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普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试题 (理科)解析

普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试题 (理科)解析2014年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）考生注意：1、本试卷共4页，23道试题，满分150分。考试时间120分钟。2、本考试分设试卷和答题纸。试卷包括试题与答题要求。作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上。在试卷上作答一律不得分。3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1、函...

2014年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）考生注意：1、本试卷共4页，23道试题，满分150分。考试时间120分钟。2、本考试分设试卷和答题纸。试卷包括试题与答题要求。作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上。在试卷上作答一律不得分。3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1、函数y12cos2(2x)的最小正周期是_______.π【答案】22ππ【解析】y=1-2cos2(2x)=-cos4x∴周期T==4212、若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则z+z=___________._z【答案】61【解析】z=1+2i∴(z+)•z=zz+1=(1+4)+1=6zx2y23、若抛物线y2=2px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为95___________.【答案】x=-2【解析】x2y2+=1∴右焦点为(2,0)y2=2px焦点为(2,0)∴其准线方程为x=-295所以，是x=-2x,x(,a),4、设f(x)若f(2)4，则a的取值范围为_____________.x2,x[a,),(-∞,2]【答案】【解析】f(2)=4∴2∈[a,+∞),解得a≤2.所以，是(-∞,2]5、若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为______________.【答案】2222【解析】xy=1∴x2+2y2=x2+≥2x2•=22,所以，是22x2x26.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）。【答案】arctan22【解析】1设圆锥高h,底面半径r,则S=•2πr•r2+h2,S=πr2侧2底S=3S∴πr•r2+h2=πr2，化简得r2+h2=3r侧底h解得8r2=h2，即tanθ==22,θ=arctan22r所以，是arctan227.已知曲线C的极坐标方程为(3cos4sin)=1，则C与极轴的交点到极点的距离是。1【答案】3【解析】11ρ(3cosθ-4sinθ)=1∴3x-4y=1交于点(,0).所以，是338.设无穷等比数列{a}的公比为q，若alim(aa)，则q=。n134n5-1【答案】2【解析】1-qn-2aaq2q≠1,a=lim(a+a+a++a)=lim(a•)=3=11345n3n→∞n→∞1-q1-q1-q-1+5-1-5∴q2+q-1=0,解得q=>1,或q=(舍去).225-1所以，是2219.若f(x)x3x2，则满足f(x)0的x取值范围是。(0,1)【答案】【解析】21777Q--x3-x20,x0x6-10,x6160x1.(0,1)10.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结构用最简分数表示）。1【答案】15【解析】811概率p==.所以，是C315151011.已知互异的复数a,b满足ab≠0，集合{a,b}={a2,b2},则a+b=。【答案】-1【解析】分类讨论.(1)若a=a2，若b=b2,且a≠b,a≠0,b≠0，则解集为空（2）若a=b2，b=a2,且a≠b,a≠0,b≠0,则a-b=-a2+b2=(b+a)(b-a),解得-1=a+b.所以，是-112.设常数a使方程sinx3cosxa在闭区间[0,2]上恰有三个解x,x,x，则231xxx。