平面任意力系的平衡条件和平衡方程

理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程一、平面任意力系平衡的必要和充分条件二、关于平面任意力系的例题三、平面任意力系平衡方程的其他形式四、平面平行力系理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程一、平面任意力系平衡的必要和充分条件理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程1．平面任意力系的充分条件现在讨论静力学中最重要的情形，即平面任意力系的主矢和主矩都等于零的情形（3-6）理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程显然，主矢等于零，表明作用于简化中心O的汇交力系为平衡力系；主矩等于零，表明附加力偶系也是平衡力系，所以原力系必为平衡力系。因此，式（3-6）为平面任意力系的充分条件。理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程2．平面任意力系平衡的必要条件由上一节分析结果可见：若主矢和主矩有一个不等于零，则力系应简化为合力或合力偶；若主矢与主矩都不等于零时，可进一步简化为一个合力。上述情况下力系都不能平衡，只有当主矢和主矩都等于零时，力系才能平衡，因此，式（3-6）又是平面任意力系平衡的必要条件。理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程3．平面任意力系平衡的必要和充分条件于是，平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。这些平衡条件可用解析式表示。理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程将式（3-2）和（3-3）代入式（3-6），可得（3-7）理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程结论:平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。式（3-7）称为平面任意力系的平衡方程（为便于书写，下标i可略去）。理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程二、关于平面任意力系的例题理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程例3-2起重机P1=10kN，可绕铅直轴AB转动；起重机的挂钩上挂一重为P2=40kN的重物，如图3-6所示。起重机的重心C到转动轴的距离为1.5m，其他尺寸如图所示。求在止推轴承A和轴承B处的约束力。理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程图3-6理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程解：（1）以起重机为研究对象以起重机为研究对象，它所受的主动力有P1和P2。由于对称性，约束力和主动力都位于同一平面内。止推轴承A处有两个约束力FAx，FAy，轴承B处只有一个与转动轴垂直的约束力FB，约束力方向如图3-6所示。理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（2）列平衡方程取坐标系如图3-6所示，列平面任意力系的平衡方程，即理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（3）求解方程求解以上方程，得FB为负值，说明它的方向与假设的方向相反，即应指向左。理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程例3-3图3-7所示的水平梁AB，A端为固定铰链支座，B端为一滚动支座。梁的长为4a，梁重P，作用在梁的中点C。在梁的AC段上受均布载荷q作用，在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩M=Pa。试求A和B处的支座约束力。理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程图3-7理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程解：（1）选梁AB为研究对象梁AB所受的主动力有：均布载荷q，重力P和矩为M的力偶。梁AB所受的约束力有：铰链A的两个分力Fax和FAy，滚动支座B处铅直向上的约束力FB。理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（2）列平衡方程取坐标系如图3-7所示，列出平衡方程：理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（3）解方程解上述方程，得理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程例3-4自重为P=100kN的T字型刚架ABD，置于铅垂面内，载荷如图3-8a所示。其中M=20kN·m，F=400kN，q=20kN/m，l=1m。试求固定端A的约束力。理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程图3-8a理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程解：（1）取T字形钢架ABD为研究对象钢架ABD上除主动力外，还受有固定端A处的约束力FAx，Fay和约束力偶MA。线性分布载荷可视为一组平行力系，将其简化为一个集中力F1，其大小为理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程其作用线可利用合力矩定理确定：理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程式中，h是点A到集中力F1的距离，由上式求得h=l，即集中力作用于三角形分布载荷的几何中心。刚架受力图如图3-8b所示。理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程图3-8b理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（2）按图示坐标列平衡方程理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（3）解方程解方程，求得负号说明图中所设方向与实际情况相反，即MA为顺时针转向。理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程解题技巧：（1）从上述例题可见，选取适当的坐标轴和力矩中心，可以减少每个平衡方程中的未知数的数目。（2）在平面任意力系情形下，矩心应取在多个未知力的交点上，而坐标轴应当与尽可能多的未知力相垂直。理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程三、平面任意力系平衡方程的其他形式理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程在例3-3中，若以方程取代方程可以不解联立方程直接求得Fay值。因此在计算某些问题时，采用力矩方程往往比投影方程简便。下面介绍平面任意力系平衡方程的其他两种形式。理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程1．二矩式平衡方程（1）三个平衡方程中有两个力矩方程和一个投影方程，即（3-8）理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程其中x轴不垂直于A，B两点的连线。（2）为什么上述形式的平衡方程也能满足力系平衡的必要和充分条件呢？a．这是因为，如果力系对点A的主矩等于零，则这个力系不可能简化为一个力偶；但可能有两种情形：这个力系或者是简化为经过点A的一个力，或者平衡。理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程b．如果力系对另一点B的主矩也同时为零，则这个力系或一合力沿A，B两点的连线，或者平衡（图3-9）。c．如果再加上，那么力系如有合力，则此合力必与x轴垂直。理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程图3-9理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程式（3-8）的附加条件（x轴不得垂直于连线AB）完全排除了力系简化为一个合力的可能性，故所研究的力系必为平衡力系。理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程2．三矩式平衡方程（1）同理，也可写出三个力矩式的平衡方程，即，，（3-9）其中A，B，C三点不得共线。理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（2）为什么必须有“A，B，C三点不得共线”这个附加条件？同学们可自行证明。理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程3．根据具体条件选择三组平衡方程（1）上述三组方程（3-7）、（3-8）、（3-9），究竟选用哪一组方程，须根据具体条件确定。（2）对于受平面任意力系作用的单个刚体的平衡问题，只可以写出三个独立的平衡方程，求解三个未知量。理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程（3）任何第四个方程只是前三个方程的线性组合，因而不是独立的。我们可以利用这个方程来校核计算的结果。理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程四、平面平行力系理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程1．平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情形。2．如图3-10所示，设物体受平面平行力系F1，F2，…，Fn的作用。如选取x轴与各力垂直，则不必力系是否平衡，每一个力在x轴上的投影恒等于零，即。理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程图3-10理论力学3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程3．平行力系的独立平衡方程的数目只有两个，即（3-10）平面平行力系的平衡方程，也可用两个力矩方程的形式，即（3-11）四川理工学院机电工程系力学教研室问题解答?