南京航空航天大学《高等数学》118正弦级数和余弦级数奇函数和偶函数的傅里叶级数函数展开成正弦级数或余弦级数一、奇函数和偶函数的傅里叶级数一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.定理(1)当周期为2π的奇函数f()x展开成傅里叶级数时,的傅里叶系数为它an=0(0n=,1, 2,)2πbn=f(x)sinnxdx(n1=,2 ,)π∫0(2)当周期为2π数的偶函f()x叶级展开成傅里数时,的傅里叶系数为它2πa(n=f)xcosnxdx(=0,n 1,2,)π∫0bn=0(n1=,2...
奇函数和偶函数的傅里叶级数函数展开成正弦级数或余弦级数一、奇函数和偶函数的傅里叶级数一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.定理(1)当周期为2π的奇函数f()x展开成傅里叶级数时,的傅里叶系数为它an=0(0n=,1, 2,)2πbn=f(x)sinnxdx(n1=,2 ,)π∫0(2)当周期为2π数的偶函f()x叶级展开成傅里数时,的傅里叶系数为它2πa(n=f)xcosnxdx(=0,n 1,2,)π∫0bn=0(n1=,2 ,)证明(1)设fx(是奇函数),1πa=f∫(x)cosnxdx(=00n,=1,2 ,3,)nπ−π奇函数1π2πb=f∫(x)sinnxdxf=(∫x)sinnxdxnπ−ππ0偶函数(1n=,2, 3,)同理可证(2)定理证毕.∞果定义如f()x为奇函数,傅氏级数b∑nsinnxn=1称为正弦级数.∞a0如果f()x为偶函数,傅氏级数+a∑ncosnx2n=1称为余弦级数.例1设f()x期为是周2π的周期函数,它在−[,)π上的表达式为πf()x=,x将f()x展开成傅氏级数.解所给函数满足狄利克雷充分条件.(2在点x=1)(k+π=k0,1,2,)±± 处不连续,(fπ0−)+f(−π+0π)+()−π收敛于==0,22在连续点(xx(≠2+k1π处收敛于))f(x),x∵(2≠k+1)π时f(是以x)π为周期的奇函数2,y和函数图象πx−3π−2π−π0π2π3π−π0∴a,n=(n0=,1 ,2,)2π2πb=f(∫x)sinnxdx=x∫sinnxdxnπ0π0π2⎡xcosnxnxsin⎤=−+⎢2⎥π⎣nn⎦022=−cosn=π(1−n)+1(,n1=,2 ,)nn11f(x)=2(sinx−sin2x+sin3 x−)23∞(−1n+)1=2∑sinnx.n=1n(−∞
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