《保险精算学》笔记：多元生命函数《保险精算学》笔记：多元生命函数《保险精算学》笔记：多元生命函数《保险精算学》笔记：多元生命函数第一节 多元生命函数简介一、多元生命函数的定义：涉及多个生命剩余寿命的函数。二、多元生命函数的作用养老金给付场合 合伙人联保场合遗产税的计算场合三、多元剩余寿命的联合分布1、 联合密度函数2、 联合分布函数3、 联合生存函数4、 边际生存函数其次节 多元生命状况 一、连生状况1、 连生状况定义（1）定义：当全部成员都活着时的状况，称为连生状况。当有一个成员死亡时，连生状况就结束了。简记连生状况为：（2）连生状况剩余寿命的定义：（3）连生状况剩余寿命的性质：连生状况的剩余寿命的实质上就是个生命的最小次序统计量2、 两个体连生状况的生命函数（1）分布函数（2）生存函数特殊：两个体剩余寿命独立场合（3）密度函数特殊：两个体剩余寿命独立场合（4）死亡效力函数特殊：两个体剩余寿命独立场合（5）两个体至少有一个在第年内死亡的概率（6）连生状况整值剩余寿命为的概率（7）剩余寿命的期望二、最终生存状况1、 最终生存状况的定义（1）定义：只要至少有一个成员活着时的状况，称为最终生存状况。当全部的成员都死亡时，最终生存状况就结束了。简记最终生存状况为：（2）最终生存状况剩余寿命的定义：（3）最终生存状况剩余寿命的性质：最终生存状况的剩余寿命的实质上就是个生命的最大次序统计量2、 多生命状况剩余寿命的关系（1）（2）（3）（4）3、两个体最终生存状况的生命函数（1）分布函数等价公式（2）生存函数等价公式（3）密度函数等价公式（4）死亡效力函数（5）最终生存状况整值剩余寿命为的概率等价公式（6）剩余寿命期望4、联合生命状态剩余寿命协方差分析第三节 联合生命模型一、简介联合生命模型分为两类：CommonShock模型和Copulas模型。CommonShock模型假定个体之间的剩余寿命随机变量相互独立的模型。这种模型假定有时与现实状况不符，但易于分析。Copulas模型假定个体之间的剩余寿命随机变量不独立的模型。这种模型假定更符合实际状况，但不易于分析。我们主要争辩简洁的CommonShock模型。二、CommonShock模型1、定义：假如有满足且有一个CommonShock随机变量，它独立于，且听从指数生存函数令则2、联合生命状况分析记则（1）边际生存函数为（2）连生状况剩余寿命生存函数为（3）最终生存状况剩余寿命生存函数为特殊，独立时，等价于。第四节 人寿保险与生存年金一、联合生命状况趸缴纯保费的确定1、 趸缴纯保费的确定原理2、 联合多生命状况趸缴纯保费的确定（1） 连生状况（2） 最终生存状况二、联合生命状况生存年金的确定1、 生存年金确定原理2、 联合生命状况生存年金的确定（1）连生状况（2）最终生存状况三、连生状况合最终死亡状况的关系四、继承年金1、 继承年金的定义：在联合生命状态中，只有在其中一个生命（v）死亡之后，另一个生命（u）才能开头获得年金。这种年金叫做继承年金，简记为。2、 终身继承年金3、 定期继承年金第五节 在特殊死亡律假定下求值一、Gomperz和Makeham假定1、 Gomperz假定下查找能替代连生状态的单个生命状态，即已知在Gomperz假定下有，则在两生命独立假定下有由这个等式可求出，于是2、 Makeham假定下由于Makeham假定的死亡效力函数含有常数项，所以无法用单个生命状态替换连生状态，但是可以考虑用两个同年龄的连生状态作替换，即已知在Makeham假定下有，则在两生命独立假定下有由这个等式可求出，于是二、均匀分布假定 在均匀分布假定下，趸缴纯保费和生存年金具有单生命状态下近似的性质
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