工程数学习题答案

《 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 数学》习题一1．用分离变量法解常微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=>−=0)0(0),1(yyxKyrydxdy解：用常微分方程分离变量法rdxKyydy=−)/1(由于yKyyKyKKyy−+=−=−11)()/1(1所以由分离变量法等式两端积分得0lncrxyKy+=−两端取指数函数，整理得)exp(1)(0crxKxy−−+=2．求傅里叶级数展开⎩⎨⎧≤≤−<≤−+=ππππxxxxxf0,0,)(解：由于是偶函数，展开为余弦级数，设∑∞==0cos)(kkkxaxf由正交性得2])([21)(1)(210200ππππππππππ=−−=−==∫∫−xdxxdxxfa∫∫−==−ππππππ0cos)(2cos)(1kxdxxkxdxxfak]cos1[2]cos[2202ππππkkkxk−=−=有奇数项系数非零),2,1(,)12(14212L=−=−mmamπ所以∑∞=−−+=12)12cos()12(142)(mxmmxfππ3．求波动方程解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====><<=====lxulxuuutlxuautttlxxxxtt/sin,/sin,0)0,0(,0002ππ解：对应的固有值和固有函数分别为2)(lnnπλ=，),2,1(,sinL==nxlnXnπ波动方程通解为∑∞=+=1sin]sincos[),(nnnxlntlanbtlanatxuπππ将初值条件代入得xlxlnannππsinsin1=∑∞=，xlxlnblannnπππsinsin1=∑∞=对比级数两端，待定系数法得⎩⎨⎧≠==1,01,1nnan，⎪⎩⎪⎨⎧≠==1,01,nnalbnπ故波动方程解为xltlaaltlatxuππππsin]sin[cos),(+=4．求波动方程解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+===><<=====0,2/5sin62/3sin3,0)0,0(,0002tttlxxxxxttulxlxuuutlxuauππ解：对应的固有值和固有函数分别为2]2)12([lnnπλ+=，),2,1(,2)12(sinL=+=nxlnXnπ波动方程通解为∑∞=++++=12)12(sin]2)12(sin2)12(cos[),(nnnxlntlanbtlanatxuπππ将初值条件代入得xlxlxlnann25sin623sin32)12(sin1πππ+=+∑∞=，02)12(sin2)12(1=++∑∞=nnxlnblanππ对比级数两端，待定系数法得5,321==aa，)2,1(,0≠≠=nnan，),2,1(,0L==nbn《工程数学》习题二1.求解固有值问题⎩⎨⎧==′<<=+′′0)(,0)0(0,0)(lXXlxXxXλ解：显然固有值0≥λ，方程有通解xBxAxXλλsincos)(+=利用边界条件得0=B，0sincos=+lBlAλλ联立得线性方程组⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡00sincos10BAllλλ方程组有非零解条件为系数矩阵行列式为零，即0cos=lλ由余弦函数零点得：πλ212+=nl所以固有值和固有函数分别为2]2)12([lnnπλ+=，xlnXn2)12(cosπ+=2.求解固有值问题⎩⎨⎧=′=<<=+′′0)(,0)0(0,0)(lXXlxXxXλ解：显然固有值0≥λ，方程有通解xBxAxXλλsincos)(+=利用边界条件得0=A，0cossin=+−lBlAλλ联立得线性方程组⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−00cossin01BAllλλ方程组有非零解条件为系数矩阵行列式为零，即0cos=lλ由余弦函数零点得：πλ212+=nl所以固有值和固有函数分别为2]2)12([lnnπλ+=，xlnXn2)12(sinπ+=3．求解热传导方程⎪⎩⎪⎨⎧−===<<>=)()0,(0),(,0),0()0,0(,2xlxxutlutulxtuauxxt解：对应的固有值和固有函数分别为2)(lnnπλ=，),2,1(,sinL==nxlnXnπ热传导方程通解为∑∞=−=12sin])(exp[),(nnxlntalnBtxuππ将初值条件代入得)(sin1xlxxlnBnn−=∑∞=π利用固有函数正交性得∫−=lnxdxlnxlxlB0sin)(2π应用分部积分法得]cos1[)(4sin)(4302ππππnnllxdxlnnllBln−==∫故热传导方程解为∑∞=−−−=12222332))12(sin))12(exp()12(18),(mxlmtlammltxuπππ4．