邢祖礼高级微观经济学课后习题答案及要点

高级微观经济学知识点及课后习题Section1:经济模型与基本数学知识一、经济模型的性质1、抽象性。从复杂的经济现象中抽象成简单结构，如马歇尔的剪刀模型。2、逻辑性。分为两类，其一是演绎逻辑，即从前提条件到推论的逻辑链条，纵向展开。一般而言，理论的逻辑链条越长，这个理论所涉及的问题越体现出深刻性，问题也越具有分析价值；第二，归纳逻辑，也称历史方法，认为科学的经济学应该主要来源于对历史经验的归纳总结。在模型的构造过程中，演绎和归纳具有各自不同的地位和作用，在选择模型构造的过程中，应该依赖对经验事实和归纳和总结提出关键性假设，并利用演绎法将材料统一在一个有机的理论框架中，两者相辅相成，最终形成具有普遍解释力的经济模型。3、可检验性。经济模型应该具有可检验性。对经济模型的检验一般有两种方法，其一是直接法，即对假设前提是否成立的检验；第二是间接法，对模型的推论和含义进行减压，也即对模型的预测能力进行检验。二、基本数学知识1、最优化（1）一元函数=fqdfqdfq20and0极大值，凹函数dqdq2dfqdfq20and0极小值，凸函数2dqdq（2）二元函数ufxx12,fx12,x0x11）最优化一阶条件fx,x120x2f1102）f120凹性，凹函数2f11f22f120223）f11f22f12f1f2f22f10拟凹性，拟凹函数dyfxyx,/2、隐函数：fxy,0dxfxyy,/3、包络定理：yfxa,a为参数，对于不同的a值，会有不同的x的最优选择，也即：yfxafxaa,,dyfxaafxaa,,xa对上式两边求微分可得：dafxaafxaa,因为xa是能使得f最大化的x值，因此有：0fxdyfxaa,从而：daaxxa三、课后习题1.1经济模型的性质是什么？答：经济模型具有三大性质，分别为抽象性、逻辑性和可检验性。（1）抽象性。从复杂的经济现象中抽象成简单结构，如马歇尔的剪刀模型。（2）逻辑性。分为两类，其一是演绎逻辑，即从前提条件到推论的逻辑链条，纵向展开。一般而言，理论的逻辑链条越长，这个理论所涉及的问题越体现出深刻性，问题也越具有分析价值；第二，归纳逻辑，也称历史方法，认为科学的经济学应该主要来源于对历史经验的归纳总结。在模型的构造过程中，演绎和归纳具有各自不同的地位和作用，在选择模型构造的过程中，应该依赖对经验事实和归纳和总结提出关键性假设，并利用演绎法将材料统一在一个有机的理论框架中，两者相辅相成，最终形成具有普遍解释力的经济模型。（3）可检验性。经济模型应该具有可检验性。对经济模型的检验一般有两种方法，其一是直接法，即对假设前提是否成立的检验；第二是间接法，对模型的推论和含义进行减压，也即对模型的预测能力进行检验。1.2在写作经济论文的过程中你会如何处理经验事实与理论模型的关系？答：要正确认识经验事实与理论模型之间的关系。第一，我们必须认识到，在建立经济模型的过程中，为了抓住问题的主要方面或者核心特征，必然要忽视大量事实和剔除次要因素，这是任何抽象过程都会丧失的，不能因为抽象而反对理论；第二，一些理论模型的根本作用并不在于对现实世界的完美解释，而在于其对于其他理论模型的发展具有基础性或者起点性的作用；第三，我们也必须要根据经验事实，来对理论模型进行修正和发展，从而使理论模型对经验事实的解释力增强。好的理论能够解释别的理论所能解释的事实，并能够解释别的理论所不能解释的更多事实。1.3有人认为，案例分析缺乏一般性，写作经济论文时应该避免案例分析。你如何评论此观点？答：这一观点不正确。首先，特定的经济现象虽然具有一定的个体性、独特性和差异性，但无法否认的是，这些单独的现实的经济现象也向我们呈现了某种确定形态的现象的类型与关系、重复出现的规律性、现象并存和相续的实际规律性，尽管这些都不具有决定的准确性，但确定这些类型、关系以及规律性，是经济学的任务之所在。而在案例分析的过程中，通过合理的逻辑、科学的方法将个案中蕴含的普遍的经济规律抽象出来，也能得到一般性的结论。其次，好的案例分析可以有助于对现有理论的解释力进行检验，从而推动已有的理论的修正的发展。1.4已知函数yaxx3810，其中a为参数，x为自变量，请求出：(1)一阶条件、二阶条件，并判断此函数有极大值还是极小值解：一阶条件为：yax382二阶条件为：yax68令yax3802（隐含条件a0），可得到：x3a8○1如果x，则yax60,该函数有极小值3a888168ya81010min33333aaaa8○2如果x，则yax60，该函数有极大值：3a888168ya81010max33333aaaa（2）利用隐函数定理，将一阶条件表达为a的函数形式。解：将原函数表达为隐函数形式为：Fx,yyax38x100则一阶条件可表示为：dyFx,/yx38ax23ax280dyFx,y/y18从而得到：xa3a（3）利用包络定理，求当a变化一个单位时y会变化多少单位？dy解：利用包络定理可得：x3da8因为：xa3a3dy82代入得到：daa3382所以当a变化1单位时，y变化单位。