文科高等数学重要知识点汇总

第一章函数与极限一、内容提要1．函数是微积分研究的对象，定义域、对应法则构成其两要素。2．极限分成数列极限与函数极限，是微积分学的基础，以后的内容绝大多数与此紧密相关。3．无穷小与无穷大是两个特殊的变量，为了更精细的研究它们之间的关系，必须讨论它们之间比较时产生的阶的关系。4．求极限的方法有多种，本章主要有利用极限运算法则及两个极限存在法则方法，并利用后者得到两个重要极限。5．利用极限来描述连续这种直观现象是用极限对函数研究的第一次应用，并得到了初等函数的连续性。作为连续函数，当其在闭区间上时具有特殊的性质。二、重要结论1．的定义为：limnnaa→∞=0,0,,nNnNaaεε∀>∃>∀>−<满足。2．()0limxxfx→=A的定义为：()()000,0,,,xUxfxAεδδ∀>∃>∀∈−<满足ε。()0limxxfx+→=A的定义为：()()000,0,,,xxxfxAεδδ∀>∃>∀∈+−<满足ε。()0limxxfx−→=A的定义为：()()000,0,,,xxxfxAεδδ∀>∃>∀∈−−<满足ε。()limxfx→∞=A的定义为：()0,0,,XxxXfxAεε∀>∃>∀>−<满足时成立。()limxfx→+∞=A的定义为：()0,0,,XxXfxAεε∀>∃>∀>−<满足x时成立。()limxfx→−∞=A的定义为：()0,0,,XxxXfxAεε∀>∃>∀<−−<满足时成立。3．数列极限或函数极限若存在则必唯一。4．收敛数列必为有界数列，函数极限存在有局部有界性。5．函数极限若存在，则有局部保号性。6．()limfx=A，当时，n→∞nx与上极限中的x有相同的变化趋势，则()limnnfxA→∞=。7．()()()lim1fxAfxAo=⇔=+。8．若自变量的同一变化过程中，()()lim,limfxAgxB==，相除时分母须不为0，有()()lim()fxgxAB+=+，()()limfxgxAB=，()()limfxAgxB=。9．若自变量的同一变化过程中，~,~ααββ′′，且limαβ′′存在，则limlimααββ′=′。10．夹逼准则，且由此得0sin1limlimsin1xxxxxx→→∞==；单调有界数列必收敛，且由此得：()101lim1lim1xxxxxex→∞→⎛⎞+=+=⎜⎟⎝⎠。11．连续的定义为：()()(000lim0xfxxfxΔ→+Δ−=)，其等价定义为()()00limxxfxfx→=，在端点处以单侧极限的方式给出；不满足上式的点称为间断点，分为两类，第一类间断点是左右极限都存在的间断，其余是第二类的。12．闭区间上的连续函数有最大、最小值，是有界的，且能取得介于最大、最小值之间的任意值，当两端点函数值异号时，区间内部必有零点存在。第二章导数与微分一、内容提要1.导数即变量的变化率问题，在计算上体现为一种00型的未定式的极限，即增量之比的极限.2.导数的几何意义即导数在几何上的解释：曲线相应点的切线斜率.3.单侧导数概念的引入缘于在该点两侧函数的对应规则不同，如分段函数的连接点处；或一侧函数根本无定义，如的端点处.],[ba4.导数的计算主要是利用基本求导公式和求导法则按部就班地进行，其中复合函数的求导法则是计算中的重要工具，而特殊点的导数则必须从定义出发，如分段函数连接点处等.5.不同方式定义的函数的求导法各不相同，如隐函数和参数方程定义的函数.6.微分的概念则从另一个角度讨论了函数的增量问题，从而使我们更加深对导数的理解.作为的线性主部，其实质为当dyyΔ0→Δx时是dyyΔ的等价无穷小.二、重要结论1.hxfhxfxxfxxfxfhx)()(lim)()(lim)(0000000−+=Δ−Δ+=′→→Δ；或000)()(lim)(0xxxfxfxfxx−−=′→上述极限的左、右极限分别叫作在处的左、右导数，记为)(xf0x)(xf−′、.)(xf+′2.