2317π【答案】3【解析】πsinx+3cosx=2sin(x+)=a,x∈[0,2π]32sinx=a,当x∈[0,2π]时有3根，则x=0,x=π,x=2π，x+x=x=3π122122ππ7π当2sin(x+)=a,x∈[0,2π]时，x=0，x=，x=2πx∴x+x=x=312332122313.某游戏的得分为1,2,3,4，5，随机变量表示小白玩游戏的得分。若()=4.2，则小白得5分的概率至少为。【答案】0.2【解析】设随机变量ξ=1,2,3,4,5对应的概率分别qq373780592为p,p,p,p,p,则12345Eξ解析20130616=p+2p+3p+4p+5p=1+p+2p+3p+4p=4.2123452345设p+p=m∈[0,1],则p+2p=2m-p≤2m,即当p=0时，p+2p取最大值,p取最小值232322235这时，1+2p+3p+4p=4.2.同理，当p=0时，2p+2p取最大值,p取最小值3453345这时，1+3p+4p=4.245p=p=p=0,p+p=1∴p=0.2是最小值12345514.已知曲线C：x4y2，直线l：x=6。若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得APAQ0，则m的取值范围为。[2,3]【答案】【解析】C图像是半径为2的半个圆，在y轴左侧，x∈[-2,0]1AP+AQ=0,∴A(m,0)为P(x,y),Q(6,t)的中点112m=6+x,x∈[-2,0]∴m∈[2,3]11所以，是[2,3]二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。15.设a,bR,则“ab4”是“a2,且b2”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件【答案】B【解析】显然，a+b>4,无法推出a>2且b>2∴不是充分条件若a>2且b>2，则a+b>4成立∴是必要条件∴必要不充分条件.所以，选B16.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P(i1,2,...,8)是上i底面上其余的八个点，则ABAP(i1,2,...,8)的不同值的个数为（）i（A）1(B)2(C)4(D)8【答案】A【解析】AB•AP=|AB|•|AP|cos=1•1=1∴只有一个值选A17.已知P(a,b)与P(a,b)是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的111222axby1方程组11的解的情况是（）axby122（A）无论k，P,P如何，总是无解（B)无论k，P,P如何，总有唯一解1212（C）存在k，P,P，使之恰有两解（D）存在k，P,P，使之有无穷多解1212【答案】B【解析】b=ka+1,b=ka+1∴b-b=k(a-a)，a≠a1122121212ax+by=1,ax+by=1∴(a-a)x+(b-b)y=011221212即(a-a)x+k(a-a)y=0，即x+ky=01212代入：-aky+by=1，化简：(b-ak)y=1,即y=1,x=-k1111所以，x,y有唯一解.选B(xa)2,x0,18.f(x)1若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为（）。xa,x0,x(A)[-1,2](B)[-1，0](C)[1，2](D)[0，2]【答案】D【解析】1f(x)=(x-a)2,x≤0是单调递减的，f(x)=x++a≥2+a,x>0是单调递增的，且f(0)=a2≤2+ax解得0≤a≤2.选D三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥PABC,其表面展开图是三角形PPP123，如图，求△PPP123的各边长及此三棱锥的体积V.22【答案】4,4,4；3【解析】是正三棱锥P-ABC∴ΔPAB,ΔPBC,ΔPAC为全等等腰三角形123ΔABC是边长为2的正三角形，∴ΔPAB,ΔPBC,ΔPAC均是边长为2的正三角形123所以，ΔPPΔP是边长为4的正三角形1232326设正三棱锥P-ABC高为h,则h2=22-()2,解得h=33112622∴正三棱锥P-ABC的体积V=•S•h=•3•=3ΔABC33322所以，正三棱锥P-ABC的体积为320.（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分8分。2xa设常数a0，函数f(x)2xa（1）若a=4，求函数yf(x)的反函数yf1(x)；（2）根据a的不同取值，讨论函数yf(x)的奇偶性，并说明理由.