3a1.5我们常见的函数是幂函数yx，其中01：（1）证明函数是凹函数（自然也是拟凹函数）证明：yx且01yx10yx102根据该函数的二阶导小于0可知，该函数为凹函数。（2）证明多元幂函数yfxxxx1212,也是凹函数（也是拟凹函数），这里的交叉偏导数为0，请解释为什么？证明：假设x0，根据多元幂函数可以得到：11fxfx1122,ff122102fx111102fx2221022222所以：fffxx1122121210成立22222212222且f11ff212f12110ff222fxxxx11221成立。故而，该二元幂函数是凹函数（也是拟凹函数）。交叉偏导数为0的含义是x1和x2是独立影响y的，二者之间不存在替代效应。（3）用这样一个单调变换给（2）中的函数附加上“规模效应”，gxxyxx1212,，这里为正数，请回答，函数g是否具有凹形？是否具有拟凹性？解：因为gxxy12,11112211所以gyx11，g22yx，gyxx12121222212gyxyx11111122yxxy1111222212g2211yx2yx222yx2211xy所以：2ggg11221222yxxx242222xyxxyy111111221212212424222221yx12x212xx1111yxxy2224221221yxx1222221y1x12x22yx242222xyy111212而22g11gg212g21g2221gg2222222222111111yxxyyxy1121212x1121xyxyx22222222yxxyyx22111333422333422yx12xxxy211121yx12xxx12333422yx21xxxy1211333422yx2xx11xx22xx112x1111yxyx212133y34x2x21yxx21213334222yx21x10y（1）当1时gg11220,0222gggg11221211gg212g1gg222g10,20此时，gx12,x是凹函数，同时也是拟凹函数（2）当1时，2ggggg11221122120,0,0不再成立22但g11gg212g201gg222g1仍然成立因此不是凹函数，但仍然是拟凹函数。综上，凹函数的单调变化不会改变函数的拟凹性，但变化后的函数可能不再是凹函数。Section2:偏好、效用与消费者选择一、偏好的假设1、完备性：对于任何两个商品组合xy,，消费者能够说出所有的偏好关系，消费者在做选择时，完全知道备选的情况。2、自反性：对于两个完全相同的商品组合，消费者不会认为他们之间有差异（布里坦的蠢驴）。3、传递性：消费这的选择具有逻辑一致性。如果xyyz,，则xz。4、单调性：两个商品组合x和y，如果中的某一种商品比中多，而其他商品又不比中的少，则比好。5、凸性：如果xzyz,，则对于任意的0,1，有xz1。也即，如果两个商品篮子都不必第三个差，则这两个商品篮子的任意线性组合也不比第三个差。6、连续性：如果个人认为xy，那么在充分接近x和充分接近y的情况之间，个人必定选择充分接近x的情况。二、效用的性质1、效用是主观的。同样的商品组合对不同的人可能产生不同的效用。2、基数效用和序数效用。3、赋值问题。4、效用函数的存在性定理：在满足一系列偏好性质之后，必定存在一个连续的函数u，使得xyuxuy。三、几种典型的效用函数11、柯布道格拉斯型：uxxxx1212,。mu边际替代率：MRS1mu2性质：边际替代率递减（消费者更喜欢平衡的商品组合，而非不平衡的商品组合）特征1：马歇尔需求曲线时零次齐次，也即价格和收入同时加倍时需求不变。特征2：其马歇尔需求曲线中，价格与需求量成反比。特征3：均衡时消费者对两种商品的支出费用所占比例分别等于其效用权重，1。特征4：两种商品的需求量只与自身的价格有关，没有价格交叉效应。特征5：增加的收入将按照等于效用权重的比例分配给两种商品。2、拟线性效用函数：uxxxVx1212,特征1：不同商品产生的效用不会出现相互影响，总的效用是两种商品线性效用之和。特征2：具有这种偏好的消费者，收入的多少不影响消费x2的数量，它只受价格变化的影响。3、里昂惕夫效用函数：ux1,x2minx1,x2。特征：完全互补。114、固定弹性的效用函数（CES效用函数）：uxxxx,1212特征：位似效用函数，边际替代率不受单调变换的影响，只与xx21/有关，也即xMRSMRS2x1dxxxxdxx///ln/mu替代弹性：212121，其中MRS1dMRSMRSdMRS/lnmu2四、需求曲线与间接效用函数1、消费者实现效用最大化时的选择满足：其边际替代率MRS等于预算约束线的斜率（也即价格之比）。mupMRS11mup22补充：拉格朗日法求解最大化效用问题中的拉格朗日乘子的含义：边际效用与边际成本之间的比例，也即一元钱所能购买到的效用。2、间接效用函数：将马歇尔需求函数代入效用函数可以得到间接效用函数。