函数在点处导数的几何意义是曲线)(xf0x)(0xf′)(xfy=在点处切线的斜率.))(,(00xfx3.在点可导的充要条件是在点处的左、右导数存在且相等.)(xf0x)(xf0x4.在点可导则必在处连续.)(xf0x0x5.若在点处的函数增量)(xf0x)(xoxkyΔ+Δ=Δ，其中为与kxΔ无关的量，则称在点处可微，且微分.)(xf0xxkdyΔ=6.在点可导的充要条件是在点可微，且有)(xf0x)(xf0xdxxfdy)(′=.7.四则运算的求导法则：（1）vuvu′±′=′±)(（2）vuvuuv′+′=′)(（3）2)(vvuuvvu′−′=′.8.复合函数的求导法则：设)(),(xuufyϕ==可导，则))((xfyϕ=可导，且有)()(xufyϕ′′=′.9.反函数的导数：设单调连续函数)(yxϕ=在点y可导，且0)(≠′yϕ，则其反函数在对应点)(xfy=x处可导，且)(1)(yxfϕ′=′.10.公式：.Leibniz∑=−=nkknkknnvuCuv0)()()()(第三章微分中值定理与导数的应用一、内容提要1．罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理是本章的重要定理，是以后用导数研究函数形态的基础。2．洛必达法则是求极限未定式的极为重要的手段，在灵活运用的基础上，比第一章所学的方法更具 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化。3．泰勒公式可理解成函数用多项式近似表示，余项便是误差。4．函数单调性、凹凸性是导数的某种具体应用，由单调性产生出求极值、最大与最小值的方法，加上凹凸性等可大概将函数描绘出来。5．弧微分与曲率是两个重要的数学概念，弧微分将来与弧长有关，曲率是表示曲线弯曲程度的指标。二、重要结论1．罗尔定理：函数()fx在[上连续，在],ab(),ab上可导，且()()fafb=，则必存在，使(,abξ∈)()0fξ′=。拉格朗日中值定理：函数()fx在[],ab上连续，在(),ab上可导，则必存在，(),abξ∈使()()()fbfafbaξ−′=−。（或()()()()()()0,1fbfafababaθθ′−=+−−∈）柯西中值定理：函数()fx、在()gx[],ab上连续，在(),ab上可导，且()0gx′≠，则必存在，使(,abξ∈)()()()()()()fbfafgbgagξξ′−=′−。2．洛必达法则：()()lim0xafx→=∞，()()lim0xagx→=∞，()(),fxgx在xa=的某去心邻域中可导，()0gx′≠，且()()limxafxgx→′′存在为A（可以是），则∞()()limxafxgx→也存在，亦为A。上述结论可推广至xa+→或的各情形。,,,xaxxx−→→+∞→−∞→∞3．泰勒公式：()fx在含有0x的某个开区间(),ab内有1n+阶导数，则中任一(,ab)x有()()()()()()()()()(20000000...2!!nnnfxfx)fxfxfxxxxxxxRxn′′′=+−+−++−+成立，()()()()()1101!nnnfRxxxnξ++=−+被称为拉格朗日型的余项，被称为皮亚诺型的余项。()()0()nnRxoxx=−4．()fx在[上连续，(上可导，若]),ab,ab()0fx′>恒成立，则()fx在[上单调增],ab加；若()0fx′<恒成立，则()fx在[],ab上单调减少。()fx在[上连续，(上有二阶导数，若]),ab,ab()0fx′′>恒成立，则()fx在[]上是凹的；若,ab()0fx′′<恒成立，则()fx在[],ab上是凸的。5．()fx在0x处连续，在0x的某去心邻域(00,Ux)δ内可导，若有()00,xxxδ∈−时()0fx′>，()00,xxxδ∈+时()0fx′<，则在0x处函数取极大值；若有()00,xxxδ∈−时()0fx′<，()00,xxxδ∈+时()0fx′>，则在0x处函数取极小值；若()00,Uxδ中()fx′不变号，则在0x处函数不取极值。