第2章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式 基本不等式及其推导前面我们利用面积法和完全平方公式得出了一类重要不等式：，有： 特别地，如果，我们用分别代替上式中的，可得： 当且仅当时，等号成立. 当且仅当时，等号成立 通常称为基本不等式，又叫均值不等式.其中，叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数 基本不等式及其推导【问题】上述均值不等式是如何推导的？【证法一】当时，，由重要不等式可得： ， ，所以 【证法二】当然我们也可以利用倒推法：要证，去分母并调换方向，相当于证；移项，相当于证；配方，相当于证.而此式显然成立.当且仅当时，等号成立.把这个过程倒过来，就是证明的过程. 基本不等式及其推导（1）基本不等式成立的条件是.①若，如，此时是不成立的；②若中有一个小于0，如如，则无意义③若等于0，虽然该不等式也成立，但一般不研究这种情况（2）基本不等式的常见变形式：①② 基本不等式链 高中数学需要掌握的几个公式 完全立方公式完全立方公式立方和公式立方差公式基本不等式的推广①三元不等式：当为正实数时，.当且仅当时成立 ②n元基本不等式：当且仅当时成立 基本不等式的几何意义【答】可证，因此CD=，由于CD小于或等于圆的半径，所以用不等式表示为： 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=，BC=.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ ABDCE 显然，当且仅当点C与圆心重合，即当时，等号成立. 利用基本不等式求最值题【1】【解】因为，所以 已知，求的最小值. 本题可拓展为当时，，当且仅当，即时，等号成立. 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值是2 利用基本不等式求最值题【2】已知都是正数，求证：（1）如果等于定值P，那么当时，有最小值 【证明】所以 （1）等于定值P时，，所以 当且仅当时，上式等号成立，此时有最小值 （2）如果等于定值S，那么当时，有最大值 （2）时，，两边平方，所以 ，当且仅当时，上式等号成立，此时有最大值 利用基本不等式求最值【1】利用基本不等式解决最值问题要牢记三个关键词：一正二定三相等.一正：各项必须为正二定：各项之和或各项之积为定值三相等：必须验证取等号时的条件十分具备【2】利用基本不等式求最值的关键：根据定值求最值，配凑变换不可少.【3】基本不等式求最值模型：若，，则有 ，当且仅当时等号成立 ①当时，，，当且仅当时，等号成立. 什么是最值定理？②当时，，当且仅当时，等号成立. 练习①：已知，求证：. 【证明】 ，即. 练习②：已知都是正数，且，求证：（1）（2） 【证明】（1）∵，，∴， ∴， 由于，等号取不到，所以 （2）∵，，，∴， ∴，∴， ∴ 本题可拓展到求，等同类式子的最小值. 练习③：取何值时，取得最小值？最小值是多少？ 【解】由题意∵，所以， ∴, 当且仅当，即时，取得最小值，最小值为 基本不等式的实际应用【例题】(1)用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用的篱笆最少，最短长度是多少？【解】由题意设篱笆的长和宽分别为米，且 所以米 当且仅当米，即围成正方形时，有最短长度40米 基本不等式的实际应用【例题】(2)用一段长为36米的铁丝网围成一个矩形菜园，当这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？【解】由题意设篱笆的长和宽分别为米，且 所以为平方米，根据基本不等式， ，即 当且仅当，即围成正方形时，有最大面积81平方米. 基本不等式的实际应用【例题】（3）某工厂要建造一个长方体形状的无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池才能使总造价最低？最低造价是多少？【解】设水池底面的长和宽分别为米，且，总造价元， 根据题意，有 因为容积为，所以，， 当且仅当米时，取得最低总造价元 ， 练习④：已知直角三角形的面积为50，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？.【解】由题意设两条直角边的长度分别为，且 则面积为，即， 所以， 当且仅当时，两条直角边的和有最小值20 《2.2基本不等式》导学案第二章一元二次函数、方程和不等式第1课时基本不等式自主预习探新知合作探究提素养
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