**Vppmu12112212,,,,,,,xppmxppmVp12,,/pmpi3、罗伊恒等式：xip12,,pmVp12,,/pmm五、支出最小化1、希克斯需求函数：给定市场价格和效用水平，可以根据求解支出最小化问题得到hip12,,pu性质：pphp,uhp,u0，也即价格和需求量的变化始终相反。2、支出函数：将希克斯需求函数代入支出方程求得。Eppup1211122212,,,,,,hppuphppu性质1：是简介效用函数的反函数性质2：是价格向量的一次齐次函数‘性质3：关于价格单调不减性质4：是价格的凹函数。六、课后习题2.1消费者小张消费商品xy,所得的效用函数为uxyxy,+22（1）如果px3元，py4元，而他的总收入为50元，求他能够获得的最大效用。注意，求u2的最大值比求u的最大值方便得多，但这种方法为什么不影响计算结果呢？解：采用求解的最大值来求的最大值，由题知ux222yxy,+。构建拉格朗日函数：maxux,222yxyxy,s.tpxp34=yxyIxy=50构建拉格朗日函数：Lxyxy=+503422一阶条件为：L230xxx6L240y解得：y8y1L50340xy522所以，最大化的效用为：umax6810本题中之所以可以采用求解的最大值来求的最大值，且该方法不会影响结果，其原因在于，在x与y均大于0的情况下，u2是u的单调变化，唯一的u对应了唯一的u2。（2）画出小张的无差异曲线，并作出无差异曲线与预算约束线的切点，曲线时如何描述小张的行为的？你找到真正的最大值了吗？解：小张的无差异曲线如下图所示，由于拉格朗日方法求救最大化效用问题其内含的条件是边际效用递减，也即效用函数的二阶导数要小于0，而本题中的效用函数的二阶导数大于0，故而，最大效用并不在预算约束线与无差异曲线的切点处取得，而是在端点处25取得。也即实际的最大效用点在yx,0处取得，此时最大效用为u12.5。2maxy25u12u2Ix5032.2顾客A喜欢咖啡(g)和牛奶（m）按2:1的固定比例混合饮用，因此其效用函数可表g示为：ugmm,min,。2（1）画出顾客A的无差异曲线。解：由题知顾客A的效用函数为里昂惕夫效用函数，其无差异曲线如下：mg（2）求出顾客A对g和m的需求函数和间接效用函数。解：顾客A要在预算约束下实现效用最大化，假设其收入为M，咖啡的价格为pg，牛奶g的价格为p。在不浪费资源的情况下，顾客A的收入组合必定为m，从而有：m2Mgmm2ppgm22MpgpmMggm2ppgmMMM间接效用函数为：uVpgm,p,min,M222pgppmgppmgpm（3）试计算顾客A的支出函数。M解：已经由（2）解出顾客A的间接效用函数为u，所有其支出函数为：2ppgmEppMppugmgm,,22.3假设一个快餐爱好者的效用取决于三种商品：软饮（x）、炸鸡（y）和面条（z）。0.5根据柯布-道格拉斯效用函数，有：uxyzxyz,,10.50.5。同时假定这些商品的价格为pppxyz0.25,1,2，且该消费者的收入m2。（1）当z0时，试求解效用最大化得到的最优选择。同时 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 z0（哪怕非常小）时的任何选择都会使得效用减少。解：当时，效用最大化时的最优选择满足下列条件：mupxxx4mupyy代入参数求解得到：y1pxxypym在此时：muxyzmu4,1,04,1,0xyzmuyxyz4,1,0xz10.5pppxyz也即此时，花费相同的预算购买z所获得的效用只有以相同的预算购买x或y所获得的效用为0.5，因此任何z0的任何选择都会使得效用减少。（2）你如何解释z0时达到最优这一事实。解：由（1）中可以看出，在当前的预算约束中，消费者的效用将随其消费z的数量的增加而减少，因此该顾客在z0时取得效用最大化，也即达到最优。（3）为了购买z，这个人的收入要多高？解：顾客基于效用最大化的准则进行消费，因此有：mumuxymuzpppxyz代入参数求得：mz46mpxpypzxyz因此，为了购买z，消费者的收入应该m4。2.4消费者需要一定量的食品（x）来维持生存，假设这个量为x0。一旦购买，消费者将从食品与其他商品（y）得到效用为：ux,yxx0y，其中1（1）说明：如果Ipxx0，则为了获得最大化效用，消费者将会在食品上花费Ipxpxxx00，在商品y上花费Ipxx0，请解释这个结论。解：消费者效用最大化时有：mupxxpxIpxpxxxx00mupyypyIpxyx0pxpyIxy该结论表明，消费者为了获得最大化效用，在扣除了了维持生存所需的食物支出之后，将按照/的比例在食物x和其他商品y上继续分配剩余预算部分。（2）在这个问题中，如果收入增加，pxI/和pyI/之间的比率（也即pxxypy/）将怎样变化。解：由（2）可知：Ipxpxxx00pxx0pxyxpy/IpxIpxx00xdpxpxyy/由上式可知：0，也即如果收入增加，pxpy/变小。