【答案】x+1f-1(x)=2+log,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)(1)2x-1(2)当a=0时，f(x)是偶函数；当a=1时，f(x)是奇函数；当a>0,且a≠0，且a≠1时，f(x)是非奇非偶函数；【解析】(1)2x+a2x+4当a=4时y=f(x)==∈(-∞,-1)(1,+∞)∴(2x-4)y=2x+4,2x-a2x-44+4y4+4yy+1解得2x=,即x=log()=2+log.y-12y-12y-1x+1所以f-1(x)=2+log,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)2x-1(2)2x+ay=f(x)=的奇偶性讨论如下.2x-a若定义域对称的,则a=0,或a=1(1)若a=0时，f(x)=1，∴f(x)是偶函数2x+12-x+11+2x(2)若a=0时，f(x)=f(-x)===-f(x)2x-12-x-11-2x∴f(x)是奇函数所以,当a=0时，f(x)是偶函数；当a=1时，f(x)是奇函数；当a>0,且a≠0，且a≠1时，f(x)是非奇非偶函数；21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和.（1）设计中CD是铅垂方向，若要求2，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.CD与铅垂方向有偏差，现在实测得38.12，18.45，求CD的长（结果精确到0.01米）？米米【答案】(1)28.28(2)26.93【解析】(1)hhhh令DC=h,则tanα==,tanβ==DC35CB80π2tanβ>α≥2β>0∴tanα≥tan2β=>021-tan2βh2h•2•80h即≥80=>0,解得00,y≥2时，曲线的图像单调递减.利用数形结合法,画出图像,可知,只有直线x=0与图像不相交，且图像在直线左右两侧.所以，只有直线x=0是E的分割线23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分.1已知数列{a}满足aa3a,nN*,a1.n3nn1n1（1）若a2,ax,a9，求x的取值范围；2341（2）若{a}是公比为q等比数列，Saaa，SS3S,nN*,nn12n3nn1n求q的取值范围；（3）若a,a,,a成等差数列，且aaa1000，求正整数k的最大值，12k12k以及k取最大值时相应数列a,a,,a的公差.12k11[,2]k是1999，公差是-[3,6]【答案】（1）（2）3（3）1999【解析】（1）1a=1，a=2，a=x，a=9，且a≤a≤3a12343nn+1n当n=1时，a≤3a≤9a,即1≤6≤9,此式当然成立.1212当n=2时，a≤3a≤9a,即2≤3x≤18,解得≤x≤62323当n=3时，a≤3a≤9a,即x≤27≤9x,解得3≤x≤27343∴3≤x≤611假设，当3≤x≤6时，n≤k时，a≤a≤3a成立，现证明a≤a≤3a也成立.3kk+1k3k+1k+2k+111a≤a≤3a成立∴a>0.a>0∴a≤a≤3a也成立3kk+1kk+1k+13k+1k+2k+1所以，x∈[3,6]（2）111a≤a≤3a∴q≥且q≤3，即[,3]3nn+1n331n（1）当a=1,q=1时，S=nS≤S≤3S∴≤(n+1)≤3n成立，符合题意1n3nn+1n31-qn11-qn1-qn+11-qn（2）当a=1,q≠1时，S=•≤≤31n1-q31-q1-q1-q11（2-1）当≤q<1时（1-qn）≤（1-qn+1）≤（31-qn）∴q>033111前式整理得qn(3q-1)≤2，显然当q=时成立；当q>时,3q2-q-2≤0解得≤q<13331后式整理得qn(q-3)+2≥0，即q2-3q+2≥0，解得q∈[,1)31∴q∈[,1)31（2-2）当q∈(1,3]时（1-qn）≥（1-qn+1）≥（31-qn）∴q>03解得即3q2-q-2≥0解得q>1前式整理得qn(3q-1)≥2，即3q2-q-2≥0解得q≥1后式整理得qn(q-3)+2≤0，即q2-3q+2≤0，解得q∈[1,2]∴q∈(1,2]1综上，当q∈[,2]时，符合题意.3（3）设公差为d,a=1111a≤a≤3a∴[1+(n-1)d]≤1+nd≤3[1+(n-1)d]3nn+1n3-2-2整理得0≤2+(2n+1)d,且(2n-3)d+2≥0,即d≤2,且d≥,且d≥2n+12n-3-2∴解得d∈[,2]2n+112000-2ka+a++a=1000∴[2+(k-1)d]k=1000,解得d=12k2(k-1)k-22000-2k由上得：≤d=≤2，整理得k(k-2000)+1000≤0,解得k<20002(n-1)+1(k-1)k2000-2k2(1000-k)1当k=1999时，d===-(k-1)k(k-1)k19991所以，最大值k是1999，公差是-1999

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