()fx在0x处有二阶导数，且()00fx′=，若()00fx′′>，则在0x处函数取极小值；若()00fx′′<，则在0x处函数取极大值。6．若0xx+→（或0xx−→）时，()()fx→±∞，则0xx=为函数的垂直渐近线；若()()limxfxax→±∞=，且()()()limxfxaxb→±∞−=，则yaxb=+为函数的斜渐近线。7．弧微分公式：()()22dsdxdy=+。曲率公式：曲线的参数方程()()xtytϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，()()()()()()3222ttttKttϕψϕψϕψ′′′′′′−=′′⎡⎤+⎣⎦。第四章不定积分一、内容提要1.求原函数的运算是求导运算的逆运算，即已知函数的导函数来寻找的运算，这种运算远比求导运算困难得多.)(xF)(xf)(xF2.的不定积分不是指一个原函数，而是指全体原函数，是)(xf∫dxxf)(一个函数族.3.即使存在的话，也未必能用初等函数来表示，即所谓的积不出来.∫dxxf)(4.基本积分公式和不定积分的线性性质是求积的重要工具.5.求积的基本方法有：直接积分法、换元积分法、分部积分法，但具体选择什么方法，常需要对具体问题进行具体分析.二、重要结论1.第一类换元法：若∫，则+=CuFduuf)()(∫+=′CtFdtttf))(()())((ϕϕϕ.2.第二类换元法：若)(txψ=单调、可导，0)(≠′tψ，且Ctdtttf+Φ=′∫)()())((ψψ，则有Cxdxxf+Φ=−∫))(()(1ψ，其中为)(1x−ψ)(txψ=的反函数.3.分部积分公式：∫∫′−=′vdxuuvdxvu；或∫∫−=vduuvudv.4.几类可积函数的积分法：有理函数、三角函数有理式及简单无理函数.5.基本积分公式（部分）：（1）∫+−=Cxxdx|cos|lntan（2）∫+=Cxxdx|sin|lncot（3）∫++=Cxxxdx|tansec|lnsec（4）∫+−=Cxxxdx|cotcsc|lncsc（5）∫+=+Caxaaxdxarctan122（6）∫++−=−Caxaxaaxdx||ln2122（7）∫+=−Caxxadxarcsin22（8）∫+++=+Caxxaxdx)ln(2222（9）∫+−+=−Caxxaxdx||ln2222（10）∫+++++=+Caxxaaxxdxax)ln(222222222（11）∫+−+−−=−Caxxaaxxdxax)ln(222222222.第五章定积分一、内容提要1.定积分作为无穷多个无穷小和的极限问题，其基本思想对以后的重积分、曲线积分、曲面积分有着重要的指导作用.2.积分上限函数直接引出了微积分基本定理，在积分学部分占有极其重要的地位.3.由于无须变量的回代，定积分的换元法在使用上比不定积分的换元法更为方便，也更为灵活.4.广义积分作为定积分的推广，实际上描述了定积分的极端情况.二、重要结论1.定积分的几何意义：∫表示曲线badxxf)(bxaxxfyy====,),(,0所围图形面积的代数和，或各曲边梯形面积的代数和.2.定积分的主要性质：（1）线性性质：∫∫+=+bababadxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()]()([2121∫其中为任意常数；21,kk（2）区间可加性：；∫∫∫+=bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(（3）保号性：设在区间上],[ba)()(xgxf≤，则；∫∫≤babadxxgdxxf)()(若在上连续，且)(),(xgxf],[ba)()(),()(xgxfxgxf≠≤，则；∫∫<babadxxgdxxf)()(特别地，设在区间上],[baMxfm≤≤)(，则有∫−≤≤−baabMdxxfabm)()()(；（4）积分中值定理：设在上连续，则在上至少有一点)(xf],[ba],[baξ，使得.