放缩法

放缩法在不等式的应用 所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一. “添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证 。 证明：由题设得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜ （a＋b）2，而（a＋b）2＝a＋b＋ab＜a＋b＋ （a＋b）2，即 （a＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜ ，故有1＜a＋b＜ 。 例2. 已知a、b、c不全为零，求证： 证明：因为 ，同理 ， 。 所以 二. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例3. 已知a、b、c为三角形的三边，求证： 。 证明：由于a、b、c为正数，所以 ， ， ，所以 ，又a，b，c为三角形的边，故b+c＞a，则 为真分数，则 ，同理 ， ， 故 . 综合得 。 三. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知n∈N*，求 。 证明：因为 ，则 ，证毕。 例5. 已知 且 ，求证： 对所有正整数n都成立。 证明：因为 ，所以 ， 又 ， 所以 ，综合知结论成立。 例6 设数列 满足 （Ⅰ）证明 对一切正整数 成立；（Ⅱ）令 ，判定 与 的大小，并说明理由（04年重庆卷理科第（22）题） 简析 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（Ⅰ）进行减项放缩，有 法1 用数学归纳法（只考虑第二步） ； 法2 EMBED Equation.3 则 EMBED Equation.3 . 四. 利用重要不等式放缩 1.均值不等式 利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。 例7 设 求证 解析 此数列的通项为 ， ， 即 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 ，若放成 则得 ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 其中， 等的各式及其变式公式均可供选用。 例8已知 为正数，且 ，试证：对每一个 ， .（88年全国联赛题） 简析 由 得 ，又 ，故 ，而 ， 令 ，则 = ，因为 ，倒序相加得 = ， 而 ，则 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，所以 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，即对每一个 ， . 2．利用有用结论 例9 求证 简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法1 利用假分数的一个性质 可得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 即 法2 利用贝努利不等式 的一个特例 (此处 )得 EMBED Equation.3 注：例9是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是： 证明 (可考虑用贝努利不等式 的特例) 例10 已知函数 求证： 对任意 且 恒成立。（90年全国卷压轴题） 简析 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（ ）不等式 的简捷证法： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 而由 不等式得 EMBED Equation.3 ( 时取等号) EMBED Equation.3 （ ），得证！ 例11 已知 EMBED Equation.3 用数学归纳法证明 ； 对 对 都成立，证明 （无理数 ）（05年辽宁卷第22题） 解析 结合第 问结论及所给题设条件 （ ）的结构特征，可得放缩思路： EMBED Equation.3 。于是 ， 即 注：题目所给条件 （ ）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论 来放缩： EMBED Equation.3 ， 即 例12 已知不等式 表示不超过 的最大整数。设正数数列 满足： 求证 （05年湖北卷第（22）题） 简析 当 时 ，即 EMBED Equation.3 于是当 时有 EMBED Equation.3 注：①本题涉及的和式 为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论 来进行有效地放缩； ②引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学习能力与创新意识。 例13 设 ，求证：数列 单调递增且 解析 引入一个结论：若 则 （证略） 整理上式得 （ ） 以 代入（ ）式得 EMBED Equation.3 即 单调递增。 以 代入（ ）式得 此式对一切正整数 都成立，即对一切偶数有 ，又因为数列 单调递增，所以对一切正整数 有 。 注：①上述不等式可加强为 简证如下： 利用二项展开式进行部分放缩： 只取前两项有 对通项作如下放缩： 故有 ②上述数列 的极限存在，为无理数 ；同时是下述试题的背景： 已知 是正整数，且 （1）证明 ；（2）证明 （01年全国卷理科第20题） 简析 对第（2）问：用 代替 得数列 是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列 递减，且 故 即 。 当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！ 例14 设数列 满足 ，当 时证明对所有 有 ； （02年全国高考题） 解析 用数学归纳法：当 时显然成立，假设当 时成立即 ，则当 时 ，成立。 利用上述部分放缩的结论 来放缩通项，可得 EMBED Equation.3 注：上述证明 用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩： ；证明 就直接使用了部分放缩的结论 。 五 利用单调性放缩 1． 构造数列 如对上述例7，令 则 ， 递减，有 ，故 再如例9，令 则 ，即 递增，有 ，得证！ 注：由此可得例9的加强命题 并可改造成为探索性问题：求对任意 使 恒成立的正整数 的最大值；同理可得理科姊妹题的加强命题及其探索性结论，读者不妨一试！ 2．构造函数 例15 已知函数 的最大值不大于 ，又当 时 （Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）设 ，证明 （04年辽宁卷第21题） 解析 （Ⅰ） =1 ；（Ⅱ）由 得 且 用数学归纳法（只看第二步）： 在 是增函数，则得 例16 数列 由下列条件确定： ， EMBED Equation.3 ．（I）证明：对 总有 ；(II)证明：对 总有 （02年北京卷第（19）题） 解析 构造函数 易知 在 是增函数。 当 时 在 递增故 对(II)有 EMBED Equation.3 ，构造函数 它在 上是增函数，故有 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，得证。 注：①本题有着深厚的科学背景：是计算机开平方设计迭代程序的根据；同时有着高等数学背景—数列 单调递减有下界因而有极限： ② EMBED Equation.3 是递推数列 的母函数，研究其单调性对此数列本质属性的揭示往往具有重要的指导作用。 六 换元放缩 例17 求证 简析 令 ，这里 则有 ，从而有 注：通过换元化为幂的形式，为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。 例18 设 ， ，求证 . 简析 令 ，则 ， ，应用二项式定理进行部分放缩有 ，注意到 ，则 （证明从略），因此 七 递推放缩 递推放缩的典型例子，可参考上述例14中利用 部分放缩所得结论 进行递推放缩来证明 ，同理例11 中所得 和 、例12中 、 例13（Ⅰ）之法2所得 都是进行递推放缩的关键式。 八 分项讨论 例19 已知数列 的前 项和 满足 （Ⅰ）写出数列 的前3项 ；（Ⅱ）求数列 的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数 ，有 （04年全国卷Ⅲ） 简析 （Ⅰ）略，（Ⅱ） ； （Ⅲ）由于通项中含有 ，很难直接放缩，考虑分项讨论： 当 且 为奇数时 （减项放缩），于是 ①当 且 为偶数时 EMBED Equation.3 ②当 且 为奇数时 EMBED Equation.3 （添项放缩）由①知 由① = 2 \* GB3 ②得证。 PAGE 1 _1194947900.unknown _1195876747.unknown _1227365546.unknown _1227507234.unknown _1227507891.unknown _1227707774.unknown _1227971807.unknown _1227971897.unknown _1227971914.unknown _1227971890.unknown _1227718832.unknown _1227718867.unknown _1227718941.unknown 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