dIxy2.5间接效用函数vpm,满足vpmvpm,,ln，则称它对财富m而言是齐次的，证明这个性质满足：xpvppii,1,1/证明：根据罗伊恒等式：Vppmp12,,/ixppmi12,,Vppmm12,,/因为：212Vp12,,pmVp,p,mlnmm12Vp12,,/pmmmm2Vp12,,pm12mmm2令m1，则有：Vmp1,,12p2Vmp1,,11p2Vmp1,,11p2所以：xiip,1Vp,1/p。Section3:斯卢茨基方程式一、价格变化的两种效应1、替代效用：当商品价格下降时，该商品的相对价格下降，消费者将购买更多的该产品，促使该产品的购买量增加。2、收入效应：当商品价格下降时，消费者的购买能力增强，从而能够购买更多的产品。x2x1CBA上图中x1的价格上升，替代效应为BA，收入效应CB。3、正常商品：当收入增加引起对商品的需求增加或者不变时商品，即xppm,,i120。mxppm,,4、劣等商品：当收入增加引起需求量减少的商品，也即i120。m5、吉芬商品：需求量与价格成成正向关系的商品，商品价格越高，对该类商品的需求量越大。6、马歇尔需求曲线与希克斯需求曲线的比较：（1）马歇尔需求曲线描述了名义收入不变时需求与价格之间的关系，希克斯需求曲线描述了效用水平不变的情况下需求和价格之间的关系；（2）给定名义收入和价格时，效用最大化模型求解出的简介效用恰好是支出最小化模型中不变的效用水平；给定效用水平和价格，支出最小化模型中求解得出的支出等于效用最大化模型中的名义收入；（3）马歇尔曲线描述的价格变化的总效应，而希克斯曲线则描述的是价格变化的替代效应。对于正常品而言，因为其收入效应为正，因此马歇尔曲线比希克斯曲线更平缓；而对于劣等品而言，由于收入效应为负，因此希克斯曲线比马歇尔曲线更平缓。二、斯卢茨基方程总效应=替代效应+收入效应xppmhppuxppm121212,,,,,,xippmii作用：区分正常商品、劣等品和吉芬商品正常品：总效应（-）=替代效应（-）+收入效应（-）劣等品：总效应（？）=替代效应（-）+收入效应（+）吉芬商品：总效应（+）=替代效应（+）+收入效应（+）三、斯卢茨基分解和希克斯分解1、斯卢茨基分解：价格变化的收入效应是指，当价格变化后，消费原来的商品组合后剩余的收入产生的效应，以x0为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 加以区分。2、希克斯分解：价格变化的收入效应是指，当价格变化后，保持原来的效用水平不变消耗的货币支出后所剩余的收入产生的效应。斯卢茨基形成的收入效应比希克斯分解形成的收入效应更小。四、需求弹性之间的关系1、需求函数的零次齐次性：0x,,,p12xpxm2、恩格尔加和：ssxxmyy,,m1pxpyy其中sx，sxmym3、古诺加和：当某种商品价格变化对所有商品的需求量变化之间存在的某种关系。sssxxpyy,,xxpx含义：价格变化对自身商品的影响要大于对其他商品的影响。五、消费者剩余1、补偿变化：在新的价格水平下达到原来的效用水平的支出变化。0CVEpxy,,pum2、等价变化：在原价格水平下消费新的商品组合的支出变化。1EVmEpxy,,pu3、消费者剩余：马歇尔需求曲线xpxy,,pm对△px积分，可以度量价格变化引起的消费者福利的变化。六、现实性偏好弱公理七、课后习题3.1如果任意一条从原点出发的直线通过所有无差异曲线斜率相等的点，即MRS只取决于yx/，那么这一无差异曲线图是同质的。（1）证明，在这种效用函数下，xm是常数，m是收入。ypx证明：由题设MRSfxy,xpyypp则fyxf11xxxppyy因为pxxypymp代入得：pxxf1xpmxypy等式两边同时对m求偏导可得：pxx1pfp1x1xypmmyppfp1xxypy上式结果为常数，原命题得证。或者采用如下方法也可证明：假设题中所述无差异曲线斜率相同的点斜率为n，为常数，由于MRS只取决于yx/，同时假设MRSyx/，则由题可知MRSyxn/（无差异曲线的斜率解释边际替代率）。将上述等式左右两端同时对x求导可得：dyxydyydx0MRSn，故而ynx，n为常数xdxx2又因为x1pxyxyxyxpympxpnxmppnxmmppnxy上式最终结果为常数，原命题得证。（2）证明，如果一个消费者的偏好可用同质的无差异曲线图来表示，那么价格与他的需求数量将成反向变化。证明：所谓“吉芬之谜”是指一种商品的的价格上升时，对该商品的需求量反而上升，即商品的需求量与价格呈同方向变化。p由（1）已知pxxfpm1xxypypm也即：xxx2因此价格与需求呈反向变化，也即不会出现“吉芬之谜”。或者采用如下方法也可证明：mpxpympxpnxmxpnxyxyypxxm20ppxx3.2假设一个人对面包（y）和可乐（x）的偏好可以用下列函数来表达：uxyxy,，在初始状态下，px1/2，py2，而收入m40，现在假定可乐的价格px由1/2上升到1，请对此变化进行希克斯分解和斯卢茨基分解，并回答哪种分解的收入效应更大，为什么？