求解热传导方程⎪⎩⎪⎨⎧−===<<>=)2/()0,(0),(,0),0()0,0(,2xlxxututulxtuauxxxxtπ解：对应的固有值和固有函数分别为2)(lnnπλ=，),2,1(,cosL==nxlnXnπ热传导方程通解为∑∞=−=12cos])(exp[),(nnxlntalnBtxuππ将初值条件代入得)2(cos1xlxxlnBnn−=∑∞=π利用固有函数正交性，当时，有0=n3]124[1)2(123300lllldxxlxlBl=+=−=∫当时，有0≠n∫−=lnxdxlnxlxlB0cos)2(2π应用分部积分法得202)(2]cos)[()(2πππnlxlnxlnllBln−=−=故热传导方程解∑∞=−−=12222cos])(exp[1)(23),(nxlntalnnlltxuπππ《工程数学》习题三1.求解固有值问题⎩⎨⎧′=′=<<=+′′)2()0(),2()0(20,0)(πππλXXXXxXxX解：显然，固有值0≥λ，二阶常微分方程有通解xBxAxXλλsincos)(+=代入边界条件，得πλπλ2sin2cosBAA+=，πλπλ2cos2sinBAB+−=联立得线性方程组⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−0012cos2sin2sin12cosBAλπλπλπλπ方程组有非零解的条件为系数矩阵行列式为零，即02sin]12[cos22=+−λπλπ整理得12cos=λπ由余弦函数的最大值点得πλπn22=所以特征值和特征函数分别为2nn=λ，nxBnxAXnsincos+=，（A和B不全为零）2．求解常微分方程：02222=−+RndrdRrdrRdr解：做自变量变换，令，即)exp(tr=rtln=，代入方程化简得0222=−RndtRd求解得)exp()exp(21ntCntCR−+=将代入得)exp(tr=nnrCrCR−+=213.求定解问题⎪⎩⎪⎨⎧====<<=+0)1,(,0)0,(2sin),1(,0),0(1,0,0xuxuyyuyuyxuuyyxxπ解：用分离变量法，令代入方程，整理得)()(),(yYxXyxu=λ−=′′−=′′XXYY导出常微分方程0=+′′YYλ，0=−′′XXλ利用齐次边界条件构造固有值问题⎩⎨⎧===+′′0)1()0(0YYYYλ固有值和固有函数分别为2)(πλnn=，),2,1(,sinL==nynYnπ将特征值代入x方向常微分方程并求解得)cosh()sinh(xnbxnaXnnnππ+=原拉普拉斯方程基本解ynxnbxnayxunnnπππsin)]cosh()sinh([),(+=原拉普拉斯方程通解∑∞=+=1sin)]cosh()sinh([),(nnnynxnbxnayxuπππ代入非齐次边界条件确定系数),2,1(,0L==nbn，)2(,0,2sinh12≠==naanπ故原拉普拉斯方程解yxyxuπππ2sin2sinh)2sinh(),(=4.求定解问题⎪⎩⎪⎨⎧+=<<=∂∂+∂∂+∂∂=θθθ4cos2cos)10(,011122222BAururrurrur解：利用圆域内拉普拉斯方程求解公式∑∞=++=10]sincos[2),(nnnnnbnararuθθθ将边界条件代入得θθθθ4cos2cos]sincos[210BAnbnaannn+=++∑∞=用待定系数法得)4,2(,0,42≠≠===nnaBaAan，),2,1(,0L==nbn故原拉普拉斯方程解θθθ4cos2cos),(42rrru+=《工程数学》习题四1.求定态薛定谔方程波函数⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+′′0)(,0)0(),0(,0)(2)(2aaxxExψψψµψh解：令22hEµλ=，利用固有值问题⎩⎨⎧==<<=+′′0)(,0)0(0,0aaxψψλψψ解得2)(annπλ=，xannπψsin=，),2,1(L=n解出能量固有值22)(2anEnπµh=，),2,1(L=n规一化后的波函数为xanaxnπψsin2)(=2.写出初边值问题)()0,(0),(,0),0()0,0(,2222xxtattaxxtiϕµ=Ψ=Ψ=Ψ><<∂Ψ∂−=∂Ψ∂hh的级数解.解：应用分离变量法，设)()(),(tfxtxψ=Ψ，代入方程整理得Exxxtfdtdxfi=∂∂−=)(]2[)(1)()(1222ψµψhh由此得常微分方程)()(tEftfdtdi=h，)()(2222xExdxdψψµ=−h第一个常微分方程有特解：)/exp()(hiEttf−=第二个常微分方程为能量固有值问题，由习题1结论得22)(2anEnπµh=，xannπψsin=，),2,1(L=n原问题基本解xantiEtxnnπsin)exp(),(h−=Ψ，),2,1(L=n原问题级数解∑∞=−=Ψ1sin)exp(),(nnnxantiECtxπh3.