∫−=baabfdxxf))(()(ξ3.微积分基本公式（公式）：设在上连续，为在上的任一原函数，则有LeibnizNewton−)(xf],[ba)(xF)(xf],[ba∫−==babaaFbFxFdxxf)()(|)()(.或：设在上连续，令，则有)(xf],[ba∫=xadttfx)()(ϕ],[),()(baxxfx∈=′ϕ.4.定积分的换元积分公式：设在上连续，)(xf],[ba)(txϕ=满足条件（1）)(tϕ′在],[βα（或],[αβ上）连续；（2）ba==)(,)(βϕαϕ且当βα≤≤t（或αβ≤≤t）时，bta≤≤)(ϕ，则有.∫∫′=badtttfdxxfβαϕϕ)())(()(5.定积分的分部积分公式：设在上连续可导，则.)(),(xvxu],[ba∫∫′−=′bababavdxuuvdxvu|第六章定积分的应用一、内容提要1．元素法是本章的最基本内容，其余都是元素法的具体应用，掌握该方法便可真正掌握本章的所有公式，而且能灵活应用在其它地方。2．常见的元素法的具体应用，可用于几何中的平面图形面积、体积及平面曲线的弧长等问题，还有物理中的变力沿直线作功、水压力及引力等问题。二、重要结论1．若实际问题中所求量为U，使用元素法的条件：（1）U是与一个变量x的变化区间[],ab有关的量；（2）U对于区间[],ab具有可加性；（3）部分区间上对应的部分量的近似值可表示为iUΔ()iifxξΔ；2．求上述量U的元素法的具体步骤：（1）根据问题的具体情况，选取一个变量如x作为积分变量，并确定它的变化区间[]；,ab（2）将分成个小区间，任取其一记为[,ab]n[],xxdx+，如相应于这个小区间的部分量可近似表示为[上的一个连续函数在iUΔ],abx处的值()fx与的乘积，就称dx()fxdx为U的元素，记为；dU（3）所求量可由积分得出；()baUfxd=∫x3．曲线及直线()()()0yfxfx=≥(),xaxbab==<与x轴所围成的曲边梯形的面积公式：()baAfxdx=∫。此处希望同学不要将该公式理解为已学过的定积分的几何意义，而要将()fxdx理解成一个窄的区间[],xxdx+上的矩形面积，是曲边梯形的面积元素，所求面积就是面积元素在上的积分。以下的公式也希望同学理解为元素法的具体应用，关键是找出描述元素的表达式，并将所求量理解成元素在[,ab][],ab上的累加。4．曲线()ρϕθ=及射线,θαθβ==所围曲边扇形面积公式：()212Adβαϕθθ=⎡⎤⎣⎦∫。5．连续曲线()yfx=、直线xa=、xb=及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积公式：。()2baVfxπ=⎡⎤⎣⎦∫dx6．一立体位于两个分别过点xa=、xb=且垂直于x轴的平面之间，()Ax为过点x且垂直于x轴的截面面积，是连续函数，则该立体体积公式为：。此处希望同学回忆一下“祖亘原理”。()baVAxd=∫x7．光滑曲线弧是可求长的，若曲线弧由参数方程：()()(xttytϕ)αβψ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩所给，且在[()(),ttϕψ],αβ上具有连续导数，则所求弧长公式为：()()22stβαϕψ′′=+∫tdt，此处希望同学看出弧长元素正是弧微分。若曲线弧由直角坐标方程：()()yfxaxb=≤≤给出，且()fx在[上有一阶连续导数，则弧长公式为：],ab21basydx′=+∫。若曲线弧由极坐标方程：()()ρρθαθβ=≤≤给出，且()ρθ在[],αβ上有一阶连续导数，则弧长公式为：()()22sdβαρθρθ′=+∫θ。