解：0101）由题知在初始状态p,2，m40的情况下，利用效用最大化模型：2maxux,yxyx401s.txy240y102所以初始状态下对两种产品的需求量为x040,10，初始效用为u040104002）上升后，p11,2，mm040，利用效用最大化模型：maxu,xyxyx20s.txy240y10此时对两种产品的需求量为x120,10，效用为u120102003）希克斯分解利用支出最小化模型，在p11,2的状态下保持原有的效用水平u0400不变时，求解均衡时的需求量和支出：minxyex2202s.txy400y102此时两种产品的需求量为h202,102，支出为：e12022102402得到希克斯分解下的：（A）替代效应：hx0202,10240,1020240,10210（B）收入效应：xh120,10202,10220202,10102（C）总效应：xx1020,1040,1020,04）斯卢茨基分解用购买初始商品组合x040,10所需的支出为：m14021060利用效用最大化模型，求解在m60的情况下的商品需求量组合：maxuxyxy,x30s.txy260y15所以此时的商品需求量组合为x30,15。得到斯卢茨基分解下的：（A）替代效应：xx030,1540,1010,5（B）收入效应：xx120,1030,1510,5（C）总效应：xx1020,05）由以上分析可知，斯卢茨基分解得到的收入效应为10，希克斯分解得到的20202，因此斯卢茨基分解法求得的收入效应小于希克斯分解求得的收入效应。3.3假设一个人认为火腿和奶酪是完全互补的，他总是用一片火腿和一块奶酪来做三明治，假设他只购买火腿和奶酪，而面包是免费的。证明：（1）如果火腿和奶酪的价格相等，火腿的需求自身价格弹性为-0.5，火腿对奶酪的交叉弹性也为-0.5。证明：假设消费者的收入为m，对火腿的需求量为x，价格为px，对奶酪的需求量为y，价格为py。由题知，消费者的效用函数为minxy,，因此消费者效用最大化时满足如下条件：xymxxppymxyppxy火腿的需求自身价格弹性为：dxmpppxxxxp,xdpxpp2mxxyppxyppxy因为pp，所以0.5xyxp,xdymppp同理xxx0.5yp,xdpypp2mxxyppxyppxy如果题干中“火腿的需求自身价格弹性为-0.5”为已知条件， 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 证明“火腿对奶酪的交叉弹性也为-0.5”，则可以采用古诺加和 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 求解：sssxxpyxpx,,xy1由题干可以推知ss，进而解得0.5。xy2xp,y（2）解释为什么（1）中地结论只反映了收入效应，而没有反映替代效应。解：因为由题知，火腿和奶酪对于消费者而言是完全互补的，其无差异曲线如下图所示。从图中可以看出，消费者增加x的消费并不能以减少y的消费来实现效用水平保持不变的目的，从而不存在替代效应。yx（3）如果一个火腿的价格是奶酪价格的两倍，（1）的结论将如何变化。解：如果一个火腿的价格变成奶酪的两倍，即ppxy2，则：p2xxp,xppxy3p2xyp,xppxy3综上，如果一个火腿的价格是奶酪价格的两倍，火腿的需求自身价格弹性是-2/3，火腿对奶酪的交叉弹性也为-2/3。3.4这里有两种商品，他们的预算约束集为B和B，分别形成于p01,1，m08pm00,pm11,和pm111,2,26，同时被观察在pm00,的选择x04,4，我们在pm11,的选择满足p1x1m1。（1）如果x0和x1满足显示性偏好弱公理，x1的取值范围是多少？解：两个预算约束集的图形如下所示：x2BACx1若和满足显示性偏好弱公理，且在B00时消费者的选择位于A4,4，而在pm,B的选择为，则必有的选择束位于预算约束集之外，在的预算约束集pm11,之内。对于B点有：xxx12182xxx122426611因而x的取值范围应为BC段，也即x的取值范围为xx122,26,0,6（2）如果和满足显示性偏好弱公理且对第一种商品的偏好是拟线性的，的取值范围是多少？解：如果消费者对x1的偏好是拟线性的，根据拟线性效用函数的性质可知，收入的变化不1会影响x2的需求量，因此在的预算约束集之下，x2消费的临界点为4，x的选择范围如下图的DC段。x2BDACx1在D点有xx1114426101因此x的取值范围为xx1210,26,0,4（3）如果x0和x1满足显示性偏好弱公理且对第二种商品的偏好是拟线性的，x1的取值范围是多少？解：如果消费者对x2的偏好是拟线性的，根据拟线性效用函数的性质可知，收入的变化不会影响x的需求量，因此在B的预算约束集之下，x消费的临界点为4，x1的选择范围1pm11,1如下图的EC段。x2BEDACx1在E点有：144265.5xx22因此的取值范围为xx124,26,0,5.5（4）如果和满足显示性偏好弱公理且偏好是位似偏好，的取值范围是多少？