求定态薛定谔方程波函数⎪⎩⎪⎨⎧==−−∈=+′′0)2/(,0)2/()2/,2/(,0)(2)(2aaaaxxExψψψµψh将xanaxnπψsin2)(=中自变量替换为)2/(ax+，由于2sincos2cossin)2sin()2/(sinπππππππnxannxannxanaxan+=+=+所以n为偶数时，有xamBxmmπψ2sin)(22=，222222amEmµπh=所以n为奇数时，有xamBxmmπψ)12(cos)(1212+=++，2222122)12(amEmµπh+=+规一化系数：aBBmm2122+=。4．证明厄米多项式正交性：，（0)()()exp(2=−∫+∞∞−dxxHxHxmnmn≠）解：由于n阶厄米多项式满足常微分方程)(xHn0)1(2=−+′−′′nnnHHxHλ做函数变换，令，，则有)()2/exp()(2xHxxunn−=)()2/exp()(2xHxxumm−=0)12(2=−++′′nnuxnu，0)12(2=−++′′mmuxmu由此得0)12(2=−++′′nmnmuuxnuu，0)12(2=−++′′mnmnuuxmuu将两式相减，并积分得∫∫+∞∞−+∞∞−′′−′′=−dxuuuudxuumnnmmnnm][)(2利用分部积分法得0][][][=′′−′′−′−′=′′−′′∫∫+∞∞−+∞∞−+∞∞−dxuuuuuuuudxuuuunmmnnmmnnmmn所以)(,0nmdxuunm≠=∫+∞∞−即0)()()exp(2=−∫+∞∞−dxxHxHxmn，（mn≠）《工程数学》习题五1．求二阶常微分方程通解：0)1(2222=+−+RlldrdRrdrRdr解：做自变量变换，令，即)exp(tr=rtln=，则方程化为0)1(22=+−+RlldtdRdtRd求解得))1(exp()exp(21tlCltCR+−+=利用变换得)1(21+−+=llrCrCR2.广义拉盖多项式级数形式：∑=+−−+=nkkkmnkmknkxnmxL0)!()!(!)1()!()(。证明：)(!)(xnmnnmxmnexdxdnxexL−+−=证：由级数形式∑∑==++−=+−−+=nkkkknnkkkmnxkmmnCnkmknkxnmxL00)!()!()1(!1)!()!(!)1()!()(应用乘积函数求导的莱布尼兹公式∑=+−−+++−=nkkmxkknxnmnnxkmnmeCexdxd0])!()!(][)1[()(所以)()!()!()1(!1)(!0xLxkmmnCnexdxdnxemnnkkkknxnmnnmx=++−=∑=−+−3．证明拉盖多项式的正交性：，（0)()(0=∫∞−dxxLxLemnxnm≠）证：由于n阶拉盖多项式Ln(x)满足微分方程0)1(=+′−+′′nnnnLLxLx将方程左右同乘负指数函数，并简化得0][=+′′−−nxnxLneLxe同理有m阶拉盖多项式Lm(x)满足微分方程0][=+′′−−mxmxLmeLxe由两个等式得0][=+′′−−nmxnxmLLneLxeL，0][=+′′−−mnxmxnLLmeLxeL将两式相减并积分得∫∫+∞−−+∞−′′−′′=−00)][][()(dxLxeLLxeLdxLLemnnxmmxnnmx利用分部积分公式+∞−−+∞−−′−′=′′−′′∫00)][][()][][(nxmmxnnxmmxnLxeLLxeLdxLxeLLxeL0][0=′′−′′−∫+∞−−dxLLxeLLxennxnmx所以0)()(0=∫∞−dxxLxLemnx，（nm≠）4．计算积分：∫，，∞−021)]([dxxLex∫∞−022)]([dxxLex∫∞−023)]([dxxLex解：由1)(1+−=xxL，，24)(22+−=xxxL6189)(233+−+−=xxxxL得，，12)]([221+−=xxxL416208)]([23422+−+−=xxxxxL3621643233611718)]([2345623+++−+−=xxxxxxxL注意积分：，!0ndxxenx=∫+∞−所以112!2)]([021=+−=∫∞−dxxLex4416!220!38!4)]([022=+−×+×−=∫∞−dxxLex3636215!2432!3336!4117!518!6)]([023=++×+×−×+×−=∫∞−dxxLex《工程数学》习题六1．利用勒让德多项式微分形式计算积分：∫，−1121)]([dxxP∫−1122)]([dxxP解：由让德多项式微分形式nnnnnxdxdnxP)1(!21)(2−=，令。