，）内取然后一UV2个的值，船只能在下游某处（）登陆。sectan,hVhhU问题2风向问题有人以速度U向正东方前进时感到风似从正北方吹来，以速度2U向正东方前进时，又感到风似从东北方吹来，求风向和风速。解：设根据，可以得到（其示意图分别如下图(a){,},vab风对地vvv风对人风对地人对地和(b)所示）：v风对人v风对地（a）v风对人v风对地（b）①{a,b}={0,-P}+{U，0}；②{a,b}={-Q,-Q}+{2U，0}。由①、②可知a=U，a=2U-Q，b=-Q。由上式即可解得东北xyxUVWOv人对地v人对地{a,b}={U,-U}所以风向为