解：如果消费者的偏好是位似偏好，则其收入提供曲线为通过原点的一条直线，也即在商品价格保持不变的情况下，随收入变动而引起的最优选择点在一条直线上。由题知在B时消费者的选择x04,4，所以该直线的斜率为k1，因此在的pm00,预算约束集之下，的选择范围如下图的FC段。x2BEFDACx1xxx121:1:15.2在F点有：xxx1224265.21所以x的取值范围为xx125.2,26,0,5.2Section4:不确定条件下的选择一、抽彩（1）抽彩空间的表示（2）最好的抽彩LUL1（3）最差的抽彩LUL0任何一个具体的抽彩L都处于L和L之间，L可以与和的线性组合无差异，也即LLL:1,01ULULUL1圣彼得堡悖论：出现的原因在于人们不关注期望收入，而是关注期望效用。二、抽彩的性质（1）连续性：可能的微小变化不会影响两个抽彩之间的排序。若满足连续性，抽彩空间中的哦任意抽彩都可以用L和L的线性组合来表示。（2）单调性：在满足连续性的前提下，如果LLLLLL:1:1，则。也即，如果参与者认为一个抽彩好于另一个抽彩，则必然意味着前者得到的以最好结果表示的概率比后者得到的以最好结果表示的概率更高。（3）独立性：LLLL11，则LL，也即一个抽彩好于另一个抽彩，那么加入一个新的抽彩形成的复合抽彩也不改变偏好次序。三、冯诺伊曼——摩根斯坦效用函数（V-M形式）nULpuiii1性质1：预期效用函数是线性的性质2：存在性定理。如果建立在抽彩空间上的偏好满足连续性、单调性和独立性，则存在一个预期效用函数（V-M形式）使得：nn当且仅当pupunnnn时，有LL.ii11性质3：线性变换并不改变偏好次序。nn若.则意味着ULpuULpunnnn，那么:ii11nVLaULbapubnni1nVLaULbapubnni1a0,必有：VLVL四、风险的类型1、詹森不等式：对于风险规避者而言对于任意一个抽彩Fx，他的期望财富产生的效用不低于其预期效用，也即：uxdFxuxdFx期望效用期望财富的效用2、确定性等值：与风险财富所产生的预期效用UL等价的贝努力效用uC所代表的财富值，也即uCUL。假设结果的概率分布为Fx，密度函数为fx，则预期效用为：ULuxdFxuxfxdx确定性等值表示为：uCULEuwuwc上式中C表示确定性等值，w表示初始财富，表示每项结果的损益，c表示风险溢价（保险费）。3、参与抽彩的条件：参与抽彩带来的预期效用值不小于不参与抽彩时初始财富值带来的效用。五、风险的测度ux1、绝对风险系数：rx，其中x表示财富值Aux几种特殊形式的效用函数：（1）对数型uxxln，绝对风险规避系数与财富呈反方向变动。（2）二次型uxabxcx2，风险规避系数与财富呈正向关系。（3）指数型uxex，风险规避系数为常数ux2、相对风险规避系数：rxx，表明面临风险财富状态的人愿意支付的保险费Bux用与其财富成正比。注意：对于风险规避者而言，其财富的效用函数是凹函数，也即ux0，ux0。六、一阶随机占优和二阶随机占优1、一阶占优：对于初始财富状态x，存在两个不同的分布G和F，如果效用函数u是非递减的，且FxGx对于所有x成立，则Fx一阶占优Gx，同时也意味着：uxdFxuxdGx上式可以通过构造函数HxFxGx加以证明。一阶占优意味着均值更大，但均值更大并不必然占优。2、二阶随机占优：对于初始财富状态，存在两个不同的分布和，如果效用函数u是非递减的，如果两个分布的期望相同，但Fx比Gx的风险更小，我们说Fx二阶占优于Gx。七、保险（见习题4.4-（3））八、课后习题4.1已知（1）抽彩L：得200元的可能性为0.3；-100元的可能性为0.7；（2）抽彩L：得1000元的可能性为0.2；得-300元的可能性为0.6，得0元的可能性为0.2.（1）请写出抽彩空间S，它是几维的？解：由题知抽彩面临的收益共有1000，200，0，-100和-300共计五种可能性，故而其抽彩空间表示为：5SR1000,200,0,100,300该抽彩空间是五维的。（2）请写出抽彩L和L，以及L和L解：LL:0,0.3,0,0.7,0;0,200,0,100,0:0.3,0.7;200,100LL:(0.2,0,0.2,0,0.6;1000,0,0,0,300):0.2,0.2,0.6;1000,0,300L:1,0;1000,0L:0,1;0,300（3）请问：你相信抽彩L和L可以由L和L来表达吗？如果相信，抽彩应该满足什么条件？解：我相信抽彩和可以由和来表达。当抽彩满足连续性时，抽彩空间中的任意抽彩和都可以用最好的抽彩和最差的抽彩来表达。4.2如果一个预期效用函数呈现不变的绝对风险规避，使得对于所有的w，rwA，它必须有什么样的函数形式呢？uw解：由题知rwAuw所以uwuw0求解上述二阶常系数其次线性微分方程即可得到该预期效用函数的形式。由题知采用待定系数法可设uew，将其代入原二阶微分方程可得：2eeww0特征方程为：220=0△22故而0,122212www所以uwcececce1212上述表达式中c1和c2均为常数，考虑到效用的经济学含义，c10。