nnx)1(2−=ω用分部积分公式38)1(2][][112111111111121=−−=′′−′=′∫∫∫−−−−dxxdxdxωωωωω所以32][221)]([11211121=′×=∫∫−−dxdxxPω而5816)1(!4][][1122112)4(21122221122×=−=+′′′−′′′=′′∫∫∫−−−−dxxdxdxωωωωωωω所以52][22221)]([1121221122=′×××=∫∫−−dxdxxPω2．证明：勒让德多项式的模122)]([112+=∫−ndxxPn，(n=1,2,⋯⋯)。证：由勒让德多项式递推关系0)()()12()()1(11=++−+−+xnPxxPnxPnnnn以n代替(n+1)并将等式两端同乘以Pn，得0)()()1()()()12()]([212=−+−−−−xPxPnxPxxPnxPnnnnnn积分得∫∫−−−−=111112)()()12()]([dxxPxxPndxxPnnnn再将递推关系变型1112121−+++++=nnnPnnPnnxP代入，得∫∫−−−+−=1121112)]([12)12()]([dxxPnnndxxPnnn故122)]([121)]([1212)]([1101121112+=+==+−=∫∫∫+−−−−ndxxPndxxPnndxxPnnL3．证明勒让德多项式正交性：,（0)()(11=∫−dxxPxPmmnm≠）证：由于Pn(x)满足勒让德方程0)1(2)()1(2=++′−′′−nnnPnnPxxPx写成等价形式0)1(])()1[(2=++′′−nnPnnxPx同理Pm(x)满足0)1(])()1[(2=++′′−mmPmmxPx由此得0)1(])()1[(2=++′′−nmnmPPnnxPxP0)1(])()1[(2=++′′−mnmnPPmmxPxP将两式相减差积分，得∫∫+−+−′′−−′′−=+−+112211)])1[(])1[(()]1()1([dxPxPPxPdxPPmmnnmnnmnm应用分部积分公式得11221122)])1[(])1[(()])1[(])1[((+−+−′−−′−=′′−−′′−∫mnnmmnnmPxPPxPdxPxPPxP0])1()1[(1122=′′−−′′−−∫+−dxPPxPPxmnnm故0)()(11=∫−dxxPxPmm,(nm≠)4．计算积分∫，其中n和k是任意正整数且+−11)(dxxPxnknk≤。解：当k<n时，有∑==kjjjkxPcx0)(利用勒让德多项式正交性，得)(,0)(11nkdxxPxnk<=∫+−当k=n时，有∑==njjjnxPcx0)(参考勒让德多项式微分 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式，nnnnnxdxdnxP)1(!21)(2−=，最高项系数为!!)!12(nn−所以!)!12(!−=nncn，故!)!12(!2)]([!)!12(!)(11211+=−=∫∫+−+−nndxxPnndxxPxnnn《工程数学》习题七1．利用勒让德多项式正交性计算：∫+−+11)()32(dxxPxn解：先将(2+3x)表示为勒让德多项式组合形式，1032)32(PPx+=+所以∫∫+−+−+=+111011]32[)()32(dxPPPPdxxPxnnn利用正交性得∫+−+11)()32(dxxPxn⎪⎩⎪⎨⎧≠===1,0,01,20,4nnn2.求单位球内调和函数，满足边值问题：0)(sinsin1)(1222=∂∂∂∂+∂∂∂∂θθθθurrurrrθ21cos==ru3．利用余弦函数台劳展开式证明：xxxJcos2)(2/1π=−。证明：由n阶贝塞尔函数的级数形式∑∞=++++−=022)1(!2)1()(mmnmnmnmnmxxJΓ得∑∞=+−+−−++−−=022/122/12/1)12/1(!2)1()(mmmmmmxxJΓ利用伽玛函数的特殊值π=)2/1(Γ，得π)2/1()2/3)(2/1()12/1(L−−=+−mmmΓ!)!12(21)32)(12(21−=−−=mmmmmππL所以)!2(!)!12(!)!2()12/1(!22mmmmmmππ=−=++−Γ由于∑∞=−=02)!2(1)1(cosmmmxmx故xxxmxmmxxJmmmmmmmcos2)!2(1)1(2)12/1(!2)1()(02022/122/12/1ππ=−=++−−=∑∑∞=∞=+−+−−Γ4．证明贝塞尔函数递推关系：)()]([1xJxxJxdxdnnnn+−−−=，证：利用贝塞尔函数级数表达式得=−)]([xJxdxdnn∑∑∞=+−∞=+++−=++−1212022)1(!22)1(])1(!2)1([mmnmmmmnmmmnmxmmnmxdxdΓΓ令，并消去公因式得1+=km=−)]([xJxdxdnn∑∑∞=++++∞=+++++++−−=+++−02121021121)11(!2)1()11(!2)1(kknknknkknkkknkxxknkxΓΓ)()11(!2)1(102121xJxmnmxxnnmmnmnmn+∞=++++−=+++−−=∑Γ