综上，该预期效用函数w为uwce2，即，为指数形式的效用函数。4.3一个简单的消费储蓄问题。在一个两阶段经济中，一个消费者在第一阶段拥有初始财富w，消费者的效用水平给定为：uccucvc1212,。u和v是凹函数，c1和c2分别为第一阶段和第二阶段的消费水平，令x为第一阶段的储蓄水平（故c1wx，cx2）。再令x0为最优储蓄水平。现在我们引入不确定性。如果消费者在第一阶段储蓄，则他在第二阶段的财富为xy，其中y的分布函数为F，而E定义为服从F的期望值。假定在两阶段中实现的财富水平ww12,所得到的贝努力效用函数为uwvw12，因此消费者现在的问题是解：MaxuwxEvxy，并令x*是其最优解。x*（1）证明，如果Evx00yvx，则有xx0解：在未引入不确定性时，消费者通过选择储蓄最大化其效用，也即：Maxuccuwxvx,12x因为为最优储蓄水平，因此有：uuwxvx0uwxvxx0000xx0引入不确定性后，消费者效用最大化问题变为：Maxucc12,uwxEvxyx因为是有风险状态下的最优解，因此有：u****uwxEvxyuwxEvxy0xxx*令gxEvxyuwx则gxEvxyuwx因为u和v是凹函数，所以vxy0，uwx0，进而gx0。也即gx是x的减函数。又因为Evxyvxuwx000，也即gx0Evx0yuwx00**因为gx00，gx0且是的减函数，所以xx0。vx（2）定义效用函数vx的一个消费者的绝对谨慎系数为。证明，如果在所有的财vx富水平上，效用函数v1的绝对谨慎系数不比效用函数v2的绝对谨慎系数更大，那么Evxyvx1010就意味着Evxyvx2020。联系到（1）它的含义是什么。解：∵v是凹函数，∴vx0vx又∵绝对谨慎系数0，∴vx0vx也即是vx是凸函数，消费者对于vx是风险偏好的。vxvx12∵，∴消费者在v2下更偏好风险。vxvx12当Ev1xyv0100xuwx时，意味着有风险时，第二阶段的边际效用的期望大于第一阶段的边际效用。由于消费者在下比在v1更偏好风险，因此也有：Ev2x0yv2x0原命题得证。其含义是消费者的边际效用具有风险偏好性。（3）证明，如果v0且Ey0，那么对于所有的x，有Evxyvx证明：∵v0，∴v是凸函数根据凸函数的性质有：EvxyvExyvxEyvx所以Evxyvx成立，原命题得证。(4)证明，如果vx的绝对风险规避系数随着财富的增加而递减，则对于所有的x有vxvx，并且v0。vxvxvx解：vx的绝对风险规避系数r，由题知：AvxvxdvxdrAvxvxvxvx0dxdx2vx2所以vxvxvxvxvxvxvx00根据实际的经济意义vx表示边际效用，故而vx0，由此推得vx0又因为v为凹函数推得vx02所以将不等式vxvxvx左右两边同时除以vxvx0得到：vxvxvxvx原命题得证。4.4消费者的贝努力效用函数为uww，其中w代表消费者者的财富水平。（1）请计算消费者的绝对风险规避系数解：由uww得到：1311uw2，uw224u1所以消费者的绝对风险规避系数为：rwAuw2（2）假设消费者的初始财富为90000元，但是有10%的可能性发生损失，损失额为80000元。请计算消费者为了避免此风险而愿意支付的最高金额。解：设消费者愿意支付的最高金额为c，则有：uwcpuw1puw代入相关参数得到：9000010%900008000090%90000c90000280cc11600综上，消费者为了避免此风险而愿意支付的最高金额为11600.（3）如果保险市场是公平的，证明消费者将购买全额保险。解：假设消费者投保的金额为x，保险费率为t元/元投保金额，损失额为d，则消费者选择投保金额最大化其效用：MaxEULpuwtxpuwtxdx1x一阶条件为：EULtpuwtxtpuwtxdx110x11tpuwtxdxtpuwtxuwtxtp1uwtxdxtp1保险市场是公平的，也即保险公司收取公平保费：txpxtpuwtx∴=1uwtxdx也即：wtxwtxdxxd也即消费者投保的金额恰好是损失额，因此在公平的保险市场，消费者愿意购买全额保险。Section5:生产与成本理论一、生产集yi0,产出1、投入产出向量：yyy12,,,,yyiny投入yi0,2、生产可行集Y：YyTy:0，其中T为转换函数，y:0Ty表示转换边界。二、生产技术的性质性质1：天下没有免费的午餐。也即若yii0,，在则生产集为空集性质2：自由处置。一项生产 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 可实现，则同样的投入更少的产出，或者同样的产出更多的投入的生产计划也必定可实现。性质3：自由进入。两项生产计划分别可行，则加总形成的一项生产计划也必定可行。性质4：凸性。两项生产计划分别可行，则他们的线性组合也必定可行。三、边际产品和边际技术替代率1、边际产品保持其它要素不变的情况下，增加一单位某种要素投入所导致的产出数量的增量。（计算方法：生产函数对要素求偏导）2、边际产品递减产生“马尔萨斯人口陷阱”。（原因：忽视了交叉生产力效应）。3、边际技术替代率保持产量不变的情况下，劳动与资本之间的替代率。MPMRSTLMPKdKLKL///dKLln/4、替代弹性：dMPMPMPMPdMRSTLKLK///ln四、利润最大化模型1、模型Maxpyys.tyY2、利润函数的性质性质1：是关于价格的一次齐次函数性质2：是凸函数（自变量线性组合的函数值小于函数值的线性组合）p性质3：谢泼德引理。ypipi五、成本最小化模型与成本函数1、模型MaxcwlrkMPwLMRSTs.tfk,lqMPKr含义：对于两种要素而言，一元钱购买到的边际产品是相等的。（如果使用拉格朗日法，则拉格朗日乘子的含义是增加一单位的产量所增加的成本，也即边际成本MC）。2、成本函数（1）常见成本函数类型（A）里昂惕夫生产函数：qfklkl,min,。厂商将在L型等产量线的顶点生产。（B）柯布道格拉斯生产函数：qfk,lkl。MPw均衡条件为：MRSTlMPrk（3）替代弹性不变的生产函数：qfklkl,(2)生产函数性质性质1：是投入要素价格的一次齐次函数。性质2：是q,,wr的单调非减函数（可通过谢泼德引理加以证明）性质3：是投入要素价格的凹函数。惰性成本函数：当投入要素组合不变时，变化某个要素价格时形成的线性成本函数。六、课后习题5.1某一公司投入要素z1和z2来生产产品q，你被分派来决定该公司的生产技术，你可以获得100个月的观察数值，其中两组观察数据显示如下：InputpriceInputlevelsOutputpriceOutputlevelMonthw1w2z1z2pq331405046095225540460解：在完成任务时会面临优化成本的问题。由上表可知，在第3月和第95月，产出水平和产出价格均保持不变，但在成本方面：第3月成本为：c1340150170第95月的成本为：c2255240190也即在产出不变的前提下，第95月的成本明显高于第3月的成本，企业并未按照最小化原则进行生产。此外，由上表可以看出，要素z1和z2在生产中存在替代关系，可以通过调整和的投入比例来达到优化成本的目的。但是，在本题中，第3月的成本结构是否为最小成本仍为可知。fz5.2假定fz是一个投入要素为z121z,,zt的凹生产函数，且0和zifz220，对于所有的zi0，利用利润最大化一阶条件证明下列情形：zi（1）产出价格上升会增加利润最大化的产出水平。解：设产出价格为p，要素价格为pww121w,,t，利润最大化问题可以表示为：Maxpfzwz=zi0对于所有的it1,2,,1，在利润最大化处有：fz**wipwfziz0zzpiiizz**wi也即fzzp20ip所以产出价格p上升，fz*下降。zifz2又因为0，故而fz*下降，z增加。2ziizifz*又因为0，故而增加导致fz*增加。zi综上，产出价格上升会导致利润最大化产出水平上升。（2）产出价格的上升会提高某种投入要素水平。*wi解：已经在（1）中证明fzzp20，所以当产出价格上升时，下降，又由ipfz2于0，所以fz*下降意味着增加。2zizi因此，产出价格的上升会提高某种投入要素的水平。（3）投入要素价格上升会减少这种要素的需求。*wi解：由（1）中得到，利润最大化的一阶条件为：fzzip*1两边同时对wi求导可得：fzzw0iipfz2因此w上升，fz*增加，结合0，可得z减少。izi2izi5.3如果某生产者拥有的生产技术为：qfklkl,1/21/2，其中k，l为分别为生产要素劳动和资本存量，这些要素的市场价格已知，分别为r，w，问：（1）假定该生产者准备生产的产量为q100需要支出的最小成本是多少？解：成本最小化时，在给定的产量下，要素之间的边际替代率等于这两种要素的市场价格之比，也即：MPwMRSTlMPrk11因为MPklMPkl1/21/21/21/2,lk221kl1/21/2MPkww所以：l2klMPlrr11/21/2kkl2将要素表达式代入产量表达式可得：11/221/21/21/2ww100klllll1001rrw2r所以最小成本为：100w100111Clwr100wr2100wr2200wr2min11rww22rr1综上，产量为100时最小成本为200wr2。（2）如果该生产者准备生产的产量为q，最小的成本c为多少？解：由（1）知，成本最小化时，资本与劳动投入量之间必有如下关系：wklr∵qwlrk111w2www22代入k与l之间的关系可得：lq，kqqrrrr11ww221最小成本：cqwqr2qwr2rr1综上，当产量为q，最小的成本c为2qwr2。5.4假定一个公司有两个分厂，总产量q来源于各自生产的产量即：qqq12，它的成本1函数各不相同，分别为cqqq2，cqq22该公司该如何分配产量q给两个分11114222厂才会总成本最小。解：要是两个分厂的总成本最小，则必然使得两个分厂的边际成本一样：1mcmcqq14